DONNANT LE POINT OBSERVÉ

est donc à même de trouver chacune de ces inconnues, et, par suite, d'achever comme à Tordinaife le calcul des circumméridiennes.

Mais, en outre, la valeur de p ou de p' permettra de connaître l'heure du lieu au moment même de Tune des observations; on pourra donc, du même coup, en comparant cette heure avec celle de Paris déduite de C ou de G', déterminer la longitiide. — 11 importe de noter qu'en raison des explications du n* 20, cette longitude correspondra au moment même où on a lu à bord l'heure chronomé* trique considérée, et non à l'instant du passage simultané de l'astre et du navire au même méridien.

La détermination précédente de la longitude rentre, au fond, dans la méthode de Littrow. Mais, de même que cette méthode, elle ne peut donner de longitude acceptable, eu égard aux erreui*s d'observation, qu'en tant que les deux hauteurs sont prises de part et d'autre du méridien, et, d'ailleurs, dans les conditions azimutales déterminées par la règle de M« Crévost.— En ce qui concerne la latitude, la valeur obtenue est suffisamment exacte dès que les hauteurs sont correspondantes ou ix peu près, ainsi qu'il a été expliqué au n* 60.

— On pourrait, dans ce qui précède, substituera Téquation (15 6m) précitée du n* 20 l'équation analogue L=Lç — *iPi* ^^ "** 21. D'après la manière même dont a été établie cette dernière formule, il n'y «aurait pas cette fois à faire entrer en ligne de compte les changements en latitude et en longitude l et g. De plus, on n'aurait à considérer qu'une même valeur pour a,. Ce cas particulier éviterait de prendre une moyenne, ce qui semblerait plus rigoureux. Mais, d'après les considérations du n'* 22, cet avantage n'est qu'apparent; et même dans le cas où on a une valeur méridienne directe de la latitude, ainsi qu'on le suppose dans la méthode Littrow, ce qui permet de calculer a^ rigoureusement, les choses reviennent en fait au même sous le rapport de l'approximation, à cause des termes né* gligés dans les deux sortes de formules considérées. — Toutefois avec a^ les équations à employer se présentent un peu plus simplement; car elles deviennent :

Il importe d'ajouter que la longitude obtenue correspond cette fois à l'instant du passage simultané de l'astre et du navire au même méridien.

— M, Pagel a beaucoup préconisé, dans une brochure parueen 1869, Tusage des circumméridienues pour avoir la longitude. La méthode qu'il propose rentre au fond dans celles que nous venons de citer, comme se déduisant de la formule générale des circumméridiennes. Selon lui, tl y aurait^ avec une pareUle miihode^ compensation par faUt sur theure^ entre les erreurs provenant de la hauteur et celle provenant de la latitude. Dès lors on obtiendrait ainsi des résultats inespérés.

Mais en étudiant la manière dont l'auteur démontre ladite corn* pensation, on s'aperçoit qu'il invoque la proportionnalité des erreurs en longitude aux erreurs en latitude d'une part, et aux erreurs en hauteur, de l'^iutre. Or nous avons vu (n*** 4 et àà) que ces proportionnalités, sur la première desquelles est justement basé le procédé Lalande-Pagel pour la recherche du point observé, cessent d'être exactes aux environs du méridien. 11 s'ensuit que les résultats soidisant inespérés de M. Pagel sont demeurés lettre morte ; et que les navigateurs qui se sont fiés à ses promesses, n'ont pas tardé à abandonner la méthode, fauté d'avoir connu les conditions susmenUonnées, où elle est au besoin acceptable.

1" PARTIE. — S IX. Cas de plus de deux observations :

nr «s. MeiUewp paru à tirer de plus de de«m ebserviiiien«. Un peint le pins prebaMe dn navire eerreipendant à n dreites de hantenr. Prepriété intpertanle de ee peint* Clas eu le« elmervatiens n'ent pa« mémt peids. — On a ici autant de droites de hauteur que d'observations. Mais généralement le manque d'identité complet de ces droites avec les véritables lieux géométiûques du navire, et surtout les erreurs de hauteur et celles de l'estime dans l'intervalle des stations, ont pour résultat que les diverses droites, ramenées d'ailleurs à une même station (n** 89), ne se croisent pas en un point unique.

Si on trace les bandes de certitude (n" 57) propres auxdites droites, la partie commune de ces polygones représentera unerégloa relativement très-limitée, où se trouvera le navire. Dans les régions provenant des bandes combinées deux à deux, la position la plus probable (n* 122) du naVîte correspond à l'intersection deux à deux des droites de hauteur. On est naturellement conduit à chercher la position la plus probable de ces positions les plus probables.

