GEOMETRIE DE L ESPACE

droits

OA z= OB = OC =z 1 , ( A, A' ) = O ( B, B' ) rir O ( C, C ) = i*.

Puis, observons que les segments OA, 0(A, A'), bien qu'étant de modes contraires, peuvent se représenter par une même

Fig. 88.

variable y, et désignons pareillement OB, 0(B, B'), par k] OC,0(C,C') par/.

D'après ce qu'on a dit plus haut, le produit de OA par 0(B,B') est

yÂ: = 0(B,B'),

et ce produit peut s'obtenir en remplaçant OApar 0(A, A'), puis en faisant tourner ce dernier segment dans le sens direct, pour un observateur ayant les pieds sur le plan a 3 et la tête en y. De même, en faisant tourner 0(B, B') d'un quadrant dans le sens direct pour un observateur ayant les pieds surpy et la tête en a, on obtient le produit de OB par 0(C, C), et coproduit n'est autre que 0(C,C')= L Mais 0(C, C) = 0(B, B'). Rien ne s'oppose donc à ce qu'on remplace le produit des segments OA, 0(B, B') par le seg-

l66 CHAPITRE V.

ment 0(C, C) perpendiculaire à leur plan et qu'on écrive, par suite,

jk = /.

D'un autre côté, si l'on fait momentanément abstraction du signe des coordonnées, il est clair que, pour un observateur ayant les pieds sur a^ et la tête en y', la multiplication de OB par 0(A, A') donne

et que, pour ce même observateur ayant les pieds sur «Y et la tête en p, le produit de OA par 0(C',C) est 0(C', C) = 0(A, A'). Or, en restituant aux coordonnées leurs signes, il vient

Donc

kj^-l ou

-kj=:L

Enfin, lorsqu'on multiplie OA par 0(B, B ) = k^^ il vient

/^*=OA'z=-OA,

d'où

Il estbon d'ajouter que le produit de O ( A, A' ) par O ( A, A'), par exemple, peut aussi se représenter p^^J*J=J^ • ce qui revient à considérer le premier facteur / comme exprimant l'unité imaginaire.

Des considérations précédentes il résulte qu'on a les relations

jk= — kj=zl,

kl= — lk=j\

GÉOMÉTRIE DE l'ëSPACE. 167

ce qui s'accorde de tous points avec les conventious d'Hamilton .

Représentons maintenant par y -f- A" -f- Ha diagonale OM du cube construit sur OA, OB, OC- Puis multiplions / par Â:, k par Z, / par y. La somme des produits partiels ainsi obtenus est

yÂT-t- kl-\- Ijzzz l^j^k.

Or, le résultat de ces multiplications partielles est évidemment de remplacer OA par 0(G, G), OB par 0(A, A'), OC par 0(B,B'), et, par suite, OM par 0(M, M'). Donc

Pour nous conformer aux définitions d'Hamilton, appelons vecteur tout segment droit OM partant de Torigine du système Oa^Y et vecteur-unité celui dont les composantes sont

Fig. 89.

égales à l'unité de longueur. Les variables y, A", / représentent des vecteurs-unités dirigés suivant les axes.

Les coordonnées relatives au système Oapy d'un point réel N de l'espace étant è, c, d[fig, 89), le vecteur ON peut

s'écrire

O^^bj^çk^dl-,

l68 CHAPITRE V.

et les multiplications partielles dont on vient de parler amènent pour ce vecteur un changement de mode analogue à celui du vecteur OM de la ligure précédente. Mais ce nouveau changement de mode ne s'effectue plus suivant la direction ON, à moins qu'on ne suppose 6 = c = rf.

Dans tout autre cas, le vecteur réel ON se transforme en un vecteur imaginaire 0(N4,N[) donné par la formule

Gela posé, les coordonnées d'un point réel M [^fig* 90) par

Fig. 90.

rapport au système rectangulaire Qxyz étant

s'agit-il de transformer en vectrice la distance OM?

