COS

AL. + AG. cosUtgZ'. - (H'-H'.)x — =r = <>»

COS/i t

Posons :

L'application de ladite théorie mène aisément aux formules suivantes, proposées par M. Yillarceau dans les Comptes rendus de tAcademie des sciences du 6 mars 1876 :

AG.X (^ 5 ) = (14 ti)X-t;Y.

On trouvera une application de ces formules dans le Type de CALCUL N* 7, donné à la fin de l'ouvrage.

1" PARTIE. — § X. Du RÔLE ACTUEL DES DISTANCES LUNAIHES (*).

M*" 09. IVéceMilté de ••nserrer TvMife des MmîmnttM ItBiuilres. — La détermination des longitudes en mer par le moyen des chronomètres^ est incontestablement la plus courte et la plus facile des méthodes susceptibles d'être employées. Mais il est certain aussi que le degré de précision de cette détermination, dépend uniquement de la perfection plus ou moins complète des montres que l'on a entre les mains. — Gomme nous le faisons voir dans la seconde partie de notre travail, les chronomètres actuels sont assez perfectionnés pour qu'il y ait possibilité de tenir compte par des formules, ou, plus pratiquement, par des procédés graphiques, des variations normales des marches (n* 100). M^ls les variations anormales, soit les perturbations de celles-ci (n"^ 101 à lOA), ne sont pas de nature, en général, à être fixées avec une certitude absolue.

D'abord si l'on n'a qu'un ou même deux chronomètres, de pareils

(*) Ce paragraphe a été rédigé en partie d'après des notes que boqs ont fouAMS M. le lieutenant de ? aisseau Benf, directeur de TObsenratoire de Toulon^ et M. Perrin, 9^ ont fait une étude spéciale et très-approfondie des distances lunaires. Mais la forme même de la rédaction» ainsi que les diverses <ymclasioas demeoreat entièremetat notre ceotre.

DISTANCES LUNAIRES. ia5

effets laissent le navigateur complètement désarnié; et le recours aux dbtances lunaires devient une nécessité absolue.

Quand on a trois chronomètres, ce qui est le cas général pour les longues navigations, si Tun des trois accuse une brusque variation dans ses comparaisons journalières avec les autres, on le laisse d'ordinaire de côté ; et on suit exclusivement les deux autres. Cependant il n*est pas mathématiquement certain que ce ne soit pas celui^ là qui demeure le bon ; car les deux derniers ont pu varier tous deux ^SLns le même sens. La probabilité, il est vrai, est que les choses se passent telles qu'on les suppose. Mais ce n'est jamais qu'une probabilité; et si on a été trompé par les apparences, les conséquences que cette erreur entraîne peuvent être de la dernière gravité. Parfois même, il survient un désaccord complet, plus ou moins transitoire, entre toutes les montres. — Nous montrerons, aux n*' 158 à 162, qu avec trois chronomètres, on est à même, dans une certaine mesure, de découvrir le ou les instruments qui ont été perturbés, et de reconnaître en outre la valeur de la perturbation. Mais la solution de ce problème comporte toujours avec elle un certain aléa, et demande d'ailleurs beaucoup de tact et d'instinct. 11 y a donc encore ici nécessité ou au moins extrême utilité pour un navigateur consciencieux, de ccmtrôler le point déduit des montres par des distances lunaires.

En résumé, à tous égards, l'emploi des distances est une méthode à conserver, surtout en apportant aux observations et aux opérations les soins méticuleux indiqués aux n" 76 et 77.

M* «9. 'Degré d*emaetliade que ••mporte la détermioattoii de la langrltade par les dAstanees Itanaires. "Vale«m extrêmes des dlsCanees dans la Caniuiissfinee des temps. €)onsidératlans sur les aeewltatlans d'étailes. — Avant de parler des méthodes qui permettent d'opérer la réduction des distances lunaires pour en déduire la longitude, il importe de faire ressortir le degré d'exactitude que ce genre d'observation comporte. Il y a ici à envisager deux causes d'erreur; l'une tient à l'observation elle-même, et l'autre à la théorie encore incomplète de la Lune, et conséquemment à l'imperfection des tables basées sur cette théorie, et dont les meilleures sont présentement celles de Hansen. De ' cette dernière circonstance, il suit que les éléments lunaires, tels qu'on les trouve tout calculés dans la Connaissance des temps ^ sont affectés de petites erreurs; et il faut même prévenir qu'en comparant lesdits éléments calculés avec leurs valeurs déduites d'observations dtr«c/e«, on a remarqué que les erreurs dont il s'agit,

i36 DISTANCES LUNAIRES.

ODt des périodes d'accentuation^ qui heureusement ne durent pas, mais dont on ne saurait prévoir ni le retour ni le degré d'anomalie.

Quoi qu'il en soit, on peut en principe considérer l'erreur d'observation sur la distance, ainsi que l'erreur des tables, comme se reportant en totalité sur la distance réduite. Parfois ces deux sortes d'erreur sont de sens contraire et tendent à se détruire Tune par l'autre, tandis que d'autres fois elles s'ajoutent ; mais comme rien ne peut faire supposer que l'observateur est à cet égard favorisé par les circonstances, nous allons mettre les choses au pis, en supposant que l'erreur d'observation s'ajoute à l'erreur des tables.

Or les observations directes sus-mentionnées de la Lune, comparées avec les positions consignées à l'avance dans les recueils astronomiques, ont fait reconnaître que l'erreur en ascension droite ne dépasse guère 0%7, soit 10",6 en angle; et on peut affirmer que trèsrarement elle atteint ce chiffre. D'autre part, un observateur exercé peut répondre de chacune de ses observations à 20" près, en comprenant dans ce nombre l'erreur de lecture et de pointé. Enfin, il y aurait encore à tenir compte des erreurs dues, dans la réduction de la distance observée à la distance vraie, tant à l'effectuaiion plus ou moins approchée des calculs qu'au manque de rigueur des formules abréviatives susceptibles d'être employées. Mais d'après les indications du n"* 76, on est à même de s'affranchir au besoin de ces erreurs; et il n'y a pas lieu de les considérer. En résumé, nous pouvons admettre un total de 30". — Or on sait que dans lesépbémérides la différence pour 3^ entre deux distances consécutives, est toujours plus grande que l',28 et inférieure à 1%92. On tire facilement de là que l'erreur en degrés sur la longitude sera comprise entre 30 fois et 2A fois l'erreur en degrés sur la distance lunaire. Eo d'autres termes, l'eiTCur sur la longitude est, eu moyenne, 30 fois celle commise sur la distance. Dès lors, dans la supposition qui nous occupe, nous arrivons en définitive à 15' d'erreur totale sur cet élément. Nous ne faisons aucune difficulté de convenir qu'une erreur de 16' est considérable. Toutefois c'est là un maximum; et c'est déjà beaucoup de prévoir la limite extrême de l'erreur que l'on est susceptible de commettre (*).

(*) A propos de la publication des tables de Mendoza pour la prompte rédoction des distances lunaires, Biot, pour montrer la valeur de remploi des distances lunaires à la mer, écrivait dans le Journal des savants (août et septembre 1S44) : « Un navire est jeté sur rOcéan k mille lieues de toutes côtes, ne voyant que Teau et le ciel. L*homme qui le monte va déterminer sur cette immensité uniforme, Je point imperceptible où il se trouve ; et la précision du résultat sera telle, que du haut des mflts de son navire, Tborizon que sa vue embrasse s'étendra plus loin que ne pourrait s'étendre son erreur. •

— Hftt(»is-ûous de dire que les marins qui sont familiarisés avec ce genre d'observations et qui les font avec méthode et discernement, peuvent répondre de la longitude à 8' ou 10' environ. En effet, conformément aux indications du n*" 77, on peut prendre une suite de 10 à 12 séries de distances ; et éliminer à la fin du calcul les séries douteuses, à l'aide du critérium de Chauvenet (n* 124). Or s'il reste, somme toute, ainsi 9 bonnes distances, par exemple, Yerreur probable (n* 122) de la moyenne des observations se réduira (n" 128) à

--=- =6",7. Ce chiffre ajouté à l'erreur maximum 10",5 sus-men-

tionnée des tables, donnera J7",2 d'erreur totale sur la distance, soit 17^2X80 = 8^6.

Les considérations précédentes viennent confirmer la conclusion du n* 67, de ne pas abandonner Inobservation et le calcul des distances, pour contrôler, au moins de temps à autre, le point par les montres, surtout quand on en a moins de trois.