— Pour résoudre cette question, il suOlt de remarquer qu'on se trouve . en présence de n droites de hauteur qui, au lieu de se couper en un seul point, comme elles le devraient s'il n'y avait pas eu d'erreurs commises sur les observations ayant servi à les déterminer, se rencontrent, par suite de ces erreurs, en un certain nombre de points distincts, qui peut s'élever à — ^-^ • Il faut

alors chercher le point le plus probable, c'est-à*dire un point (n" 122) qui jouisse de la propriété suivante : ses deux coordonnées x' et yfj introduites dans l'équation de chacune des droites, devront satisfaire à ces équations» non pas rigoureusement, ce qui est impossible d'après ce que nous venons de dire, mais approximativement, avec des erreurs e, *,..., telles, que V erreur moyenne, dite aussi rerr^wr à craindre (n** 125), et par suite terreur pro6a61e, qui Itti est proportionnelle (n* 126) , se trouve un minimum. — D'après la théorie des probabilités, on résout la question en appliquant la méthode des moindres carrés (n° 133). Mais cette application exige exprès* sèment, par son essence même, que toutes les observations soient également précises, et par suite aient mime poids (n*" 129). Nous supposerons d'abord qu'il en est ainsi. — Dès lors, pour procéder à ladite application, nous remarquerons que l'équation de toute droite peut s'écrire sous la forme :

JTOsa-f-ysina— «y = 0,

s étant Tangle de la droite avec Taxe des x^

9 la distance de la droite à Torigine des coordonnées, laquelle origine demciu'e du reste arbitraire.

La question consiste à trouver deux coordonnées, l'une en x\ l'autre en y\ qui rendent minimum la quantité :

I(a;'co8« + y'8ina— ç)' = ït*.

Nous verrons aux n*** 65 et 66 comment on peut achever la question soit graphiquement, soit analyiiquement. Ce dernier mode n'offre aucune difficulté. Mais le procédé graphique exige qu'on établisse préalablement une propriété importante, dont nous allons nous occuper*

—On sait que le carré A* delà perpendiculaire abaissée d'un point (x\ y) sur une droite de la forme ci-dessus, a pour expression t

(j:'co8« + y'Bina— ^)« , ^ , , . ..

cos«« + sn«a ^ ^^ '^

Donc chacun des carrés des perpendiculaires en question vâut ici £*• Gonséquemment on a :

SA* minimum (*).

En d'autres termes, le point le plus probable cherché jouit de la propriété que la somme des carrés des normales abaissées de ce point sur les droites de hauteur considérées, est un minimum.

D'autre part, dans tout système matériel rigide, la somme des carrés des distances r, r', r'\ de n points différents supposés d'égale masse à un point donné (a, 6, c) est minimum, quand ce point se confond avec le centre de gravité. On a, en effet :

Ir« = 2[(x-«)«4.(y-6)«+(3-c)*], jp, y, -, étant les coordonnées d'un quelconque des points matériels.

Or, le minimum de cette somme correspond évidemment aux équations :

S(a; — rt) = Sj- — na =0, Z(tj-b) =zj:y-7ib =0, l(s — c) = Sz — ne = 0;

et par conséquent a, 6 et c ne sont autres que les coordonnées du centre de gravité.

De ce fait, résulte la propriété importante que nous avions en vue, t^ savoir : le point le plus probable cherché se confond avec le centre de gravité du pied des normales abaissées de ce point sur les différentes droites considérées.

Il est intéressant d'ajouter que les résultats ci-dessus sont évidemment indépendants des écartements respectifs des points de rencontre des droites considérées, écartements susceptibles de prendre des valeurs aussi grandes qu'on voudra.

— Dans ce qui précède, nous avons supposé expressément que les diverses observations avaient même poids. On doit donc, en pratique, s'arranger de façon qu'il en soit ainsi, en ne combmant entre

C) 11 est intéressant de remarquer que si l'on avait employé, au lieu de la forme sûsadoptée, la fonnc habituelle de l'équation de la ligne droite : Aîc + By+C = 0, on aurait trouvé pour condition :

Se*, et par suite SA* (A* -|- B*) minimum.

