LIGNE DROITE

bien évidemment

CONIQUES REGTILIGNES.

Donc, si Ton désigne par x^y les coordonnées d'un point quelconque de la droite rectangle, on a pour équation de cette droite

— zzzi

y — IX,

L'équation de la droite O (A', A) inverse de la précédente est, d'ailleurs, JK = — *^- Quant à celles de leurs parallèles, elles sont de la forme j^ — /?= ii= ix^ V ordonnée à V origine p pouvant être, suivant les cas, réelle, imaginaire ou mixte.

En appliquant les mêmes raisonnements à la droite radiée, on trouve diverses équations de cette droite, suivant la position de sa tige par rapport à l'axe des abscisses.

Lorsque cette tige est 0(A,A') et que son axe coïncide

Fig. 25.

avec Ox {Jig* 26), l'équalion de la radiée est y =^ mix^ m étant moindre que l'unité.

Si la tige O ( A, A') tournant autour de l'origine O prend la position 0(A^,A^'), son axe Ox\ formant alors avec Ox

l'angle a, réqualîon de la radiée devient

sina -^ mi cos<x

•^ cosa — misinoL

Enfin, quand l'axe de la radiée se confond avec O^, cette équation se réduit à

m' étant alors plus grand que l'unité.

Les équations de la radiée inverse 0(A',A) ne diffèrent des précédentes que par le changement de /n en — m. Celles des parallèles aux deux droites renferment, de plus, l'ordonnée à l'origine/? de mode quelconque.

En résumé, la droite, qu'elle soit réelle ou radiée, se représente , en coordonnées rectangulaires, par l'équation

générale

Aj-h B:r + C~o,

dans laquelle les coefficients A, B, G sont réels, imaginaires ou mixtes.

Réciproquement, cette équation représente toujours une droite en coordonnées rectangulaires.

Pour le faire voir, il suffit d'en tirer la formule

et de la construire.

On peut aussi raisonner de la manière suivante : Si l'on pose successivement A = o, B = o, dans l'équation proposée, on en tire

et, par suite,

LIGNE DHOlTli:. — CONIQUES REGTILIGNES. 47

Or, quand les axes se déplacent parallèlement à eux-mêmes, les coefficients A et B ne sauraient varier.

Donc, le lieu de l'équation proposée est tel que les segments qu'il intercepte sur les axes à partir de l'origine, ou sur les parallèles à ces axes à partir du point où elles se coupent, sont constamment proportionnels. En d'autres termes, ce lieu géométrique est une droite.

Pour construire le lieu complet de toute équation du premier degré à deux variables, on assigne à l'abscisse des valeurs réelles, imaginaires ou mixtes.

Mais, si les valeurs monômes de x conduisent en pareil cas à des branches nettement définies, les valeurs mixtes de cette variable ne fournissent, à cause de leur double indétermination, que des points entièrement indépendants les uns des autres.

Pour remédier à cet inconvénient, il suffit d'observer que, lorsqu'on cherche l'équation d'une droite quelconque, les valeurs mixtes de l'abscisse varient, pour une même branche, de telle sorte que leurs parties de modes contraires restent proportionnelles. D'où il suit que, dans le problème inverse, il faut soumettre la variable indépendante à la même loi.

Toute autre relation établie entre les deux termes de cette variable, lorsqu'elle est mixte, entraîne d'ailleurs une nouvelle classification des points du lieu.

S'agit-il, pour le faire voir, de l'équation y = ix^ par exemple ?

Si Ton se donne pour abscisse le segment mixte Op -i- pmi (Jig- 26) et qu'on détermine le segment rectangle O (M,M^) dont il est la projection, on voit que (M, M') est un point du lieu et qu'il suffirait pour obtenir la branche 0(M,M') de faire varier Op et pmi dans le même rapport. Mais, afin d'établir une relation nouvelle entre ces derniers segments, on peut observer que/? est la projection du milieu P de MM', tirer OP, représenter l'angle PO/? par a, OP par p, PM/

par pi; puis, en conclure O/? r= p cosa, /?/nf = pi sina, et finalement x = p (cosa+ isin'a).

Or, il suffit de faire varier a, en laissant p constant, dans cette dernière formule, pour obtenir une infinité de points imaginaires répartis sur des circonférences concentriques à l'origine O, et ce sont évidemment encore les points du lieu proposé. Mais ils se trouvent autrement classés que si l'on sup-

Fig. 26.

pose, au contraire, a constant et p variable, car on retrouve alors les unes après les autres les branches rectilignes de ce même lieu.