— La Connaissance des temps ne donne pas les distances de la Lune au Soleil au-dessous de 20'' ou 25*", parce que le faible croissant du bord éclairé de la Lune rendrait l'observation presque impossible : les distances de SO"* ou 35'' sont déjà bien difficiles à observer par suite de l'inégalité d'éclat entre les deux astres. On peut d'ailleurs se r^dre compte du fait, en remarquant que la plus grande largeur du croissant, mesurée par sa projection sur le diamètre réel de la Lune dont le prolongement passe par le centre du Soleil, est le sinus verse d'un angle manifestement égal à la distance angulaire des deux

astres. Pour une distance de 20% cette largeur vaut à peu près ^

du diamètre réel de la Lune, soit l' d'angle aperçue de la Terre, quan* lUé presque insensible à la vue. Cette largeur atteint 2' pour une distance de 20® environ ; 3' pour une distance de 36'', et enfin h\ c'est-à- ^Qre le huitième du diamètre, pour une distance de Al*'. — Comme la Lune parcourt à peu près 13*' par jour dans son orbite, on peut dire que les distances luni-solaires ne sont pas observables pendant les deux premiers jours qui précèdent ou qui suivent la nouvelle lune.

De même, la Connaissance des temps ne donne pas les distances supérieures à iZb'' ou 1A0^ Car le sextant et le cercle ne permettent gnère de mesurer des angles plus grands ; en outre l'observation de pareilles distances est très-pénible à la mer, par suite de la difficulté que Ton éprouve à maintenir les deux astres dans le champ de la lunette.

— Avant de terminer ce numéro, il y a lieu de signaler la détermi-

i3S DISTANCES LUNAIRES.

nation de Theure de Paris, et conséquemment de la longitude, au moyen des occultations d'étoiks par la Lune.

Dans l'opinion de quelques marins, cette méthode parait appelée à un certain avenir. Car elle fournirait manifestement de bons résultats à la mer, si l'on observait le phénomène avec des jumelles légères (en aluminium, par exemple) , ayant les qualités, non pas des jumelles ordinaires^ qui ont beaucoup de clarté et peu de grosâssement, mais des lunettes astronomiques^ et par suite donnant un fort grossissement (15 à 20] sans forte clarté. Avec un pareil instrument, et grâce d'ailleurs à sa légèreté, qui mettrait l'observateur tout à fait à Taise pour s'en servir, on arriverait à réduire à très-peu de chose les erreurs d'observation, ce qui est de la dernière importance.

Malheureusement, le calcul inhérent au procédé est long, non-seulement pour ce qui concerne l'heure exacte de l'occultation sur Paris, mais encore pour la recherche préalable de l'heure approchée du phénomène sur le méridien du bord, heure qu'il est nécessaire de connaître afin de pouvoir se mettre en observation quelques minutes avant la disparition de l'étoile derrièi'e le disque de la Lune. Il est donc à désirer, pour la pratique, que l'on arrive à simplifier les formules et à abréger les opérations auxquelles conduit la méthode des occultations. Toutefois, la longueur du calcul n'est pas un inconvénient capital, parce que les occultations n'étant pas destinées à fournir la longitude d'une manière courante, mais simplement à contrôler l'état absolu du chronomètre étalon, il n'y aurait lieu de les observer que de temps à autre, le plus souvent une seule fois vers la fin d'une longue traversée. On ne saurait donc ne pas se soumettre à un calcul qui présente ce caractère de rareté, et qui d'ailleurs n'a de rebutant que son manque de familiarité.

Mais il existe un empêchement auquel il n'y a guère moyen de remédier, c'est que la plupart des étoiles occultées sont en général de quatrième, cinquième ou sixième grandeur. Or, c'est à peine si l'on compte dans chaque lunaison huit à dix occultations d'étoiles comprises entre la première et la troisième grandeur. Ce genre d'obser-. vations ne pourrait donc être que rarement substitué à la mer à la méthode des distances lunaires. De plus, quand il serait possible, le moment de l'observation se trouverait imposé. Ladite méthode, au contraire, soit avec le Soleil, soit avec une étoile, est toujours applicable quand la Lune est sur l'horizon, sauf pendant les deux ou trois jours qui précèdent et suivent la nouvelle Lune.

11 nous reste à aller au-devant d'une objection que bien des officiers

tendront à se poser à propos de la longueur du calcul iV occultation, à savoir : pourquoi on n'applique pas à la recherche de l'heure de Paris correspondant à une occulUition, les formules ordinaires des distances lunaires, en y faisant nulle la distance observée. — Nous répondrons à cela qu'on s'exposerait ainsi à des erreurs prodigieuses. En effet, nous avons vu plus haut que l'erreur sur la longitude est comprise entre 36 fois et 2h fois Terreur sur la distance lunaire. Or, ees nombres reposent sur ce que la différence, en 3 heures, entre deux distances lunaires a pour lioiite 1^,28 et 1*,92 ; et ces derniers chiffres correspondent eux-mêmes à l'hypothèse expresse qu'il s'agit d'astres, y compris le Soleil, situés dans le plan de Vorbile lunaire^ et justement choisis comme les astres par rapport auxquels la Lune a le mouvement relatif le plus rapide. Chacun de ces astres est tel, en définitive, que le plan passant par son centre et par ceux de la Terre et de la Lune se confond avec l'orbite lunaire. Mais les étoiles qui s'occultent peuvent avoir le plan en question, plus ou moins incliné sur ledit orbite; et alors la variation en 3 heures de la distance des centres pourrait tomber considérablement au-dessous de l*" 28'. En pareil cas, l'erreur sur la longitude provenant de l'erreur sur V occultation assimilée à une distance lunaire observée valant %éro^ pourrait attemdre, au lieu de 36 fois, 100 fois l'erreur d'observation et au delà. —Nous avons à noter que la conclusion précédente suppose que l'erreur sur la distance vraie est la même que l'erreur sur la distance apparente. Or, dans le cas où ces quantités deviennent très-petites, il peut cesser d'en être ainsi (n* 73) ; et il peut arriver que l'une des erreurs devienne trois fois moindre que l'autre, et même plus, ce qui modifie d'autant ladite conclusion.

En tout état de cause, on comprend qu'il faut calculer l'heure du phénomène sans passer par Tintermédiaire de la distance de l'étoile au centre de la Lune. C'est pourquoi, prenant la question à un autre point de vue, on s'attache à déduire des observations la différence entre les ascensions droites des deux astres, ce qui conduit aux calculs spéciaux dont nous avons parlé plus haut. — Il est intéressant d'ajouter que la méthode des occultations est excellente, quand la trajectoire relative de l'étoile par rapport à la Lune est normale au disque de celle-ci. Cette méthode se trouve, au contraire, très-mau-. vaise aux environs de l'appuke, c'est-à-dire quand ladite trajectoire se rapproche d'être tangente au disque lundre.

ir ••• C^MNiMeattoii des Miéiliedes pr^p^sées pewr la rMnett^A de» dUstoiaces tamAlrefl. Méihedes direcie«p»r

le e«l«al; exposé de« méthedefl de Berda, Garaiell H MeiideBa. — Plus de cent méthodes ODt été proposées pour la rédll^ tion des distances lunaires, c'est-à-dire pour déduire de la distance observée et des hauteurs des deux astres au même instant, la distance des centres telle qu'elle serait vue du centre de la Terre. On peut ranger ces méthodes en trois classes :

l"" CeUet qui permettent de calculer DiRECTEiieNT la distance vrou;

2"" Celles qui ont pour objet de faire connaître la différence entre k distance vraie et la distance apparente des centres^ et qui sont à proprement parler des méthooes indirectes ;

3"* Enfin^ les procédés graphiques.

— Parmi les nombreuses formules qui ont été proposées pour résoudre le problème dans les conditions de la première classe, les plus ^ répandues et les seules usitées aujourd'hui sont celles de Borda, de Gamett et de Mendoza.

Tout le monde connaît la méthode de Borda, qui, en somme, est redevenue, pour le moment, la plus en usage, après des péripéties diverses. — En employant les notations données dans la légende générale page 1, et reproduites sur la fig. 20 du n"" 71, les formules afférentes à cette méthode sont :

sin 7 do =: eos { {a' + h') cos 9 ;

f étant un angle auxiliaire déterminé par la relation :

c /is A , COS a' COS A' cos s cos (S— Ao)

cosacos6 „ a + 6 + Aô

aTCc S

cosi(a'4A') «

Le calcul des relations précédentes exige, pour être suffisamment

exact (n"" 76), la recherche de dix logarithmes à sept décimales; il

est donc très-long. On doit toutefois se rappeler qu'il y a moyen de

f abréger : !• en arrondissant les arcs a, 6 et Ao de façon à évitff

les parties proportionnelles dans la recherche des logarithmes; et

en reportant d'ailleurs avec soin sur A« les secondes enlevées oo

ajoutées à Ao ; sans d'ailleurs se préoccuper d'en faire autant pour

a' et b\ déduits de a et 6 arrondis; car, on le sait, là il n'y a besoin de

rigueur que pour les différences mêmes {a*—a) = da^ (6 — 6')= *

(cette abréviation est du reste applicable à toutes les méthodes);

2^ en prenant tout calculé, dans les tables IX et X de la CoMiaù-

cos 6' sance des temps^ log. r-, qui diffère toujours très-peu de l'unilé

pour le Soleil, ainsi que pour les étoiles, et pour les planètes dont la parallaxe est insensible.

