C = G, + -AL,4-__-(AL

Dans ces relations, ^f tti» ^t -^ s obtiennent comme il a étt

expliqué au n"* 25. Il importe d'ailleurs de remarquer, en passant,

dP que la valeur absolue de -rr n'est pas ^;ale à la valeur absolue de jr„

mais à la moyenne entre cette dernière vsdeur et la quantité correspondant à une variation de AL égale à — 1', encore en fusant abstraction des termes au delà du second ordre dans le développement complet de AP. Ce n'est donc que par approximation qu'on pourrait

. . dP 15^,

poser au besom — =5f^ =^.

En tout état de cause, on a présentement à résoudre léquatioo do second degré en AL« :

Le rapport du coefficient de (AL^)' au coefficient de AL« se trouve être très-petit, dans les circonstances ordinaires. On peut alors

résoudre réquation par approximations successives {*). A cet efifott on néglige d'abord le terme en (AU)* pour avoir une première va* leur A^Le de l'inconnue. Gn remplace ensuite (AL«)* par (A^L«)% ce qui permet d'obtenir une nouvelle valeur de AL« plus approchée que la première.

Mais ce mode de résolution cesse d'être licite quand le rapport en .question n'est plus très-petit, ce qui a lieu quand une des hauteui-s a été prise aux environs du méridien, et aussi à un moment quelconque par les latitudes très-élevées. — Il suit de là que le mode de rectification de M. fioitard s'évanouit dans le cas principal où la méthode Lalande- Pagel fait défaut (n"" àà). Mais, en revanche, il évite la défaillance de cette méthode quand, g^ et g\ étant de même signe, l'écart azimutai des deux astres se rapproche de 0« ou de 180*. Du reste, ce mode de rectification un peu long et complexe n'a pas reçu d'application com*aote d^ns la pratique.

^ l«''4«. Détcr«iiB«tl«HiiBMrcetep«rtoc«lc«l ««p^tat mhu€WTé t «iéth«de par la lana'^*^^ eattetée. — Arrivons maintenant à la solution par le calcul de la détermination de la position du navire dans le cas de deux droites de hauteur obtenues par des

(*) Les racines de l'équation générale du second degré 0x*-f bX"\-c=:0 peuvent s*écrire sous la forme :

ÂÙC

Sous cette forme, on voit tout de suite que, quand le rapport — est très-faible (ce

pour quoi il suffit, en particulier, que a soit trèsr-peth par rapport à 6], une des racines

(* tend Ters — r-, et Fautre vers Too. En pareil cas, on peut obtenir facilement la racine

finie f qui d^ordinaire alors est la seule racine utile à connaître.

A cet effet, on prend comme première approximation — v » ce qui revient à considérer

d'abord Téquation donnée, aj^-^- bX'{-c=iO, comme réduite à Téquation du premier de-

gré 6x4-0 = 0. — En faisant x^=zjt, dans ladite équation donnée, on obtient une nou

▼elle équation du premier degré, à savoir :

— + bx'^ct=0,

dont la résolution donne une nouvelle valeur de la racine finie plus approchée que la preoûère. .

Mais il est manifeste que ce mode de résolution ne fournit plus rien qui vaille quand

ÂQC

-— cesse d'être très-faible. Car on na sait plus alors vers laquelle des demi racines on court; on peut même s'écarter des deux racines k la fois.

MhrERMINATION DU POINT OBSERVÉ.

Pig. 14, relative à la déterminalion du point obienré, à Taide de la méthode par la longitude estimée.