Or A = cosax - ; et B=sina x -. Ou est donc amené k conclure que Sf A' X -; ) t'^* minimum en mémo tem])s que SA*, co qui constitue une concomitance intéressante.

eax que les résultats correspondant à des observations sur lesquelles on peut également compter comme degré d'exactitude. Avec des hauteurs de jour, il y a d'ordinaire moyen d'agir de la sorte, pourvu que la mer ne soit pas grosse, et qu'entre les observations prises à diverses stations, il n'y ait que de faibles erreurs sur l'estime. Mais avec des hauteurs de nuit, la question devient plus difficile à résoudre; car alors, même par belle mer, les conditions de chaque observation sont souvent très-différentes, à cause des changements incessants de visibilité de l'horizon.

— En cas de hauteurs d'inégale précision, il faudrait, avant d'appliquer le théorème des moindres carrés, multiplier chacune des diverses équations de la forme {a?cosa-|-ysina — g = 0), par la racine carrée du poids qui lui conviendrait (n" 130). Mais en pareille conjoncture, on n'arriverait plus à la propriété intéressante sus-mentionnée; et, d'autre part, les formules du n*" 66 cesseraient d'offrir le degré de simplicité et d'élégance qui les caractérisent.

•X- m" #4. Condltloii peur que le polni précédeni moH lu p#sltioii la pla« probable du navire. Objeetion capitale au sujet de cette position. — U y a une restriction à apporter à tout ce qui a été établi dans le numéro précédent, eu égard à ce qu'il s'agit de droites qui ne correspondent pas à un lieu géométrique rigoureux du bâtiment. C'est que le point le plus probable convenant à ces droites, n'est susceptible d'être considéré comme la position la plus probable du navire qu'autant que les droites de hauteur employées peuvent être regardées comme contenant l'observateur à un très-petit près du premier ordre (n** 7). Sans cette condition, le point le plus probable déterminé ainsi qu'il a été expliqué ci-dessus, perd manifestement toute signification. — En revanche, quand ladite condition est remplie, le point obtenu convient quel que soit le mode adopté pour mener les droites de hauteur, et quand bien même ce mode varierait d'une droite à l'autre.

Le mode qui donne, sous le rapport qui nous occupe, le plus de garantie, est le procédé Marcq^ à cause de la propriété qu'il a de fournir, en principe, le point déterminatif le plus avantageux (n® 6) de chaque droite de hauteur. — Toutefois, il y a, d'après le n"" 8, un cas exceptionnel qui atteint aussi bien ledit mode que les autres procédés, c'est lorsqu'on a affaire à des distances zénithales très-faibles, ou pour parler avec plus de précision, à des distances zénithales qui rentrent dans les très-petits du premier ordre.

— Il nous reste, pour terminer ce qui concerne X essence même du point le plus probable, à examiner une objeetion eapitakt qui a

fao POINT LE PLUS PROBABLE.

été soulevée à son sujet, à savoir : que la recherche, en navigatios, du point le plus probable est purement spéculatwe. On base cette objection sur les remarques suivantes : l"" Les hauteurs sont entachées d'erreurs syslématiques (n*118) et d'erreurs accidentelles {n* H9); or l'application du théorème des moindres carrés suppose expressément qu'on a corrigé les éléments du problème des premières de ces erreurs. — 2* Ladite application exige qu'on opère avec un grand nombre de données (n* J33), et de plus qu'on fasse un choix sévère des observations à employer, comme cela résulte d'une importante discussion soulevée par M. Le Verrier à l'Académie des sciences (voir les Complet rendus du 1" février 1875, page 291). — 3* De la propriété importante établie au numéro précédent, on conclut, ainsi que l'a fait remarquer le premier M. Bertot, que la somme algébrique des projections sur un même axe quelconque des distances entre le poitU le plu$ probable et les diverses droites de hauteur, est nulle. Or ces distances ne seraient autres que les erreurs commises sur les observations, si le point en question se confondait avec la position exacte du navire. Dès lors, le degré de confiance à accorder au point défini le plus probable d'après la théorie des erreurs d'observation, dépend de la réalisation plus ou moins complète de la condition tout à fait fortuite que voici, qui est, au fond, la traduction géométrique de la condition d'égale précision des observations mentionnée au n** 63 : Les projections sur un même axe quelconque des erreurs de hauteur considérées dans leurs directions azimutales respectives^ doivent se compenser.

Les erreui*s systématiques afférentes au problème dont il s'agit, sont d'ordinaire très-faibles, et du reste assez facilement déterminables (n" 181 à 187) pour des officiers intelligents et soigneux. — Quand les données de la question demeurent affectées de pareilles erreurs, l'application du théorème des moindres carrés conduit à une sorte de résultat le pltAs probable. Seulement, ce résultat se trouve entaché de Teffet dû à l'ensemble des erreurs de l'espèce. Nous ajouterons que ces erreurs se présentent ici sous leurs plus mauvaises conditions. Car, d'après les n^' 181 à 187 précités, elles varient avec la hauteur; et comme celle-ci change en général dans ledit problème d'une obsei-vation à une autre, l'influence qu'exercent sur le résultat les erreurs systématiques, si on ne les a pas éliminées^ devient complexe et absolument inappréciable.