^ — Guépratte donne dans son o Recueil de problèmes d'astronomie nautique » plusieurs méthodes qui ne sont que des modifications de la formule de Borda, et dont on peut résumer Tesprit comme il suit :

Prenons les deux équations fondamentales :

cos Ao =: sin a sin b-\-co$a cos 6 cos z, cos Ao s sin a' sin b' + cos a' cos b' cos z;

z étant Tangle des deux ? erticaux.

Si l'on tire de la première la valeur de cosz et qu'on la porte dans la seconde, on arrive, par des transformations trigonométriques assez faciles, à une équation générale de la forme :

cos a' cos 6' I

cosA» = :pcosff'-f-

cosacos6

• Icos Aodzcosffl;

OÙ on représente par :

9 la somme ou la différence des hauteurs apparentes a et 6 ; 9 la somme ou la différence des hauteurs Traies a et b'\

Les signes supérieurs couYiennent d'ailleurs au cas où Ton prend des sommes poui 9 et v^, et les signes inférieurs au cas où Ton prend des différences.

L'équation ci-dessus permet donc de calculer cos A„ de deux manières différentes, qui peuvent également se subdiviser en plusieurs cas particuliers, comme il est aisé de le voir. Supposons, pour flxer les idées, que Ton prenne pour <t et <t' les sommes des hauteurs, et par suite les signes supérieurs, nous aurons :

, . cosa'cosô'/ ^ . \

cos Av = ~ cos« 4 r 1 cos A« + cos« ).

cos a cos 6 \ /

Cette combinaison peut donner naissance à deux autres, suivant que l'on substituera à cos A^, (1 — 2 sin* | A^), ou (2 cos*^ A^ — 1). Admettons que l'on suive la première de ces transformations. On

remplacera alors — cos <t' par (1 — 2 cos* ^ j pour faire disparaître

Ides deux membres de l'équation. Il viendra ainsi :

i .1 , cosfl'cosô'

sin* — At» = cos* - r —

- cos j U + At jcos J l^' — ^}

2 3 co8acos6

Arrivé à ce point, le procédé se subdivise encore en deux autres, suivant que Ton pose :

sin*V ) cos a' cos 6^ ou costV

n«V coso'cosô' 1/ . ^ \ */ . \

«tV ) cosaco86 *\ 7 8\ /

Dans le premier cas, on a :

»iii»| At= cos»^ y— sin« V= cos/1 </+ v\cos/j a*- vj;

142 DISTANCES LUNAIRBS.

et dans le second :

Guépratte augmente encore le nonibre des transformations précédentes» en remplaçant les angles <r et (t^ par leurs compléments. Mais aucun de ces procédés ne présente de supériorité réelle sur h méthode de Borda. — Au surplus, cette méthode elle-même est complètement en dehors des types de calculs journaliers de la navigation ; et nous ne craignons pas d'affirmer que sa longueur est la principale cause à laquelle il faut attribuer le discrédit qui a frappé dans ces dernières années l'emploi des distances lanaires à la mer, particulièrement parmi les jeunes officiers de marine.

-^ — 11 était loin d'en être ainsi chez les navigateurs plus andeos, qui avaient pour guide l'excellent Recueil précité de M. Guépratte. Ils usaient largement des distances lunaires ; car ils trouvaient oDe grande facilité de calculs dans l'emploi de la méthode sus-mentioDoée de Garnett, que ledit recueil renferme. Ils tiraient ainsi des observations de distances un excellent pai*ti pour la navigation, à une époque cependant où les tables lunaires étaient bien moins perfectionnées qu'elles ne le sont aujourd'hui.

La méthode Gamett est basée sur l'emploi des sinus verses. En voici la démonstration :

Soient :

N« et N6 les disttnces zénithales apparentes des deux astres ;

N'a et îi'b leurs distances zénithales vraies;

X Tangle au zénith cemmon aux deux triangles Trai et apparent.

Le triangle ZAB, fig. 20 du n'» 71, des positions apparentes donne:

eos Ao= cos Na cos N* + sin fia sin Nj cos x.

D'où

cos ^0 — <^os N- cos Ni cosz = ^ ?•

sin Na »in Nj

. rosAp— cosNflCosNft __ co8(Na — Nfe) — cosAp sinv.Ao — 8iDV.(W<-i^^) sinNasinNft sinNasinN^ ~ sinKasinN*

On aurait de même dans le triangle des positions vraies :

8inv.Ac— sinT.(N'a — N'a)

sin v,2 = 1 i.

I sin N a sin N'a

D'où : l

sinv.At, — 8inT.(Na — N'a) sinv.Ao— sinT.(Na~NA) sinN'asinN'A ~~ sinN.sinNA

sin N'a sin N'

sinv4^sinvWa-N'A)s=[(8iav.Ao^slnv.(N«-N*)l^iî^

[«sinN*

Si on lait

sinN asinN'é __ sinNasinNi ~ *

on a en définitive : • * - • •

sinv.Ai,=sinY.Ao— sinv.(Na — Nft) — F[sinv.Ao— »inv.(Na — Nfc)] + sinv.(N'a — N'ft) {*).

Telle est la formule qui donne la distance vraie au moyen de son sinus verse. Ce calcul est extrêmement court « le facteur F se prend dans la tabk LVI de la 3« édition des TABLES de Guépratte. La différence des hauteurs étant la même, au signe près, que la différence des distances zénithales, et les sinus verses des angles négatifs étant les mêmes que ceux des angles positifs de même grandeur, on prend pour (N« — Nj) et (N'„ — N'^) les différences des hauteurs.

Toutefois, l'application de cette méthode donne des résultats moins rigooreux que celle de Borda; et Terreur due à Y essence même du procédé, peut atteindre quelquefois 3 à A secondes^ Cela dépend du degré de précision plus ou moins grand avec lequel le facteur F est déterminé. Si on le prend dans les tables, il y a toujours une petite incertitude; et si on le calcule directement, Topération est alors allongée d'une manière sensible. ~- Malgré son imperfection, c'est une méthode que les marins les plus habitués aux observations de distance emploient de préférence. Il suffit d'avoir une table de sinus verses et la table précitée de Guépratte qui donne F, pour effectuer le calcul en quelques minutes.

— Au point de vue de la brièveté, la méthode Garnett est préférable à celle bien connue de Mendoza, qui, comme elle, consiste dans une formule basée sur l'emploi des sinus verses et des susinus verses, et qui peut s'écrire ainsi :

Mnv.A»==[sinT.(AoH-9)H-8mv.(Ao— »)]+[susinv.(a'+6')]4-[sinv.(a+ô+ç)+8inv.(a+6--^

avec :

cosa'cos6'

2cosç=

vo^acoib

[*) Conformément k la note du bas de la page 8, ou voit aisément que la formule Je Garnett en iignes vei'ses demeurerait tout aussi simple si on la transformait en une relation de lignes naturelles. De son côté, la formule de Mendoza, donnée plus loin, détiendrait même pins simple après une semblable transformation. Or les tables de lignes naturelles nécessaires k remploi des formules ainsi transformées, offriraient Taiantage d* avoir un usage moins spécial et bien plus répanda que celles des tables de lignes verses. Toutefois, nous répéterons, comme dans ladite note, que ces dernières lignes ont Favanuge d'être toujours positives, et d'éviter ainsi les erreurs de signe.

Le calcul s' effectue au moyen des TABLES dites de Mendoza, reiaes et corrigées par M. Richard, et qui donnent, d'une part, Tangle auxiliaire f (table XI), et, d'autre part {table XIII), les trob termes entre crochets du second membre de la formule générale, ainsi que l'angle correspondant au premier membre.

La Connais$anee des temps publie chaque année un type de calcul d'après la méthode de Mendoza. — Cette méthode est notablement plus courte que celle de Borda ; mais elle l'est moins, venons-nous de dire, que celle de Gamett. D'ailleurs, elle demande beaucoup de parties proportionnelles. Enfin les tables elles-mêmes sont le résultat de calculs assez compliqués, de sorte que beaucoup d'erreurs ont po se glisser dans leur rédaction (*).

— On trouvera, dans les traités d'astronomie et de navigation, bien d'autres formules encore donnant directement la distance vraie. On peut consulter, à cet égard, outre Guépratte, Lalande et Delambre. Mais les trois procédés que nous venons de citer sufiSseoti donner une idée complète de l'esprit des méthodes directes.