êimnUi NGB et N'CB', fig. ih, déterminées Tune et Fautre sur les cercles de hauteur ZB et ZV à Taide de points de l'espèce 6 (n* S) « c'està-dire déduits delalongitude esâméeG^ Tous les ndsonnements employés dans la méthode Lalande-Pagel pour la recherche des coordonnées L et G de la position L du navire, sont id applicables, en changeant la latitude en longitude et vice versât et en substituant à la formule d'angle horaire les relations logarithmiques (2) et {i) du n* S. Appelons \ et l\ les changements en latitude correspondant à + A' de différence sur la longitude estimée dans les peux calculs de latitude exécutés avec cette longitude* Nous aurons sur la figure :

Ac = i' X COS Le ; *N = iGe X cos Le ; B6^Gc=/|; E6=AL| = L — Lt,

B'6— C'c= /'i ; B'd *= AL'jss L— LV

On trouvera dès lors les deux relations : D'où l'on tire :

Puis:

il y a ici à faire des remarques analogues à celles du n"" &S sur la possibilité de déduire ces formules de l'équation (10) du U"" 15, en y calculant le coefficient par voie indirecte ^ et sur leur généralité eu égard aux signes conventionnels à donner aux éléments.

— Par des raisonnements semblables à ceux du n^" A&, on dénK)Dtre que : — l"" La méthode fait défaut du moment que l'une des observations est prise aux environs du premier vertical; — 2"* Elle donne de mauvûs résultats par de très-grandes latitudes; — 3<» Enfin elle exige, dans le cas de I^ et l\ de même signe, que l'écart azimutal des deux astres ne se rapproche pas de 0* ou ISO"", circonstance qoi

DâTERMINATiœY DU POiNT OBSERVÉ. 99

doit, d'ailleurs, être exclue au point de vue général de TatténuatioD des erreurs d'observation (n'^ÔS).

^ ir 4 V . BétonnlHiati^Hi tadireete par le m1c«1 «« petmt •toerré : métliefle ■•■>«« et mmm iM^ene. — A la suite des deux méthodes précédentes, il s'en présente naturellement deux autres résultant de la combinaison des deux premières entre elles.

Aina, après avoir déterminé le point B, fy. 15, sur le premier cercle

pig.i5.reiatfTeàiadétenniiiationdupoiiit ^® hautour à l'aide de la latiobwfTô, par u méthode Borda. tude (ou de la longitude) esti-

mée, il semble plus exact, au lieu de trouver B' sur le deuxième cercle avec le môme élément, de le déterminer à l'aide de la longitude (ou de la latitude) déduite du premier calcul. Ceci revient à mener par le point B un méridien (ou un parallèle) jusqu'à sa rencontre avec le deuxième cercle de hauteur*

— Pour mieux fixer les idées, considérons spécialement le cas où l'élément de d^art est la latitude estimée L«, en laissant au \\ lecteur le soin d'en déduire, par analogie, la solution ^i convient au cas où cet élément est la longitude estimée, c'est-i-dire au cas moerêe.

Le premier calcul à faire est ici un calcul d'angle horaire avec I4,, tf<* l'on tire G, pour la longitude du point B. A l'aide de 6,, on trouve la latitude L\ du point B' par les formules logarithnûques

dn n* }; et on a ainsi les coordonnées l!^ et 6^ du point B'. En

fusant varier la latitude estimée L« de + 1', on obtient deux nouveaux points C et C, dont les coordonnées soat (L,+ 1% (G +y ), ^^ (L'i + *'i)» (G4+ g,). Ces points déterminent avec B et B' deux iéeantes de hantiur BON et B'C'N, et la rencontre N de celles-ci fournit la portion cherchée, dont les coordonnées inconnues sont L et G.

—Pour déterminer ladite rencontre par le calcul, nous remarqueroûs d'abord que 6c = + !', frV=/'j, (B6— Ce) =y^Xc<«Le; et qœ les inconnues sont : frN =s ùL,; B6 = 6^6' = AG x oos L - 6'N=ALV

Les triangles N6B, NcC; N*"». Nc"C'; et WJf, HdG, donnent:

le ** B6- Ce ™ Uv7 ^ 6'c' "" ftc-A'c'*

On tire de là d'une noaniëre évidente :

AU AGj MA (ALe~AL\)

En écrivant la latitude L de N sous deux formes, on a :

L = U+AU=L'| + ALV

D'où:

(AU-AL'j)=(L^-Lt).

