AU+[AG.+(G«-G

soit : • '

(9) ALc=— AGeCOsLetgZe- (Ge - G,) X COsLe tgZe ;

{9bû) y =-.rtgZe — (Ge — G,)XcosLetgZe;

2* Prenons pour l'élément de comparaison la latitude du naviie. iNous aurons (L^ — L,) pour la différence (» — 1\) entrela valeur direcle L. et la valeur calculée L,, déduite des formules logarithmiques ad hoc (n"3). Des calculs entièrement analogues aux précédents donneront :

(iO) ALe=— AGeCOsLetgZe-(Le— Lj);

(iO bis) y=-artgZe-(U- L,).

3* Prenons pour l'élément de comparaison la hauteur de l'astre. iNous aurons (H — H J pour la différence entre la valeur directe H, qui est ici la hauteur vraie déduite de l'observation, et la valeur calculée H, déduite des formules logarithmiques ad hoc (n* h) (H^ n'est autre que He du procédé Marcq ; mais nous avons employé présentement l'indice , au lieu de l'indice ^ pour conserver, dans tout le cours de ce numéro, le même indice à la valeur calculée de chaque élément de

comparaison). Nous trouverons, en suivant la même marche qu'en 1% la série de relations :

sinH| = sinLe sinD + cos Le cos D cos (Ga — Gc ) ; sin [h, + (H — H,)] = sin (Le -f A Le) sin D -f cos (Le H- A Le )cos D C08 (G« — Gr — A Gc) ; .osHjX(H— H,)-co8D[tgDcosLe — 8inLeCos(Ga— Ce)]AL«— cosLeCOsD 8in(G« — Gr) AG^ =r 0.

Puis, en remplaçant le coefficient de AL. par cotg Z^ sin (G« — G^) ,

• 1 • .A 1 * ^^sD sinZe

qui lui est égal, et n- P^r -^—77; — —prz^ on trouve :

^ ^^ ' cosH, ' sm(G„ — G,)

{\ I; A U = — AGe cos Le tgZ« + (H— H.) x — r- ;

COSZc

[Wàisj y =-xtgZe+(H-H,)x-^.

COSZe

4* Prenons pour l'élément de comparaison la déclinaison de l'astre. Nous aurons (D — DJ pour la différence (r — v^ entre la valeur directe D, déterminée à l'aide de l'heure du premier méridien, et la valeur calctiZée D^, déduite de formules logarithmiques entièrement analogues à celles employées pour la détermination de L^, eu égard à ce que la déclinaison et la latitude sont symétriques dans la formule fondamentale du triangle de position. Pour cette même raison, la marche indiquée en 1" mène aux résultats présentement cherchés par la suppression de (G^ — G,) et l'introduction d'un terme en (D — D^), dont le coefficient se déduit de celui de ALe à l'aide d'une simple permutation de Le en D, et de l'angle Z^ en l'angle A. 11 vient ainsi :

cosLe cosD

\±) AU = — AGe eosLe tgZe - (D-D.) X^^^^^=-AGeC0sLetgZc-(D-D,).!i2!i:

cosDtgA cosZr

i»îi hi<} ij = -xtgZe -(D-D,) x-^.

cosZc

0' Prenons enfin, pour l'élément de comparaison, la longitude géographique de l'astre. Désignons par (G« — G^^,) la différence (v— v,) entre la valeur directe G^ déterminée à l'aide de l'heure du premier méridien, et la valeur cdicuièe G^,, déduite du calcul habituel d'angle horaire avec la longitude Ge servant cette fois de donnée. Il va de soi que les résultats trouvés en !• sont entièrement applicables ici, sous la seule condition de remplacer — (G^— Gj) par-|-(Grt— G^,,). 11 vient dès lors:

(13; AL« = — AGc cosLe tgZe -f- (^'-rt — Ga,,) x cosLc tgZe ;

(13 bis) y = — jJtgZe + (Ga-G„„) X cosUtgZe.

— En résumant tout ce qui précède, on conclut qu'en se bornant aux très-petits du premier ordre, il existe cinq droites d$ hamUur itmuUanées du navire, et qu'il n'y en pas d'autres.