Les considérations que nous venons d'énoncer, jointes surtout aux parties 2» et 3** de l'objection qui nous occupe, ainsi qu'aux réserves du commencement de ce numéro et de la fin du numéro précédent,

forcent à reconnaître que la détermination du point le plus probable par la méthode en discussion, qui est due à M. Yillarceau, ne laisse pas que d'être fort aléatoire, et ne saurait être recommandée tout au plus qu'aux observateurs habiles et instruits, en possession d'ailleurs d'un nombre suffisant de données. Gonséquemment, les navigateurs qui ne se sentiront pas en mesure de prradre toutes les précautions voulues, devront se contenter du procédé graphico-pratique indiqué à la fin du n* 65.

ir «s. BéteraiteAti^ii «■'«^pht^n^ «in p#int le plwi pi>«table relatif à plas de de«x etaerTatiaiis. Procédé le plan prati^Hicmeiit reeemnMiMdalile. — Le problème, ramené aux termes de la propriHé établie au n* 6S, se résout facilement, quand il n'y a que trois droites de hauteur, telles que DE, D'E et DD', fig. 1 9. On est, en Pig. 19. - Détermination gra- efifet, ramené ici à trouverdauslo triangle DED' phique du point le plus proba- mj sccoud triangle P^P" avaut ses médianes

ble relatif à trois observations. , ° ,. .

respectivement perpendiculaires aux côtés du .p' premier tiiangle, et dont le centre de gravité G

CA^^^^T"^^ représente alors le point le plus probable. K^y^' 'y Powr traiter cette question de géométrie,

y^^X supposons-la résolue ; et prolongeons la ligne

~"/p P'G d'une quantité GG' égale à elle-même.

^ Joignons les points P et G'. La droite PG' sera

parallèle et égale à F'G ; et les triangles GG'P et DD^E seront semblables comme ayant leurs cétés respectivement pei*pendiculaires. — Dès lors, les longueurs GG' op son égale GP, GP, et G'P ou son égale GF, sont respectivement proportionnelles aux trois côtés de DD'E. Par conséquent, après avoir mené des parallèles de, d'e et dd! à ces trois côtés à des distances qui leur soient respectivement proportionnelles, on joindra deux à deux les sommets homologues D, d; E, 0; et ly, d'. Les trois lignes ainsi tracées iront se couper au point cherché G.

— Quand il y a plus de trois droites de hauteur, la solution géométrique de la question qui nous occupe devient beaucoup plus compliquée. Elle a été donnée très-élégamment pour un nombre quelconque de points par M. Bertot, dans les Comptée rendus de t Académie deâ $eience$ du 20 mars 1870. Nous nous bornerons à citer la règle pratique suivante, par laquelle il conclut :

Les droites de hauteur étant données, on abaisse d'un point quelconque 0, les perpendiculaires OP^ OP', OP", /f^r. 10 bis^ sur ces droites (qu'on n'a pas tracées pour simplifier la figure). On détermine

i32 POINT LE PLUS PROBABLE.

ensuite la position du centre de gravité 6 des pieds P, F, P".... Puis on tire la droite OG. — D'un point quelconque C avec CO pour rayon, on trace un cercle qui coupe les perpendiculaires OP, OF, CF..., en des points q, q\ 9"..., et la droite OG en y. On détermine la position du centre de gravité g des points q^ 9', g".... On trace la ligne Y9f, qui, prolongée, coupe la circonférence en 0. On tire le diamètre oCm; et Ton achève le triangle ogm^ en joignant m et g. — Enfin, sur OG, homologue de og, on construit le triangle OGM semblable à ogm. Pour construire ce triangle, on opère comme voici : !• On fait en 0 un angle GOM = gom ; ce pour quoi il suffit évidemment de joindre 0 et m. 2<' On mène par G une droite faisant avec OM un angle GMO = gmo ; ce pour quoi il suffit de prolonger la

Fig. 19 tu. - Détennioauon gra- ^'""'^^ "^9 jusqu'cu a, à la reucoutre de phique du point le plus probable la circonféreuce du ccrcle tracé; de tirer

relatif à un nombre quelconque 11x1 % rx^m j 1 1 • >

d'observations. ob parallèle à OM ; de tracer la droite ab,

qui fait évidemment avec 06, et par suite avec sa parallèle OM, un angle abo=^gmo^ et enfin de mener, par le centre de gravité G, la ligne GM parallèle à ab, jusqu'à la rencontre de la droite Om en M. — Le point M ainsi déterminé représentera la position la plus probable du navire, sous la réserve, bien entendu, que les conditions du n"" 6h soient satisfaite».