^ M*" 90. Méthodes Indlrcetes po«r la rédvctliMi 4ei distances Itanalres : 1** ▼•!«. Exposé des méthedes 4e Bremlcker ei de ChavTenet. — La recherche d'une formule commode donnant la différence entre la distance apparente et la distance vraie, a particulièrement exercé la sagacité des astronomes et des calculateui*s. Mais parmi le grand nombre de relations qui oDt été proposées, aucune n'est entrée jusqu'ici dans la pratique journalière de la navigation, principalement à cause des tables variées qu'il aurait fallu calculer pour simplifier leur emploi» du moins quand on désire un certain degré d'exactitude. Cependant le pnncipe qui consiste à rechercher la difl*érence, toujours assez petite, entre deux arcs qui sont généralement grands, est très-fécond, en ce sens que le calcul peut être exécuté avec des valeurs approchées des éléments, sans que la précision du résultat s'en ressente d'une manière sensible.

Deux VOIES différentes se présentent à cet effet. Dans la première, on a exclusivement recours à des transformations trigonométriques. Dans la seconde, on se sert des développements résul tant de lasérie de Taylor.

(*) Biot raconte, dans le mémoire déjà cité k la note, page 136, que Mendota t'est tv k Londres en 1813, désespéré d'une faute de calcul qu'on a? ait découverte dans ooe de ses tables, succombant ainsi misérablement à la tyrannie de ce fol orgueil des geos qsi s*imaginent qu*en debors de leur système, tout est perdu.

Nous allons exposer la première de œa vqmb éaae le présent numéro sur deux méthodes différentes. La seconde voie sera traitée dans le numéro suivant.

— Nous débuterons par la méthode de réduction qu'a imaginée Bremicker, et que renferme le Traité dtastranemie sphirique de Brûnnow. Elle est ingénieuse et suffisamment exacte.

On a dans le triangle apparent AZB, fig. 20 du n* 71 :

eoê ^ XV sin a sÎB 6 •)- «»6 a c<^s ^ C6A 3 ; d'où :

«•osA<)=cos(a— 6) — 2cosacos6sin*--.

De même dans le triangle vrai ATB', il vient :

d'où:

Faisons ;

os A» » C08 (a' — - é*) — t eo» a' C0« 4' ain* u j ;

osAt)=cos(a' — ôlH ^icosAa— cosfrt — 6) L

co$aco»6 1. ^ ' '

cosrtcosô C

cosrf=CcosÉr'; cosA<) = CcosA'.

Alors, Téquation générale précédante en A, pourra s'écrire :

cos àv — cos A'= cos (T — cos rf";

OU bien :

:JsiB ' — - — '- sin i — ^ — i 5a2 sm — sin j .

Les différences (A' — AJ et (d" — d') étant de petits arcs, substitoeiis aux aîmis les arcs eux*mèm6$; et i) viendra, eo changeant d*«illeurs les signes :

sin — -

Remplaçons enfin sin ^^^ ■ ^ par sin ^^^ — - qui d*or*naire en diArepeu; etposwi:

x=(d'~;rf") ^

9in -— —

i46 DISTANCES LUNAIRES.

Nous aurons en définitive :

Il est facile de voir que ce n'est que dans le cas où A„ différera beaucoup de Ao qu'on sera obligé de recommencer le calcul de la quantité x, en remplaçant, dans l'expression de cette quantité, Ao par la première valeur obtenue de A^. Mais dans les nombreuses applications que M. Beuf a faites de cette formule, il lui a toujours été inutile de recommencer le calcul : la valeur de la correction fournie par Téquation en x s'est toujours trouvée exacte à moins d'une seconde.

— Nous remarquerons que, dans la méthode précédente, il faut, pour obtenir A,,, passer par la valeur intermédiaire A', et que c'est à cette quantité que s'applique la correction j?, et non à la distance apparente Ao* Mais, en général, les autres auteurs de formules indirectes par voie exclusive de transformations trigonométriques, se sont proposé de trouver, sans aucun intermédiaire, la correction à faire subir à la distance observée elle-même, pour en déduire la distance vraie. Il suffit à cet effet de considérer la formule du triangle apparent AZB, fig. 20 du n* 71 : cos Ao = sin a sin 6 + cos acos 6 cos«; et d'y remplacer Ao par (j^ + y)^ eiaeib par (a + da) et (6 — d6), da et db étant les corrections arithmétiques à faire subir aux hauteurs apparentes a et 6 pour les convertir en hauteurs vraies. On obtient de la sorte :

(48) cos (Ao -h y) = sin (a + da] sin {b — db)-\- cos (« + da) cos (A — db) cos z, avec y = (Ao — Ao).

En développant trigonométriquement les divers termes des deux membres de cette expression, après avoir d'ailleurs exprimé z en fonction des hauteurs et de la distance apparente des astres, on arrive, toutes réductions faites, à des expressions, plus ou moins compliquées, qui donnent les valeurs de la correction y.

C'est en suivant une pareille marche que M. Gbauvenet a trouvé, vers 1855, une méthode que nous croyons devoir exposeï*, au moins brièvement, à cause du renom de son auteur. — Partons de la relation (AS) ci-dessus; et remplaçons, dans cette relation, cosz par sa valeur tirée du triangle apparent AZB précité, à savoir :

cosAa — sin a sin 6

cosz=: — -2 ; .

cos a cos 6

On obtient :

, . . ,, „, cosAo— sinosinô cos(Ao + y) = sia(o + rfa)sm(6 — rf6) + cos(a + rffl)eos(A — rfô) . .

c.us u eus 1/

Cette équation peut s'écrire :

1r. co8(a+rf«)cos(A— (/6)n cesAo-cos(Ao + y) = [i eosacos6 J^^^^^ rcos (g -1-^(1)608(6-^6) siD(a + rfa)8in(6-6/6)1 ^.^ ^ ^.^ ^^ L cos a cos h 8in a%mh J

Or on a d'abord :

cosAo-cos(Ao + y) = 28in|sinrAo+|j.

D'autre part :

^ . da . f , da\ fl cosa "~

De même :

co8{a4-c/fl) __eos« — cosflr + cos(a-i-rfa) cos a cos a

co%{b — db) ^

^ . db . f. db\ 2sinYS»n(6- YJ

cos 6 cos 6

Par suite, il vient :

^ . da l da\ dh / db\

[co8(ff-t-c/Q)cos(6— </6)1 2 \ 2 / 2 \ ûf

cosacos6 J cosa cos 6

, . da , db , l da\ . r db\ 4sin-^s.n-^s.D^«.h-^J8Hi^6-^j

cosacos6

On trouve sembiablement :

[co8(a+rfa;*cos(6— </6) ^ sm{a-\-da)sm(b—db)'\ __ 8in6/6sin(2a-f tfa)~siu</asin(26~</6) cosacos6 ■ sinasin6 J 2sinacosasiii6cos6

La correction y à faire subir à la distance étant toujours plus petite qu'un degré, et da ainsi que db étant encore moindres, nous . . y . Mff da , j.„ db , ^,, ,. . .m , da pouvons écrire |sinl , -^^^^ * » Y^*" * » ^'^ ^*^" ^^ ^^" | » s*"-9-»

sin-^, sans avoir à craindre plus de 0",1 d'erreur. — Cela- admis»

il» DISTANCES LUNAIRES.

posons :

da I da\

da sm(26— rf6)

oosa 2cos6 rfô . /. db\ cos6 \ 2 / <f6 sin(âa+da)

cos6 icosa

En introduisant toutes les transformations précédentes dans la formule (48 6ts), il vient :

(48 ter) y sin( Ao4- |)=AiC08Ao-r B, +CiCosA^H- Dj — A,CiSinl''cosAo.

Au lieu des corrections arithmétiques da et db des hauteurs apparentes, M. Chauvenet introduit maintenant la parallaxe boriiODtiIe du lieu n et la réfraction R pour la Lune, ainsi que la parallaxe pi et la réfraction Rj pour le second astre. A cet effet, il suffit de remarquer qu'on a d'abord sensiblement pour la Lune :

<ia=IIcos(a— R) — R=ncosa + nsina8mR-R = (ncosa— R)(i4-ifc),

.ivec A=:tg«sinR. La quantité k est k peu près constante, et égale k 0,00029, comme le démontre l'auteur. De cette constance, il résulte qu'on a aussi A: = tgèsiuR,, relation riont nous aurons besoin dans un instant.

Pour le second astre, on a :

^6 = (R, — PjCos^).

Si l'on pose R' = , et R', = — ^-, il vient :

cosa cos6

cosa /v I /, ^^^ \ 1 ^M

Seulement, il faut prendre les réfractions transformées R' et fi', dans une table spéciale calculée par l'auteur.

Par ailleurs, dans la formule (48 ter), le terme A^G^sinl^cosA, étant très-petit (il n'atteint pas 1"), on a très-approximativeœent

C,sinl" = — R'isinl"sîn6 = — tg*sinR4 = — yfc.

On peut alors le combiner avec le premier terme, ce qui donnera :

A, cos Ao — A,Ci sin 1" coa A© = Aj eos Ao (* + *)•

En introduisant dans la formule (48 ter) cette dernière relation d*une part, et, d'autre part, dans les valeurs des termes A, , B, , G, ,

D, de cette formule, les expressions ci-dessus de -^ et ^*

cos a cos 6 '

on

diSf ANCfiS UJUAIfifiS.