Les équations (9) à (13) conduisent toutes à une remarque importante, c'est qu'on peut calculer les divers coeiBcients par voie indirecte. — Ainsi, pour l'équation (11), le coefficient —cosL.tgZe de AG, est égal, aux très-petits près du second ordre, à la variation que subit la latitude dans la relation générale (1 bis) rappelée au n* 14, pour une variation de + l' sur la longitude, les autres éléments demeurant constants. Ce même coefficient peut encore s'obtenir d'une autre manière^ en prenant Tinverse de la variation en longitude correspondant à une variation en latitude de + 1', les autres éléments demeurant encore constants. — Le coefficient de (H — H,) à son tour est aussi calculable indirectement de deux manières.

Ce que nous venons de dire pour l'équation (11) est, bien entendu, applicable aux autres équations susmentionnées. Il est nécessaire d'ajouter que la détermination par voie indirecte dont il s'agit, est en principe erronée, et que l'erreur devient souvent assez forte (fin du n^ à et n** âà) pour en rendre l'emploi impossible.

L'usage de ladite détermination trouvera son utilité spéciale dans la connexité à établir (n** 48 à 51) entre l'ordre d'idées qui conduit aux cinq droites de hauteur simultanées du navire, et la théorie de la fausse position appliquée à la recherche par le calcul du point observé.

■X- M'^ie. IdenUfleatlon de» elnq droites de hauteur tlmultaiiée» du navire. — En comparant entre elles les équations (9 bis)k (13 bis), on voit que les cinq droites de hauteur simultanées du navire font toutes avec l'axe des a?, un angle égal à Z^, et par suite qu'elles sont perpendiculaires à la direction azimutale de Tastre relevé du zénith estimé, et qui fait ce même angle avec l'axe des y. En un mot, elles forment une série de parallèles. Parmi ces parallèles, il importé surtout de distinguer celle donnée par l'équation (11 his)' Cette équation représente une droite qui se trouve à une distance de l'origine égale à (Hj — H). Elle se confond donc, à un très-petit près du second ordre, avec la trace du cercle de hauteur sur le plan tangent où on suppose le navire. C'est là la droite de hauteur fondamentale.— Mais les autres lieux rectilignes dont il s'agit se confondent euxmêmes avec cette droite aux très-petits près du second ordre. .Car, pv exemple, la distance comptée dans le sens de l'axe des y (ou de l'axe

DES CINQ DROITES D(E HAUTEUR SIMULTANÉES. Zê

des aï, si Z^ = 90*) entre cette droite et la parallèle donnée par Féqua*

tion(9 6is)est évidemmentégaleà(G,— GJxcosL,tgZe— ^ ~ ^^ .

Or il est aisé de prouver que cette dernière expression est nulle aux très-petits près du second ordre, en partant des deux équations :

sin H = sin Le sin D 4- cos U cos D cos (Grt — Gi) , sin Hj = sin Le sin D + cos Le cos D cos (G« — Ge).

Donc, la droite de hauteur fondamentale et les autres lieux recti* lignes qui nous occupent, se confondent en une seule ligne aux trèspetits près du second ordre.

De la conclusion précédente, il suit, d'après le n*» 8, que ce sont des très- petits du premier ordre qui représentent les distances séparant les cinq points du cercle de hauteur pour chacun desquels les coordonnés conviennent rigourettëement, ou, sinon^ à un très-petit près du second ordre, à une des équations des cinq lieux rectilignes considérés, et qu'il est naturel de regarder comme les points déterminatifs respectifs desdits lieux. Ces cinq points particuliers sont évidemment donnés par les valeurs de AL^ et A6e qui satisfont, dans les conditions susmentionnées, d*une part àl-équation (1 6ts), rappelée au n*» 14, en y inti'oduisant (Le + ALJ, (G, -f AG^) et la valeur directe de l'élément de comparaison, et d'autre part à l'une des équations (9) à (13). — Par ailleurs, les points en question se trouvent à l'intersection du cercle de hauteur : 1* avec le parallèle de latitude L^, pour les équations (9) et (13); 2*» avec le méridien de longitude Ge, pour l'équation (10); 3*» avec le vertical de l'astre mené par le zénith estimé, pour l'équation (i 1) ; â** avec le grand cercle mené, dans la direction connue de Tastre, parle zénith estimé, et par le point où la circonférence décrite de ce zénith comme pôle, d'un rayon égal à la distance zénithale réelle, rencontre le parallèle de l'astre, pour l'équation (12).