Au lieu de multiplier immédiatement BM par î, ce qui donnerait la vectrice

0(M,M') = OB-hB(M,M'),

on peut mener par le point B trois axes secondaires indépendants du système Oxyz^ prendre dans une direction convenable BN = BM, écrire ensuite

BN = bj ^ck^ dl,

GÉOMÉTRIE DE l'eSPACE. 169

et finalement en conclure

B(M,M')=: 6/ -h cy + ^/t.

D'où il suit qu'en désignant OB par a, il vient

0{U,W) — a -^ hl ^ cj -\- dk.

Les expressions de ce genre ont reçu, du nombre de leurs termes, le nom de quater nions.

Lorsque deux vectrices rapportées à un système rectangulaire passant par leur origine ont leurs axes secondaires parallèles chacun à chacun, elles s'expriment dans des quaternions de la forme

/? = a -f- 6/ + cÂ: -h dl,

q =1 a' -^^ m{bj -^ ck -h dl) ,

le coefficient m étant un nombre réel. Or, Hamilton a prouvé (*) que ces formules peuvent respectivement s'écrire

p r= p(cosô H- a sinô), qz=: p'(cosô'h- a sinô');

que leur produit est

/?^ — pp' j cos(ô H- Ô' ) + asin (ô -h Ô') }

et que rien n'empêche d'identifier a avec i. Ce qui s'accorde avec la règle donnée plus haut par le produit de deux vectrices.

Hamilton démontre ensuite que le produit, le quotient de deux vecteurs sont autant de quaternions, puis il assigne à ces expressions symboliques des interprétations qui peuvent être fécondes, mais qui sortent du cadre que je me suis tracé. L'essentiel est d'avoir concilié la doctrine des quaternions avec celle des vectrices telle que je l'ai présentée. . Conduit, comme je l'ai dit, par l'analyse aux relations

(>) Allégret, Thèse. Paris, 1862.

conventionnelles que nous venons d'étudier, Hamilton est obligé de recourir à des considérations philosophiques d'un ordre assez élevé pour établir que le rapport de deux vecteurs doit être un quaternion. Je croîs avoir montré que la méthode prudente et sûre de Descartes l'eût mené plus directement au but. Quoi qu'il en soit, sa manière de procéder n'a pas laissé de rencontrer beaucoup d'admirateurs, et l'un d'eux, M. Tait, se prononce assez nettement sur ce point. I

Les propriétés des symboles qui se rapportent aux quaternions, dit-il, nous rappellent les symboles électifs de la logique, tels qu'ils sont donnés dans le traité admirable de Boole (sur les lois de la pensée). La similitude frappante de ces deux systèmes de symboles, types de procédés qui sont au fond les mêmes, nous suggère la remarque qu'après tout il n'y a qu'une science unique de l'Analyse mathématique ayant diverses branches, mais employant dans chacune d'elles les mêmes procédés. Par l'une de ces branches, cette science nous dévoile les mystères de la Géométrie de position hors de la portée du raisonnement géométrique ordinaire; par l'autre, elle permet au logicien d'arriver à des vérités de déduction auxquelles il n'aurait jamais pu atteindre sans le secours de l'instrument des formules {^).

Adopter sans réserve une pareille conclusion, ce serait plus que jamais faire de l'Algèbre <c un art confus et obscur qui embarrasse l'esprit au lieu d'une science qui le cultive. » Descartes a montré le premier qu'on peut déjà fonder en partie la science des nombres sur la considération des droites, du sens qu'elles affectent et des opérations qu'elles comportent. Je pense avoir, sous ce rapport, complété l'œuvre du maître. Ma tâche est donc remplie.

(') Tait, Traité élémentaire des quaternions, p. 8i. Traduction de Plarr. 2 vol. in-8; 1882- 1884 (Paris, Gauthier-Villars).

Un rapide coup d'œil jeté sur les questions que je viens d'aborder ou qui s'y rattachent me tiendra lieu de conclusion.

La Géométrie et l'Algèbre ont entre elles des relations nécessaires sur lesquelles il importe d'être fixé.

Faut-il ériger en principe les vues de Pythagore sur les nombres, puis essayer d'y rattacher les vérités géométriques ?