L'utilité d'une classification aussi simple que possible des points de la droite s'est d'ailleurs fait sentir dès qu'on a voulu résoudre les problèmes relatifs à cette ligne.

Opérations graphiques sur les segments droits. Quantités géométriques. — On sait qu'à tout segment rectiligne correspondent une infinité de segments coplanaires qui lui sont équipoUents. En d'autres termes, un segment droit qui reste dans le même plan ne change pas lorsque ses composantes, gardant leur sens respectif, se déplacent dans leur direction ou deviennent parallèles.

C'est ainsi que le segment réel OA (Jig. 2n) peut se transformer en (04,0i) (A^,A'l) puis, en (02,0i) (AoyAs).

De même, le segment imaginaire 0(B,B') {/ig. 28) devient tour à tour (04,0,) (B|,B'i), (Oo,0'2) (B^jB;) et même

(OsjB:,) (BajOa), ses composantes étant alors superposées, quoique de sens contraires.

Fig. 27.

of Â* o"^^ ^-if, ji\ ?,

Le milieu d'un segment droit a constamment pour compo santés les milieux de ses composantes de même ordre.

Fig. 28.

O3 Ha

Le milieu du segment 0( A,A'), par exemple (Jig^ 29), a

Fig. 29.

pour première composante le milieu M de OA et pour seconde composante Je milieu M' de OA'.

Fig. 3o.

0* ^ fe

De même, le segment (0,B) (B,0) (./t^. 3o), bien qu'imaginaire, a pour milieu le point réel N.

Etant donnés deux segments droits de même origine et de même direction, tels que 0(A,A')> 0(B, B') (/ï^. 3i), on voit d'abord que leur somme a pour première composante OA -+- OB, pour seconde composante OA' + OB', et que leur différence est (B,B') (A, A'). Si l'on prend ensuite le

Fig. 3i.

o B' :m' A' B MA

milieu (M, M') de cette différence, on reconnaît aisément que 0(M,M') est la demi-somme des segments proposés. Il vient d'ailleurs

0(A,A') = 0(M,M') + (M,M')(B,B'), 0(B,B') =iO(M,M') - (M,M') (B,B'),

et l'on en déduit par le calcul

Le produit de deux segments droits quelconques est donc égal au carré de leur demi-somme diminuée du carré de leur demi-différence .

C'est grâce à la simplicité de cette démonstration que l'Algèbre prend ici l'avance sur la multiplication graphique.

La règle donnée par Descartes pour construire le produit de deux droites repose sur ce fait que :

Deux droites parallèles ou an ti parallèles coupent deux droites concourantes en parties directement ou inversement proportionnelles.

Lorsqu'on assigne un sens aux parties considérées, on trouve que deux antiparallèles peuvent déterminer : i** deux moyens égaux entre deux droites de même sens; 2° deux moyens symétriques entre deux droites de sens contraires.

C'est ainsi que les antiparallèles AM, BM i^fig» 82) donnent, entre les droites de même sens OA, OB, deux moyens

LIGNE DROITE. — CONIQUES RECTILIGNES. 5l

égaux à OM; tandis que les an ti parallèles AM, CM/ déterminent, entre les droites de sens contraires OA, OC, les moyens symétriques OM, OM'.

Si Ton multiplie par iVun des moyens égaux OM, et l'autre par — i, on en conclut l'existence de deux moyens symétriques imaginaires 0(M,M'), 0(M',M), entre les droites de

Fi g. 32.

même sens OA, OB. En opérant de même sur les moyens symétriques OM, OM', on trouve deux moyens égaux, soit à 0(M,M'), soit à 0(M',M) entre les droites de sens contraires OA, OC.

Pour plus de brièveté, chacun des moyens égaux ou symétriques que l'on peut construire entre deux droites s'appelle moyenne proportionnelle ou moyenne symétrique entre ces droites.

Toutes les considérations précédentes s'étendent aux segments droits isoscèles ou scalènes.

C'est ainsi que deux disjointes parallèles (M, M') (N,N'), (P,P') (Q, Q') {fig* 33), déterminent sur deux droites réelles concourantes Ox^ Oj^, les segments scalènes 0(M,MO, O(N,N0, 0(P,P';, 0.(Q,Q'\ tels que