éÂ9

obtient uae nouvelle rektîoB, que M. Chaurenet ââmpUfie eu pssaat d'abord :

«hitt

pais

sin6 '

9iB(ia4-cfa)

ftiaâB

(«feî>)

^ A'=+(l!— ll')Asmac©lf Ao,

siii6 B'=— (n-.R')B-^ ,

C'=— (R'i— j),)Csin6cotgAo,

La formule (ft8 (er), simplifiée sui?ant la manière que nous venons d'expliquer, devient, après avoir été divisée par sin \ :

sm(Ag4-

sin^

En développant sin ( A^-f ^ j, et en posant :

y«8ini"cos^AoH-^)

= — -yisinV

cotgAo,

îsinAo

on parvient à la formule définitive :

y=(At,-Ao)=A'+B'H-C'H-D' + a.

fies iable$ calculées par l'auteur donnent les logarithmes des quantités A, B, G, D des formules (49). Les termes A^ YS, C, IV se déterminent ensuite d'après les relations (A9 his) au moyen de A, B, G et D, de la distance apparente A^ et des hauteurs apparentes a et 6 ; on ne prend d'ailleurs les logarithmes qu'avec quatre décimales. Enfin une taJUe smffUmttUaiTe fournit le terme correctif x.

La méthode de M. Ghauvenet est très-ingénieuse ; mais elle a le grave défaut d'exiger six tables spéciales^ c'est-à-dire inhérentes à la méthode elle-même. En outre, bien que les logarithmes ne soient pris partout qu'avec quatre décimales, comme il faut en employer aoee, le calcul finit par être un peu long. Enfin, de Tavis de l'auteur, il se peut que la distance calculée soit erronée de quelques ^^condes par

suite des quantités négligées dans les transformations; cette erreur est, du reste, d'autant plus sensible que la distance est plus petite.

!«'' 9t. IlétbodM iMdIreetM povr la rédaction dem dlitoMMs Ivmairefl : •* vole. Emposé 4e la métbode 4e mi. Benfet Ferrin. — La deuxième voie annoncée au numéro précédent concernant rétablissement des méthodes indirectes pour la réduction des distances lunaires, consiste dans le calcul de la différence entre la distance vraie et la distance apparente, au moyen du développement du deuxième membre de la relation (A8) dudit numéro, par la série de Taylor, en fonction des corrections arithmétiques da et d6 à faire subir aux hauteurs apparentes pour les convertir en hauteurs vraies.

Cest sur l'emploi de ce mode d'opérer que repose la méthode ci-après de réduction. Cette méthode, dont les bases ont été jetées par M. Beuf, a été élucidée et complétée par M. Perrin, qui a su donner au second terme de la correction une forme très-élégante et très-facile à mettre en tables.

Pour établir les formules voulues, nous considérerons le triangle apparent AZB, fig. 20, en employant les notations déjà convenues an n"" 69, et de plus en nommant A et B les angles à la Lune et au second astre. — On tire évidemment du théorème de .Taylor à deux variables, en s'arrètant aux termes du second ordre :

soit :

en représentant par :

Fig. iO, relaUve à la réduction dei^ distances lunaires.

fiA^ et d*à^ d'abord les différentielles totales da pnmier et du deuxième ordre de A« par rapport à a, ^, et, une fois la diiêrentiation terminée, les différence à»

i*' et du S* ordre par rapport aox mêmes quantités.

Gela posé, le triangle apparent AZB donne :

(50) co8Ao=sinasin6+cosacos6cosz.

i >-- Difféi^entions cette relation par rap-

^* ^' port à A,, a et 6. Puis, comme il vient

d'être convenu, regardons, une fois la différentlation terminée, les

DISTANCES L13NA1RBS. 151

différentielles comme des diffêreneeê; rappeloos-nous, en outre, que la diffirenee relative à 6 est égale et de mgne contraire à la correction arUhmitiqtte db sus*mentionnée. Nous trouverons ainsi :

(M) — sin A^à^ = (sin 6 cos a — sin a cos 6 cos z) da — - (sin a cos 6 — sin b cos a cos %) db.

MUS d'après une formule connue de la trîg(mométrie sphérique entre cinq éléments consécutifs d'un triangle, on a :

tg6co8a=cotA8in2 + smacosz.

Multiplions les deux membres de cette équation par, cos 6 ; puis rem-

sio z sin A.

-7— r-par tî,

sinA^ cos6

, sio z sin A« « . , plaçons -7— r- par r^. Il viendra :

siD6cosa=( cosA-r— r + wnacosx )cos6=[ cos A , -fs^nacosg jcosô V smÀ J \ C086 J

= cos A sin A« + sin a cos 6 cos ji.

En rapprochant le premier et le dernier membre de cette triple égalité, on tire de l'équation simple qui en résulte :

cos A sin Ao = sin 6 cos a — sin a cos 6 côs ji.

On arriverait de même à :

cos B sin A« = sin a cos 6 — sin 6 cos a cos 2.

Substituant ces deux dernières relations dans l'équation (51), et divisant par*sin A^, on obtient :

cfAo=— (iacosA + «f6cosB f).

(*) Cette relation pent s'établir géométriquement d*nne manière très-simple. Il snflt, en ^t, de décrire du point E, fig, 90, comme centre, on arc de cercle A'A|, arec EA' pour nyon. On forme ainsi un petit triangle A'AA|, qui, considéré comme rectiligne, donne :

AA|=AE— A'E=:AA'cobA=</<icosA.

On ^u^erait de même, en faisant bien attention k ce que Tangle représenté par B est ZBA :

B£ — B'E =— «f6 cos B.

^ combinant couTenablement les deux équations précédentes, on en Ure :

(A'EI+B'E] — (AE + BE)=i— dacosAi-<f6cosB; sort:

( A« — A«) ss cf Ao = — d!a cos A + cf6 cos B.

En reranehe, la valeur de la différence du second ordre «f A« ne saurait se trouver géométriquement qu'avec les plus grandes difficultés; et la voie analytique indiquée dans le i^xte est senle reconmandable.

-^ OhecchoDS Maiiitenant lu éigétmfm du deuxîèaie or4be 4'A^. A cet «ffet, différentioiis l'é^ftiioa ktimédiaiemeiU d-^essuA, ai remarquant que i^a et en soat fiuUes, attendu <iue ila et <ii août des quantités con^^an^es. Nous aurons :

rf*Ao = cto sin A rfA — rfô sin B rfB.

Pour exprimer dA et dB en fonction de da et de d6, nous nous reporterons, en récrivant différemment, à la formule sus-mentïonnée entre cinq éléments consécutifis dn triangle apparent, soit à la relation :

cot A sîa 2 = tg 5 cos a — sîn a cos i:.

En différentiant, nous obtiendrons :

— sms-r-— •=— cosa -• — (tg6sma4-c*8«flos4r)a«. sin"A coaF©

Or l'équation (50) peut s*écrire :

En combinant cette relation avec la précédente, il vient :

dX dh cosAo ,

— smz -r-r-r =— cosfl — r-r ^da; .

sm'A cos'o coso

et en multipliant par sin A,

sîn s ,, cosfl sin A „ cosAo . . .

: — -dX= r ~do -j^ sin Xda,

»mk cosb coso cos6 ■

Mais d'après la proportionnalité des sinus des cAlés et des wgles opposés, on a :

sin z' sinAo cosa sinB

— — • et — —

mtk œ»^ ' eos^ siaA'

. Remplaçant dams la dernière formule, et simplifiant) on awa :

âk.

On trouverait de même

sinAo

sm Ap

Portant ces valeurs dans la valeur de d*\, nous aurons, après toutes réductions faites :

rf«Ao= cotg Ao [(da sin A)« + (db sin B)«1 + '^a d6^'"^^'°^ .

smAo

Nous allons transformer le deuxième membre de cette éqpmtson de

DISTAI>K:£$ lunaires. f5S

manière k le rendre plus simple. A cet e£kt, reoMuquaDS qpi'on a :

cos*

-r — sin* -^

De même :

t 22iAâlA(i

'^^"^ 2.fc|c«| 2 --^^^

£nremplaçanlcotg\et g-—- par ces expresûoiis, et en iatrodniuat d'aiUevrB le démminateur 2, x>n obtient :

— = j cotg ^ [(<to8mA)«+(^^sinB)«] - j ^ ^ [{da%m k)^+(db fÙMB)*] -+ -colg~<f«rfôsinAsmB4--tg^tf«rf6sinAsinB. .

L'expreadoD précédeûte peut évidemment s'écrire :

(fiX, I Aa i a.»