Et par suite :

— Pour que cette méthode soit plus avantageuse que l'une ob Fautre des précédentes, il est nécessaire que les points B" et C aillent en se rapprochant de N.

Ainsi que le montre la fig. 15, cette condition exige que l'élément ZB du cercle de hauteur appartenant à l'observation qui sert de point de départ au calcul, ou le prolongement de cet élément, fas^ avec le méridien PZ un angle aigu plus petit que l'angle analogue de la deuxième observation. -^ Gomme les verticaux ZA et Zi' sont respectivement perpendiculaires aux éléments de cercle debaoteur dont il s'agit, ce qui précède revient à dire que TobservatioD de départ doit être faite avec l'astre observé le plus éloigné du méridien, et cela que les deux astres soient de part et d'autre de ce cercle ou d'un même côté. Rien n'empêche de choisir comme point de départ du calcul celle des deux observations que l'on veut II y a donc toujours moyen de s'arranger de façon à rendre la méthode efficace.

Il va de soi que la condition voulue sendt renversée, si on em- (doyait le problème invene, c'est-i-dire si on iiûsait reposer les calculs sur 1& longitude estimée au lieu de les baser sur la latitude estimée.

— La solution que nous venons d'indiquer n'est autre que celle employée par Borda, dans son célèbre voyage avec Verdun et Pingre. Il Tavait toutefois établie en s'appuyaat sur un calcul de fausse position, comme il est expliqué ci- après (n* A9). Par ailleurs, Borda

avait aussi indiqué la condition d'eflBcacité que nous venons de signaler. Mais riilustre navigateur ne semble pas avoir envisagé cette condition au point de vue de Yessence môme du procédé. — Son idée dominante était de faire dépendre la latitude de l'observation la plus voisine du méridien, et la longitude de l'observation la plus éloignée, de façon à atténuer le plus possible, sur chaque calcul consi* déré en particulier, l'influence des erreurs même d'observation. C'est là un autre ordre de considérations qui ne fidt que confirmer la nécessité de la condition qui nous occupe. Si cette conditi(»i n'était pas remplie, la méthode Borda, au lieu d*ètre, au moins théoriquement, supérieure à la méthode Lalande-Pagel, lui deviendrait inférieure.

Dans tous les cas, on est exposé ici à des défaillances analogues à celles inhérentes à l'essence même de cette dernière méthode (n* &A), quand l'observation qui entre dans le calcul de départ a été faite trop près du méridien (ou quand l'autre observation a été prise trop près du premier vertical) .

^ Nf^" 49. Bétermiiuiil^Hi taMreeie dm p^tat mUtimrwé, p«r la tliéorie fie la toiuise pesHtaM s premier ^enre. — Au lieu de regarder toutes les solutions précédentes de la détermination du point observé comme dérivant de t emploi de$ droites de hauteur 9 on peut les considérer comme une application de la théorie générale des calculs de fausse position.

On se trouve, en effet, ici en présence des deux équations (22) et (23) du n"* 38. Or on peut résoudre ces équations à l'aide de la fausse po9iiion par rapport aux deux inconnues L et 6, en s'aidant d'une valeur approchée L. de L, ou 6« de 6, valeur qui forme ce qu'on appelle Vêlement de départ. — Le mode d'opérer se présente sous cinq genres distincts expliqués ci-après, et qui d'ailleurs se dédoublent chacun en deux manières^ suivant qu'on prend Le ou 6^ pour ledit élément de, départ. On verra dans ce qui suit, et comme nous le ferons ressortir explicitement aux endroits voulus, que ce mode a an fond, une entière connexité avec l'ordre d'idées développé aux n** 1& et 15, eu égard aux explications, fouruies à la fin du dernier de ces numéros, sur le calcul par voie indirecte des coefficients des diverses fDrmnles qui y sont données, et sur les deux manières dont se présente chaque fois ce calcul.