Faut-il, au contraire, suivre la voie tracée par Descartes et déduire les éléments d'Algèbre des premières données de la Géométrie pure?

De ces deux méthodes, la seconde semble être la plus rationnelle.

En effet, si peu qu'elle interroge l'expérience, la Géométrie n'en est pas moins une science d'observation. Elle considère les corps, leurs parois, leurs arêtes, afin d'en abstraire les solides , les surfaces et les lignes ; puis elle commence par étudier ces figures et finit par les mesurer pour en faciliter la comparaison. Descaries est donc autorisé par là même à fonder l'Algèbre sur la considération des droites et des opérations qu'elles comportent. Mais ce qui fait surtout le mérite de sa méthode, c'est qu'elle se guide uniquement sur les allures de la grandeur continue pour en conclure toutes les propriétés du nombre et les lois qui le

régissent ; tandis qu'en suivant la voie contraire, on ^est bien vite réduit à ne raisonner que sur de purs symboles.

Autant qu'on en peut juger par cette remarque à peine ébauchée :

'La Dature s'imite... les nombres imitent l'espace qai sont dénature si différente ( ^).

Pascal n'approfondit pas la question qui nous occupe. . Mais Cauchy montre sa prédilection pour les idées pythagoriciennes lorsqu'il traite du même sujet en ces termes :

On pourrait dire que les points mathématiques, les distances, les surfaces et les volumes subsistent à la manière des nombres. Ainsi, une distance est réalisée par la création de deux atomes, comme le nombre 5 peut être réalisé par la création de cinq objets divers et les relations nécessaires qui subsistent entre les distances mutuelles de certains points peuvent elles-mêmes être comparées aux relations nécessaires qui subsistent entre certains nombres. Ainsi, par exemple, si en portant à la suite les unes des autres et à partir d'un point donné, dans trois directions perpendiculaires entre elles, trois longueurs dont l'une soit l'équivalent et chacune des deux autres le double d'une longueur donnée, on détermine un second point dont la distance au premier est triple de la longueur dont il s'agit, cela tient simplement à ce que la somme faite des carrés des nombres i, 2 et 2, est ellemême le carré du nombre 3. On prouverait de la même manière que toutes les propriétés des lignes, des surfaces, des volumes^ peuvent être considérées comme les propriétés des nombres et c'est en développant cette idée que Descartes a créé une science nouvelle, savoir : V Application de V Algèbre à la Géométrie (-).

Ai-je besoin de rappeler qu'après mûr examen de l'œuvre cartésienne, c'est le contre-pied de cette conclusion qu'il faut prendre.

Au surplus, Cauchy ne se rallie sans doute aux idées py-

(M Pensées, édition Faugère.

( ^ ) Cauchy (A.), Sept leçons de Physique générale^ publiées par M. l'abbé Moigno (Paris, Gauthier-Villars).

thagoriciennes que pour mieux faire accepter les purs symboles de l'Algèbre et leur interprétation géométrique,

Mais, au lieu d'affubler ainsi des êtres de raison de toutes les propriétés du nombre, Descartes ne laisse pas de frayer encore la route à ceux qui viendront après lui.

S'agit-il, en effet, de fixer sans ambiguïté possible la position des divers points de l'espace, il assigne deux sens contraires aux droites qui leur servent de coordonnées et marque des signes 4- ou — les valeurs absolues de ces droites. Procède-t-il en outre à la résolution graphique d'une équation de degré quelconque, il a soin de constater que l'opposition de sens des racines trouvées s'accorde constamment avec l'opposition de signes de leurs valeurs numériques.

Bref, il est amené de la sorte à doter les droites absolues de deux manières d'être inconnues des anciens; puis à mesurer les nouvelles droites en tenant compte à la fois de leur grandeur et de leur sens. Or, l'innovation a son prix, puisqu'il suffisait de définir les opérations dont ces mêmes droites sont susceptibles, pour en déduire la théorie des nombres de signes contraires.

Reconnaissons toutefois que cette dernière considération semble échapper au grand novateur et qu'il n'étend pas sa méthode aux expressions imaginaires.