Il est très-aisé de voir que les points déterminatifs relatifs à 1* et 2* sont rigoureusement sur le cercle de hauteur. Mais les points déterminatifs correspondant à 3*» et 4** n'appartiennent à ce cercle qu'à un très-petit près du second ordre. — Pour le prouver, il faut se livrer à un calcul assez long. Ainsi, en ce qui concerne 3*», on considère le triangle PZ^i fig* 1» et l'on en déduit successivement les valeurs de AL. et AGe convenant au point R, et développées en fonction des deux premières puissances de (H — H J; puis on introduit ces valeurs dans

36 AUTRKS LIEUX GÉOMÉTRIQUES RECTÏLIGNES DU NAVIRE.

Téquation (11). Nous laissons aux lecteurs familiarisés avec l'analyse le soin d'achever la question.

En tout état de cause, remarquons maintenant que l'azimut estimé PZgA (le l'astre est égal, à un angle de contingence près, au relèvement azimutal pris de tout point du cercle de hauteur distant du zénith estimé d'un très-peiii du premier ordre. Dès lors, on peut dire que les cinq droites de hauteur simultanées du navire, qui sont, avons-nous vu plus haut, perpendiculaires à la première direction azimutale, le sont aussi à la seconde. Gonséquemment, elles sont toutes tangentes au cercle de hauteur chacune en celui des points déterminatifs susmentionnés qui lui correspond. Mais n'oublions pas que ces diverses conclusions conviennent à l'hypothèse expresse de l'ordre de petitesse où nous nous sommes placé, pour l'écart entre la position estimée et la position exacte du navire. •

En résumé, nous sommes ramené à cette remarque déjà faite au n"* 8, que, dans l'hypothèse d'un écart entre la position exacte et la position estimée du navire ne dépassant pas un très-petit du premier ordre, les divers points du ceix:le de hauteur susceptibles d'être choisis comme points déterminatifs de la droite de hauteur s'équivalent entre eux. Mais, ainsi que nous l'avons pareillement déjà dit, cette hypothèse peut très-souvent ne point se réaliser en pratique; et dès lors nos conclusions (n" 9) en faveur du procédé Marcq pour le choix du point déierminatif, conservent toute leur valeur.

1" PARTIE. — § III. Cas d'lne seulk observation : remplacement

DE LA DROITE DE HAUTEUR PAR UN AUTRE LIEU GÉOMÉTRIQUE DU NAVIRE, RECTILIGNE SUR LA CARTE.

W 1 1. Remplacemeiit de la droite de hauteur par nn méridien ou un parallèle. Remarque» «ur le calcul de la latitude par le» hauteurs méridienne». — A la droite de hauteur, on substitue un autre lieu géométrique indépendant du cercle de hauteur et d'ailleurs rectiligne sur la carte, quand les circonstances s'y prêtent, soit comme simplification de calcul, soit comme exactitude. Ainsi, si l'on observe un astre au moment de son passage au premier vertical ou tout à fait aux environs, il sera plus vite fait de substituer à l'emploi d'une droite de hauteur obtenue par le procédé

Marcq, l'usage d'un méridien déduit alors dans d'excellentes conditions (n*'* 34 et 35) de l'angle horaire exécuté avec la latitude estimée,

Semblablement, si la hauteur a été prise au moment du passage au méridien ou aux environs de ce passage, ou encore si Ton s'est servi de Tétoile polaire, il conviendra de prendre pour lieu géométrique du navire le parallèle de latitude correspondant à l'observation. Ce parallèle forme un lieu géométrique rigoureux du navire, qui devient rectiligne sur la carte. Dans le cas d'une hauteur méridienne, le lieu rectiligne ainsi obtenu se confond avec la droite de hauteur, ayant pour point délerminatif Tintersection de la courbe de hauteur et du méridien passant par son centre. Mais il est en luimême indépendant de la connaissance dudit point. Au surplus, dans les autres cas, le parallèle obtenu diffère de la droite de hauteur, et cela d'autant plus que Tobservation considérée a été faite plus loin du méridien.