— Le premier genre de calcul de fausse position comporte, dans sa première manière^ Le comme élément de départ. On fait, en conséquence, L = Le dans les deux équations (22) et (23). Ces équations

iOS DÉTERMINATION DU POINT OBSERVE.

donnent alors chacune une racine pour la deuxième inconnue G. SikB deux valeurs ainsi obtenues sont égaies, ce qui ne saurait 6tre que très-exceptionnel, on a la longitude cherchée, en même temps que la valeur L, de la première inconnue se trouve être exacte. — Mais d'ordinaire, on obtient deux valeurs différentes 6^ et G'^ pour la longitude. On recommence alors les calculs avec (U+^Ot ce qui dcœne deux nouvelles valeurs de 6, savoir : (G^ + 9J, {G\ +çf^).En appelant ALe, AG^ et AG', les corrections à faire subir à U, G^ et G'^ pour avoir les valeurs de L et G qui satisfont aux deux équations, on se trouve en présence des quantités suivantes :

L«, Cl, G\i

U + i\ Gt + ^i, C'j+^\;

Le + AL., Gt + AGt, G'+ACi;

ETec U condition : Gt+^Gi = G'i + AG'| = G.

Dès lors, en admettant que les variations de la longitude soient proportionnelles aux varifttiois de L., on trouve :

AU AGi àO\ (AGt— AG^) (G^-G)t

*' "" yi ^ g'i "" (^1— ^'1) ^ toi— /i)'

On retombe donc sur la solution donnée au n* &3, constituant la méthode Lalande-Pagel.

U importe d'ajouter que c'est conformément au dernier or^ d'idées que nous venons d'expliquer, c'est-à-dire par la théorie de la fausse position^ que U méthode en question a été établie par Lalande. D'autre part, ladite théorie rentre elle-même, pour le cas dont il s'agit, dans la résolution de deux équations de l'espèce de Téquation (9) du n"" 15, où l'on calculerait les coe£Scients par voie indireeU^ ainsi que cda a été expliqué au n* AS.

— Si au lieu de prendre L^ comme élément de départ, oç se donnait G« pour appliquer la fausse position suivant la deuxième manière du premier genre, on arriverait à une solution identique à la solution trouvée au n"" A6, dans la méthode de la détermination du point ob* serve par des sécantes de hauteur déduites de la longitude estimée.

Cette même application rentre au reste dans la résolution de deux équations de l'espèce (10) du n"" 15, où l'on calculerait les coefficients par vote indirecte.

^ m* 4». DétorMtnaao» IndirMto dwt p^ÉMt par la Oiéorie die la fiMUMie paaittoB s diewxièaMi

DÊTBRIUNATION DU POINT OBfiBRVfi, 108

Dans ce deuxUme genre, on intiroduit Télément âe départ L« pour la première manière (ou 6« pour la deuxième manière) dans Vexation (22) du n* 38; et on en déduit 6. (ou L^)* On porte cette dernière yaleur dans l'équation (23), d'où on tire L'^ (ou G\). —* On recommence les calculs en introduisant (L«+l') [oa(6«+^')]^B(22), et en en déduisant {G^ + g^) [ou (L^ + \)] qu'on port^ dans (28). Il en résulte une valeur {L\ + 1^) (ou (6\ + sfù]* — Si l'on a pris I^ comme élément de départ, on se trouve ainsi en présence des quaa^ tités suivantes :

Lt, Cj, L'i;

U + 1', G, + ^j, L'i + ^i; Le+AL«, Gi+AG„ L', + AL',

atec la condition : Le + ALesL'i+^V '

Si Ton a pris 6« comme élément de départ, on est en regard de :

G« + AG., m- ALj, G'i + AG'„

•▼ec la condition : G« + AG« = GV+ àG\.

On obtient alors les proportions :

Aie A^ ___ MA (AU-AL^t) {h't-U) ^' " 9," h" (l'-''i) ■" (*'-''i)' OU :

ACe ALi AG\ (AG>~AG^i) (G>\—(^) i' "" ^1 " ^'i * (l'-^i) "(l'-/i)'

La première ligne correspond à la méthode Borda que nous avons exposée géométriquement au n"" A7, mais que son auteur avait trouvée ea employant la fausse position, suivant la manière que nous venons d'indîquar. — La seconde ligne se rapporte à Xinverte de cette méthode.

