VIS

plus, elle se traduit algébriquement par une équation du premier degré à deux variables, qui forme l'expression générale de ses propriétés métriques.

Pour le faire voir, considérons d'abord la droite réelle OM passant par l'origine O du système œx'^ y y' supposé rectangulaire {fi g. 23).

Si l'on prend sur cette droite le point réel A, puis les points imaginaires (B,B'), (G, G'), dont l'un a ses composantes symétriques par rapport à l'origine O, et dont l'autre est quelconque, les coordonnées du premier point sont x=^Oaj y=:Aa; celles du second a) = Obi^ y = B6t; celles du troisième ûc ^= 0(c^c'),y = (c,c') (CyC), et ces dernières peuvent s'évaluer en projetant le milieu D de G G', d'abord en d surO^, puis en E sur Gc, ce qui donne 0(cc') = Oûf+ dci^ (c,cO(G,G') = cE + EG/.

Or, tous les triangles de la figure étant semblables, on en

conclut im média lement

Aa Bbi c E-^ECi Oa "" Obi ~ Od-\- dci'

De plus, en désignant par m la valeur commune de ces rapports égaux, qui est réelle, et par x^ y les coordonnées

Fig. 23.

o- d- c- oD

d'un point quelconque de la droite OM, on trouve pour l'équation de cette droite

ou

Enfin, si l'on prend sur y y -, à partir de l'origine O, une ordonnée p^ réelle, imaginaire ou mixte, et que, par l'extrémité de cette ordonnée, on mène une parallèle àOM, on voit que cette parallèle est, selon les cas, simple ou disjointe, mais que le rapport de l'ordonnée diminuée de p d'un quelconque de ses points à l'abscisse correspondante restant égal à m, son équation n'est autre que

La droite rectangle s'exprime par une équation du premier degré dans laquelle le coefficient angulaire m se remplace par i.

Soit, en effet, O (A, .V) {ftg- 24) la tige d'une droite rectangle dont l'origine réelle coïncide avec celle du système de coordonnées et dont l'axe se confonde avec O^.

U Les extrémités du cycle O AA' A''A'" du premier système de cette droite ayant pour données respectives

a: — OP,

y PAt,

a: — OPt,

r — PAe» — PA',

w — OPr- — OP',

j — PAi» — PAt,

a: — OPP — OP'i,

j — PAi» — PA,

on en conclut d'abord

PAt FA'

Vk!i

PA

OP OP i

OP' "" OP' i

Construisant ensuite le segment mixte O (A, A') (B,B'), et

Fig. 24.

T-jc

projetant (B,li') d'abord en (Q,Q') sur O^, puis en (P, ^') sur A A', on trouve pour coordonnées de ce point

a: = 0(Q,Q') = OP-hPQt, j = (B,BO(Q,Q')=zPA. h A?.

Mais, à cause des égalités PA = OP, Ap = — PQ, on a