— La considération des parallèles de latitude comme lieux géométriques du navire, nous amène à diverses remarques importantes sur le calcul même de la latitude par les hauteurs méridiennes.

Quand on marche très-vite en latitude, ce qui peut se présenter avec les navires rapides actuels, et que de plus le mouvement en déclinaison de l'astre est accentué et a lieu en sens contraire du changement en latitude, il est bon d'être prévenu que la hauteur méridienne peut différer sensiblement de la hauteur maxima (ou minima, s'il s'agit du passage au méridien inférieur). En d'autres termes, la culmination de l'astre s'effectue hors du méridien ; et si l'on veut opérer rigoureusement pour déterminer la latitude, il faut ici avoir recours à la formule (14) du n* 19. — Toutefois, qn peut aussi calculer (n"18) l'heure que doit marquer le chronomètre lors du passage simultané de l'astre et du navire au même méridien, et prendre la hauteur à cet instant. Cette manière de faire est, d'ailleurs, très-utile quand l'astre atteint les environs du zénith. Du reste, il faut, au moins en pareil cas, avoir bien soin de s'orienter, d'après le compas, dans la direction même du méridien du lieu, tout en suivant avec l'instmment la hauteur rapidement croissante de l'astre; car l'azimut de celui-ci saute presque brusquement d'environ 180* au moment dudit passage.

Nous rappellerons, d'autre part, que, ea égard aux signes convenus pour la latitude et la déclinaison dans la légende générale de la

38 AUTRES LIEUX GBOITËTRIQUE^ RBGTILIGNES DU NAYIHE.

page 1, on a pour formule générale de la latitude méridienne :

sous la condition : !• que, pour le passage au méridien supérieur, la distance zénithale (90** — H) prenne le nom et, par suite, le signe se rapportant au pôle situé derrière l'observateur; — 2* que, pour le passage au méridien inférieur, cette distance soit toujours regardée comme de même signe que la déclinaison , et que la valeur absolue du résultat soit retranchée de 180°.

M'' IH. Calcul de rbeare dm pmmmtige d'wn astre an méridien da bord, en tenant eompte delà vitesse du navire. — L* usage de ce calcul vient d'être indiqué au numéro précédent et le sera encore au n° 21. Bien qu'il soit préférable de substituer aux procédés qui l'exigent, ceux des n*** 19 et 20 qui en dispensent, et que son développement soit complexe, il nous a paru utile à donner, eu égard au but que nous nous sommes proposé de traiter toutes les questions ayant un caractère de nouveauté. — Nous adopterons présentemeut la légende spéciale suivante, qui a, d'ailleurs, élé mise, autant que possible, en harmonie avec la légende générale de la page 1, dont en particulier les conventions de signes sont entièrement applicables ici :

T et C heui*e temps moyeu et heure du chronomètre correspondant bu calcul d'angle horaire précédant immédiatement le passage au méridien.

G longitude du navire au même moment.

T' et C heure temps moyen et heure du chronomètre à Tinstant du passage simultané de Tastre et du navire au même méridien.

T" heure temps moyen du passage de Tastre au méridien de longitude C. Pour le

Soleil, ee n'est autre que Theure temps moyen à midi vrai de ce méridien.

0 changement en longitude en temps, obtenu par un calcul de point, correspondant

à rinlervalle de temps (T" — T) apprécié à la montre d'habitacle.