Par ailleurs, les diverses relations ci^dessus pourraient se déduire de deux équations, l'une de l'espèce (9) [ou (10)] du n* 16, l'autre de reqpièce (10) [ou (9)}, dont on calculerait les coefficients par veie indirecte.

pMP la ttéorte die la flR«Mia pa«ltiott t teaUièHie i

Dans le iroieiime genre de calcul de fausse position, on conunenoe, comme toujours, par introduire L. pour la première mamère (ou

6e pour la deuxième manière) dans Téquation (22) du n* S8, et on en déduit 6, (ou L,). On porte alors Le et G^ (ou 6, et L^) dans (»)•, et on résout cette équation par rapport à la hauteur. Si la valeur ainsi trourée est justement égale à la valeur connue BT, L. et G^ (on Ge et Lj), sont les bonnes valeurs des inconnues. — Mais ce cas ne saurait être que tout à fait exceptionnel. D'ordinaire, la valeur trouvée H', différera de la hauteur observée H'. On recomoiencera alors les opérations avec (Le + 1') [ou (G. + 1')], ce qui donnera, à l'aide de l'équation (22), (G, + g,) [ou L^ + 1 j ] , et , à l'aide de Téquation (28) , (H'^ + h\). ^ Si l'on a pris L. comme point de départ, on se trouve alors en présence des quantités suivantes :

ht, G|, H\;

Le + i'. G, +^,,^ H\ + A',;

Le + AU, G, + AG„ H';

Si l'on a pris G^ comme élément de départ, on est en regard de :

G«, Lj, H',;

G«+ACe, L, + M^, H'.

D'où l'on déduit les proportions :

ALe AG,r— H\

ou:

AG, ZkLi y— H\

La double solution que nous venons d'exposer pourrait se déduire

Kig.ie, relative à ladéleminationdupoint <*« doUX équatiOUS Semblables l'UM à obsenré, par la variation d'une des deux FéquatioU (9) [od (10)]dun*16,rautre

^' à l'équation (11), et dont on calcule-

rait les coeflBcients par voie indirecte.

— D'autre part, cette double solution, traduite graphiquemetU^ revient à ceci :

On a un cercle de hauteur NB, fig»

16, correspondant à un astre A. Avec la latitude estimée L. (ou la longitude estimée 6e) , on détermine le point t situé sur ce cercle. Du point A' représentant la position de l'astre lors de la seconde observation , on trace un cercle de hauteur B^ avec A'B

poor rayon. En faisant varier L« (ou &«) de + \.\ on trouve sur le cercle NB, un nouveau point G. Du point A' comme centre avec A'G comme rayon, <hi trace un nouveau cercle de hauteur Gy. Enfin avec la seconde distance zénithale A'N observée, on trace le véritable cercle de hauteur Nv de cette observation. Il s'agit de trouver la position du point N à l'aide des cercles Bp et Gy.

11 suffit pour cela de considérer : l"" les deux triangles NnB et GrB, dans lesquels on a :

Bn = ALe, N« = AG«xcosL«; Bc (ou Ce) =s 1'; Ce = ^,xcosLt(ou Bc=/,);

2* les triangles NEB et NDG, où :

NE = (H'-H\)j EDsaAV

On retombe alors sur les formules trouvées ci-dessus. ^ N'' SI. DétcrnalBatios taMrecte dv p^lBt •iMervé, fmtlm théorie de la fmmmme pomliMmm : i|«atrlèaie et ete- ^ndènie ^emres. — Pour le quatrième genre de calcul de fausse position, on opère absolument de la même façon que dans le numéro précédent, en substituant D' à H'. On trouve ainsi, pour les deux manière$ de ce genre, des relations entièrement analogues à celles qm conviennent à l'emploi de H'.

