DE CALCUL N

— Les divers types de calcul mentionnés dans le cours de ce numéro sont accompagnés de toutes les indications pratiques néces-

DÉTERMINATION DO POINT OBSERYti. 89

saires à leur application. Ils contiennent en partioulier, un exemple des deux manières (n* 39) de ramener les observations au mtaoe liea.

Malgré le soin qu'on a pris d'adopter pour ces types, la disposidoQ la plus avantageuse, la méthode Harcq, sous l'une ou l'autre de ses formes, paraîtra certainement complexe, surtout dans quelques détails. Il faut compter sur l'habitude pour familiariser le navigateur avec ces opérations d'un ordre nouveau. Du reste, ainsi que nous l'avcms déjà dit d'une manière générale au n"" 38, la raison d'être des Nam^eUês mé^wdet consiste surtout dans l'usage des droites de hauteur, et dans la nécessité de rectifier presque incessamment sa position par des (d>servations successives, en utilisant les calculs antérieurs. De plus, comme nous en avons prévenu aussi au même numéro, l'effectuation en une seule fois de tous les calculs est bien plus courte ici qu'avec les méthodes directes^ même quand elles se prêtent à la simplification de M. Gaillet père, dans l'hypothèse d'une même déclinaison pour les deux stations.

BT 4S. IMtoraiÉBAtl^Hi iMMrccie par le ealevl fi« patei •taerré : Btétliafle lAlaHifle-Paa^l* P*'' la lailtatie estl- ■iée. — Occupons-nous maintenant de la détermination par le calcul des points de rencontre des droites de hauteur quand ces droites sont des sécantes, ainsi que cela se présente d'habitude avec l'emploi de pamisdéiermnatifs tous deux de l'espèce L, c'est-à-dire obtenus avec la latitude estimée (n^" 2). Dans cette supposition spédale, la détermination par le calcul de l'intersection Z, fig. i3, de deux sécantes aux cercles de hauteur ZGB et ZG'B' constitue la méthode si usitée de Lalande-Pagel dans la recherche du point observé*

Dans les circonstances ordinaires, on peut regarder, après qu'on a ramené les deux hauteurs à un même horizon, toutes les lignes à considérer comme situées dans le plan tangent à la sphère mené par le pmntZ. — Les points B, V, et G, G^ sontici deux à deux sur une même droite, BV ou GC, qui figure un parallèle. Les deux parallèles se trouvent, d'ailleurs, distants entre eux de be = i'. D'autre part, la lati* tude estimée L« servant de point de départ au problème, correspond aux points B et F, et diflfère de AL« = 6N d'avec la latitude L du point d'intersection N des deux sécantes BG et B'C — De leur côté, les heures, en temps de l'astre ou des astres observés, relatives aux deux hauteurs et à la latitude Le correspondent aux deux longitudes 6j et G\ des points B et B', lesquelles diffèrent respectivement de AG^

DÉTERMlNàTIOM DU POINT OBSBRTti.

représenté par — r-, et de AG', représenté par — p, d'avec lalongitade 6 du point N. Enfin, les différences — r- et — r- en lon-

COSLf COS l^t

Fig. 13. relattre à U détênninatfoii du point obMnré , gitude deS pointS G et Gf par la méthode Lalande-Pagel. d'avecN, Valent AG, et AC^

avec lea variations algébriques g^etgf^dss longitudes des points BetV, soit (n"" 12) avec les variations en sens contraire et évaluées en minutes d$ it gri, que subissent les heures de ces mteies points pour une variation de -f r sur la latitude. — Les variations algébriques g^ et ^^ s'obtiennent : soit en refaisant complètement les angles horaires; smt en les calculant à l'aide des différences logarithmiques suivant le mode Pagel (n"" 12) , auquel cas elles sont respectivement égales i

s7v-^= r^ f et STT^ = — i-^; soit enfin en les déduisant

W a ou 4

des TABLES de M. Perrin (n* 13).