Dès lors la correction totale (A^ — Ao) à faire subir à la distance âppaieote A^ pour avoir ht distance vraie A^, après avoir d'ailleurs substitué les an§ie$ aux orci, devient :

»)=! -^fflcos A+rf6 C08 B j -f j -colg^sin 1" ((/tf sin A+rfô sin B)«— -^^sin 1'^^

11 importe de noter que ce qui constitue le caractère et YoriginaUité de la relation à laquelle nous venons d'arriver, c'est la trahsformatioD du terme du second ordre, sans rien néguger absolument, en ^^ différence de deux carrés facilement calculables au moyen de tables spéciales.

— Le calcul de la correction t du premier ordre est des plus faciles. Pour Teffectuer, on détermine d^ abord les angles aux astres A et 6 au moyen des deux formules ci-après, qui n'exigent que l'emploi de cinq logarithmes à cinq décimales, et l'évaluation des angles à la minoie seulement :

igïly-, »in(S— 6)cosS ^ i ^^sin(S— a) cos S^

sm(S— «)r<»(S— Ao)' 2 »m(S— ^)cot(S— Ao).

avec b = ■ I

(coss y ro5(S-AoUglAy

PuiSf on convertit da et db en fraction décimale de minute. Une table {*) particulière dressée par M. Beuf, et qui n'est autre qu'uoe table de point perfectionnée, donne immédiatement les yalenrs exactes de da cos A et db cosB; et on a par suite le premier terme de la valeur de (A» — A,).

Gela terminé, on s'occupe de la correction % du second ordre. A cet effet, on prend dans la même table, et àvue,les valem*sde dasioA et d6 sin B ; puis on en fait successivement la somme et la différence. Avec. ces deux arguments et la distance apparente A^, on entre dans une autre table (*) calculée par M. Perrin; et on trouve, à vue, les deux parties de ladite correction %. On les retranche Tune de l'autre; et le résultat s'ajoute à la valeur déjà trouvée pour la correction i.

Rien de plus aisé dans la pratique que ces diverses opérations. Nous pouvons affirmer que le calcul tout entier n'est pas deux fois plus long qu'un calcul d'angle horaire ; et le type n* 8, que nous eu donnons à la fin du texte, montre l'extrême simplicité de la méthode, même dans les conditions les plus complexes où elle puisse, comme dans ledit type, être appliquée pour conduire à une grande rigueur.

Il importe d'ajouter que les erreurs dues à Yeêsence même de la méthode ne dépassent jamais i'\ — Par ailleurs la connaissance des angles A et B aux astres permet de calculer avec toute l'exactitude désirable raccourcissement du demi-diamètre, pour passer de la distance observée des bords à la distance apparente des centres. Or cela constitue (n"" 73) un nouvel avantage, qui a une incontestable importance.

^ 9%. Métb^des yrapblqnes povr la rédaetton desdir tonees Imnaires. — La première idée de ces méthodes appartient à La Caille, qui construisit, en 1759, un châssis de réduction, an moyen duquel, en tirant quelques lignes, on obtenait la correctioD de la distance. Lalande fit graver le modèle de ce châssis dans les Connaissances des temps des années 1761 et 1762. Le système servait en même temps à trouver l'angle horaire par la hauteur du Soleil; il aurait pu servir également à obtenir l'azimut.

Plus tard, Bicher, constructeur d'instruments de mathématiques, composa un appareil de projections, où les triangles sphériques

(*) U table de M. Bcuf et celle de M. Perrin forment le complément d'un mémoire in»»lulé : « Nouvelle méthode de réduction des distances hnatres, avec tables spéciales » par CCS deux auteurs.

étaient représentés par des lignes droites. L'Académie adjugea à cet artiste, le h mai 1790, le prix qu'elle avait fondé pour la réduction des distances. — La description et l'usage de l'instrument de Richer nous entraîneraient trop loin ; on peut consulter à cet égard le Traité de navigation de Lalande. Il nous suffira de dire qu'on obtenait par son moyen la réduction de la distance à moins de 30''.

— Dans ces derniers temps, M. Hue a fait construire et adopter par la Mai*ine un planisphère plus perfectionné , qui ne donne pas immédiatement la distance vraie, mais qui fait connaître trèsrapidement des éléments à l'aide desquels on calcule les corrections à apporter à la distance apparente pour la convertir en distance vraie.

Le 7* cahier des Recherches sur les chronomètres^ etc.^ publiées par le Dépôt des cartes et plans de la marine, donne les formules qui renferment les éléments en question, et qui sont en fait calculées graphiquement par le procédé de M. Hue. Ces formules s'obtiennent en partant de la relation fondamentale déjà invoquée plusieurs fois dans les numéros précédents, à savoir :

<îOs Ao= sÎD A sin b + cosa cos b cosz.

En traitant cette relation par la série de Taylor de la même manière d'ailleurs qu'au n"" 71, il vient :

A»=Ao— dacosA + dôcosB+i i-^ ^ colgAtsml"

. dadésinAsinB . .„ .

+ r-; 8ini"+

Cette expression est la même que celle par laquelle on passe implicitement dans la méthode de MM. Beuf et Perrin, pour parvenir à leur formule définitive; et le terme du deuxième ordre y est complet. Arrivé là, M. Hue a simplifié, lui aussi, ledit terme, mais suivant une toute autre manière. Sa simplification consiste à négliger certaines quantités. Il pose à cet effet :

Xt == d6 ces B — dâ C08 A,

(dasi]iA)^+(d6«nB)* ^ . .„ . dad^sinAsUiB . .„

ce qui donne :

A.=Ao+x,+x,.

Puis, il transforme la valeur de ar, de la bçon suivante :

*,=5 ^ ^ ^^ ^ cotgA^sml"— i ^-^ i- cotgAgsai "

dsdAsiaAsiiiB . „

+ r-r sinl ;

8inA«

OU bien :

(dd)«+(dé)t , (dAco»B— d«c«AÏ« ^ . .,

(sinAsinb — cosAcosBcosA) . ^,,, 1

sinAo

ce que Ton peut écrire :

(da)*+(d6)* . „ i . ..... ..(sinAsinB— cosAcosBco&A) . „

Le dernier terme de cette valeur de x^ est plus petit que — r-r — ,

quantité qui a pour valeur 6'\ lorsque les hauteurs étant chacnne de 16% la distance i^parente A^ est de 8(f . M. Hue néglige ce terme,

ainsi que la partie ^ (db)' cotg A^ sin V du premier terme de ladite

valeur, partie qui n'atteint pas 1'' pour les limites db = 6' et A, = 20'. Avec ces simplifications, Texpression définitive proposée par M. Hoe pour la distance vraie, devient :

^o = Ao — dn C05 A + d6 cos B 4- ^ (dA)' cotg A« sin 1 ''— ^ x^ cotg Ao sin 1 ".

Cette relation présente à première vue une certaine analogie avec la formule ^naU du n» 71 de MM. Beuf et Perrin. Mais, avec un peu de réflexion, on reconnaît bien vite des différences essentielles entre les deux résultats, surtout en se reportant à la remarque bile à la suite de la formule finale en question, pour en spécifier le com^ ière et Voriginaliiè.

En tout état de cause, l'instrument de M. Hue donne, à l'aide de quelques multiplications, les différents termes de la formule cidessus ; et, au fond, il remplace les tables au moyen desquelles on pourrait calculer une des nombreuses formules indirectes dont nous avons donné le principe au n"" 70. Malheureusement, les imperfections de lecture sont presque inévitables avec un pareil instrument; et, en définitive, l'erreur commise ici dans la réduction de la distance peut être importante , eu égard d'ailleurs aux influences sus-

mentionnées (6" -f 1" = 7") du défaut même d'approximation de la formule sur laquelle le système est basé. NT 9S« Cireoiuiteaiees favor^Mes 4 l'msai^e des dis-

urnees IvMalres. — Les erreurs à craindre ici sont celles de la distance apparente A^ et celles des hauteurs. En se bornant aux termes du premier ordre, on peut étudier isolément l'influence respectiTe de ces deux espèces d'erreurs.

En ce qui concerne l'influence de l'erreur 8(A^) de la distance apparente, on tire aisément de l'équation (60) du n"" 71 :

<: Ar = ô^Ao X -^-f j. .

sinAuCosacos6

Le second membre est évidemment toujours positif. D'un autre côté, les quantités a, 6, A^ diffèrent peu respectivement de a', 6' et A^.

Les facteui-s -r-~, , — r sont donc sensiblement ésaux à 1;

smA^ cosa cos6

il en est de même de leur produit. Par conséquent, on aura à trèspeu près :

3(A.)=8(Ao).