On peut voir par ailleurs que la solution rentre dans celle qu'on déduirait de deux équations de l'espèce (9) [ou (10)] du n* 16, l'autre de l'espèce (12) , dont on calculerait les coefficients par voie indirecte.

— Traduite graphiquement, cette nouvelle méthode revient à ceci :

Sur le cercle de hauteur NB, /fg. 17, de l'astre A, on marque le point B, d'après la latitude estimée î. (ou la longitude estimée Ge^; puis le point G, à l'aide de ce même élément augmenté de 1'. Des points B et G comme centres avec B§ = Gy = la seconde distance zénithale observée comme rayon, on décrit des arcs de cercle, qui, dirigés du côté de la direction azimutaledu deuxième astre, direction en principe connue, coupent en ^ et 7 le cercle de déclinaison PV de ce second astre. Il s'agit de trouver le point N de façon que M soit égal à Bp et à Gy. — A cet effet, on a

Fig. 17, relative à la détermination du ftkkX okserré, par la Tariatton d'une des deux déclinaisons.

106 DÉTERMiNÂTION DU POINT OBSERTÉ.

recours aox triangles N6B et NcG, où N6 = AL « , 6B = A6e X cosl^,, 6c=l' (ou /J , et (B6 — Cc)=g^ cos L, (ou 1') . On remarque d'ailleurs que les arcs Bp» G7 et M' sont très-voisins, et que, par suite, leurs cordes sont sensiblement parallëles. Gomme, en outre, ces arcs sont égaux, on a sensiblement Â'^ ou la différence en déclinaison (V — V^) = NB, et Y^ ou d\, qui est la variation en déclinaison correq[X>ndant à +1' de variation en latitude (ou en longimde estimée) = GB. On se trouve ainsi à même d'obtenir les relations cherchées entre AU, 1' (ou l^); AG., (T. (our);et(iy-D/),rfV

— Enfin, dans le cinquième genre de solution par la fausse position, c'est l'élément G'^ qui joue un rôle analogue à celui de ff et de ly dans les deux genres précédents. Par fleurs, cette solution peat aussi, dans sa première (ou sa deuxième) manière^ se déduire du n"* 1 5 à l'aide de deux équations, l'une de l'espèce (9) [ou (10)], Tautre de l'espèce (13), dont on calculerait les coeffiGÎAnt« par vm indirecte.

Au point de vue de son interprétation géométrique, le cinquième genre se rapproche du quatrième, sous la condition que, dans la fiff. 17, l'arc à'y^ du cercle de déclinaison de l'astre, soit remplacé par un arc de son parallèle.

Envisagées sous le rapport exclusif des calculs eux-mêmes, les deux manières du genre qui nous occupe rentrent, l'une dans la première manière du premier genre de solution par la fausse positioo (n"" &8); l'autre dans la deuxième manière du second genre (n^'AQ).

•X- IV"" st. €}owuÊÊdéraUmmu «éttéralMsw 1m détennlMtimnm imMremiem par le c«lc«l div p#lMt •iMnerYé. TaMc •7BepUi|«e die tmutem les moimiiomm pmmiiÊMem die la tteM. — Gonsidérons d'abord les divers modes d'opérer par la/bNue position que nous vencms d'expliquar. Ils donnent lieu à dùuze solations approximatives de la détermination dont il s'agit. — Hais ilfaat remarquer pour cela que le nombre de solutions se double pour le troisième et le quatrième genres, en intervertissant entre elles les équations (22) et (28) du n"" 88, c'est-à-dire en changeant l'obstfvation dont les élém^ts entrent dans la formule de départ des calculs. En résolvant la question à l'aide des équations du n"" 16, ceci revient à intervertir pour chacun des deux genres en question, l'ordre des espèces des équations propres à chacun d'eux.

Tout coipptefait, on se trouve, du chef qui nous occupe, en présence du tableau suivant :

MiTERMlNATlON DU POINT OBSERVÉ.

SOLUTIONS fVI