— Tout cela compris, considérons d'abord la sécante BON et ks triangles qu'elle détermine ; et faisons bien attention d'écrire les lettres des diverses lignes dans l'ordre voulu, de manière à av(»r, en direction aussi bien qu'en grandeur, les élémrats qui correspondent à ces lignes, et des signes desquels il fout expressément tenir compte selon les conventions de la légende générale de la pagel. Nous remarquerons spédalement que le changement en longitude $| est sur notre figure Ouest et par suite positif, ce qui le rend de même

sigae que la différence arithmétique linéaire - — ^ — ^, à laquelle

il est ^al en valeur absolue. Nous obtiendrons ainsi :

B&(B&— Ce) 6N^ 6c •

soit

D'où:

AG^ XCOS Le ^1 X C08 Le AL« "" i'

n est bon de prévenir que cette relation pourrait se déduire delà

DÉTERMINATION DU POINT OBSERVÉ. 9i

formule (9)da d* 16, en remarquant : l^que [A6« + (6« — 6,)] n'y est évidemment autre que A6^ ; 2* que l'inverse du eoefîScient — cos L^ tg Z. cakolé par voie indirecte vaut la variation g^ de la longitude pour ane variation de + 1' siur la latitude.

Ed tout état de cause, on obtiendrait de même, d'une manière ou d'one autre, pour la sécante B'G'N :

* ^* 1' eo ^ 1' •

Exprimons maintenant de deux manières la longitude 6 de N ; nous

obtiendrons :

G = GHAG't=G',H./tX~.

D'où Ton tire :

puis :

(Î7) àO\=f/yxf)^yn\ (28)G = G',+AG', = G\ + ^,xî4^i=^.

II importe de remarquer que (6'^ — 6 J est égal à la différence en minutes de degré entre TintervsJle temps moyen des deux observations déduit du chronomètre, et l'écart des deux heures temps moyen déduit des calculs. — Par ailleurs, les relations auxquelles nous venons d'arriver, bien qu'établies sur une figure particulière, sont entièrement générales, eu égard au soin que nous avons eu ci-dessus de nous conformer aux indications de la légende page 1, pour les signes des divers éléments.

n Les formules i9S) et (27) peuTent s*obteiiir plas simplement. En effet, menons par G, fig. iZ, one parallèle CB'i à G'B'. Considérons alors d'abord les sécantes Nc6 et NCB', puis les deox triangles semblables NB'B et CB'tB. Nous aurons,

N6=AU NB' NB' B^B = (G\ — Gt)cosL>

c6 = r ■" C'B' " CB'j " B'iB = (C"i B - G" B') = {Çy - g\) cos L. '

D'oftroB tire tout de suite Téquation (S5). — Pour atoir Téquadon (27), il suffit de considérer les deux triangles semblables NB'6 et G'B'G", qui donnent :

N6 =r AU B'6 = AGjj cos U

C'C'' = c6= 1' B'C'ss^r'^ cosL,

Toutefois, le mode de démonstration du cours du texte, quoique un peu plus long, offire Tavantage d^arrirer aux formules, en sui-vant le même ordre d'idées que dans la solution iDilytique qui est habituellement donnée du problème en question, et qui rentre dans les raisonnements du n* 48.

n DÉTERMINATION DU POINT OBSERVE.

— Dans les formules ci-dessus» nous avons supposé que les deux observations correspondaient au même horizon. S'il n'en éudt pas ainsi, il suffirait d'y remplacer L« et 6^ de la première station par (L« + 1) ex (6^ +i)^ l et g étant les changements en latitude et en longitude parcourus par le navire entre les deux observations. Oa trouverait ainsi, pour la deuxième station :

— Le principe de la méthode que nous venons d'exposer, c'est-à-dire l'hypothèse de la proportionnalité entre les changements en longitude et en latitude pour de faibles valeurs de ces changements, est dû à Lalande, qui Favait proposé dans son Aslronotnie. Mais il n'est réellement entré dans le domaine de la pratique que vers 18i7, alors que M. Pagel a proposé d'accoupler au procédé de Lalande l'emploi des cQfférences logarithmiques (n* 12) pour trouver les variations des deux angles horaires. La méthode ainsi complétée n*a pas tardé à avoir un immense succès, ce qui tient surtout à ce qu'elle repose sur le calcul si usuel d'angle horaire.

Cependant, quand on y songe, cette méthode n'est en définitive que la détermination par le calcul de l'intersection de deux sécantes prises comme droites de hauteur, et déiermînies d'ailleurs par des points de l'espèce L. Ce n'est donc qu'une solution partimlUre d'un cas lui-même particulier du problème général de la recherche du point observé par la rencontre de deux droites de hauteur. — Sans compter que cette solution comporte diverses exceptions importantes qui limitent son applicadoUt et sur lesquelles il est nécessaire (n"* Ai) de fixer à fond le lecteur.