Donc terreur de la distance vraie dite à terreur de la distance apparente est sensiblement égale à celle^ci^ et possède même signe. — Il est à remarquer que les conclusions précédentes sont en défaut quand la distance est très-petite, comme dans les occultations. Car, en pareil cas, les quantités A^^ et A^, tout en continuant à ne différer entre elles que peu d'une manière absolue^ sont susceptibles de devenir relative^ ment assez inégales pour que leur rapport atteigne 3 et même au delà; ou tombe à 1/3 et même au-dessous. 11 en est alors de même de la

fraction -: — -^ , et par suite de 8 ( A J par rapport à 8 (A J , ainsi que nous

sm Ûq

l'avons annoncé au n** 68, à propos des occultations considérées comme des distances observées valant zéro.

De la discussion précédente, on conclut que, dans les cas ordtnaires^ toute erreur commise sur la distance apparente A^ se reporte intégralement sur la distance vraie A^. — Les erreurs sur la distance apparente \ comprennent principalement les erreurs commises dans Y observation de la distance elle-même, qui devra dès lors être prise le plus exactement possible. Or cette dernière condition dépend, au moins en partie, du plus ou moins de facilité avec laquelle

la distance est susceptible d'être mesurée, et par suite de la clarté des deux astres, de la manière dont se trouve orienté le plan du limbe par rapport à la position la plus naturelle du corps de Tobservateur, et aussi de la grandeur même de l'angle à prendre. Les circonstances favorables à la réalisation de ladite condition ne se trouvent pas d'habitude à la dispoâtiofi du navigateur, pour le jour même où il a besoin d'une distance lunaire. — Par ailleurs, les erreurs de la distance apparente peuvent aussi provenir de la détermination du raccourcissement des demi-diamètres, pour passer de la distance observée des bords à la distance apparente des centres. Ces deniiëres erreurs, à leur tour, dépendent surtout du plus ou moins grand degré d'exactitude avec lequel on connaît les angles aux astres. Sous ce rapport, la méthode de réduction de MM. Beuf et Perrin (n* 7!) offre, sans exiger aucun calcul auxiliaire ad hoc^ un avantage que ne présente aucune des autres méthodes.

— Occupons-nous maintenant de l'erreur ô(A„) que les erreurs de hauteur 8a et S6, quelle que soit leur provenance, produisent sur la distance vraie A.. Il y a moyen d'obtenir cette quantité en ayant recours à la formule finale du n* 71 bornée à la première partie, dans son second membre, savoir :

{àv — Ao) = — (iflcosA + dôcosB.

Différentions cette relation par rapport aux éléments dont nous examinons les erreurs respectives, c'est-à-dire par rapport à A^, a et 6, en remarquant que A et B sont des fonctions implicites des variables indépendantes a et 6 ; et changeons ensuite les diiTérenticlles en différences. Nous obtiendrons évidemment de la sorte :

8,(Ae)=— ô(dfl)cos A + 5fdA;cosB + da«A sin l''sin A — d//6Bsin l"»m B.

Cette relation ne met en évidence aucun caractère pour spécifier les circonstances favorables concernant le cas d'erreurs qui nous occupe. Mais en faisant disparaître A et B, on reconnaît que sinA^ eotre en dénominateur dans le second membre, ce qui implique comme condition avantageuse d'observer autant que possible des distances voisines de 90^ — Toutefois, d'après ce qui suit, les circonstances favorables dont nous nous occupons sont en général accessoires. Par ailleurs, de même que plus haut, ces circonstances ne sont pas, en

DISTANCES LUNAIRES. i59

général, à la dispo^tion de l'observateur, le jour même où il a besoin d'une distance lunaire.

Pour comprendre le peu d'importance desdites circonstances, il suffit de se rendre compte de la proportion qui existe d'ordinaire entre S,(AJ et Sa et Sb. A cet effet, reportons-nous à la dernière relation obtenue. Nous voyons que dASHsinl^^sinB est toujours négligeable, eu égard à la petitesse de db. Il en est d'ordinaire de même de daSA sin l^'sinA, tant que SA et par suite Sa ne dépassent pas une certaine limite, ce qui n'aurait lieu qu'avec des hauteurs apparentes irès-erronées. En second lieu, les quantités S(da) et S(dfr) et par suite les termes qui les renferment, ne sauraient avoir de valeur sensible que dans la dernière hypothèse que nous venons de faire. — Gonséquemment, on doit admettre en principe que les hauteurs n'influent sur A« que d'une façon secondaire. En d'autres termes, des erreurs restreintes sur leurs valeurs ont très-peu d'effet sur le résultai cherché , parce qu'elles changent à peine leurs corrections da:=-\'{p — R) et d6=+(R^ — p,), corrections qu'il importe seulement de calculer avec soin ; et aussi parce que les deux derniers termes de l'expression ci-dessus de S^ (A,) sont alors négligeables.

Les hauteurs les plus avantageuses au point de vue des inexactitudes susceptibles d'affecter lesdites corrections pour une cause ou pour une autre, sont les hauteurs avec lesquelles ces corrections varient le plus lentement. Pour la Lune, on a à peu près p = 60'cosa, etR=6(y' cotg a ; si a s'accroît de 60", p varie de — 60"x60sinax

60 sin r, et R de r-r- x 60 sin 1". La variation de (p— R) est

sm'a ^^ *

donc 60" X 60 sin 1" (-7-1 60 sin a). Cette variation s'annule

\sin'a /

pour a = là* environ. Elle croît ensuite très-rapidement pour de

plus faibles hauteurs, et assez lentement pour les plus grandes. Elle

atteint 1" pour les hauteurs 6" 20' et 90»; elle est moindre que 0",5

pour les hauteurs comprises entre 9» et 36*. — En ce qui concerne

le second astre, la parallaxe étant toujours ou nulle ou très-faible,

la variation de (R^ — pj est la même que celle de la réfraction R^.

Elle diminue à mesure que la hauteur augmente; et, dans la même

hypothèse que ci-dessus, elle est inférieure à 0",5 pour toutes les

hauteurs supérieures à lO».

—Dans un autre ordre' d'idées, pn doit, toutes choses égales d'ail

leurs, observer de préférence les distances dont les variations en S' sont les plus grandels. Car pour une même erreur commise sur A„ on a alors une moindre erreur sur Theure de Paris calculée. Msds c'est encore là une circonstance qu'on n'a qu'exceptionnellement à sa disposition. D'ailleurs, en bénéficiant du chef dont nous venons de parler, on s'expose souvent à perdre plus qu'on ne gagne, si la distance employée est désavantageuse sous d'autres rapports, dépendant des autres circonstances favorables sus-mentionnées.

— Pour résumer d'une manière pratique ce qui concerne l'ensemble de toutes les circonstances favorables au calcul des distances lunaires, nous dirons que Y objectif fondamental du navigateur doit être de réaliser les conditions qui permettent d'observer le plus exactement possible la distance elle-même.

Les autres circonstances sont d'ordinaire accessoires; et on ne doit en tenir compte qu'autant qu'elles peuvent s'associer naturellement à Y objectif fondamental que nous venons de spécifier.

nr* yâ. Remarques snr la détermliialioia de l^hcare de Paris earrespendant à la distenee vraie ealevlée. — Il importe d'éviter ou au moins de restreindre dans les bornes voulues, et conformément aux recommandations du n^ 76, les diverses erreurs susceptibles de provenir, dans tout le cours du calcul de la longitude parles distances lunaires, de l'emploi de formules n'ayant pas une rigueur suffisante. Nous devons donc aussi préciser conunent il convient de déterminer l'heure de Paris correspondant à la distance vraie calculée. — Soient :

Dq cl D, les distances de la Connaissance des temps qui comprennent la distance vraie A»;

Tq Tépoque de Paris qui correspond k la distance D©;

(T«+ 0 l'époque incomiw rigoureuse de Paris, qui correspond h la disUnce it;

I rintervaUe constant (S*») des éphéniérides ;

(T + 1) l'époque de Paris qui correspond h la distance D|,

On sait qu'en supposant d'abord que les distances varient proportionnellement au temps, il vient :

Cette valeur de t' ajoutée à T^ donne (T^ + t'), et représente opproximativemeni l'époque cherchée, dont la valeur rigom-euse demeure (To+t). — La Connaissance des temps donne avec quatre décimales

DISTANCES LUNAIRES. 16i

et sous le titre a log -jt^- » , le logarithme de r^ — =—. Il suffit

° différence ° (D^ — Do)

donc d'ajouter à ce nombre le log(A^ — DJ, pris avec la même approximation ; et Ton obtient log ^. On détermine sdnsi t' à 2' près au moins; car t' est toujours moindre que 3** ou 10800% et les logarithmes de 10800* et de 10798»(=10800«— 2*) , diffèrent de 0,0001 . Cette approximation de 2% due à l'emploi de quatre décimales seulement, correspond à 30" d'erreur sur la longitude, tout en ne produisant le même effet qu'une erreur de 1" en moyenne sur la distance observée. La plupart des navigateurs acceptent cette erreur. Nous verrons au n* 76 jusqu'à quel point on doit la tolérer, eu égard à la précision qu'il est nécessaire, en de certaines circonstances, d'apporter dans la détermination de la longitude par les distances. — En tout état de cause, si l'on veut plus d'exactitude, il faudra prendre les divers logarithmes avec cinq décimales.