F vitesse en longitude du uacvire à r heure, dans Tintenralle qui s'éeoule entre le mo-

ment où l'heure 'du bord estT", et le moment où cette heure est T'; cette vitesse sera considérée comme tMtnstante, eu égard à la faible valeur dudit intervalle. D'ailleurs, par analogie avec G et g, elle est positive ou négative, suivant que le navire court vers VOuest ou vers l'Est.

m marche diurne du chronomètre sur le temps moyen.

jx marche diurne du Soleil moyen sur le temps de l'astre, c'est-à-dire variation de

l'heure temps moyen du passage de l'astre au premier méridien entre les deux passages à ce méridien comprenant le passage cherché. Pour le Soleil, ce n'est autre que la différence entre les heures temps moyen à midi vrai pour deux jours consécutifs.

g' changement en longitude en temps entre le moment où l'heure moyenne sur le mé-

ridien de longitude G est T'', et le moment où l'heure sur le méridien du passage simultané de l'astre et du navire est T', laquelle heure correspond à l'heure (T'-l- G -f g') sur le méridien de longitude G.

Eu égard à ce que la vitesse r est évaluée à l'heure, g et g' devront être exprimés aussi en prenant l'heure pour unité.

Eii JùeD se pénétrant de la légende précédente, on trouve aisément les dau relations suivantes :

T'=T" + (G + G')^; G'=;=rx[T"-<T' + o + o')].

En résolvant ces deux équations, on trouve successivement : Et enfin :

«' = — FX ^ ' =-G +

Dès lors, l'intervalle temps QK)yen qui s'est écoulé à bord entre les heures T et T comptées sur le méridien variable du navire, peut s'écrire :

i + r(<+i) Or ce même intervalle vaut en temps chronométrique

11 vient donc

— ^Pour le Soleil et les étoiles, l'expression ci-dessus se réduit sen- ^lement à :

— Pour la Lune et les planètes, on peut, au lieu d'avoir recours à la formule générale, procéder par approximations successives.

A cet efiet, après avoir déterminé T" et g comme ci- dessus, on prend pour intervalle de temps àla montre d'habitacle [{T+ g)— TJ. On en

déduit un nouveau changemeot en longitude totale g^ ; et Ton prend alors pourT l'heure du passage au méridien de longitude G + o,. Une fois T' connue, on a évidemment :

.V !•. Calcul de la latltwde par les eulniliiatloiift. —

En dehors du cas signalé au n* 17 d'une hauteur méridienne trèsgrande, il est beaucoup plus pratique, et comme observation et comme calcul, de substituer à la détermination de la latitude par la hauteur méridienne elle-même, sa détermination par la hauteur maxima ou minima, quand on se trouve dans des conditions telles, que ces deux hauteurs doivent différer sensiblement entre elles.

Les formules données ci-après sont absolument générales, pourvu qu'on fasse bien attention aux signes des valeurs numériques de L et D, donnés conformément aux conventions de la légende générale page 1. La première chose à faire dans la question qui nous occupe est de déteï*miner l'écart p, en minutes de temps de l'astre, qui existe entre le moment de sa culmination, et l'heure de son passage au méridien que traverse le navire audit moment. Cette détermination s'obtient facilement en ayant recours à la relation fondamentale du triangle de position rappelée au n* 1 , savoir :

sinH = sin L sin D -f <?os L eos D cos P.

On déduit de cette équation —, en y considérant H , L et D comme des fonctions du temps t envisagé d'une manière générale.

JIT

Puis, on pose l'équation ^ = 0» qui correspond à la valeur maxima

ou minima de la hauteur. — Après avoir négligé dans cette équation les termes du second ordre, ce qui revient à faire cos P = 1 , on trouve la valeur particulière cherchée de p. Cette valeur exprimée en secondes de degré est évidemment égale à px15x60=px900. On obtient ainsi :

sin(L3:D)

900xsinr'

le signe supérieur ou inférieur de (L q= D) conTcnant à la culmination au méridien ^;>^tieur ou inférieur.

Pour les expressions -r» -r » tt d^ vitesses en latitude, en dédiât at dt

naison et en angle au pôle, on convient de prendre la seconde de degré

pour unité d'angle, et la minute de temps moyen pour unité de temps.