La recherche des centres de gravité G et g des deux gi^upes de points P, F, F' et g, g', q'\ ne laisse pas que d'être un peu longue, quand il y a plus de trois points à considérer, et qu'on emploie la méthode de la composition des forces parallèles. Mais on peut abréger ces deux opérations en traçant deux axes rectangulaires, et en prenant, par rapport à chacun de ces axes, la moyenne arithmétique de& coordonnées, évaluées en chiffres, des divers points appartenant i un même groupe.

D'après le n^" 6A, la solution de M. Bertot convient quel que soit le mode employé pour mener les droites de hauteur; et quand bien même ce mode varierait d'une droite à l'autre.

— En pratique, qu'il s'agisse de trois droites de hauteur ou plas, les officiers se sontbornés jusqu'ici àdéterminer la position ïaplus probable du navire, en prenant de ieniiment un point plus ou moins central da réseau formé par les intersections des diverses droites en question. Ils chobissent ce point en se laissant guider par la connaissance de

telle hauteur plus ou moins bien observée, et en rapprochant alors pins ou moins le point de la droite correspondant à ladite hauteur.

D*aprës les conclusions du n"" 6h, ce moyen grosso modo donnera, en général, des résultats plus acceptables que le procédé mathématique précédent. — Une fois que, par le point ainsi obtenu, on aura tracé sur la carte la route à suivre, il faudra, pour plus de se- ' curité, mener deux parallèles à cette route tangentant la région de eertiltAde dont il est parlé au commencement du n"* 63, et déterminant une zone où on ne devra tolérer aucun danger.

m* Ml. HéterailiiatloB par le calcul du peini le plas preiMiUe relatif à pias de de«x ohuerwmiiowÊM, — Malgré ce qu'il y a de spéculatif di^na cette détermination, nous croyons cependant utile de Texposer, afin de n'omettre aucun des nouveaux problèmes ayant trait à la navigation. Gela entendu, on pourndt, pour résoudre la question, partir des équations de la forme S(x'cosoc -l-y'sintt — q) du n* 63. Mais il est plus simple de considérer l'un quelconque des cinq lieux géométriques du navire re- I»-ésentés par les équations en AL« et A6« (9) à (13) du n"" 15, et d'appliquer Téquation choisie à n observations ramenées toutes au même zénith. Nous aurons de la sorte n équations, représentant n droites de hauteur par rapport à des axes rectangulaires passant par le point estimé et dirigés suivant le méridien et le parallèle estimés du navire.

D'après le n* 63, on traitera les n équations par la .théorie des moindres carrés, pour en tirer les valeurs de AL, et de A6, qui, faute de satisfaire rigoureusement aux équations, sont aptes à rendre minimum l'erreur moyenne et par suite aussi l'erreur probable.

Nous nous bornerons à appliquer les indications précédentes à des équations de l'espèce (11) , qui conviennent à des droites de hauteur ayant pour point déterminatif le point rapproché^ c'est-à-dire à des droites de hauteur menées suivant le procédé Marcq (n"" h). Mais nous n'oublierons pas qu'on pourrait, en suivant la même marche, trouver des relations propres aux autres sortes de droites de hauteur. Bien plus, ainsi que pour la méthode graphique du n"* 65, les droites de hauteur considérées pourraient être, également ici, d'espèces différentes; mais il est évident que cela entraînerait à des relations complexes, et qui n'offriraient rien d'homogène. — Dans tous les cas, les droites de hauteur considérées doivent toutes relever d'un même point estimé, puisque c'est ce point qui forme l'origine des coordonnées, à partir de laquelle on compte les AL, et les AG,.

Pour en revenir au cas spécial que nous nous proposons de traiter.

434 DISTANCES LUNÂIRBS.

nous nons reporterons à Tégnation (11) da n* 15, en nous rappelant d'ailleurs que H^ y représente la hauteur efltmée H« calculée comme il est indiqué au n* i. Nous aurons dès lors à appliquer h théorie des moindres carrés à une série dé n équations de la forme :

ALe+AGecosLelgZ. — (H— H«)X — =- =0,