Après lui, l'interprétation des purs symboles de l'Algèbre reprend faveur. La doctrine des quantités géométriques n'a pas d'autre objet. Mais, bien qu'elle gratifie la droite absolue d'une nouvelle manière d'être, la direction, elle ne tarde pas à se voir environnée d'obstacles qu'elle est impuissante à franchir. Quant à la méthode cartésienne, elle n'a qu'à s'appuyer sur des conceptions plus générales que celles de WalUs ou d'Argand pour être en mesure de résoudre les grands problèmes qui nous occupent.

C'est ainsi qu'en assignant aux éléments des figures deux nouvelles manières d'être, collectivement appelées modes

contraires, je parviens, d'une part, à créer les nombres imaginaires au même titre que les nombres réels, puis à démontrer toutes les règles du calcul algébrique; d'autre part, à généraliser l'Analyse ancienne et celle de Descartes pour en former la Géométrie supérieure. D'où il suit que la science de l'étendue et celle des nombres gagnent toutes deux à se prêter un mutuel secours et que la réforme cartésienne des Mathématiques pures se trouve dès lors accomplie.

Peut-être, est-ce en désespoir de cause et pour n'avoir pu déchiffrer les énigmes de l'Algèbre que Von Staudt s'est proposé d'affranchir la Géométrie supérieure ou de position de toute idée de nombre. Que sa méthode, en partie fondée sur des rapprochements entre les figures planes et celles de l'espace, fournisse de précieux moyens d'investigation, nul ne saurait en disconvenir. Mais qu'elle suffise pour dissiper tous les mystères de la Géométrie de position, personne encore n'en a fourni la preuve. L'œuvre de Von Staudt n'a donc pas l'importance qu'on voudrait lui donner. Voici du reste ce qu'en pense un compatriote du géomètre allemand.

Cette œuvre, dit Hankel, classique dans sa singularité, est une grande tentative en vue de soumettre la nature, dont l'essence est de se manifester sous mille formes variées, à l'uniformité d'un schématisme abstrait et systématique. Une telle tentative n'était possible qu'en Allemagne, pays des méthodes scolastiques, et nous pouvons ajouter, de la pédanterie scientifique. Certes, les Français n'ont pas moins fait que les Allemands pour les sciences exactes ; mais ils prennent leurs moyens d'investigation partout où ils les trouvent; ils ne sacrifient pas l'évidence au système, la facilité des recherches à la pureté des méthodes (*).

Ces réflexions sont marquées au coin du bon sens. Loin de mettre la vérité dans tout son jour, les systèmes ne contribuent guère qu'à l'obscurcir. N'est-ce pas de la tendance à

(' ) Favaro, Géométrie de Position,

créer l'Algèbre de toutes pièces, sans lui donner pour base les faits d'observation les plus simples, que sont nés avec leurs mystères T Algorithme du moyen-âge et VArs magna de la Renaissance, sources de nos traités actuels de Mathématiques? N'est-ce pas aussi pour avoir adopté les vues étroites des anciens que le génie d'un Carnot ou d'un Poncelet n'a pu dégager la Géométrie de position des nuages qui l'enveloppaient encore? Bien que se rattachant à la réforme cartésienne, l'œuvre de Von Staudt n'est pas moins exclusive que les précédentes et rien ne prouve qu'elle soit plus parfaite.

Il est d'ailleurs un moyen rationnel et relativement simple d'affranchir les Mathématiques pures de leurs dernières entraves : c'est, comme je l'ai fait voir, d'établir entre les éléments des figures tous les rapports de grandeur et de situation qu'ils comportent , puis d'exprimer ces rapports à l'aide des nombres de modes contraires. D'où la possibilité d'émanciper à la fois la Géométrie et l'Algèbre.

Aussi bien, les deux sciences ont trop d'affinités mutuelles pour ne pas accomplir ensemble leur évolution. C'est donc à ce prix qu'elles semblent devoir un jour briller de tout leur éclat et, comme deux foyers de lumière issus d'une même nébuleuse, éclairer l'homme jusqu'aux limites de son domaine.