Toutefois, elle a rendu de grands services; et elle peut encore être d'un bon usage quand les circonstances s'y prêtent. — On trouvera des applications de la méthode Lalande-Pagel dans les types de calcui. H"^ àetk bis de la fin du texte, avec les dernières amélioratioDS de détail apportées à cette méthode.

m^" 44. Om m^ la métIiOfle liatonde-Pairel A^H fiéfla«t.— La méthode Lalande-Pagel fait défaut évidemment toutes les fois qu'on se trouve dans des circonstances telles, que les différents points de la/tgf. 18 ne peuvent plus être considérés commesitués (n*A8) dans un seul et même plan tangent à la sphère terrestre. Or il y a

deux dreoDfllances principales où cela se présente, abstraction iidte de l'exception, commune à tous les procédés, de distances zénithales extrêmement petites (n"" SS) .

La première circonstance correspond au cas où l'une des deux droites de hauteur a ses deux points de sécance très-écartés, et ne peut plus dès lors (n"" ià) être regardée comme un lieu géométrique du navire. Ce cas se présente quand une des observations a été faite aux environs du méridien*

La seconde circonstance susmentionnée correspond au cas où le point de rencontre des deux droites de hauteur conveige vers l'infini, sans toutefois que les quantités g^ et gf^ du numéro précédent tendent elles-mêmes vers zéro (car en cette dernière hypothèse il y a rapprochement intime des points B, B', N et Z, fig. 13) . En dehors de ladite hypothèse, le cas dont il s'agit se présente lorsque l'angle BNB^ tend vers 0*, et par suite que l'écart azimutal des deux astres vaut 0* ou 180*, en même temps que g^ et g\ ont le même signe. Effectivement alors, les deux droites BG et B'G' tendent à se confondre avec BB', en allant se croiser à l'infini sur cette droite.

— Afin de ne Idsser subsister aucune obscurité sur les deux points importants qui précèdent, nous allons les traiter analytiquement.

A cet effet, remarqucms que la formule (16 bis) du n"" 26 peut être considérée comme les deux premiers termes du développement de — A6^ en fonction de AL«. Or pour AL^ = +1', le premier membre donne — g^f et le deuxième membre se réduit aux coefficients de ALe et de (AL^)*. En divisant membre à membre l'expression gêné* raie de aG^ par l'expression particulière àeg^^en s'arrêtant d'ailleurs aux termes du second ordre, on trouve :

AGi ALe r , (ALe-lOsimy 2cotgP\ 1 M* ,^ . ,

— ^ = -TT M + ^ — a — r 1 »inU r-^ )+... = -,r (i-h*),

^4 11 2co»L« V 9m9!l J J i' ^ • '»

expression donnée par M. Mas Saint-Guiral dans son cours de l'école navale pour discuter la méthode de Lalande-Pagel, et en déduire, comme nous le faisons ici, l'ensemble des cas où cette méthode fait défaut, — Or, aux environs du méridien, Z tend vers 0"* ou 180*, et par suite le second terme de la parenthèse tend vers l'infini, ce qui montre que le développement qui a servi de point de départ à la dernière relation n'est plus licite. Par suite, il en est de même de l'équation

AG^ = g^ -jTt ^i ^^ de base anx formules Lalande-PageL

94 DËTERMINATiaN DU POINT OBSERVÉ.

Aux environs dn premier Tertical, Z tendant vers 90* et 2Z vers 180*, on serait au premier abord porté à croire que la restriction précédente exista encore. Mais il faut observer que g^ tend alors vers zéro, et que la dernière équation ci-dessus prend cette fois une forme indéterminée. Or on pest démontrer directement, en se reportant an n"" 25, que A6^ est en pareil cas un très-petit du second ordre ; et en somme, l'équation qui nous occupe deoMNire applicable avec Z = 90*.

Par sdlleurs, dès qu'on s'écarte un peu da ttéridien, l'erreur rdative commise dans cette équation, et qui est évidemnoDi représentée par le coefficient k de la relation générale ci-dessus, toaibe tout de suite beaucoup au-dessous de l'unité. Par exemple, ce coefficMl n'atteint que 1/15 pour Z = 5* ou (180* — 5*), avec P en temps =2»'60- ou (12'»r-2'»50-) et L=60*, ouavecP=1^30-ou (12»»— 1^50-) et L = 0*. Mais l'erreur absolue affectant ladite équation devient toujours considérable, quand AL^ atteint de grandes valeurs, ce qà correspond, en définitive, au danger signalé au n* 5 de l'emploi de l'intersection de l'espèce L pourpoint déterminatif d'une droite de hauteur.

