X .-\- ai

y — bi,

X — ai,

y — -^bi\

CBAPITBE II

iM métne^ si Ton prend sur Ox fig^. 30 les longueurs OK r— <a, RS r^ RS'= 6; snr 0 Vy Jcs lon^eors OT= c TVi-^TV=rf; pois, qnc par les points S, S', V, V, on mène an ai^es des paraUèles qm se conpeni en N, N\ N^, ]\% on troQTe. outre les points réels X, N^, X^, V^, les points imaginaires :

y c — di.

jr a — bi.

y —c — rfi .

jr c — dî.

Y C -T- dî.

X a -*- bi,

X a — bt.

Y c — dt.

y — c — dî.

Y - c — dt.

X — a — by

y c-r~ di\

et Ton obtiendrait aussi facilement les coordonnées de tout autre point du plan des axes.

Quant aux changements d'axes, ils s'appliquent aux coor-

Fig. 21.

tu

données imaginaires ou mixtes comme aux coordonnées réelles.

LIGNK DROITE. — CONIQUES RECTILIGNES. 4l

Il est bon d'ajouter toutefois que les axes peuvent être simples ou disjoints sans amener, dans les formules de transformation, d'autres changements que la substitution de certaines valeurs imaginaires ou mixtes à des valeurs réelles.

S'agit-il, par exemple, des axes xx^ ^ yy' {fig* 21), qui se disjoignent en restant parallèles, à eux-mêmes et deviennent, l'un x^x\^ l'autre y\y\'i Tandis que leur origine O se transforme en un point imaginaire (o), w') ayant pour abscisse O (A, A') r= ciL-\- p«, etpourordonnée(A, A')(a), (1)')=:= Y-f-8i, les coordonnées x = OP, y = PM , d'un point quelconque M de leur plan se remplacent par d'autres Xi = (o), o)') (/?, p'), y = (p^p')M, généralement plus compliquées. Mais, entre ces nouvelles coordonnées et les anciennes, on a toujours les relations de la forme

x = a-hx^, y — b-r-fi,

à condition d'y remplacer les constantes a et b par leurs valeurs respectives

Propriétés segmentaires et métriques de la droite. — Ce qui distingue essentiellement la ligne droite de toutes les autres lignes, c'est que les segments qu'elle intercepte sur les axes, à partir de l'origine, ou sur des parallèles à ces axes à partir du point où elles se rencontrent, ne cessent jamais d'être proportionnels.

Ainsi, la droite réelle qui coupe les axes et leurs parallèles menées par le point O' en A, B, A', B' {fig- 22), donne la proportion

Ok ___ 0^A\ OB~0'b''

et l'on verrait aisément qu'il en est de même de la droite radiée.

42 CHAPITIIË II.

Mais, pour exprimer plus simplement les propriétés segmenlaires et métriques de la droite, il suffit de faire passer l'axe des abscisses par un de ses points réels, pris pour origine, et de ne considérer que des parallèles à l'axe des ordonnées.

Dans ces conditions, la droite devient le lieu des points dont l'ordonnée est à l'abscisse dans un rapport constant. De