Avec ces conventions, on a sensiblement -y = :r^ = 900",

ai oO"*

en négligeant le mouvement propre de l'astre par rapport au temps moyen. Par ailleurs, on représente, pour simplifier, par X et 8 les vitesses en latitude et en déclinaison, en se reportant pour leurs signes aux conventions spécifiées dans la légende générale page 1. Enfin, comme L est inconnue, puisque c est justement la quantité à déterminer, il est suffisamment exact de lui substituer dans T expression de p une latitude fictive L^ déduite de la déclinaison D combinée avec la hauteur H regardée comme hauteur méridienne. Il vient ainsi :

i sin(LozpD),

900'xsinl" cosLqCosD

Introduisons cette valeur de p à la place de p dans la formule des circumméridiennes (15) du numéro suivant; et nous obtiendrons :

'U) L — L. - r * sin(LoqiD? ,r g , ]

'^ ^ L2x900«xsinl"cosLoCOsD ^ ^ J'

Le coefficient de(X — 8)' n'est autre que le 1/4 de Tinverse du coefficient de p* dans ladite formule des circumméridiennes. Usera donc toujours facile de le déterminer à l'aide des tables ad hoc qui donnent ce dernier coefficient

11 importe d'ajouter que la latitude calculée L de la formule précédente, correspond à l'heure même de la culmination, et non à l'heure où l'astre et le navire traversent simultanément le même méridien.

En prenant X = 16" avec 8 = \" pour le Soleil et 17" pour la Lune, on voit que, par des latitudes de 50«, p peut atteindre 8 minutes dans le cas du Soleil, et 16 minutes dans le cas de la Lune, en même temps que la différence (L — L^) devient l'04" pour le premier de ces astres, et 3'51" pour le second. Geô écarts ne sont pas négligeables, surtout pour les atterrissages; et il est bon que les officiers en swent avertis, afin d'en tenir compte au besoin.

On voit, d'après ce qui précède, que si l'on veut raffiner pour la latitude méridienne, on est en définitive ramené à un cas partîcu-

i% AUTRES LIEUX GÉOMÉTRIQUES RECTILIGNRS DU NAVIRE.

lier de circumméridienDes. — Si, d'ailleurs, on tient àse mettre àTabri de toute surprise, il est tout à fait utile de prendre en principe quelques circumméridiennes en dehors de la hauteur de culmination.

flf t#. Calevl de !• latitvde par les liavtevrs eireuM- «léridiemies, em éf^ard ata ai^aveiiieiit de l'astre em déelinalsen et à la vitesse dv navire. — L'emploi des hauteurs circumméridiennes permet {n* 17) de substituer à la droite de hauteur un parallèle de latitude, en n'exigeant qu'un calcul plus court, et en fournissant, somme toute, un lieu géométrique plus rigoureux.

Toutefois, il faut bien convenir d'entendre par circumméridienes, les hauteurs prises assez près du méridien pour que, eu égard au degré d'approximation qu'on s'est fixé, il ne soit pas nécessaire d'aller au delà du terme du second ordre dans le développement complet de L en fonction de l'écart p en minutes de temps^ dont le moment de l'observation précède ou suit le passage au méridien. — Il est toujours facile, en pratique, d'apprécier grosso modo dans quelle limite d'écart il faut observer pour être dans cette condition ; car il existe des tables indiquant la valeur de p pour laquelle, suivant la déclinaison et la latitude, les termes négligés au delà du second ordre, et dont l'expression est donnée ci-après, déterminent une erreur moindre qu'une quantité voulue. Si on voulait tenir compte de ces termes, il redeviendrait plus simple de se servir d'une droite de hauteur ordinaire d'après le procédé Marcq, qui, du reste, se trouve alors beaucoup simplifié (n* à). C'est au surplus ce qu'on doit encore faire, quand le calcul d'angle horaire antérieur ne permet pas, pour une raison ou pour une autre, d'avoir p avec une exactitude sufiisante.

Cependant, à' ce point de vue, on ne doit pas oublier que la philosophie de l'usage des circumméridiennes à la mer repose précisément sur ce que, dans le problème général de la détermination de la latitude à l'aide de l'heure du lieu, c'est aux environs du passage de l'astre au méridien qu'une erreur donnée sur l'heure produit le minimum d'erreur sur la latitude. Car, de la relation générale (1) du n* 1, on déduit facilement par le théorème de Taylor: