AIT

AL = — = + cos L tg Z X AP. Or, dans ce développement, le terme

COS Là

en AP tend vers 0, aux environs du passage au méridien, ak>r9 que Z se rapproche de O" ou de 180®, en même temps du reste que AL converge vers AH, c'est-à-dire en même temps que Terreur sur la latitude tend à se réduire à l'erreur sur la hauteur. — Par ailleurs.

il y a moyen, dans certaii» cas (n'' 62), d'obtenir p dans de bonnes conditions à l'aide de deux circumméridiennes.

— En tout état de cause, la formule la plus rationnelle et la plus rigoureuse pour les circmnméridiennes s'obtient par la méthode dont Delambre avait inique le principe dès 181&, sans toutefois en bien préciser les résultats. Dans cette méthode, on écrit d'abord la relation (1) du n* 1, sous la forme :

sîdH = sinLsinDd:cosLcosD (i — îsin'iP).

Puis on cherche, parle théorème de Maclaurin, le développement de l'inconnue L en fonction de sin* {V, en ayant bien soin de considérer D comme constant. En d'autres termes, on calcule la série :

'='-+{7êip)r'i'+(^sSïw).

»in*iP

En calculant les dérivées, et en remplaçant, comme au numéro précédent, P par sa valeur 900 p en fonction de l'écart p exprimé en minutes de temps, on obtient la formule :

le signe supérieur ou inférieur de (^q= D) conyenant au méridien supérieur ou inférieur.

Il importe de remarquer ijue :

1* p s'obtient en convertissant en temps de l'astre la différence entre l'heure du chronomètre au moment même de Tobservation, et son heure correspondant à l'instant du passage de l'astre au méridien que traverse le navire audit moment ;

2* L^, qui correspond àp = 0, n'est autre qu'une latitude fictive^ obtenue par la combinaison de la déclinaison D calculée pour Yheure m^éme de tobservatimi^ avec k hauteur observée prise comme hauteur méridietioe;

3* La latitude calculée L correspond à cette même heure, et non à l'heure où l'astre et le naviie traversent simultanément le même méridien.

Dans le développement que nous venons d'obtenir, on peut encore, pour simplifier, remplacer sin* { (p X 900) et sin* | (p X 900) par le carré et la quatrième puissance du développement de sin ^ (p x 900) en fonction de arc | (p X 900) x sin 1". Dans cette nouvelle opération, il faut faire attention que ledit carré fournit un terme en p^

qu'on doit conserver avec soin. Cette précaution est indispensable pour arriver à un développement susceptible d'être identiGé avec celui qu'il est loisible d'obtenir par la méthode du n® 21.

— Quoi qu'il en soit, il résulte de la spécification précise que nous avons donnée aux circumméridiennes dès le début de ce numéro, que la formule à leur adapter doit s'arrêter aux termes en p*. D'après cette condition, ladite formule déduite des indications T[)récédentes, peut s'écrire :

Cette expression est tout à fait générale, pourvu qu'on donne aux valeurs numériques de L^ et de D, les signes convenus dans la légende générale page 1. Au surplus, on n'a pas à s'y préoccuper de la vitesse de l'astre en déclinaison; et si, par ailleurs, on veut avoir la position de Tobservateur au moment même où l'astre et le navire traversent simultanément le même méridien, il suffit de corriger L du changement en latitude parcouru depuis l'heure de l'observation jusqu'à ce moment. Cette dernière opération revient à tenir compte de la vitesse en latitude.

Quoi qu'il en soit, on pose d'ordinaire :

900*xsinl" cosLtCOsD «=: :r X-

sm(Lo=Fl>)*

Cette quantité se ti-ouve toute calculée dans des tables ad hoc^ où l'on entre avec Lo et D pour arguments. Il est aisé de voir qu'elle représente le changement en hauteur de l'astre pendant la minute qui précède ou qui suit le passage de l'astre au méridien du moment de l'observation. Il vient ainsi :

;15 bis) L = Lo— ap*= (90"— H) + D — a/>», d'après la fin du n» 17.

— Il importe de remarquer que, si l'on a pris n hauteurs circumméridiennes, avarie avec chaque hauteur; et, en prenant la moyenne des résultats, on obtient

, I(90«— H) SD Sop»

Lm = — ^— — H — .

Si l'on admet que le mouvement en latitude soit uniforme, la latitude L,„ correspond à l'heure moyenne des observations. De son côté,

SD

— n'est autre que la déclinaison calculée pour cette même heure

moyenne.

AUTRES LTEUX GÉOMÉTRIQUES RECTfLlGNES DU NAVIRE. 45

li® 91. A«tre fornivle pour les eircmittiérldleiiiies, en tenant eempte du mà^mwewnewki de Tasire en déellnaison et die la Tliesse da navire. — La théorie des circumniéri- (liennes, en tenant compte de la vitesse du navire, peut encore èiro traitée autrement. A cet effet, désignons p^r :

L| la latitude au moment même du passage simultané de Tastre et du navire au

même méridien;

D| la déclinaison à ce même moment.

y>i Tangle compris entre le cercle de déclinaison de l'astre à Tinstant de l'observa-

tion et le méridien du navire audit moment ;]cet angle étant exprimé en minutes de tempSy et étant positif k VOuest du méridien, et négatif à l'Est;

X, yetS les vitesses en latitude, longitude et déclinaison par minute de temps de l'astre: ces vitesses étant exprimées en secondes de degré, et leurs signes étant 'conformes aux indications de la légende page i.

Dans la formule (1) du n* 1 considérée comme se rapportant au méridien du navire au moment même de l'observation, remplaçons

L, D et P par (L,+'kxp,), (D,+5 X pj et 900p, ^1 - ^) (ou le

supplément à 180* de cette dernière quantité pour le passage au méridien inférieur). Il vient ainsi :

:iiH==sinCL,4-Xxpi)sin(D, + «xpi) — cos(L,+Xxp,)cos(D,+6><p,)cosr900j^,ri— ~-H

Développons maintenant H en fonction de p^ d'après la formule générale :

En effectuant les opérations indiquées, on trouve en se bornant au second terme :

900'sinl" cosLicosD, , /, yV (Méridien 81périeur)U=Ho± (X-o)/;, -— g-^p,» ^|__j ,

le signe + ou — de (X— 6) convenant au passage du cOté du pôle éleré ou abaissé ;

. .V 900*sinl" cosLjCOsD, , /- , yX* (Méridien inférieir) U=Ho +(>.-o)p, + ___;,,. (^1 - j .

Dans ces deux formules, Hq qui correspond à Pj = 0, se confond avec la hauteur de l'astre pour le moment où il traverse le même méridien que le navire.— D'autre part, p, se déduit de l'intervalle en temps, écoulé entre l'observation et l'heure dudit moment calculée comme îl a élé dit au nM8.

46 AUTRES LIEUX ISOMÉTRIQUES RBGTILIGNES DU NAVIRE. En posant :

900*sini" cosLjCosI «1 =

'^U^jlV

2 8iii(L,=fcD,) V "*~900/ *

les deux formules précédentes donnent :

Les expressions [ip (X — 5) p^ + aj)«J et [—(X + S)p^ — a^p^*] portent le nom de réduction au méridienj parce qu'elles représentent la correction à faire subir à la hauteur observée H pour la convertir en hauteur méridienne H^^.

Uhe fois Ho connue, le calcul s'achève comme dans le cas d'une hauteur méridienne ordinaire. On obtient ainsi, d'après la fin du n* 17, et en nous bornant à ce qui concerne le méridien inférieur :

Mais on peut remarquer que (L, + Xp,) et (D^ + SpJ ne sont autres que la latitude et la déclinaison à l'heure même de l'observation. Ces quantités sont donc égales aux quantités L et D du numéro précédent. Il vient dès lors :

L = (90» — H) + D-«,pi«= Lo-OiM Lo étant alors la latitude fictive définie au même numéro.

— Dans le cas de n observations, on obtient, en remarquant que a, est présentement le même pour toutes les hauteurs :

E(90«— H) ÏD Z/>,«

Lm ■= — — ^— — -h o* '.

La latitude L^ se rapporte ici, comme au n* 20, à l'heure moyenne des observations.

Si l'on voulait avoir sa valeur L^,^ pour l'heure du passage de l'astre et du navire au même méridien, il suffirait de sommer l'expression en Lj ci-dessus -, et il viendrait :

Lm, 1 = —"— -^ Dj -|> ^6 X; 04 X .

fi n n

N° 99. Comparaison des den^iL méthodes précédentes eoneeritant les eireamméridieimes. Troisième métliode povreaiealer ane latitude eireamméridienne. Cireonstanees tevorables à l'asairo des eirenmméridienneo.

— La dernière méthode que nous venons de développer est due à M. Mas Saint-Guiral, qui est le premier à avoir tenu compte, à bord du vaisseau-école, du mouvement de Tastre en déclinaison ainsi que

de la vitesse du navire dans la théorie des circumméridiennes. Elle a été reproduite par M. Hilleret dans sa a Théorie générale des circumméridiennes. »

Cette méthode et la précédente ne diffèrent entre elles comme ré-

sultat que par les termes a^ -^^^ et — î— . — La quantité a^ a l'avantage de pouvoir se mettre hors du signe 2L Mais le calcul rigoureux de sa valeur n'est pas possible ; car elle renferme L^ qui est la latitude au moment du passage simultané de F astre et du navire au même méridien, et qui, se trouvant inconnue, se remplace par la latitude estimée ou par une latitude obtenue en considérant comme méridienne une des hauteurs observées. — De son côté, la quantité a de la première méthode a Tinconvément d'être différente pour chaque obsen^ation, et, par conséquent, de compliquer le calcul du terme sommé où elle entre. Mais elle offre l'avantage que chacune de ses valeurs peut se calculer rigoureusement; attendu que la latitude que chaque valeur renferme, est une latitude fictive déduite de la hauteur observée correspondante.

Toutefois, pour la pratique, ce sont là des nuances entièrement secondaires, et les deux formules n'en font qu'une. Car le terme a variant très-peu, on le considère conmie constant^ en calculant à cet effet sa valeur avec la latitude fictive concernant l'observation la plus intermédiaire. Cette hypothèse serait, du reste, enti»èrement rigoureuse, s'il n'y avait que deux hauteurs, et qu'elles fussent correspondantes. Dans tous les cas, elle permet de faire sortir cette quantité de dessous le signe I, et de simplifier la détermination du terme où elle entre. — Le manque de rigueur qui résulte, soit de cette manière de faire, soit de la façon dont on est obligé de calculer aj, est insignifiant, surtout eu égard aux autres erreurs provenant des termes négligés dans les développements. Néanmoins, nous avons cru utile de donner avec une entière frécision les termes employés des deux formules de circumméridiennes aptes à tenir compte du mouvement de l'astre en déclinaison et de la vitesse du navire;. car les traités de navigation n'ont donné jusqu'ici cette question que d'une manière fort obscure, en ne précisant pas comme nous venons de le faire : 1^ à quel moment correspond chaque latitude considérée ; 2*» quelle est l'espèce de latitude qui doit entrer rigoureusement dans le terme a ou a^.

— 11 nous reste à dire qu'il existe une troisième méthode pour

calculer une latitude circumméridienne en tenant compte de la vitesse du navire et du mouvement de l'astre en déclinaison.

Dans cette méthode, on ramène toutes les hauteurs au zénith qui correspond au moment même du passage fimuUané de l'astre et du navire au même méridien. Pour cela, on commence par calculer rheure chronométrique dudit moment (n* 18) ; et cette heure comparée avec celle de chaque hauteur permet de trouver le nombre de milles parcourus entre chaque observation et le moment en question, ce qui est nécessaire pour faire subir aux hauteurs les corrections bien connues nécessitées par le changement de zénith. On est aloi-s ramené au cas de circumméridiennes observées dans un même lieu. — Il reste encore à tenir compte, au besoin, du mouvement de l'astre en déclinaison, ce qui exige qu'on calcule cet élément pour l'heure de Paris correspondant à chaque observation elle-même.

La méthode dont il s'agit est donc, à tous égards, plus longue que les deux autres.

— Quelle que soit la méthode employée pour la détermination de la latitude par les circumméridiennes, les circonstances favorables a cette détermination se présentent lorsque les hauteurs observées sont deux à deux correspondantes; car, d'après le n*» 62, l'influence des erreurs d'observation se réduit alors à peu de chose.

En revanche, les formules de circumméridiennes font défaut lorsque les quantités L et D sont égales et de même nom, ce qui correspond à une hauteur méridienne de 90**; car alors le terme a tend vers Tinfini, et le développement sur lequel est basée la formule, cesse d'être licite. — D'ailleurs, pour les hauteurs circumméridiennes plus grandes que 80*» environ, les changements rapides de l'astre en azimut rendent les observations précises impraticables.

1%'** 93. Démonsiradoii géownétrtque de la fornivle de« cireumméridiciines. — La formule (15) du n® 20 peut s'établir par les procédés géométriques d'une manière très-simple. Nous allons donner cette démonstration, non-seulement parce qu'elle n'est point connue, mais afin de bien montrer quelle attention réclame l'usage de ces procédés pour ne pas commettre, en de certains ca?, de grossières erreurs.

Soient PZ, fig. 3, le méridien, A la position de l'astre au moment où il a été observé à un écart horaire du méridien égale à ZPA = p en minutes de temps. Des points P et Z comme centres, décrivons les arcs AaA' et Ao'A". L'arc A'6A"représenteévidemmentladifférence(Lo — L)de

AUTRES LIEUX GÉOMÉTRIQUES RBGTILIGNES DU NATIRE. 41

la latitude L au moment même de Tobsenration, à la latitude fictive L^ dédoitede la distance zénithale ZA provenant de l'observation et considérée comme distance zénithale méridienne. Cet arc est donc, en fait, Fig. 3. reiatite à la dé- l*î»connue. — Si OU regarde p comme un très-petit monstration géométri- du 1*" Ordre, ladite différence est évidemment un

que de la formule des ^ . ,.. i «. j n» v t ^- j

circumméridiennes. trës-petit du 2* ordro, d aprës les proportions du triangle curviligne dont les trois sommets sont A, A' et A". Au premier abord, on serait conduit à tirer l'arc inconnu A'ôA'' dudit triangle cui^viligne, en considérant cet arc ainsi que les arcs A'aA et A'^a'A, comme rectilignes, et se confondant avec les cordes AA", A'A et A"A. Dans cette manière d'opérer, l'angle AAA"" des cordes AA et AA'' sei*^t regardé conune égal à l'angle formé par les tangentes en A aux arcs A'aA et A''a'A. Mais ces deux angles différant entre eux d'une quantité très- petite du premier ordre, leur égalité n'^t pas présent^neat admissible, eu ^ard à l'ordre de petitesse de Vmù MbM'. Il faut dès lors suivre une autre marche* — A cei effet, nous con^dérerons di. rectement le triangle rectiligne A'AA" formé par les cordes mêmes A'A, A" A et A'A" des arcs A'aA, A"a'A et Mbk'. On trouve ainsi rigooreusement :

^^ "8inA'A"A'

Si l'on mène les deux arcs de cercle Va et Za' respectivement par les milieux a et a' des arcs A'aA et A"a'A, l'angle c formé par ces arcs sera rigoureusiment égal à Tangle A'AA" des deux cordes A'A et Â"A. D'aûlleurs, en remplaçant sin A'A"A par sin 90% qui en diffère d'un terme du second ordre, on n'affectera le résultat que d'une erreur du quatrième ordre.

Nous aurons donc :

A'A''= A'A sine.

Remplaçons maintenant les cordes par les arcs. Nous ne négligerons que des termes au moins du troisième ordre, ce qui est licite; et nous arriverons à l'égalité :

A'^A" SX A'aA sine.

Or, on a évidemment, en donnant à p la même signification qu'au n*20:

A'ûA = p X 15 x60xsmi"x oos D =:p x 900xsinl" X cosD.

50 LIBUX GÉOMËTRIQUBS CURVILIGNES DU NAVIRE.

D'autre part, en remarquant qu'il suffit de connaître sin e aux termes près du second ordre, et que PZ et Zc val^t, dans ces mènes limites (90» — LJ et (W — H), on tirera du triangle PcZ:

I X i5x60 X 8inl"x »inPZ |x900xsinl''xcoftLo «nZc cosH

Et il viendra, somme toute, en se rappelant que Mbk"= — (L— LJ:

/900*x»inl" cotLoC08D\ L-.I^.= -( 5 K-J^jxp»;

^900«xsinl" ^co^LeCosDN ^^^ ^ ^ ^ ^

l"" PARTIE. — S IV. Cas d'une ss^ile oBnRVATiofv : bemplacement

DE Lk DROITE DB HAUTEUB PAB UN AUTRE LIEU GÉOMÉTRIQUE DC NATIRE, CURVILIGNE SUB LA CARTE.

IV* t4. Portion de la droite de iMivtevr qv'U est Bcak lleite de eonsidérer eoatBae renferaMivt le mmwÈtf^ B«l du remplaecmeiit de eette dreile par vn lien yéoaiétriqve evrvilisme du naTlre. — La droite de hauteur ne peot, en principe, être regardée comme un lieu géométrique du navire que sur une certaine étendue de part et d'autre de son point déterminafif. Cette étendue est limitée par la condition que la distance de ses points extrêmes au cercle ou à la courbe de hauteur, demeure un très-petit du second ordre (n** 7 et 8). Elle se trouve d'autant plus restreinte que le rayon du cercle ou le rayon de courbure de la courbe au point considéré, est lui-même plus petit.

Le TABLEAU I de la fin du texte construit par % Perrin permet, par sa combinaison avec la table 1 des TABLES du même auteur, d'apprécier sur une carte réduite les distances de l'espèce, eu égard implicitement aux coordonnées du point déterminatif, aux coordonnées de l'astre et à la hauteur considérée. On est donc ainsi à même de fixer, suivant le degré d'approximation dont on convient (n*7), la portion de droite de hauteur en dehors de laquelle le navire ne saurait être contenu.

Quant à cette portion elle-même, elle est susceptible de ne pas non plus renfermer le navii*e, si le point déterminatif de la droite de hauteur est écarté de la véritable position de celui-ci d'une quantité supérieure à un très-petit du premier ordre. Et encore, quand cette dernière circonstance n'existe pas, il y a à se préoccuper des erreurs

possibles commises .sur la hauteur, et qui, de leur c6té, peuvent aussi i

rejeter le bâtiment en dehors de ladite portion. Nous montrerons au j

n* 37 jusqu'à quel point il y a moyen de se mettre en garde contre \

ces défectuosités. ^

En laissant de côté la considération des erreurs sur la hauteur, on s'est proposé de faire disparaître les deux autres causes d*imperfection,que nous venons de signaler, de la droite de hauteur, abstraction faite des cas où Ton peut remplacer (n* 17) cette droite par un méridien ou un parallèle. Le moyen le plus rationnel et le plus complet, pour atteindre le but proposé, est de substituer à ladite droite le cercle de hauteur lui-même, et, par suite, sa projection sur la carte, en partie ou en totalité, ou des circonférences se confondant sensiblement ayec cette partie ou cette totalité. Mais avant qu'on ait eu bien étudié les courbes de hauteur, on a craint des difficultés de construction ; et des auteurs ont été conduits à proposer l'emploi de paraboles osculatrices aux cercles de hauteur sur la sphère, ou auxdites coorbes sur la carte.

^ li» 9S. Remplaeemeiit de la droite de iMivtevr par «ae para»»le escvlatrlce an eerele de iMinteiir. — G*est aiosique M. Boitard, dans sa a Noie sur la détermination du point » , a imaginé de remplacer k droite de hauteur par une parabole sphérique osculatrice (*} au cercle de hauteur, passant par le point délerminatif déduit de la latitude estimée (n"" 2). L'équation de cette parabole est de la forme :

dP (/^P siii 1'

Les arcs AP, AL, forment les coordonnées, comptées à partir du

dP point de contact, de la parabole et du cercle. Les coefficients -r- et

^n tirés de la formule fondamentale du triangle de position rappelée au n* 1, donnent :

Le coefficient de (AL)* peut prendre une auti-e forme qu'il est intéressant de connaître. A cet effet, on élimine P au moyen de la relation

(*) Cette dénomination porte, bien entendu» snr la nature de Téqnation, et non sur )a forme du contour de la courbe considérée.

tgHcodL = cotgPsinZ + siùLco8Zt ce qui donne pour ledit coefficient :

sinLcosZ(l+siii*Z)— tgHcosL sinl' cos*L.8m»Z 1.2 '

dp (I*P Aux valeurs naturelles précédentes des coefficients jf ®^ jp»

M. Boitard s'est proposé d'en substituer d'autres, en s'y prenant d'ailleurs de deux manières.

Dans l'une de ces manières, il a commencé par exprimer les coef-

dP d*P ficients ^r ®^ ip ^° fonction des lignes trigonométriques de L, de

^ + ^+^ ^ S, et de ^ + ^ — ^ =(S— H). 11 est parvenu ainsi à cal-

culer ces coefficients en fonction des différences premières et des différences secondes de [log cos S +log sin (S — H) — log cos L], d'une pari,

p et log sin ^, d'autre part. L'auteur a montré dans ces transformations beaucoup de sagacité analytique. Malheureusement la détermination des coefficients par le principe qui nous occupe n'est qu'approchée; car elle repose sur des développements en séries dont on ne prend que les premiers termes. D'ailleurs, elle est d'une certaine longueur, et expose à des erreurs de signe dans les applications numériques.

La seconde manière, proposée par M. Boitard pour déterminer -rp

dT

et -rr-î, consiste à égaler, dans la formule (16), AL successivement à (iL

4- 1' et — 1', et à trouver directement (AP)^.i. et (AP).i. par le calcul habituel d'angle horaire, combiné, si l'on veut, avec le mode Pagel. Il est évident qu'on obtient ainsi :

dl

=i[."w-)-.> s=jr^7iî^i

Cette seconde manière d'opérer est beaucoup plus pratique que la première , et la seule à recommander.

Il importe d'ailleurs de remarquer que pour Z = 0* ou 180*, la formule (16 bis) n'est plus applicable, attendu que le coefficient de Ali devient manifestement infini, sans compter que le coefficient de AL* le devient pareillement, ainsi que cela se voit en considérant la seconde forme susmentionnée plus haut de ce coefficient, la première forme se

LIEUX GÉOUËTRIQUES CURVILIGNES DU NAVIRB. AS

trouvant préseatement indéterminée. Une restriction analogue à la préGédentes'appliqoe aux très-grandes latitudes, quel que soit Z. Dans tous les cas, pour lesdites valeurs 0* et 180^ de Z, la parabole osculatrice devient on parallèle.

Pour Z = 00* la formule se réduit au terme du second ordre ; et la parabole osculatrice devient presque un méridien.

Ed tout état de cause, cette parabole ne s'emploie pas avec une seule hauteur ; car elle ne se prête pas à un usage graphique. On n'est à même de s'en servir que quand on a pris une deuxième hauteur, pour trouver la position du navire par son intersection avec la parabole osculatrice concernant cette deuxième hauteur (n*^ikô).

^ IV" MB. Bemplaceviettt mmr Im carte de Ia droite de hMitew ipar vue eerde de parafcele esevl»triee à la «•■ribe de liMiie«r. — H. Fasci, de son côté, a proposé, dès 1868, de substituer, sur la carte réduite, à la droite de hauteur, une certaine corde y parallèle, et qu'il détermine en tenant compte des termes du second ordre, et en partant du point de la courbe de hauteur déduit de la latitude estimée.

La méthode qu'il a suivie, à cet effet, se trouve exposée dans un ^Mémoire sur le point observé » . L'auteur ayant tenu an' employer que des démonstrations élémentaires, dans l'espérance de mettre son travail à la portée d'un plus grand nombre de lecteurs, a fini par le compliquer outre mesure. En y regardant de près, on reconnaît que la corde en question appartient à une parabole osculatrice à la courbe de hauteur sur la carte réduite. Cette parabole a une équation de la forme:

rfP cfn* sinl'

("n représentant par :

le les latitudes croissantes.

AP, Mf les coordonnées, exprimées d'ailleurs en minâtes de l'éqnateor, comptées à ptrtir da point de contact de la parabole avec la courbe de hauteur.

dP d'P Pour trouver les coefficients -rr- , --p , on peut avoir recours à l'équa*

tion générale (19) ci-après des comrbes de hauteur sur une carte réduite; mais il est plus court de se servir des relations (1 bis) et (1 8) du n* 28, d'où provient ladite équation. Il suffit, à cet effet, de considérer P comme une fonction implicite de L^ ce qui donne :

dP^ dP rfL ^^^f^Yi,^ ^

Enfin, on peut encore tirer les coefficients en question dèl'éqtiation (19 bis) du n"* 30 des courbes de hauteur exprimée en lignes hyperboliques.

Quel que soit le mode d* opérer employé, on trouve :

(17) AP=rcoigZxALe-g|2^'x(AL.)».

Cette équation peut s'écrire :

. iiTbis) AU=tgZxAP+î2ΣÎ^^X(A,M«,

si 1*011 suppose qu'on ait attendu une seconde observation pour en déduire, par TinterseetioQ des deux droites de hauteur, une valeur suffisamment bonne de la latitude, et par suite de (AtLc)'.

C'est là l'expression à laquelle est arrivé M. Fasci. Elle représente une corde appartenant à la parabole osculatrice (17), et menée parallèlement à la droite de hauteur, à une distance de celle-ci , qui, comptée sur le méridien du point de contact, vaut, en minutes de Téquateur,

COtGT Psill 1'

— , ^^ — X (AjLJ*. Cette corde sera un lieu géométrique qui consm âmj

tiendra le navire avec une approximation plus grande que la droite de hauteur.

Ce procédé, aussi bien que celui de M. Boitard, entraine avec lui, outre des longueurs de calcul, les inconvénients inhérents au grand écart susceptible d'exister entre la véritable position du navire, et le point de contact déduit de la latitude estimée. On pourrait, il est vrai, employer ces deux procédés avec le point de contact déterminé par la méthode Marcq. Mais alors les opérations n'en finiraient pas; car il faudrait calculer exprès Tangle horaire P, propre au point de contact même, et dont on n'a pas besoin dans ladite méthode. D'ailleurs le procédé Fasci échappe, aussi bien que la méthode Boitard, lorsque Z atteint 0^ ou 180^. En effet, le coefficient du premier terme de la formule (17) tend encore ici vers Too/Il en est de même, du reste, de celui du second terme; car ce deuxième coefficient peut s'écriie, après l'élimination de P effectuée comme au numéro précédent :

tgHcosL — sinLcosZ sinl* sm»Z ^ TT'

Donc l'équation (17) et par suite l'équation (I76î«) ne sont plus ap*

plicables dans ce cas particulier. La parabole osculatrice se confond

alors ayec un parallèle et avec la corde donnée par Téquation (17 bis) .

Une restriction analogue à la précédente convient aux latitudes très-

élevées» quel que soit Z; car, en pareil cieus, A^Le tend à croître au

delà de toute limite.

Pour Z = 90*, il faut se reporter exclusivement à Téquation (17).

On voit alors que la parabole osculatrice se confond à peu pi*ès avec

le méridien du point de contact sur 'la courbe de hauteur; et la corde

à considérer devient une droite parallèle à ce méridien, et qui en est

lûnl' distante de cotg P x -7-5- X (A^LJ*.

N* 1 9. Remplaeenieiit sur la carte de la droite dcf iiav-^ tear par vue portion de la eovrlie de iiantear on de cerolea pariicvlicrc. — On est revenu dans ces derniers temps à un ordre d'idées plus rationnel que les deux précédents, quand on ne veut pas se contenter de la droite de hauteur (n"" 2h) . Cet ordre d'idées consiste à tracer sur la carte réduite plusieurs points de la courbe de hauteur elle-même, et à les joindre par un trait continu. Ou plus sinaplement encore, on substitue à la. courbe de hauteur Te cercle osculateur passant par le point déterminatif de la droite de hauteur, et représentant dans une certaine étendue, à droite et à gauche de ce point, un lieu géométrique presque rigoureux du navire. Enfin, dans le cas de faibles distances zénithales, on remplace la combe de hauteur par un cercle spécial qui se confond sensiblement avec cette courbe dans toute son étendue.

L'ordre d'idées dont il s'agit a été mis en avant par M. Hilleret dans son tt Étude sur les courbes de hauteur n , mémoire tout à fait original, et qui a contribué puissammept à jeter un jour nouveau sur les perfectionnements actuels de la navigation. Depuis lors, cet ordre d'idées a été repris par d'autres auteurs, 4}ui l'ont plus ou moms modifié pour les applications. Mais avant d'indiquer les modes d'opérer, il importe d'entrer dans quelques détails sur les courbes de hauteur.

^ M* 9^. i^aation exponentielle des eonrlMS de iiantenr. — Reprenons la relation fondamentale du triangle de position écrite sous la seconde forme donnée au n* 1 :

(1 bis) sinH = sinLiinD + cosLcosD eoft(Ga— G),

OÙ G et 6« sont les longitudes géographiques du lieu et de l'astre, longitudes que l'on conûdère comme posUives ou négatives suivant

qu'elles sont Oue$t oa Est, ainsi qu'il a été convenu dans la légende de la page 1.

Cette relation n'est autre que l'équation générale des cercles de hauteur sur la sphère* en y regardant les éléments L et 6 de la posi* tion du navire comme variables, et au contraire les éléments H, D et Ga de l'astre comme constants. Dès lors, pour avoir l'équation des courbes de hauteur sur la carte réduite, il suffit de joindre à ladite relation, l'équation bien connue :

(18) Lc = logiiép.tg^45*+j).

En éliminant L entre (1 bis) et (18), il vient pour l'équation dont il s'agit :

(19) (rinH — 8inD)tf«''c — 2cosDco$(Ga--G>*'c+ (sinH + sinD) sO.

Pour obtenir une expression plus simple et plus commode à étudier, M. Villarceau a proposé de remplacer dans la formule précédente, les exponentielles par leurs valeurs en lignes trigonométriques hyperboliques.

■X- IV^ t9. FVotloiis «vr les llf^nes trigowfUkétri^jaeB hj' perbollqves. — Les lignes trigonométriques hyperboliques, qui sont encore peu connues en France, résultent des considérations développées ci-après.

On sait qu'on a pour les sinus, cosinus et tangentes ordinaires, les relations suivantes :

cosi=l-- + ,^5^^-....= ^ ;

sin z e»^^- e"**^ tangz =r s= — .

C08Z j^^^Tj ^ g-.MV^l)^ ^—i

L'esprit de corrélation conduit à examiner ce qu'on peut tirer de ces équations, si l'on remplace dans les seconds membres «v/— Iparu, et si de plus on pose, pour les premiers membres, les quantités ^ — Isin «, eosz et ij — 1 tang «, respectivement égales à trois lignes fictives, qu'on écrira sin h. m, cos h.u, tgh.u. Il importe de bien remarquer que les remplacements dont il s'agit n'impliquent aucune éqoa* tion entre js et u, qui sont respectivement des quantités réelles. Dans;

LIEUX GÉOMÉTRIQUES CURVILIGNES h}} NAYÎKB;

tous les cas, ces remplacements donnent

tangb.u =

ett— e-«

sinh.tt

eu -|- ^— u cos h . u

Pig. 4,relatiye à la spécification des lignes trigODométriques hyperboliques.

Les lignes fictives sînb.u, cosh.u, tgh.ti, sont appelées sinus, cosinus et tangente hyperboliques. Pour justifier ces dénominations, nous remarquerons qu'en vertu de la relation (20) ci-après, les valeurs des deux premières des quantités en question ne sont autres que l'ordonnée BC, fig. A, et l'abscisse OG d'un point quelconque de l'hyperbole équilatère x* — y* = 1 rapportée à ses axes, supposés égaux chacun à l'unité : cette égalité supposant d'ailleurs que 14 représente le double de l'aire du secteur hyperbolique OAB, compris entre le demi-axe réel OA, la portion d'hyperbole AB et le rayon vecteur OB, mené du centre de l'hyperbole au point considéré. Or ces deux coordonnées sont justement corrélatives de celles d'un point

appartenant au cercle x' -f y* = *» et correspondant à un angle au centre a, soit au secteur circulaire dont le double a pour expression z, eu égard à ce que le rayon du cercle vaut 1. — Ceci implique que, dans la théorie des lignes hyperboliques, il faut prendre pour l'argument des deux sortes de lignes trigonométriques, non plus un angle, mais le double d'un secteur, soit circulaire, soit hyperbolique. — Ajoutons que la tangente hyperbolique n'est autre que la tangente AD à l'hyperbole menée parle sommet et limitée au rayon vecteur OB.

En tout état de cause, après avoir défini, comme nous venons de le * l^re, les lignes hyperboliques, on trouve tout de suite qu'il existe entre elles des relations analogues (mais non identiques) à celles qui concernent les lignes trigonométriques circulaires. C'est ainsi qu'on

trouve

cosM.tt»sinh*.u=:l: sinh*.

tgh«.t< 1— tgh«.u*

De son côté, la dillérentiation des lignes hyperboliques se déduit

de la valeur de ces lignes en exponentidles, et donne des règles, sinon identiques, du moins analogues aux règles convenant aux lignes trigonométriques circulaires. On a de la sorte :

cf sin h . ti = cos h . t< du, cf cos h . ti = sin h . tt du.

— L'emploi des lignes hyperboliques offre l'avantage d'alléger beaucoup, comme le montre l'exemple du n* 30, les formules à exponentielles ; et dès lors, eu égard à cette circonstance, il simplifie la discussion des courbes que représentent ces formules, et les développements divers qu'on peut avoir à en tirer.

Il nous reste à dire que les sinus hyperboliques croissent depuis 0 jusqu'à ±00, et jouissent de la propriété de pouvoir représenter toute quantité réelle, de même qu'une tangente ordinaire. On est donc en droit de poser la relation générale suivante :

8mh.w = BC=stgY = B'A,

u étant, d'après ce qui a été convenu ci-dessus, le double du secteur hyperbolique OÂB; V le double du secteur circulaire EOA, qui est numériquement égal à Tare EA.

Or on a :

ydx=z\ (xdy^ydx)

j**oA \ ^1 ^. yt) 3,-oA v^r+7-

Comme on a y = sin h .ti, et par suite y = tang V, il vient :

Cette relation montre qu'on peut obtenir les sinus hyperboliques avec les tables ordinaires. Car, connaissant l'argument u de la ligne hyperbolique, on trouvera, à l'aide d'une table de latitudes croissautes, l'argument auxiliaire Y dans la colonne des latitudes oràinaift^ .vis-à-vis de u lu dans la colonne des latitudes croissantes ; et la tangente de cet angle Y, prise dans une table ordinûre, ne sera autre que sin h. u.

^ W SO« iSqnalloii des courbes de hawtewr en llfffiei hjperliell^wes. Blstlnelloià des eoarbes de Imwiear ca ireU eUMMies. — En remplaçant dans l'équation (19) du n* 28, l'exponentielle e^c et son carré par des lignes hyperboliques, on trouve :

(19 bis) cosh . Le X sin H — sin h . Le X *in D — cos D cos (Ca— G) = 0.

Cette relation se déduit plus facilement de l'équation (1 bis) rappelée audit n* 28, en remarquant qu*on a :

sinh.LtfStgL;

et par suite :

tgL sinh.Lr sinh.Lo

sinL =

V^l + tg»L V^i + 8inhVLc ^^^^'^'

cosL s '

V^l + tg«L cosh.Lc

— En discutant l'équation générale (19; ou (19 bis) des courbes de hauteur, on reconnaît que ces courbes se divisent en trois classes, suivant que, sur la sphère^ le pôle est en dehors, en dedans ou sur le périmètœ même du cercle de hauteur.

Dans le premier cas, les courbes de hauteur concernant un même astre A, /{g. 5, considéré à un moment donné, forment sur la carte des courbes fermées, telles que B, B' et B", semblables à un ovale, ayant son grand axe dans le sens d'un méridien, et son petit axe dans le sens d'un parallèle. — Dans le second cas, les courbes sont ouvertes, et affectent, comme C et C, une forme sinusoïdale. Elles possèdent alors des points d'inflexion, tels que d, d\ situés sur des méridiens distants de 90* de celui qui passe par le centre de l'astre. — Enfin dans le troisième cas, qui est, en fait, intermédiaire aux deux précédents, comme le pôle est situé à l'infini sur la carte, la courbe de hauteur présente, telle que D,deux branches infinies, comprises entre deux méridiens de et d'e\ qui en sont les asymptotes.

On trouvera dans l'étude de M. HiUeret, citée au n"" 27, toutes les ]Mt)priétés des trois classes de courbes de hauteur. — Nous préviendrons toutefois que la connaissance de ces propriétés n'est pas nécessaire pour l'usage qu'on peut avoir à faire de ces courbes en navigation.

Fig. 5. — Représentation des trois classes de courbes de hauteur.

$9 rt*

60 LIKliX GÉOBIÉTRIQUES CURVILIGNES DU NAVIRE.

Nous nous bornerons à mentionner les deux lieux géométriques fdkdlf et gkg\ — Le premier de ces lieux renferme les points qui, sur toutes les courbes de hauteur relatives àun même astre pour un moment donné, correspondent à l'angle de position droit. Ce lieu géométrique n'est autre que la projection sur la carte du grand cercle tracé sur la sphère, par le centre même de l'astre, perpendiculairement au cercle de déclinaison. Il représente tous les points du globe pour lesquels l'astre observé au moment donné, le sera dans des circonstances favorables, pourvu d'ailleurs qu'il soit au-dessus de l'horizon.

De son côté, le lieu géométrique gkg^ représente tous les points du globe pour lesquels l'astre se trouve au premier vertical à l'instant considéré. Ce lieu passe par les extrémités des petits axes de toutes les courbes ovales. De leur côté, lesdits points forment une nouvelle série de positions de l'observateur, pour lesquelles l'astre sera observé dans des circonstances favorables.

IV** 31. Rajon et centre de eoarbare des courlies de haatear. — Si les propriétés des courbes de hauteur ne sont pas indispensables à connaître pour les besoins de la navigation, il n'en est plus de même de leur rayon de courbure p, dont l'usage tend à se répandre de plus en plus. L'expression de ce rayon se déduit facilement de la formule générale des rayons de courbure, en y remplaçant les dérivées qui y figurent par leurs valeurs déduites de l'équation (19) du n» 28 ou (19 615) du n* 30. En d'autres termes, on a :

rfP/J cosH tgP

d^Lc cosPcosD sinZ

Le rayon de courbure est ici exprimé en fonction du rayon de la sphère terrestre. Pour avoir sa longueur en minutes de fèquateuT, il faut poser :

P-tgP ,, ^ ^ tgP eoxiso ^ tgP

^ sinZ arcl' sinZ 3,U16... sinZ

Ce dernier résultat devrait être muliiplié par le cosinus de la latitude du point considéré, pour avoir le rayon de courbure en milles croissants correspondant à cette latitude. Mais cette transformation est généralement inutile en pratique ; car il est plus simple et plus exact, eu égard h l'inégalité des milles croissants, de mesurer sur l'échelle des longitudes de la carte, le nombre de minutes de l'équateur trouvé pour la valeur de p.

te P

Il importe de noter que le quotient ■?-= se trouve tout calculé

dans les TABLES de M. Perrin décrites au n^" 13. Il suffit, à cet effet, d'entrer dans la table I de ces tables, avec l'angle au pôle P considéré comme déclinaison, et l'azimut Z con^déré comme angle au pôle; le nombre obtenu en fusant cadrer ces deux arguments est précisé-

tffP

ment la valeur du quotient -?-^.

^ smZ

—Pour mai-querle centre de courbure, il suffit, d'après ce qui a été pig. 6. relative à la dé- ^^^ *^ °* **^» ^® mener par le point déterminatif

termination du centre Je pluS avaUtagCUX (u* 5) B, /!(/• 6, UDC ligne faîde courbure, propre à '^ i , . i. «.^ i ^^r^ 7 .

un point d'une courbe saut, avec lo méndieu PB, un angle PBC égal, en de hauteur. graudcur ct 60 uom, à l'azimut relatif audit

prâit. Puis, on porte sur la direction ainsi tracée une longueur égale à p, dans le sens de l'astre si P est < 90*, et en sens opposé si P est > 90*.

Cette longueur peut, du reste, s'obtenir avec rapidité par le tracé graphique que voici :

On mène la ligne DB, fig. 6, faisant, avec le méridien PB, un angle PBD = l'angle au pôle P.

On prend BE égal -;— j7 = S438*'* de l'équa-

teur. Puis, on mène par E la ligne ED perpendiculaire au méridien, et par D la ligne DG parallèle au méridien. Le point de rencontre G de cette ligne avec la direction azimutale donne du même coup le centre et le rayon de courbure, pourvu que P soit < 90% Si P > 90**, il faut prolonger BG du côté opposé à B, d'une longueur BG' = BG potir avoir en G' le centre cherché.

Dans la détermination tant graphique que numérique de p, il faut, pour opérer avec rigueur, que l'angle au pôle employé corresponde au pmnt déterminatif adopté.

V st. UMi^e en M«¥ls«iloià des courbes de hawtear, M de eereles q«i en déviveMi. — En résumé , l'étude des courbes de hauteur conduit, pour la recherche d'un lieu géométrique du navire plus rapproché que la droite de hauteur, aux résultats suivants :

— 1* On détermine les coordonnées d'un certain nombre de points de la courbe de hauteur, pris aux environs du point déterminatif le' plus avantageux (n* 5). On applique à cette détermination succe^ive

62 LIEUX GÉOMÉTRIQUES CURVILIGNES DU NâYIRE.

la marche indiquée au n* H pour la recherche du deuxième point de sécance, dans l'emploi d'une sécante pour droite de hauteur. Puis, on reporte sur la carte les coordonnées desdits points; et on les jdot par un Irait continu.

Il est plus expéditif pour la question dont il s'agit, d'avoir recours au procédé de M. Perrin qui dérive de ses TABLES. Dans ce procédé, après avoir marqué le point déterminatif, on prend comme axes des coordonnées la tangente k la courbe de hauteur et la direction azimutale de l'astre. On entre alors diBi U iabU I des TABLES en question ; et on y prend la valeur (21) , donnée n^ Si» du rayon de cour-

tir P bure en fonction du rayon de la terre, soit p = -^^* A^^» Texpces-

sion numérique de ce quotient, on entre dans le tablbau ad hoc de la fin du texte, calculé par M. Perrin. On y trouve, en se donnant des valeurs successives de la corde comprise entre le point déterminatif et un point quelconque de la courbe, les projections de ces valeurs sur la direction azimutale de l'astre, les deux sortes de longueur étant d'dlleurs exprimées en minutes de l'équateur. On déduit de là les positions de divers points de la courbe, comme il est dit dans l'usage explicatif dudit tableau donné à sa suite. Pour plus de simplicité, les longueurs des cordes vont en croissant de 10 en 10 minutes (de l'équateur) depuis 10 jusqu'à 100; ce qui fournit en pratique des points assez rapprochés. Il ne reste plus qu'à joindre par une courbe continue tous les points ainsi tracés.

II y a encore possibilité d'employer ici un moyen proposé par M. Bertot. Dans ce moyen, on donne à la latitude estimée trois ou quatre valeurs arbitraires. Ces valeurs combinées avec la longitude estimée demeurée fixe, fournissent autant de pomts estimés. On marque ces points sur la carte. Puis on calcule les hauteurs estimées comme il dit au n*" A, pour obtrair la différence (H — H,) entre la hauteor observée et la hauteur estimée. Avec ces différences évaluées en milles croissants et prises comme rayons, ou décrit des divers points estimés comme centi*es, autant de cercles. Enfin, on trace à la r^ie pliante une courbe tangente à tous ces cercles.

Ces divers modes de tracer une portion de la courbe de hauteur sont, pour ainsi dire, indispensables quand le centre de courbure tombe en dehors des limites de la carte, ou lorsque le rayon de courbure est trop considérable pour qu'on puisse l'employer à tracer le cercle osculateur avec un compas.

En tout état de cause, le procédé de M. Perrin revient simplement à décrire, point par point, un arc de cercle ayant pour centre le centre de courbure (n* 31) afférent au point déterminatif choisi, et pour rayon le rayon de courbure appartenant à ce point. Au moyen de l'équation des courbes de hauteur, M. Perrin s'est assuré que cet arc de cercle reste très-voisin de la courbe dans une étendue, de part et d'autre du point déterminatif, de plus de AOO milles croissants, pour une différence entre le cercle et la courbe moindre que 1/2 mille, la latitude étant comprise entre 0* et 80*. — Tout ceci est, du reste, soumis à la condition que dans l'étendue considérée, la courbe ne présente pas de point d'inflexion. Mais il est toujours facile de s'assurer du fait; car, dans l'équation (19) du n* 28 ou (19 bi$)d\x n* 30, où P=(6« — 6), les points d'inflexion, qui n'existent que dans le cas de courbes non fermées, correspondent à des valeurs de la longitude 6 de Tobservateur égaies à (Ga±90**), G^ étant la longitude géographique de l'astre.

— 2* Lors de petites distances zénithales et du non-voisinage des pôles, il y a moyen de remplacer toute la courbe de hauteur par un certain cercle, qu'on détermine comme voici :

Le centre du cercle est situé sur le méridien de l'astre observé, et a pour ordonnée la moyenne des deux latitudes croissantes correspondant à (D +90*— H) et à (D — 90^+ H). D'un autre côté, la demidifférence de ces mêmes latitudes croissantes fournit le demi grand axe de la courbe de hauteur, lequel s'étend dans le sens des méridiens. Prenant ce demi grand axe pour une latitude croissante, on en déduit une latitude vraie, qui représente le demi petit axe de la courbe de hauteur, lequel se dirige perpendiculairement aux m^idiens. Le rayon du cercle se prend égal à la moyenne des deux demiaxes précédents.

Dans cette méthode, l'erreur commise entre la véritable courbe et le cercle, calculée par M. Perrin, ne dépasse pas 1/2 mille croissant pour des distances zénithales variant de 6* 50' environ à A* 19', en même temps que le plus grand des deux éléments, latitude ou déclinaison, considéré en valeur absolue, vaut de ()• à 60». — L'erreur demeure encore au-dessous de 3 milles croissants pour des distances zénithales oscillant entre 12*30' et 11*45', en même temps que le plus grand des deux éléments précités varie de O* à 23* 28'. — D'après cela, on peut dire que les courbes de hauteur du Soleil sont des cercles parfaits, à moins de 1/2 mille cfoissant près, pour

toutes les distances zénithales comprises entre 0* et 6* eaviroD. S* Dans les éas de irés^faibles distances zénithales, on peut remplacer la courbe de hauteur par un cercle plus facile encore à troiiYer que le précédent. Le centre du cercle coïncide ici avec la portion géographique de l'astre observé ; et le rayon s'obtient en prenaat sur l'échelle des latitudes croissantes, l'espace qui sépare tes coordonnées correspondant à des latitudes respectivement égales i

/^ . 90* — H\ ^ /^ 90«— H\ (D + — 2-) et (D ^y

Avec une erreur moindre que 1/2 mille croissant entre le cercle et la courbe, le procédé convient pour une distance zénithale s'éteodant de 6* OC à 0* 00', en même temps que le plus grand des deux éléments, latitude ou déclinaison, vaut de 0* à 90", abstraction faite des signes. Mais ce procédé est beaucoup moins exact que le précédent par suite de la rapidité avec laquelle les latitudes croissantes augmentent D'après M. Perrin, la limite extrême de 6"* ne convient que pour le cas où l'astre se trouve juste sur l'équateur. Dès qu'on s'écarte de cette position, la limite de la distance zénithale décroît très-rapidement, si l'on ne veut pas avoir une eireur de plus de 1/2 mille. Ainsi, pour une latitude ou une déclinaison de 5% la distance zénithale ne doit pas dépasser 3° 00' environ ; pour une latitude ou une déclinaison de 12'', elle doit être inférieure à 2'' 01'; et pour une latitude on une déclinaison de 24% elle doit être inférieure à 1*26'. A partir de 2i' jusqu'à OO"" de latitude ou de déclinaison, la distance zénithale n'a plus à passer que de 1*" 26' à O"". — En somme, ce procédé, assez rapide d'exécution, ne doit être recommandé que pour les astres ayant moins de 21* de déclinaison, et en particulier dès lors pour le Soleil, lorsque d'ailleurs sa distance zénithale ne dépasse pas 1* 26' au maximum.

— La substitution que nous venons de donner en 2* et 3* d'un cercle à la courbe de hauteur, constitue une application importante de U théorie des courbes de hauteur à la navigation courante, pour le cas d'astres observés aux environs du zénith.

1" PARTIE. — S ^. Cas d'une seule observation : Circonstances

FAVORABLES A LA DÉTERMINATION d'UNB DROmB DE HAUTEUR.

•imMM te^mmUM à la éétonnlMitAen d*«M «Mite dk

GIRCOIfSTANGËS FAVORABLES LORS D*UNE SEULE OBSERVATION, 65

CmmmidértMùmm ^émérmM^m mn* te defiré aea^ptolile d^liréTtiiti^n. de tonte fonHnle ci nr mi«l d'appremlaiAtioià des opér«tiems» — Les circonstances favorables à la détermination d'une droite de hauteur doivent être envisagées à cinq points de vue :

1* Au point de vue des erreurs dues à la substitution de la droite de hauteur au cercle de hauteur ;

2'' Au point de vue de l'influence des erreurs de la hauteur sur la position du point déterminatif de la droite de hauteur ;

S* Au point de vue de l'influence des erreurs du point estimé sur la position du point déterminatif de la droite de hauteur ;

4* Au point de vue des erreurs pouvant provenir du procédé employé pour tracer la droite de hauteur;

5* Au point de vue du degré d'a{q)roximation des calculs, c'està-dire du degré d'approximation adopté pour l'effectuation même ctes <^pérations chiffrées. — Ce dernier point de vue est du reste général, en ce sens qu'il s'applique à toute détermination d'une quantité inconnue, dans n'importe quelle branche des sciences. Ain^, par exemple, si l'on convient de ne prendre les logarithmes qu'avec un certain nombre de décimales, et que l'inconnue dépende d'un nnt«5, l'erreur provenant des quantités négligées dans l'effectuation même des opérations, sera d'autant plus notable que, eu égard aux circonstances particulières du calcul, l'arc correspondant audit sinu$ devra être plus près de 90*.

En ce qui concerne les erreurs afférentes aux chronomètres euxmtenes, il n'existe évidemment pas de drconsUmces favorables ; et, comme il a été dit au n* 1, il faut subir intégndement l'influence de ces erreurs, en se rendant compte, du reste, de cette influence ainâ qu'il est indiqué au n* 37. En tout état de cause, nous ne considé^ rercms,pour le sujet môme dont il s'agit, que les trois déterminatioDS prindpales de la droite de hauteur (n** 2 à A).

— En sommant les diverses erreurs préoéd^ites, et en général, dans toute espèce de calcul, les erreurs de -diffièrentessortes qu'on est oMigéde subir, et en comparant dans chaque cas la somme ainsi ^ obtenue avec le résultat définitif qu'il s'agit de trouver, on obtient la mesure de V approximation totale de ce résultat. C'est par la plus grande concomitance possible des diverses circonstances favorables pn^res à chaque problème considéré, qu'on parvient à réaliser la meilleure approximation.

Il y a, à oe sujet, «ne maûèie^de voir qu'il imp<M'te de «tgoalfir. Beftueoup de persoaoes, peenaot pour base la limite supérieure daB erreurs probables sur les obsa:Tatioiis, prétendent que c^est sur miette limite que doivent se régler le d^é acceptable d'abréviation des formules, et celui d'approximation de Teffectuation même des opérations. Mais cette manière de voir n'est pas assez précise, ni assez explicite. — D'abord pour une môme erreur sur les hauteurs, les deux d^[rés dont il s'agit sont variables avec le moment où celles-ci ont été prises. D'auUrepart, ils dépendent évidemment aussi de l'espèce de l'élément qui représente le résultat cherché. — Selon nous, le plus rationnel serait d'abord de fixer en grandeur absolue, dans les circonstances les plus désavantageuses jusqu'où il est encore licite d'observer en pratique, l'erreur totale acceptable sur ledit résultat, au triple point de vue de l'observtition, de l'abréviation des formules et de l'approximation des opérations. Puis, on devrait retrancher de cette errem* la portion afférente à la limite supérieure susmentionnée des erreurs d'observation. On formerait ensuite du reste deux parts égales, appelées à correspondre aux erreurs dues à l'abréviation et à l'approximation dont il.s's^t Dès lors, en remontant de chacune desdites parts aux valeurs mêmes de ces denûères erreurs, on conclurait logiquement le degré d'abréviation des formules et le degré d'approximation des calculs qu'il conviendrait d'adopter.

Hâtons-nous d'ajouter que cette voie n'a pas été suivie jusqu'icL C'est par vérification a poiUriori qu'on apprécie actuellement jusqu'à quel point, selon les circonstances, il est permis d'employerles valeurs adoptées de prime saut pour les deux degrés dont il s'agit, quitte, particulièrement en ce qui concerne le second de ces de^^rés, à changer les formules ou à modifier ce degré, comme il est indiqué «un«36.

N^ S4. €)iveoMitaseM*teT#niMM à la déterasteaito» d*«uM «Mito de iMiwtew, e« é^r^rd à la nlMtii«<teM de eeUe-ei a« eer^e de lui«ie«r et à l'Inflaeaiee dica ^ eMNMM en luMtewr a«r le paini déterminaitr de ladHe draile. — Occupons-nous d'abord du premier point de vue, concer- Bant la substitution de la droite de hauteur au cercle de hauteur.

11 est évident que les erreurs provenant de cette substitution, augmentent avec la courbure du cercle, et, par suite, avec l'accroisse* ment de la hauteur. Mais, eu égard à l'ordre de petitesse de la dis-

CIRCONSTANCES FAYORABLES LORS WVKE SEULE OBSERVATION. «7

tance existant aux environs du point de contact entre une tangente et sa courbe, cette augmentation ne porte que sur des très-petits du second ordre, et n'est à prendre en considération que secondairesient, sauf le cas (n* 8) où la distance zénithale de l'astre se réduit i un très-petit du premier ordre. D'ailleurs, il est facile de tenir compte de la courbure, comme on l'a montré an n^" S2, si l'on constate par le TABLEAU I de la fin du texte, que cette couibure n'est pas né^ltgeabU.

— En dehors de l'exception précédente, ce sont surtout les écarts entre le point déterminatif choisi et la véritable position du navire

Pig. 7, relative à Hnilueiice d'une erreur qui SOnt k COUSidérer. COS écartS déen hauteur sur la détermi nation d'une j . . , ,

droite de hauteur. pendent entièrement des erreurs sur

la hauteur de l'astre et sur la position estimée du navire. Occupons-nous des premiëi*e8 de ces erreurs.

Supposons une certaine erreur (ARj — AR), /ig. 7, sur la hauteur.

On voit qu'avec le procédé Marcq, l'erreor RR^ qui en résulte sur la position du point déterminatif de la droite de hauteur, est toujours égale à cette erreur laéme* 11 n'existe do«e pas avec ce procédé de eirconatances favorables relativement au pmnt de vue qui nous occupe. .

Quand le point déterminatif est obtenu par )» latitude ou la longi* tude estimée, l'erreur L,L ou GG,, qui provient pour ce point de Terreur en hauteur, est minimum suivant les conditions habituelles, c'est-à-dire lorsque l'astre passe au premier vertical, ou «non le plus près possible (*) avec l'emploi de la latitude, €t lorsqu'il passe au méridien avec l'emploi de la longitude. — Cela résulte d'une manière évidente des deux relations ci-dessous, qui proviennent du développement de AG (= — AP) , ou de AL, en fonction de AH, en s'arrètant aux termes du premier ordre :

(*) Cette manière de parler est toat à fait générale; car si Tastre ne trayerse le premier TcrtieiU qn^ainleseons de Thorizon, il faut Tobserver aussi bas que le permet une bonne é?aiaation de la réfiraetion; et 8*il ne le traterse pas dn tent, on sait que le moment ob il en est le plue près correspond à Tangle à Tastre droit, circonstance qui se présente toujours alors.

ea CIRCONSTANCES FÂYOHABLES LORS D UNE SEULE OBSERVATION.

An 1 AH AHXcosL ., AH ,,.

AGcosLss-r-:- X)U — \: . , $ AL= — -(*).

Par wlleurs, ladite erreur LL, ou 66^ tend à devenir considérable, à mesure qu'on s'éloigne des circonstances favorables que nous venons de spécifier. Mais même dans ces circonstances, le développement susmentionné de AGcosL en fonction de AH montre encore que l'erreur LL, est susceptible de demeurer importante, si Ton se trouve par une latitude élevée, ou si Ton a observé un astre près du pôle.

Dans tous les cas, chacune des deux erreurs LL^ bu G6^ est toujours plus forte que l'erreur afférente au procédé Marcq. En effet, sur unesphère, la distance minimum entre deux cercles concentriques LG, L,6^, fig. 7, est égale à la portion interceptée, telle que RR,, de tout arc de grand cercle passant par le centre commun A. — Cette propriété se démontre en considérant d'abord un arc quelconque de grand cercle LAL^ intercepté entre les deux petits cercles. Le triangle sphé* rique ALAL^ donne LAL, > L^A — LA, et par suite, LfcL^ > /L^ =RR,. Puis, si au lieu d'un arc de grand cercle LAL^, on considère un arc de petit cercle LtL^ compris entre les deux mêmes points L etL^, l'inégalité précédente existe à /brtton, puisque LtL^ > LAL^.

W Sft. Ctocoiurtoiices fe¥oraUe« à la déierminati^ià d'wae droite de lui«te«r) e« éyard à l'inflweiiee des erreurs d« point cfliteié svr la pasWioM dm point détermlnatlf de la droite* — En ce qui concerne l'influence des erreurs du point estimé sur les point9 déterminatifs de l'espèce L ou G, les circonstances favorables sont 1^ mêmes qu'au numéro précédent, c'est-à-dire que l'observation doit être faite le plus près possible du premier vertical pour le point L, et du méridien pour le point G. Gela résulte d'une manière évidente de la relation (16 bis) du n"" 25 réduite à son premier terme, S(ût de l'égalité :

.AG«-.AP — ^ALn.

(*) Ces relations, dont la dernière est assez longue à établir par l'analyse, peavent s'obtenir géométriquement avec une extrême facUité, àFaide de petits triangles curvilignes rectangles, qu'on regarde comme rectilignes.— L'un de ces triangles est formé du complément de l'angle à Tastre A, d'un arc de parallèle AGcosD comme hypoténuse, et d'un arc de vertical AH comme cdté adjacent audit complément. — Le seeond triangle comprend l'azimut Z ou son supplément, un arc de méridien AL comme hypoténuse^ et un arc de vertical AH comme cAté adjacent à Z.

(^) Cette égalité peut s'obtenir géométriquement, avec une grande facilité, par la simple

11 faut, au surplus, pour le point L, qu'on ne se trouve pas par une latitude trop élevée, à cause de l'importance que prend en pai*eil cas le second terme de ladite relation (16 6(5), môme avec une bonne valeur de Z.

Quand on observe loin du m )ment des circonstances favorables sus* mentionnées, non-seulement ces intersections sont susceptibles d'être très-erronées; mais môme elles peuvent ne pas exister, si ZeL ou Ifi* fig. i ou 1 bis, ne rencontre pas le cercle de hauteur. On sera prévenu de cette occurrence par le calcul môme, qui conduira pour l'inconnue à une ligne trigonométrique imaginaire.

— Avec l'intersection R correspondant au procédé Marcq, les cii*constances les plus favorables à l'atténuation des erreurs de l'estime, se présentent lorsque la distance ZR, /ig. 1 ou 1 6h, de la véritable position Z du navire à l'intersection R est nulle. Or, en pareille occurrence, àR du triangle ZJRa représente l'erreur d'estime AL^ en latitude, et aZe l'erreur Ae = AGeCosL, en chemin e. 0. On a dès lors comme condition de circonstances favorables :

ALe = AECOtgPZeA.

Cette équation prouve, entre autres, qu^aux environs du passage de l'astre au méridien ou au premier vertical, il suffit que Ae ou AL. soit égal à zéro ; ce qui du reste se voit à priori. Toutefois, la circonstance favorable dont nous venons de parler, n'est pas à la disposition de l'observateur. Elle peut se présenter d'elle-même; mais on ne saurait la faire naître.

fP SO. CIreoBsêaiiees faTorables à la déterniliiatloB ^'«AC droite de liaiitevr, e« égrard a» procédé employé poar la tracer et a» deirré d^approxlmatioià des opérations. Ensemlile de« meilleares conditions propres ik cette détermination. — Quand la droite de hauteur est menée suivant le procédé de la tangente (n* 10), les circonstances favorables à l'opération sont évidemment identiques avec celles propres au point de contact.

Mais quand oii se sert du système de la sécante (n* 11), il y a de ce chef à examiner si, pour une môme variation de l'élément qui sert à calculer les deux points de sécance, ces deux points ne tendent pas, dans de certains cas, à s'écarter entre eux outre mesure.

considération d*im petit triangle cnrriligne rectangle,, qu'on, negarile comme rectiligne, et qui est formé du complément de Fangle Z, d*iin arc de méridien AL comme céié Adjacent A ce complément, et d'an arc de parallèle — aGcosL comme côté opposé.

Car, en pareille occurrence, il ne serait plus permis de les considérer comme appartenant à un même plan tangent à la sphère terrestre, et, par suite, de regarder la droite qui les joint comme un lieu géométrique du navire. Or, c'est justement ce qui arrive avec l'emploi des points déterminatifs L et 6, lorsqu'on est près du méridien pour L, et près du premier vertical pour 6. De sorte qu'en fait, au point de vue particulier oh nous nous plaçons, Tusage des sécantes cesse d'être licite dans ces conditions ; et les circonstances favorables y relatives se confondent avec celles propres au point déterminatif lui-même.

— En ce qui concerne le degré d'approximation adopté pour l'effect nation même des opérations, les circonstances favorables dépendent de l'espèce des formules employées. Comme nous l'avons montré, entre autres au n"" A, et ainsi que nous l'avons annoncé au n"" 33, on peut toujours choisir celles-ci de façon à limiter les erreurs provenant de la cause qui nous occupe. Si non, il faudra, suivant les cas, opérer avec un degré d'approximation plus resserré, en prenant, par exemple, les logarithmes avec un plus grand nombre de décimales. (Voir les commentaires qui accompagnent les types de CALCUL N"** 1 6ii et 1 /«r de la fin du texte.) — Ceci conduit à remarquer qu'en principe* les formules ne doivent pas être appliquées au hasard et suivant une règle d'approximation unique, sous peine d'exposer à des erreurs pouvant devenir importantes. Aussi faut-il, pour chaque espèce de calcul, que les navigateurs,, surtout ceux auxquels le manque d'instruction théorique ne permet pas de faire la part des nuances que nous venons d'indiquer, se servent et d% formules et d'un degré d'approximation cgÀ puissent convenir aux cas les plus désavantageux jusqu'où il est encore licite d'observer en pratique. De la sorte, ils éviteront pour ces cas de graves erreurs, quitte à ce que, dans les circonstances favorables, la longueur des opérations et le degré d'approximation se trouvent plus grands qu'il n'est nécessidre.

— Résumons ce qui concerne à tous les points de vue, les circonstances favorables à la détermination d'une droite de hauteur^ abstraction fûte de ce qui a trait au degré d'approximation dea calculs, eu égard aux moyens que nous venons d'indiquer pour main* tenir dans des limites voulues les erreurs provenant de cette cause.

On voit d'abord qu'il faut rejeter toute distance zénithale rentrant dans les très-petits du premier ordre, appréciée (n* 7) d'après le

GiRC(»iSTiJNGBS FAVORABLES LOES D^UNE SEULE OBSERVATION. 71

dagré d'approximation convenu. En dehors de cette exception commune à tous les modes de détermination de la droite de hauteur, on est conduit aux règles suivantes :

Avec le procédé Marcq^ on peut se servhr d^une observation faite à à un instant quelconque.

Avec le procédé par la latilude eitimiet on se trouve dans les meil* leures conditions en ayant recours à des hauteurs prises le plus près possible du premier vertical ; et il faut exclure les observations faites, aux environs du méridien. D'ailleurs, par les latitudes très-élevées, ledit procédé donne de mauvais résultats, quel que soit le moment de Tobservation.

Enfin avec le procédé par la longitude estimiez il faut, pour le mieux, avoir recours à des hauteurs prises aux environs du méridien, et rejeter les observations près du premier vertical

N^ S9. Bandes, p#ljf«iie« et pmviimwk de dreite de eevtiivde, |^repre« à «ne «««le olMervatieii. lil^nne lu plws probable de l'aire de eevtitnde. — r D'après ce qui a été dit au n* 24, la droite de hauteur ne peut è(re regardée comme conteq^t le. navû^ que sous de certaines restrictions. Nous allons voir maintenant comment il faut, pour s'édifier le mieux possible sur la position du, bâtiment, utiliser cette droite, ou, au besoin, les portions de courba qu'on est à môme de lui substituer (n"" 32).

Quand on a des données sur la limiu des eri:eu|QS, tant syrtématiqua, qu'aeddenlelles (n*** 118 et 119) „ en plus ou en moins, suBceptibles^ d'avoir été commises sur la hauteur, on peut mener de part et d'ajutrQ de la droite de hauteur DE, fig. 8, relative à rdi)8ervation elle-même,^ drax droites parallèles de et & écartées de DE de ladite limite. Dans le plan tangent à la sphère, l'écart en question s'évalue en arc de, grand cercle. — Quand on se sert de papier quadrillé (n"" hO) ou sui^ une carte, il se mesure à l'échelle des latitudea*^ car, en faiti^ (^% ' écart, eu égard à sa petitesse, peut être regardé comme un arç loxodromique ayant pour longueur sur la sphère la dist^ce (jips deux points B et 6, ou B et ^, et ayant pour dirsction la direction azlmutale de l'astre.

En opérant comme il vient d'être dit, on obtient ujie banda «dSt,, dans laquelle le navire sera compris, pourvu que U véritable portion de celui-ci se trouve, à droite ou i gauche du point de contact choisi B, sur la portion du cercle <ni de la courbe de hauteur reu* fermée dans ladite bande. — Cette bande est ce qu'on appelle une

7S ClRGONSTilNGES FAVORABLES LORS D*UNE SEULE OBSERVATION.

bande de certitude^ pmsque, dans notre hypothèse, le bâtiment y sera Pig. 8. - Représentation d'une bande et d'un certainement contenu. Et même,

polygonedecertitude,abstraction faite de Ter- en menant parles limites OXtrèreur possible due aux chronomètres. j i r» ^« x

^ mes de la portion susmentionnée

entre lesquelles sera compris le bâtiment, deux rayons du cercle de hauteur ou du cercle osculateor en B à la courbe de hauteur, les parties de ces rayons interceptées par la bande de certitude, forment dans celle-ci un quadrilatère rectiligne de certitude.

— Mads si le bâtiment se trouve en dehors de la bande en question; ou si, tout simplement, on désire tenir compte plus rigoureusement de la limite d'erreur supposée entre le point de contact B et la véritable position du navire B^ ou B,, il faut évidemment considérer comme aire de certitude le quadrilatère curviligne ^xb^bbjl^^^^ formé dans le plan tangent à la sphère ou sur la carte : !• par les deux portions de cercle ou de courbe de hauteur 6^66, et ^j^,, écartées, TuneetTautre, de la véritable ligne de hauteur d'une quantité égale à la limite d'erreur supposée, en plus ou en moins, sur la hauteur; 2* par deux portions p^b^ et p,6, de rayons ordinaires ou de courbure appartenant à la véritable ligne de hauteur, et menés par les points Bj et B, susdéfinis. — A la place du quadrilatère curviligne de certitude que nous venons de spécifier, il est plus commode, sauf dans les cas 2* et 3* du n* 82, d'employer l'ftearagfone rectiligne Pi6,c^c,6,p,, où l'on substitue à la portion de courbe ft,ft6,, la ligne brisée b^c^cjb^ formée par des parties de tangentes; et à la portion de courbe p^^,, la corde ^^p,.

Dans tous les cas, les différents points Bj, B,, 6^, 6,, p^, p,, dont on se sert pour les constructions précédentes, pourront se déterminer sur la carte par les TABLES de M. Pcrrin, comme il est expliqué en !• du n* 32. De leur côté, les directions des portions de rayon p,6, et p,&, par rapport à pfr, s'obtiendront par la variation de l'azimut due au changement du point B en B^ et en B,. Mais elles seront d'ordinaire sensiblement parallèles entre elles et à p6. — Maintenant, si on veut tenir compte de l'erreur sur l'état absola

CIRCONSTilNCBS PAYORABLES LORS DTNE SEULE OBSERVATION. 73

des chrcmmnètrest îl faudra se fixer une limite de cette erreur, aussi bieo dans YE$i que dans YOuat; et alors, comme nous en avons préroDU au n"" 1, on transportera en longitude de cette quantité, tant à droite qu'à gauche, Y hexagone de certitude ^ib^c^cjb^^^, (ig. 9. On obtiendra ainsi trois hexagones, puis un polygone de huit côtés „ o . ^ . .. . P",6'\6'//,fc',p',p"„ qui enveloppera les

Pig. 9. - Représentation d'un poly- ^ *. * ^ i i irir t»^ rr

gone de certttude.tenant compte de trois uexagones, et représentera le po< remplir due aux chronomètres. jy^^^^^ ^^ Certitude du uavire, OU tenant compte déboutes les erreurs possibles, y compris Terreur propre aux chronomètres.

— Dans le même ordre d*idées qu'en la remarque faite en 2'', n"" 6, il y a ici à examiner le cas où l'on connaît la direction dans laquelle le navire a été dévié de sa route sous l'influence des courants et des erreurs de l'estime. On peut alors se proeurer, abstraction faite de l'erreur de9 chronomètres, une jkm*im i$ dreiie de certitude. Il sulfit pour cela de tracer sur la carte, paila position estimée du navire, une droite s' étendant dans ladite directioD,etd'en considérer la partie interceptée par le polygonedecertitude. En tenant compte de l'erreur des chronomètres, ou obtient manifestement pour aire de certitude une portion du polygone extérieur de la fig. 9, comprise entre deux paridlèles à la direction en question, menées à l'Est et à l'Ouest du point estimé, à une distance en loDgitade égale à l'erreur dont il s'agit.

—Ajoutons que, dans tout pofysfonedecertitude, il existe une ligne rqviseDtant le lieu géométrique fe plt» pro6a6k (n** 122) du navire. A?eciin quadrilatère de certitude, cette ligne est évidenunent la partie de £D, ftg. 8, intercq[>tée dans le quadrilatère. Autrement, c'est la portion de courbe B^BB,, ou la ligne brisée B,G,G,B,. Dans tous le^ <^i ces diverses portions de ligne appartiennent à la ligne fonda-- ^^^intalede chaque polygone, c'est-à-dire à la ligne droite, courbe ou brisée, sur laquelle est basée, en définitive, la construction de ce polygone.

Le lieu géométrique le plM probable du navire se réduit à un point, quand on a à sa disposition une portion de droite de certitude. Ce point est évidemment l'intersection de cette partie de droite avec

74 OÉTERHiNATION DU POINT OBSEaVâ.

la ligne la plas probable dont nous venons de parler. Si par hasard ledit point tombait en dehors de l'aire de certitude, cela prouverait que Ton s'est trompé en moins dans Tapprédation des Mmites des diverses erreurs à considérer.

-^ Pour résumer ce numéro, il convient de prévenir que, la {dQpart du temps, on se borne dans la pratique à l'emploi d'une baniê de certitude.

Mais il importait, afin de bien préciser la question, de la traiter avec le développement que ndus venons de lui attribuer, et de donner des figures correspondant à la soltition possible la plus complète, en laissant au lecteur le soin d'apprécier, selon les cas, quand on peut se contenter d'une bande de certitude.

!»• PARTIE. — S VI. Cas de deux observatio!IS :

li<» 99. itoppel de la Mlutton tr4«#Boniéirlq[«e de la détorMiMittoii dv point ebsenré. Idée s^n^n^le^^^"^ le» slMiplMeaiieiis poMlbles de eeite «el«tieii. — La question du point observé prise dans toute sa généralité ne s'est looff* temps résolue à la mer qu'exceptionnellement. Les nécessités delà navigation rapide ont conduit à changer cet ordre de cbosesi

Le problème renferme, comme cas particulier d'un usage incessant, la détermination journalière du point par la combinaison du calcul d'angle b<»:aire déduit d'une hauteur prise loin du méridieii ou Aof otre, suivant l'expression adoptée, et de la latitude obteoœ par une hauteur méridienne ou circumméridienne.

Quand, pour une raisoaou pour une autre, les deux hauteaisebjservées sont horaires, h, solution exuete o« dir^de de la qoestie» consialei trouver l'intersection précise de deux cerslea de bautearr et elle exige la résolution par b trigwMmitrie d'un quadrilalii^ sphérique, ayant pour c6tés : là eolatitude o in Heu^ la distanco" polaire A d'un des astres, la distance des^ deux astres entre eas* et la distance zénithale N' du deuxième astre ; et pour diagonales r la distance polmre A' de ce dernier astre et la distance sénitkale K du premier, ramenée d'ailleurs au même zénith que le second astre, si les observations n'ont pas été simultanées^ — Les données sont A, A', N et N', plus l'angle formé par A et A'. Les inconnucBSoat c et les angles horaires des deux astres.

OBTBRIIINATION DU POLNT OBSERVÉ. 75

Cette méthode, exdusivmimit en usage chez les anciens navigateurs, est aujourd'hui complètement absmdonnée à cause de sa loir* gueur, et à cause aussi de la nécessité de pouvoir utiliser (n"" 1) une seule hauteur, dès qu'on Ta prise. Delanibre en avait proposé une solution élégante, en appliquant aux trois triangles du quadrilatère sphérique qu'on est conduit à considérer, les formules de trigonométrie sphérique qui portent son nom.

— On peut, du reste, traiter aussi la question en la regardant comme la résolution logarithmique de deux équations semblables à la relation générale (1 bit) du n"" 1, et où les observations respec* tives sont ramenées au même lieu, à savoir :

(S>) sinH = sinLsinD + cosLcosD cos(Ga— G);

(^} sinH'as flmL8mD'+co8LcoflD'cos(Ga— G);

ftTec:

(G. - G) = P, ;(G'« — G) =s P', (P'- P) = (ill.— A'.„ -f I) ± l»k s'U e$t nécessaire,

JU et Ji a,i étant calculées ponr le moment de la première obserration, et d'ailleors éya-

hiées en degrés, I représenunt Tinter? aile des obsenrations éTalué en temps du deuxième astre, puis con-»

Terti en degrés.

La dernière des trois égalités ci-dessus a besoin d'être prouvée. Or en tenant compte des conventions de signes de la légende, page 1* on obtient évidemment :

P = T., ou ^(24^-1.); (P'-P):=T'.,i, ou ^(^-T^t).

Examinons les diverses combinaisons possibles qui résultent de ces égalités pour la valeur gtoérale de (F — P). Remarquons d'abord que cette différence peut être positive ou négative, et doit toujoursi être < 2à^ en valeur absolue. Rappelons-nous, en second lieu, que pour un même instant: T« + ifl« = T'a + ill'«±24' l'tJ est niceiêaire. Dès lors nous obtiendrons la troisième égalité en question.

D'autre part, on a évidemment

(T'a - T«) = yVa + G) - iT. + G) = (TV,« - Tp,«),

60 considérant Tascension droite du second astre au moment même de la deuxième obserration, soit AK'm au tieu de JS^'m^x*

Gonséquemment, on peut encore poser :

(P' — P) = (Tp,» + JÊi'm — iHy — (Tp,« + ilU — ifta) ± 24^ s'il est nécessaire ;

toutes les lettres ont ici les significations conyentionnelles de la légende page 1 ; elles se rapportent d'ailleurs k la première ou à la seconde observation, suivant qu'elles sont r ou avec accent.

Cette deuxième forme de (F---P) est plus commode pour les

applications ; mais la première est nécessaire pour certaines discussions (n"" 55).

Dans les deux équations précédentes, où l'on suppose d'aûllenrs les hauteurs ramenées au même lieu (n"" 30), il n'y a d'inconnues que L et 6. Parmi les autres éléments, H et H' sont données par l'observation. De leur côté 6. et 6'« se déduisent des heures du premier méridien d'après le chronomètre. Ces heures, et par suite G. et G'a sont affectées de l'erreur du chronomètre ; et il n'y a d'exact, on au moins à très-peu près, que leur différence. Il suit de là que cette erreur se reporte intégralement sur la longitude, et que d'après la forme même des équations, elle n'a pas d'influence sur. la latitude.

— La solution directe générale du problème n'est que peu oa point simplifîable, en tant qu'il s'agit d'arriver à des équations toutes logarithmiques. Le procédé que BrOnnow tire dans son a Astronomie sphérique 9 des deux relations susmentionnées est le plus recommandable. Mais, somme toute, on ne peut parvenir à réduire sérieusement les calculs, sans rien sacrifier à l'exactitude mathématique, que dans l'hypothèse d'une mime déclinaison et par suite d'un même astre pour les deux stations. Or ced suppose, en principe, qu'on a observé un même astre de déclinaison constante.

Toutefois, la première simplification qui ait été proposée dans ladite hypothèse n'était qu'approximative. Elle remonte au milieu du siècle dernier ; elle est due au Hollandais Douwes. Elle con^ste à retrancher (28) de (22), après y avoir rétabli P et F, et introduit la latitude estimie L». D'après cela, en appelant :

Pm la moyenne algébrique des deux angles au pôle P et Fj, dont les signes sont, d'après

nos conTentions, -f dans V Ouest et — dans VEst; I rintervalle en degrés entre les deux obsenrations ;

on trouve aisément ainsi la relation suivante :

cosi (H'— H)8in J(H'— H)

(U) sinP«=sin(p + i) =sin(p'-.l) =t !

sin|IcosLcosD

De cette équation, on tire à volonté P ou P*, et par suite une longitude. Puis, on en déduit la latitude parles formules (2) et (3) du n'S.

Cette méthode revient en définitive à trouver la moyenne des valeurs de P et de F qu'on déduirait directement de (22) et de (21) en faisant le calcul d'angle horaire avec L,. Or ce mode d'opérer n'a sa raison d'être que lorsque les deux hauteurs sont correspondantes; car en pareil cas il y a annulation sur les valeurs de P.,, de l'inflaence

DËTEfiMINATlON DU POINT OBSERYÉ. 77

des erreurs dues à rioexactitude possible tant de la latitude estimée que des hauteurs observées. Dans toute autre circonstance, c'est un calcul complètement dépourvu de logique, et que sa simplification trigonométrique a pu seule faire accepter en son temps. Il est intéressant de remarquer que la méthode proposée dans ces dernières années par M. Littrow (n"" 61) pour déterminer la longitude par deux hauteurs circumméridiennes, est mot à mot l'application de la méthode de Douwes dans le susdit cas où elle est rationnelle.

Il faut encore prévenu* que cette dernière méthode a son inverse ; car OD pourrait pareillement chercher, en fonction de la longitude estimée G«, une latitude, qui ne serût autre que la moyenne de deux valeurs de L, qu'on déduirait de (22) et de (23), en y faisant 6 = G,. Puis avec la latitude trouvée, on déterminerait la longitude par le calcul d'angle horaire habituel, appliqué à une des deux observations. — Mais ici il n'y a pas de combinai son de (22) etde (23) qui fournisse une valeur immédiate de ladite latitude moyenne; et le procédé n'a jamais été proposé*

Longtemps après Douwes, M. Caillet père a imaginé une simplification rigoureuse des formules générales, toujours dans l'hypothèse d'une même déclinaison pour les deux observations. Les formules de M. Caillet sont connues de tous les navigateurs. — Comme rapidité de calcul, elles ne peuvent lutter contre aucune des Nouvelles mi- Ihoies exposées d-après; et comme exactitude, bien que celles-ci ne soient qu'approximatives, la différence s'évanouit d'ordinaire dans les applications. D'ailleurs lesdîtes méthodes n'exigeant aucune hypothèse sur les déclinaisons, ont encore de ce fait, dans le cas dû soleil, un avantage sur les formules de M. Caillet, où il faut alors admettre, au détriment de la rigueur, que la déclinaison de l'astre demeure constante et égale à sa valeur moyenne entre les deux stations.

— Dans ces derniers temps on a proposé, en Allemagne, une méthode exacte ou directe^ applicable au cas le plus général, et dont le caractère particulier consiste dans un mélange de formules logarithmiques et de formules simplement arithmétiques.

Lorsque les astres ont des déclinaisons différentes, la méthode allemande est incontestablement (dus longue et plus difficile que les nou* vélU$r»ithodi$, Comparée, au contraire, aux autres procédés directs de Delambre, Brûnnow, Caillet, elle est un progrès incontestable. De plus» on ne fait ici aucun calcul mutile ; puisque l'ambiguïté résultant

78 DÉTERIUNATION QU POIMT OBSBRTÉ.

du choix derunedes deux solutions ne se préseoteque dans la dernière opération, ce qui n'a lieu avec aucun desdits procédés. — Lorsque les deux déclinaisons sont égales, le calcul n'est pas plus long que par les Nouvelles méthodes. Mais, en principe, il présente quelques difficultés dans l'emploi des signas qui est ici inévitable dans tout le cours du calcul ; cependant cela se réduit ipeo de chose.

Il est encore intéressant de prévenir que si toa ae borne, dans k système allemand comme dans les autres systèmes, à l'emploi de cinq décimales pour la rapidité des calculs logarithmiques, lasolutiou théoriquement exacte donne un résultat moins 2q)proché. Cela tient à ce que les erreurs dues aux décimales négligées se reproduisent alors en un plus grand nombre d'endroits.

On trouvera l'exposé de la méthode allemande au n* 58, où, pour conserver plus d'enchaînement dans le cours des idées, nous l'avons rejeté à la suite des diverses solutions indirectes ci-après mentionnées du problème général qui nous occupe, et qui comprennent les Nouvelles méthodes.

— Somme toute, quelle que soit l'opinion qu'on puisse avoir du résultat final obtenu par les procédés dUrecls comparativement aux procédés indirects^ pour la détermination du point observé, il importe d'insister sur la circonstance suivante :

Les Nouvelles utrnoDES s'imposent^ en principe^ par topportuniti d'utiliser les calculs que Von exécute d^ ordinaire aujourd!hui dés la première observation^ afin d*en tirer une droite de hauteur.

— Occupons-nous maintenant de renseadi)le des procédés indireeês qne nous venons d'annoncer.

Dans le cas général de l'observation de deux astres quelconques, et par suite dans le cas d' une déclinaison différente pour les deux stations, la simplification de la recherche du point observé a dû être tœtée dans la voie des solutions approximatives ou indirectes. Nous exposons daus ce quisuitle mode de génération ainsi quel'espritphilosophiquede ces solutions. — Au lieu de suivre l'ordre d)ronologique,nous commenoerons par exposer, parmi les solutions, celles qui forment les Nouvelles méthodes, lesquellesdériventdelaconsidération desdroites de hauteur, et sont les plus recommandables, eu égard à l'opportunité susmentionnée d'utiliser les calculs déjà effectués. Ces calculs peuvent, suivant les circonstances, consister soit dans la recherche d'un point déterminatif de l'espèce L (n^" 2), soit trës^xceptionnellement, du reste, dans la détermination d'un point déterminatif de l'espèce 6

DÉfBRlflNlTION 0U POINT OBSERVÉ. 79

(o* S), soit enfin dans la détermination d'un pcûnt déterminatif de Pespèce R (n^ 4), c'est-à-dire d'un point rapproché. Ils conduisent» aa moins d'ordinaire (n"" hO) « à des calculs analogues à eux-mêmes pour k deuxième observation. Et en définitive, on est ainsi amené à des solations soit graphiques, soit chiffrées, de la détermination du point obsaré, qui caractérisent les Nouvelles méthodes.

Après l'egcposé de ces méthodes, nous reprendrons, de la manière la plus complète et à un point de vue essentiellement analytique^ la résolution indirecte des deux équations (22) et (23), résolution qui «Iglobe toutes les solutions indirectes et incidemment les Nouvelles méthodes^ ou du moins la plupart d'entre elles, dans l'ensemble de ses résultats.

— Il nous reste à dire que les méthodes directes conduisent toujours à deux solutions, qui représentent les deux intersections des cmdcB de hauteur. L'indétermination est d'ordinaire levée par la comparaison entre les résultats obtenus et les éléments de l'estime, corroborée par la considération des relèvements azimutaux relatifs ma deux observations.

Les méthodes indirectes ne fournissent au contraire qu'une solution; car elles ne constituent en fait qu'une reciificalion du point estimé. Elles donnent, en principe, celle des deux intersections susmentionnées qui se trouve le plus près de ce point.

W* ••• mbserrattoiMi rameiiées av mèiiie Itea. — Avant d'aller pb» loin, nous rappelleroos qu'on a sans cesse à ramener le résultat de la première observation au zénith de la seconde, ou «tee versa. A cet effet, avec l'angle de gisement ci> (*) et le nombre de flôlles M qui séparent les deux stations, on peut calculer, par la formide bien connue âH os m cos co, la variation AH que subit, du fait do changement de lieu, la hauteur transportée ; et exécuter les opérations vouhies avec les deux hauteurs ainsi ramenées au même endroit. Mais ce moyen ne permet d'utiliser les calculs déjà faits qu'autant qu'on ramène tout au premier lieu.

On préfère d'habitude transporter au zénith d'une des hauteurs elle-même le résultat obtenu avec cette hauteur. S'il s'agit d'un pmnt, on le déplace du mouvement même du navire. S'il s'agit

(•) On ne doit pas oublier que Vangle de gisement est l'angle formé par la route du nafire, ou son opposée, et par la direction admutale de l'astre.

d'une droite de hanteur, il suffit de remarquer qu'en se supposant

PIg. 10, relative au transport d'une droite de ^"J^^S danS dOS COOditiOUS pWhauteur, pour tenir compte du changement mettant de néff llffer loS tfàS-petitS

de zénith. , .^ ^^ , ^ „

du deuxième ordre, la nouvelle droite de hauteur B^E,, fig. 10, doit faire un angle de contingence (n* 8) avec la droite de hauteur primitive BE. En d'autres termes, on peut considérer ces deux droites comme parallèles. H suffitalors de fixer, par un calcul d'estime, la position da point B^ par lequel devra passer la nouvelle droite de hauteur.

S'il y a eu des courants dais l'intervalle des deux observatioDS, la droite de hauteur, transportée parallèlement à elle-même, aura sa position affectée en conséquence, sans cependant que son parallélisme cesse d'exister. On ne peut faire à cela aucune rectification radicale. Seulem^t, quand on a quelques notions sur les courants subis, il y a moyen d'en taiff compte en construisant les polygones de certitude (n** Z7 et &1) relatifs aux deux observations, après qu'elles ont été ramenées an même lieu.

— Lorsque le chemin parcouru entre les deux observations devieat trop considérable pour qu'il y ait possibilité, eu égard au degré d'approximation qu'on s'est fixé, d'admettre que la droite de hauteur de la station déplacée se transporte parallèlement à elle-même, il faut abandonner ce procédé. On doit alors commencer parfaire subir à la hauteur de ladite station la correction due au changement de zénith, en tenant compte d'ailleurs, dans cette corriection, d« terme du deuxième ordre. Autrement dit, il faut alors avoir recoon à la formule :

AH = M cos <a — - M*sin<ca tgH sin 1'^

où ci> et M ont les significations susmentionnées, et que l'on tire, par le théorème de Maclaurin, de la relation évidente :

8in(H + AH) =sinHco8M-f cosHsiuMCosu.

On trouvera dans le type de calcul n* S donné à la fin du texte

une i^pUcatkm numérique* de la formule en AH ci-dessus.

La plupart du temps, c'est à la seconde station qu'on ramène les deux observations, puisque c'est le dernier point observé du navire qu'il importe le plus de connaître. — Mab à d'autres points de vue il est préférable : 1*" de réduire la petite hauteur à Tborizon de la grande, parce que le relèvement de la petite hauteur se prend avec plus f exactitude ; 2'' si les deux hauteurs sont égales, ou à peu près, de réduire la hauteur pour laquelle l'angle ci> s'écarte le plus de 90^, parce qu'une erreur sur l'évaluation de cet angle sera alors moins sensible sur cosco, et par suite sur AH.

11* éo. Détonniiiatf on ém p#iMi éhmewwé par la rencoiitre de dev3K droites de haaievr. — Ayant en sa possession deux droites de hauteur BN et B'N, fig, 11, ramenées au même lieu, il suffit, pour achever graphiquement le problème de la iitermination complète du points de marquer l'intersection N de ces deux droites.

— Ce mode d'opérer suppose précisément qu'on puisse regarder comme se confondant en un seul les deux plans tangents à la sphère terrestre, menés par les points déterminatifs des deux droites de hauteur. Nous admettrons qu'il en est ainsi en principe; et nous signalerons en Keu utile (n*" 58) les moyens de se mettre à l'abri éda cas exceptionnels où cette condition n'est pas remplie.

En tout état de cause, le point déterminatif de la deuxième droite de hauteur est en général une intersection de la même espèce que edle de la première droite. Hais exceptionnellement Fintersection pourrait être d'espèce différente, si, pour un motif ou un autre, on n'était point amené à Choisir (n"" 5) le point déterminatif de la deuxiènîe droite de hauteur de la même espèce que celui de la première. — Il importe, à propos de ce cas particulier, de mentionner l'usage d'une intersection de l'espèce L sur le premier cercle avec une intersection de l'espèce 6 sur le deuxième, obtenue en employant, au iieu de la longitude estimée, la lon^tude déduite du calcul d'angle horaire qui a servi à déterminer l'intersection L. La solution graphique du point observé résultant de cette combinaison correspond prédsément à la méthode Borda expliquée au n* A7, pour la détermina* tîmi dudit point par le calcul.

— Afin de ne rien omettre sur la détermination du point observé par l'intersection de deux droites de hauteur, il reste à expliquer comment on peut exécuter la construction quand on n'a pas de

8S DÉTBRMIMTiON DU POINT OBSERVE.

cartes à grand point à sa disposition. On emploie alors du papier quadrillé; et on considère la longueur d'un côté des petits carrés

comme représentant un mille de

Fiff. li, relative à la détermination i ..^ j • ^ u • .

gr^que du point obserré. latitude croissaute; chaque mmute

de longitude sur le papier vaut alors ledi^ côté multiplié par le cos'mus de la latitude moyenne de l'espace à considérer, produit qu'il est aisé de construire graphiquement, ou, mieux, de calculer par la tabU de point. Si on désire opérer à plus grande échelle, on prendra deux foi s ou trois fois le côté susmentionné pour représenter le mille croissant — Il importe d'ajouter qu'on pourrût aussi prendre ce même côté pour représenter la minute de longitude. En pareil cas, les changements en longitude se porteraient tels quels, et ceux en latitude devraient être convertis en changem^ts en latitude croissante avant d'être évalués avec le quadrillage, c* està-dire devrûent être divisés par le cosinus de la latitude moyenne. — On trouvera des applications du procédé qui nous occupe à la suite des TYPES DE CALCUL ^* 2, S et A bis de la fin du texte.

Ce procédé est souvent préféré au calcul par beaucoup de marins ; car il évite les erreurs de signe, et laisse reposer l'esprit, un peu tendu par les calculs trigonométriques qu'on vient de faire. Enfin, il est nécessaire pour la détermination graphique du point le plus probable relatif à plusieurs droites de hauteurs simultanées ou non (n"" 66).

Dans tous les cas, la rencontre N des deux droites de hauteur ne se confond jamais avec l'intersection Z des deux cercles ou des deux courbes de hauteur, laquelle intersection représente la véritable posidon du navire. Gela tient à l'essence naême de l'emploi des droites de hauteur. Nous verrons aunv58 susmentionné dws quelles circonstances l'écart est le moindre.

ir 41. Perfectl#mienieiit« applicables à la flxatâam fvapliiqve d« paliU abservé. Aire de aerilinde prapre à devm alMerwaitaïui. Paint la pl«« prabable ëe ee paljs^nat aa« d'indétarmliiatlaii. — C'est pour remédier graphiquement à l'écart précédent que M. Fasci a proposé de rectifier sur la carte chaque droite de hauteur, comme nous l'avons expliqué au n"" 26. A l'aide des différences A^U et A\Le en

DÉTERMINATION DU POINT OBSERVÉ. gs

latitude croissante entre N, fig. H. et B d'une part, et R d'autre part, on calcule, par la- formule (17 6m) dudit numéro, les longueura Bfr et Rfr' à prendre sur les méridiens de B et de B*, et en ieian» des courbes de hauteur, c'est-à-dire du cm de leure centres de courbure Puis, par les points b et V on mène bn et b'n parallèles aux droites dé hauteur; et l'intersection n donne, en dehore des circonstances défavorables, un point très-près de la véritable position Z.

Malheureusement ce procédé est long. De plus, son emploi ne se présente naturellement qu'avec l'usage du point déterminatif de 1 espèce L Enfin, il échappe, avons-nous déjà dit, quand l'une des deux obsenrations est faite aux environs du méridien.

— Du moment où l'on veut rectifier sur la carte les droites de hauteur, le plus simple est de substituer à chacune d'elles un cercle ou one portion de cercle qu'on décrit ainsi qu'il a été expliqué au n» 32

QueUe que soit la manière dont on obtient le point à l'aide dé deni droites de hauteur ou de deux Ueux géométriques curvilignes la position ainsi obtenue se trouve afifectée des erreurs dues tant à robservatioD qu'à l'estime et aux chronomètres. Il importe dès lors de substituer à cette position une aire de certitude. — A cet effet on construira (n- 87) le polygone de certitude propre à chaque observation ; et la partie commune à ces deux polygones représentera l'aire de certitude relative au point observé. Cette aire renferme un point Uphu probable (n« 122), qui se trouve à la rencontre des deux lienes les plu» probables {n« 37) afférentes respectivement au polygone de certitude propre à chaque observation, et qui sont, bien entendu les hgnes fondamentaUs de ces polygones» c'est-à-dire les lignes suJ lesquelles est basée leur construction. — Si par hasard la rencontre dont il s'agit tombait en dehors de l'aire de certitude, cela prouverait que l'on s'est trompé en moins dans l'évaluation des limites des diverses erreurs considérées.

— n est utile d'ajouter que, quand lesdites lignes fondamen taies ou au moins l'une d'elles correspond à une très-faible distance zénithale, et que, par suite, la courbe de hauteur se réduit sensiblement (2- et 3% n' 32) à un cei-cle de très-petit myon, il y a deux points de rencontre très-rapprochés, et conséquemment indétermination à moins qu'on ne puisse avoir quelque indication sur les directions arimutales des deux astres. Comme dans ee cas les hauteurs sont très-grandes, et que dès lors elles varient rapidement, le sens du mouvement en hauteur sera facile à apprécier, et permettra dès lors

de Stipuler si chaque astre considéré est observé daus TEst ou dans l'Ouest. Si, en outre» les deux astres se trouvent surle mômecerdedo déclinaison, les deux points de rencontre seront situés l'un à droite, l'autre à gauche de ce dernier cercle, et l'indication précédente mettra à même de fixer quelle est la bonne intersection. Mais la plupart du temps la solution du cas qui nous occupe demeurera indéterminée.

m"" 4«. BétemliMittoii Imdireete par le calcvl dv point #b«er¥é t MéOiodle Marcq 9atet*flUlaire. — A la détemÛDation par procédé graphique du point d'intersection de deux droites de hauteur, on peut préférer la détermination par le calcul Nous distinguerons à cet effet deux cas, suivant que les droites de hauteur sont des tangentes ou des sécante$. Nous nous occuperons présentement du premier cas; le second cas sera traité aux n"^ &3, 46 et 17.

La détermination par le calcul du point de rencontre de deux tœur gentei de hauteur^ marche d'ordînatre avec l'emploi du procédé Marcq pour la recherche du poinl déterminatif (n* 4), c'est-à-dire avec l'usage du point rapproché. Il faut, comme toujours, conuneocer par ramener au même lieu (n** 30) les deux observations, à l'aide du chemin parcouru dans leur intervalle. — Le problème peut alors se résoudre par l'un des trois moyens suivants :

1*' moyen. Appelons:

it et f« les changements en latitude croissante, d'nne part, entre B, fig» 11, et le poiflt

cherché N, et, d'autre part, entre B' et N ; g tig^ les changements en longitude afférents aux mêmes groupes de points ; R et r' les angles que font les tangentes BN et BTf vite le méridien de B et celai de B',

et qui représentent les angles de route pour aller de ces derniers points au point M.

On aura évidemment :

^ = /etga; /«fetga'; d'où :

to'-^) = (^-Wtgâ' + 4{tga'-tgE);

soit :

^^(y^-^)-y>-4)tgE'

tgn'— tgR

Or (^—g) est manifestement égal au changement en longitude entre B' et B, c'est-à-dire que d/'— y) = (G'— G). D'un autre côté, on a, avec la même évidence (r^ — U) = (L', — L^). Dçnc la dernière équation ci-dessus devient :

^^((y^G)(L',-Lo)tgn>

tga'— tgR

Or, dans cette nouvelle équation les différences (6'— G) et (L'«— IJ

dont éyidemment connues ; et comme r' et r sont donnés, (tg r' — tgR) pourra se calculer. Dès lors la dernière des équations ci-dessus permettra de trouver Tinconnue l^. — Cette équation est du reste entièrement générale, pourvu qu'on se conforme aux conventions de la légende page 1. Par ailleurs, il est aisé de voir que la détermination de {« peut s'effectuer entièrement par la table de point. — Une fois l^ calculé comme il vient d'être dit, on en déduira immédiatetement (; puis on aura g par la relation g = l^tg^\ et, dès lors, les coordonnées du point N seront connues. — Il va de soi que si le point N est la première station, ce qui implique que les deux hauteurs ont été ramenées à cette station, il faudra, pour achever le problème, corriger le résultat obtenu de l'estime correspondant à l'intervalle des deux observations.

Le moyen que nous venons d'indiquer est indépendant de l'espèce des points déterminatifs adoptés. Mais les deux suivants ne conviennent qu'autant que ces points sont des points rapprochés^ c'està-dire des points obtenus par le procédé Marcq.

2* moyen. Quand les deux points déterminatifs des tangentes de

Flg. lî^retetlve à la détermlnaUon du point hauteur SOUt deS poiutS rappro^

chés R et R'. fig. 1 2, on est en présence d'un quadrilatère Z.RNR' bi-rectangle, dans lequel on couinait : 1* deux côtés RZ, = fc et R'Z, = fc', h et *' étant, pour chaque observation, la différence entre la hauteur rieUe et la hauteur estimée; 2* l'angle ^ compris entre ces deux côtés. — On a alors, en menant les lignes auxiliaires Z,E' et E'E :

Les formules ci-dessus sont générales, pourvu qu'on fasse attention aux signes des lignes trigonométriques suivant la grandeur de p, et qu'on r^arde d'ailleurs h et K comme des quantités arithmétiques. Quand la différence (a — 6) est négative, cela indique que le point cherché N tombe sur la portion de la droite de hauteur KD située du côté de D à partir du point R.

En tout état de cause, une fois la longueur RN déterminée, on la

obeenré, par la méthoda Mareq St-Hilaire.

regarde comme une route courue suivant sa propre direction, qui est connue. Avec cette longueur, on trouve, par un simple calcul d'es^ time, les changements en latitude et en longitude de N par rapport à R. — Il reste maintenant à grouper en un seul bloc les divers chemins N.s et £• o, qui servent à passer de Z« en R, puis de R en N, et enfin de N à la deuxième station, si Ton a ramené les deux hauteurs à la première station, et non à la seconde. On obtient ainsi le changement total tant en latitude qu'en longitude, pour passer des coordonnées de la position estimée de la station à laquelle on a ramené les deux hauteurs, aux coordonnées du point observé de la dernière station, qui est en définitive la plus importante à connaître.

3* moyen. On considère le problème comme un cas particulier de la question du n* 66, où on dispose d*un certain nombre n d'observations. A cet effet, on fait n = 2 dans les relations générales du numéro en question. Ces relations se simplifient alors, et prennent la forme que nous donnons ci-après. — On reconnaît que les équations simplifiées ne sont autres, comme on devait s'y attendre, que les formules de départ qui ont servi à établir lesdites relations générales.

Au surplus, ces équations peuvent se trouver géométriquement par un moyen qui est trop élégant pour être passé sous silence. U suffit, en effet, de considérer, pour chaque point rapproché^ tel que R, (ig. 12, le quadrilatère RZ.FN obtenu en menant par la sécance mconnue N des deux droites de hauteur, un parall^e jusqu'à la rencontre avec le méridien de la position estimée Z, du navire. En projetant ce quadrilatère sur RZ„ on obtient, par une propriété bien connue des polygones projetés, étant tenu compte d'ailleurs des signes des lignes trigonométriques :

RZ« =r Z«F C08 PZ«A + NF sin PZ^.

Mms RZ, n'est autre que la différence (H — H«) entre la hauteur réelle et la hauteur estimée* D'autre part, ZJP est le changement en latitude entre Z^ et N, soit AU; enfin NF représente la différence b des cbendns £.0 entre les deux mêmes points, et se trouve sensiblement égal à A6« cos L«. Dès lors, en représentant d'ailleurs l'angle PZ,A par z, la relation ci-dessus peut s'écrire :

(H — H«) = AU cos z + A G« cos Le sin £.

On trouverait de même pour le second point rapproché ff, en représentant l'angle PZ,A' par 2' :

DÉTEBMINÀTION DU POINT OBSBRYÉ. t7

(H' — H',) = AL, CM ^ï* + AC, ces L, sin «*.

Oes deux formules ci-dessus, on tire aisément :

(H — HJsinx' — ffl — H'Jsinz ^• = sin (l'-i) '

AC .n.I (H - H,) COS I^- (H^ - r,) C09 z

àiig COS L, = — —

»in(x' — 1)

Ces dernières relations peuvent facilement se calculer par la table de point. — Il importe d'ajouter qu'elles sont générales, pourvu que : 1* l'on compte les angles s et js' de 0* à 180^ à partir du pôle élevé, et qu'on les prenne pontwement dans le sens de YOuest^ et négativement dans le sens de l'Est; 2"" que les changements en latitude et en lon^ gitude AL. et A6, comptés à partir du point Z,, aient leurs noms qui correspondent aux signes convenus dans la légende de la page 1 ; 8* que les différences (H — H.) et (IT — H'J soient évaluées algébriquement, c'est-à-dire regardées comme positives^ quand la hauteur réelle est plus grande que la hauteur «s/tmée, et comme négatives dans le cas contraire. — Si le point N déterminé comme il vient d'être dit, représente la première station, on corrigera le résultat trouvé de Festime correspondant à l'intervalle des deux (d)servations.

En tout état de cause il est bon, dans l'un comme dans l'autre des trois moyens précédents, de s'aider d'un croquis rapidement dessiné à la main, afin de bien se rendre compte de la position du point cherché N relativement aux deux points rapprochés R et R'«

— Pour distinguer le GEfotE db soLimoN ci-dessus de la méthode Harcq, d'avec un second donné ci-après, on le désigne sous le nom de Beeherehe du point observé par deux points rapprochés indépenoants.

On trouvera dans le type de calcul n^ 3 de la fin du texte, un exemple complet du genre en question, avec application des trois moyens ci- dessus pour la recherche de l'intersection des deux droites de hauteur fournies par ledit genre. Les navigateurs seront de la sorte à même d'apprécier le moyen qu'il leur conviendra d'adopté.

— Si on n'avait pas à se préoccuper de la circonstance possible d'une troisième observation ou plus, à combiner par le calcul avec les deux premières, ce qui exige (n** 66) que tous kfi points rapprochés se déduisent dCune mime position estimée du navire et par suite soient indépendants, il vaudrait mieux, dans la méthode Marcq, déterminei le point observé par des approximations successives.

Bans ce cas, après avoir obtenu comme point rapproché sur le pre-

mier cercle de hauteur le point B^fig. il, corrigé d'ailleurs du changement de zénith, onsesertde ce point comme point eatimé par rapport au cercle de la deuxième hauteur, ce qui donne un nouveau point rap^ proche B!. Ge point se trouvant sur une normale au cercle de hauteur, est évidemment plus voisin de la position véritable du navire Z que le premier point B. — Si Ton désire une plus grande approximation, on repartira de R' conmie point estimé pour en déduire sur le preplier cercle de hauteur un troUième point rapproché R". En continuant ûnsi de suite, on se rapprochera de plus en plus du point Z; ce qui justifie bien, comme nous en avons prévenu au n"" 6, le nom de point rapproché donné à l'intersection Marcq sur le cercle de hauteur, d'autant que c'est la seule intersection qui jouisse de cette propriété. Ordimdrement, on s'arrête dès le second point R'. — Dans tous les cas, on achève l'opération en cherchant l'intersection N de^ deux tangentes, telles que BN et R'N, au cercle de hauteur menées par les deux derniers points obtenus. Bien entendu, ces tangentes s'étendent perpendiculairement aux directions azimutales des deux astres par rapport aux points R et R'«

La rencontre s'obtient id par un calcul de point très-simple : car le triangle BR'N est rectangle en R', et donne immédiatemait le chemin BN en fonction de BR' et de 1* angle N, qui sont des quantités connues. La solution n'est autre au fond, qu'un cas particulier du 2* des moyens donnés au commencement du présent numéro, ce cas correspondant à l'hypothèse où un des côtés du quadrilatère birectangle se réduit à zéro. #— Le 1*' et le 3* desdits moyens sont du reste applicables aussi au genre actuel : le premier l'est intégralement; le second l'est avecsimplification; car (H — HJ ou (H'— H',) se trouve alors ^al à zéro; et même en y regardant de plus près, U se confond tout à fait avec la solution par le triangle Kl'N.

Le SECOND GENRE DE SOLUTION de la méthode Marcq que nous venons d'indiquer, s'appelle Recherche dupoint observé pardeuxpoints rapprochti SUCCESSIFS ou CONJUGUAS. — Ou cu trouvera un exemple détaillé dans l'assemblage des TYPES o£ calcul n^' 1 et 2 donnés à lafin du texte.

De son côté, la détermination du point le plus probable (n"" 66) correspondant à trois observations au moins, et basée sur l'emploi de points rapprochés iNDiPENOANTS, est traitée numériquement au type