Il importe d'ajouter que l'expression générale du coefficient k indique bien la nécessité d'exclure en principe les distances zénithales extrêmement petites; car, en pareil occurrence, quel que soit d'ailleurs le moment de l'observation de l'astre, P se trouve toujours très-faible» et par suite cotg P et k deviennent très-grands. — Enfin, avec une très-grande latitude, cosL^ tendant vers zéro, k prend encore des valeurs élevées; et l'on est alors exposé aux mêmes restrictions que pour les environs de Z = 0* ou 180*.

La discussion précédente établit analytiquement le cas où l'une des deux équations de départ de la méthode Lalande-Pagel cesse d'être valable, et correspond à la première des deux défaillances dont nous avons établi géométriquement l'existence au commencement de ce numéro.

— Occupons-nous maintenant d'établir analytiquement la seconde desdites défaillances.

Pour cela, remarquons que la validité des deux équations de départ ne suffit pas pour mettre cette méthode à l'abri de cette seconde défaillance. En effet, le résultat final dépend de l'équation (25) du n"* &3 :

Cette relation n'étant qu'approchée, cesse d'être applicable quand

DËTERMINATtON DU POINT OA^^VÉ. 96

les différences {g^ — j'J et (A6^ — A6\) viennent à être du même ordre de petitesse que les quantités négligées au dénominateur. Pour savoir quand cela se présente, il faut rétablir l'équation précédente dans toute sa rigueur, à l'aide de la valeur complète de AG^ et A6\ en fonction de AL^, valeur dont l'expression générale a été dimnée page 93. Nous trouverons facilement ainsi :

La quantité négligée est donc :

yi(l+A)-^'i(l + *') g^-g\ ' Le premier facteur de cette quantité étant la valeur exacte ,du rapport de -jTf lo second facteur représente l'erreur relatioe commise

en se servant de la valeur approchée de ce rapport.

Si g^ et gf^ sont de signes coMraires, cette erreur est évidemment moindre en grandeur absolue que la plus grande des deux quantités k ou k', abstraction faite de leurs signes. Or, en dehors du cas d'observations prises aux environs du méridien, et qui est déjà exclu non-seulement comme correspondant à là première défaillance, mais encore au point de vue général de l'atténuation des erreurs d'observation (n"" 55), les coeflBcients k et k' sont en générai notablement plus petits que l'unité, comme nous l'avons dit ci-dessus. — Si g^ et gf^ sont de même signe, l'erreur relative est évidemment plus petite en valeur absolue que la plus grande des deux quantités konK multipliée par

^^ /. Or, si l'on remplace g^ et g\ par leurs valeurs approchées

v<Ht dès lors que ce rapport, et à fortiori l'erreur relative qui nous occupe, ne sauraiatit atteindre une valeur considérable que dans le cas où (2? — Z) , qui n'est autre que l'écart azimutal des deux astres, tend vers 0^ ou 180*. Mais ce cas doit par ûlleurs être exclu pour les deux mêmes motifs que ci-dessus.

—La discussion précédente indique que la méthode Lalande-Pagel est affectée de défaillances inhérentes à son essence même, et dont rinconvénient est d'autant plus marqué que la délimitation de ces défaillances est en général complexe.

Ged, joiDt à Tezistence tavfours inèviuMe de rerreur absoliie impoitante susmeotionnée, qui aflTecle le résultat des cakulSt km d'une valeur élevée pour Terreur AL« de la latitude estimée, caraGtérise nettement rinfériorité de la méthode en question sur la oiétbode Marcq (n* 42) pour la détermination du point observé.

^ IV* 4S« Perfeeil^MiCHievt «ppltoaUe à te méÊÊÈmét lialaMde-Pacel. — C'est ki le moment d'indiquer l'usage de U parabole osculatrice de H. Boitard, que nous avons définie au n* 2& Cet usage a pour objet de trouver ufie position du navire plus rapprochée du véritable point Z, flg. IS, que ne l'est le point de rencontre N des deux droites de hauteur employées avec la méthode Lalande-Pagel. En d'autres termes, M. Boitard s'est proposé de substituer à l'intersection des deux sécantes BN et B'N' celles de deux paraboles osculatrices passant sur la sphère, par les points B et B'.

On est ûûsi conduit à substituer à deux équations de req)èce (28) du n* AS, les relations :