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et l'on en conclut immédiatement

Ml Al =:CMi.MiDi.

LIGNE DROITE. — CONIQUES RECTILIGNES. 3l

Mais le triangle rectangle OCD< donne

Donc 0M< r=:=M<A4. D'où il suit que 0(A4, A^) est le rabattement sur le plan de la figure, du segment isorectangle ayant 0(A, A') pour projection sur ce plan et que OC, OD sont les axes communs aux deux segments.

Intersections de deux droites, — Deux droites situées dans le même plan se coupent toujours en un point. Lorsque ce point est à Tinfini, les deux droites sont parallèles.

L'intersection de deux droites résulte souvent de leur tracé. Mais, dans certains cas, on ne l'obtient qu'à l'aide de constructions plus ou moins simples.

S'agit-il, par exemple, de trouver l'intersection de la

Fisf. i5.

droite rectangle O eL de la droite réelle L {fig» i5)?

Après avoir mené la droite OP perpendiculaire à L, on la rabat sur cette dernière droite suivant PM, PM'; et (M, M') est évidemment le seul point commun aux deux droites.

Pour trouver l'intersection de la même droite rectangle

avec la disjointe (H, H') dont l'axe est L, on note les points R et R' où les composantes de la branche 0(M,M')5 conjuguée de L, coupent l'une H', l'autre H. Par ces points on mène les parallèles RS, R'S' à OP jusqu'à leur rencontre en S et S' avec les composantes opposées de la disjointe; et (S, S') est le point cherché. Car il fait partie de cette disjointe en même temps qu'il forme l'extrémité de la somme mixte 0(M, M') (S, S') appartenant à la droite rectangle donnée.

On doit observer ici que, tant que l'axe L de la disjointe reste parallèle à lui-même, le point auxiliaire (R, R') ne cesse pas d'avoir ses composantes sur celles de 0(M, M').

En projetant la figure précédente sur un plan quelconque passant par l'origine O de la droite rectangle, on en conclurait le moyen de trouver l'intersection d'une droite radiée et d'une droite réelle simple ou disjointe. Mais on peut simplifier ces constructions de la manière suivante :

Soit 0(a, cd) {fig- i6) la tige d'une radiée ayant pour axe

Ox el dont on cherche l'intersection avec une droite réelle / coupant cet axe en R.

Comme 0(a, a') et / sont les projections respectives de deux droites situées dans un même plan, l'une rectangle d'origine O, l'autre réelle et coupant Ox en R, la question

revient à trouver le rabattement de cette dernière droite sur le plan de la figure.

Or, S), par l'intersection c de O a et de B/, on mène cD perpendiculaire à O^, De est la projection d'une droite DC = DO du plan de la droite rectangle. Par suite, en prenant sur De la longueur DC = DO et tirant BC, on aie rabattement cherché.

L'intersection de BC avec la droite rectangle d'origine O étant (M, M), il ne reste plus, pour résoudre la question proposée, qu'à mener de ce point une disjointe perpendiculaire k Ox. Car l'intersection (m, m') de cette disjointe avec B/ est aussi celle de B/ et de la radiée 0(a, a').

Pour trouver de même l'intersection de la radiée 0(a, a')

Fig. 17.

et de la disjointe (A, h') {fig* 17) dont l'axe est B/, il faut déterminer d'abord l'intersection (m, m') de la radiée avec cet axe, puis noter les points r, /•', où les directions Om, Om' coupent l'une A', l'autre A; eiïfin, mener à la médiane Op du triangle 0mm' les parallèles rs^ r's'^ jusqu'à leur rencontre en s et s' avec les composantes opposées de la disjointe; et le point (5, s') est, comme on le démontrerait aisément, l'intersection cherchée. Jl suffirait même, pour obtenir M. 3

celte intersection, de mener les parallèles ms^m's'^ Tune à Om', l'autre à Om.

Remarquons encore ici que, tant que l'axe de la disjointe proposée reste parallèle à lui-même, le point auxiliaire (r, r') ne cesse pas d'avoir ses composantes sur celles de même ordre de la branche 0(/n, m'), conjuguée de cet axe.

De cette remarque et d'une autre pareille, faite plus haut, résulte le moyen de trouver l'intersection de deux droites rectangles ou radiées.

En effet, cette intersection, ne pouvant être qu'imaginaire, est le point de concours d'une droite réelle et d'une infinité de disjointes. Or, si l'on se donne la direction d'une de celles-ci, les branches des deux droites conjuguées de cette direction déterminent par l'intersection de leurs composantes de même ordre le point auxiliaire dont on vient de parler, et de la connaissance de celui-ci résulte celle du point demandé.

C'est du reste ce qu'on verra mieux par un exemple.

Soit donc 0(a, a') {fig* i8) une radiée quelconque ayant pour axe O^, dont on veuille trouver l'intersection avec la droite rectangle O', par exemple.

Parmi les disjointes passant par l'intersection demandée, il est évidemment préférable de prendre pour inconnue celle dont la direction est perpendiculaire à O^, puisque la branche de la radiée O conjuguée de cette direction se trouve être O (a, a').

La branche correspondante de la droite rectangle O' ayant son axe parallèle à Ox est 0'(A, A').

Quant au point auxiliaire d'où dépend la solution du problème, il a ses composantes sur celles de même ordre des deux branches 0(«, a'), 0'(A, A'); et, comme celles-ci se coupent respectivement en L et L', ce point n'est autre que(L, L').

On n'a donc plus qu'à mener par (L, L') deux disjointes, l'une parallèle, l'autre perpendiculaire à Ox^ pour obtenir, par l'intersection de leurs composantes d'ordre inverse, le point cherché (M, M').

Deux radiées sont parallèles quand leurs tiges sont équipoUentes.

Deux radiées sont perpendiculaires entre elles lorsque les

Fig. i8.

composantes de même ordre de leurs tiges se coupent à angle droit.

Étant donnée par exemple la tige 0(A, A) {Jig* 19). Si du point O' pris pour plus de simplicité sur son axe Ox^ on mène les perpendiculaires O'B à OA, O'B' à OA', la droite 0'(B, B') est perpendiculaire à 0(A, A'). Le pied de la première droite sur la seconde est d'ailleurs (N, N').

On peut remarquer ici que, pour deux segments radiés de modes contraires, perpendiculaires entre eux, tels que 0'(A, A'), 0'(B', B'^), ce sont les composantes d'ordre inverse qui se coupent à angle droit; tandis que le contraire a Heu pour deux segments de même mode, tels que 0(A, A'), 0'(B,B').

A cet examen rapide des propriétés descriptives de la droite doit naturellement succéder celui de ses propriétés segmentaires et métriques. Mais il faut auparavant mesurer

Fig. 19-

les segments droits, conclure des opérations qu'ils comportent toutes celles de l'Algèbre et généraliser le système de coordonnées de Descartes.

Mesure des segments droits. Définition des opérations algébriques. — Pour mesurer les segments rectilignes, il convient de commencer parles segments droits, qui sont les plus simples et qui servent à mesurer tous les autres.

L'unité de cette espèce présente, comme on Ta vu, quatre manières d'être distinctes.

Elle peut être réelle-positive comme OA; imaginaire-positive comme 0(A, A'); réelle-négative comme OA'; imaginaire-négative comme 0(A', A) {fi g* 4)-

Les rapports de ces quatre manières d'être à la première se traduisent respectivement par les nombres i ou-f-1, i, — I, — ij qui se trouvent dépendre ainsi les uns des autres comme les grandeurs qu'ils expriment.

Lorsque le segment droit pris pour unité vient à croître

d'une manière continue, quel que soit le sens ou le mode qu'il affecte, il engendre tous les multiples de cette unité ou d'une de ses parties aliquotes, ainsi que les segments incommensurables avec elle.

Ces diverses grandeurs s'expriment ensuite par la valeur positive ou négative de leur première composante, lorsqu'elles sont réelles, et par cette même valeur affectée de la lettre i lorsqu'elles sont imaginaires. De là l'ensemble des nombres de signes et de modes contraires, ^

La sommei ou la différence de deux nombres est la valeur numérique de la somme ou de la différence des segments qu'ils expriment.

La valeur de tout segment mixte, en particulier, est Ja somme des valeurs de ses parties de modes contraires et celte somme est irréductible.

Changer le sens ou le mode d*un segment droit, c'est multiplier ce segment par — i dans le premier cas, par i dans le second. D'où la possibilité de représenter le segment OA par — OA ou par OAt, suivant qu'on en intervertit le sens ou le mode.

Lorsqu'on multiplie un segment droit par — i ou par «, le résultat et sa valeur numérique s'appellent respectivement le produit par — i ou par i du segment en question et du nombre qui l'exprime.

De là les règles soit de la multiplication, soit de la division d'un segment par un nombre, ou d'un nombre par un autre.

La définition des puissances ou des racines des nombres ne subit d'ailleurs aucun changement, tant que les exposants de ces puissances ou les indices de ces racines ne sont pas imaginaires.

Enfin, comme les produits successifs de + i par i sont /, — I, — t, H- 1 , on en conclut les relations

qui, tout en reliant J'une à l'autre les valeurs numériques des diverses manières d'être de l'unité linéaire, prouvent, en particulier, l'identité des nombres i et \J — i .

C'est ainsi que l'Algèbre, affranchie des symboles dénués de sens et des règles conventionnelles qui l'ont déparée si longtemps, cesse d'être « un art confus et obscur qui embarrasse l'esprit au lieu d'une science qui le cultive », et devient, comme le voulait Descartes, la Mathématique universelle ou la science générale des rapports. Il est vrai que, pour atteindre ce but, on a dû s'écarter un peu de la route tracée par le grand novateur. Mais, comme on le verra plus loin, les segments rectilignes de modes quelconques n'en sont pas moins susceptibles des mêmes opérations graphiques que les droites ordinaires.

Généralisation du système de coordonnées de Descartes, — Si l'on trace sur un plan deux axes rectangulaires xx\

ig-

Jf

.^Ji

TVI

Jl'

Li'

yy\ se coupant à Morigine O {Jig> 20), puis que, par un point géométrique M de ce plan, on mène des parallèles aux axes, de manière à construire le rectangle OPMQ, la position du point M est déterminée par les droites OP, OQ, nommées l'une abscisse, l'autre ordonnée du poinl.

Mais, à ne considérer que les valeurs absolues de ces

LIGNK DROITE. — CONIQUKS RECTIMGNES. 89

coordonnées, on ne saurait dire auquel des angles formés par les axes appartient le point M.

Afin de lever cette difficulté, Descartes regarde Pabscisse ou l'ordonnée d'un point comme positive, lorsqu'elle est de sens O^ ou Oy\ comme négative, lorsqu'elle est de sens Ox' ou Oy\ et parvient de la sorte à déterminer sans ambiguïté la position de ce point dans le plan des axes.

C'est donc en assignant à la droite absolue de nouvelles manières d'être exprimées parles nombres positifs ou négatifs que Descartes prélude à l'une de ses plus belles découvertes.

Pour compléter l'œuvre du maître, il suffit de regarder les axes comme des droites réelles, puis de remplacer les points géométriques de leur plan par des points réels ou imaginaires, et de prendre pour coordonnées de ceux-ci des segments droits de mode convenable.

C'est ainsi qu'en portant sur les axes ccx' ^ y^ ^ à partir de l'origine O {fig' 20), les longueurs OP = OP'=a, OQ = OQ' = b ; puis, en menant par les points P, P', Q, Q', des parallèles à ces axes, on, détermine, indépendamment des points réels M, M', M", M!'\ les points imaginaires suivants dont les coordonnées sont en regard :

y — -H bi,

X — -ha,

y — bi,