— La supposition des variations proportionnelles des distances et du temps, est de nature à entraîner sur l'heure de Paris des erreurs bien autrement considérables que celle que nous venons de signaler ; car elles vont jusqu'à 10* sur l'heure de Paris pour les distances lunisolaires et à 55' pour les autres. Il faut donc, ep général, avoir égard aux différences secondes des éléments, ce que l'on fait très-aisément à l'aide de la table XI de la Connaissance des temps. — Nous croyons utile d'indiquer ici, d'après M. Mas Saint-Guiral, la construction de celte table, qui intrigue souvent les officiers qui y ont recours.

Prenons la formule d'interpolation bien connue :

y = MoH j «iMQ-i j I j /T"'

dans laquelle, on représente par :

I le même intenralle que ci-dessus ;

y une fonction déterminée de x ;

ffittfitid^lcs différences premières et secondes, auxquelles donnent lieu les valeurs particulières connues iiq, Uj et u^^ que prend y pour les valeurs de x équidisuntes : Xq, Xq + I eia^ + t I.

Suivant nos notations précédentes, posons: y = Ao> ^0 = 1^0» x^ = T^, et 05 = (T^ + 0- Nous aurons :

Au= Do + Y rfiDo + ^ Y (^^ - l^rfoDo.

Cette équation peut se mettre sous la forme :

Le premier terme du second membre n*est autre que la valeur ( approchée de (, calculée ainsi qu'il a été expliqué ci-dessus. Désignons par f le deuxième terme de ce même membre, après y avoir fait d'ailleurs la substitution suffisamment exacte en général de i à r. Nous aurons évidemment les relations que voici :

Tout cela compris, pour arriver à la construction de la TalM en question, où se prend justement /", appelons :

'o ^^ ^1 ^^^ logarithmes consécutifs donnés par la Connaissance des temps, et relilifs ao\ 3h 311

quantités —r-» et -7-=— .

On aura :

On conclut de là : *

dfio \10'« lO'o/.

Or la formule de Mac Laurin donne :

lo*?p *^îilog*r

On a donc, en faisant z= {l^ — /,) :

</,Do logp 2Iog«r

et par suite

Le facteur - 1' (1 — =-) atteint son maximum loi-sque / =^

— t»* 30» =z 5.â00'. D'ailleurs, (/^ — /,) ne dépasse pas 0,0176. Dè^

lors, la partie du deuxième membre provenant du second terme de la parenthèse est moindre que 1%2. Mais si on tient compte de l'influence des autres termes après le second , et du manque de rigueur absolue de la valeur de départ de i'\ on arrive à une erreur possible de 2%3, en se contentant de poser :

2 V iJ logp

C'est néanmoins cette valeur que se borne à donner la susdite

Table\l de \b, Connaissance des temps. Les arguments sont l'intervalle

approché t\ et la différence {L — l^ des log -773^ . D'ailleurs i'

* *^ ° différence

est additif si les logarithmes décroissent, et soustractif s'ils augmentent. — lia valeur de f étant la même pour les deux intervalles (' et (1 — t'), on a pu réduire de moitié l'étendue verticale de la table. Si le chiffre obtenu par le procédé précédent n'est pas regardé comme suffisamment exact, il faudra appliquer rigoureusement la méthode générale d'interpolation en tenant compte des différences secondes.

— A propos de la question que nous venons d'étudier en détail, il est encore intéressant de noter qu'on peut, dans des circonstances exceptionnelles, observer une très-bonne distance entre la Lune et un astre pour lequel les distances vraies ne se trouvent pas dans les éphémérides dont on dispose, ni même parfois dans aucune, comme pour le Soleil aux environs de la nouvelle Lune.

En pareille occurrence, l'observateur dresserait lui-même un petit tableau des distances vraies, borné au nombre strictement nécessaire de celles-ci. Ces distances s'obtiendraient à l'aide des déclinaisons des deux astres et de leurs différences d'ascension droite.

-)(- Hit '9i. Inflaence de raplRtlssemeiit de la terre sar la rédaetion des distances Imiatres. Divers moyens d'en tenir eompte. — Dans le passage de la distance apparente \ à la distance vraie A,, toutes les formules sus-mentionnées supposen la Terre spbérique. Mais, eu égard à Tellipticité plus ou moins approchée du Globe, la quantité A, ainsi obtenue se trouve rapportée, non au centre de celui-ci, mais à un autre point indiqué ci-après» et dont la spécification exige quelques explications préliminaires. Par suite de la faible distance de la Lune à la Terre, cette ellipticité

i64 DISTANCES LUNAIRES

oblige, quand on considère notre satellite, à distinguer le rayon terrestre qui passe par Tobservateur et va aboutir au centre de l'ellipsoïde, d'avec la normale à la surrace du Globe passant par le même lieu que ledit rayon. Celui-ci, prolongé jusqu'à la voûte céleste, s'appelle la verticale géocentrique du lieu, et la normale en question, soit la verticale ordinaire, s'appelle la verticale astronomique ou apparente. Ces deux droites forment avec la ligne des pôles un même plan, qui n'est autre que le méridien. Leur angle s'appelle angle à la verticale. Il ne dépend que de la latitude considérée et de la fraction d/300, qui représente l'aplatissement de la Terre ; en d'autres

sin 2L termes, il vaut approximativement 1/300 —, — J77 en secondes. 11 devient nul au pôle et à l'équateur; et son maximum a lieu à trèspeu près pour L = 45% auquel cas il atteint ll',6.

Ceci entendu, si, comme on le fait d'habitude, on s'est servi dans le calcul de distance de la parallaxe équatoriale n de la Lune corrigée en raison de la latitude du lieu, le rayon terrestre correspondant à cette parallaxe sera égal à celui du lieu; et le point auquel la distance à^ sera rapportée, se confondra sensiblement avec le point de la. verticale astronomique le plus voisin du centre de la Terre, c'està-dire avec le pied de la perpendiculaire abaissée de ce centre sur ladite verticale. Ce fait établi, on calcule aisément que la différence entre la distance vraie géocentrique A'„ que Ton devrait réellement employer pour trouver l'heure de Paris, et la distance A, qu'on aura trouvée, ne dépassera jamais 12". Cette limite ne serait d'ailleui's atteinte que dans les conditions très-particulières, où la latitude du lieu étant de 45*, et la Lune se trouvant dans le pi-emier vertical, le plan d'observation de la distance couperait l'horizon suivant la ligne Nord et Sud. — La différence (A\ — A,) est donc en général de (}uelques secondes. Cependant elle n'est pas à négliger en principe, eu égard aux recommandations du n* 76 pour le degré de précision avec lequel il est nécessaire en certains cas à^ se procurer la longitude par les distances.

Bien que jusqu'ici il n'ait pas été tenu compte à la mer de la différence en question, les motifs que nous venons d'exposer nous conduisent à en donner la valeur. Cette valeur peut ëti-e fournie par les diverses expressions indiquées ci-après. Nous commencerons par signaler la suivante proposée par M, Mas Saint-Guiral, et qui est presque identipne avec une formule de même but qu'on trouve citée

sans démonstration dans les ouvrages de Guépratte :

COSZ4COS6'

(à'v — Ae) = — an sin 2L cos Z cos a cotg A« + aO sin 2L / .

smAv

Dans celte formule, les différentes lettres employées ont les signifi cations suivantes :

L latitude da lieu;

« aplatissement de la Terre = —- :

n parallaxe horizontale de la Lune relatite an lien de l'obserration ; Hq étant la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune, on a : D=Do(1— a sin* L)=no — D^^ sin* L ; tontes les tables nautiques donnent la correction pour passer de Dq à n ;

Z et a' azimut et hauteur vraie de la Lune ;

Zt et 6^ azimut et hauteur vraie du second astre.

Il faut du reste, dans la mise en nombres de la relation ci -dessus, compter les angles Z et Z^ à partir du pdle élevé, et avoir égard aux signes des lignes trigonométriques. Heureusement que deux ou trois décimales suffisent dans les logarithmes, ce qui permet, somme toute, de calculer assez rapidement la correction en vue.

— Dans son Traité Gastronomie sphirique^ Brûnnow tient compte d*une autre façon de l'aplatissement de la Terre. Il trouve pour la correction cherchée :

. , ^ . noCOs6'sinZsin(Z — z,) . ^

(A', - Ar) = - p -5 -7-r-^ ^ sin V.

sinûo

Dans cette formule :

le$ lettres b\ Z, Z| et A» conservent la même signification que ci-dessus ; mais b' se calcule ici avec la parallaxe en hauteur complète j définie ci-après ; de leur côté, les azimuts Z et Zi se comptent comme en astronomie de O* k 360*^ toi^ours à partir du S** en allant vers rOS quel que soit d'ailleurs Thémisphère où on se trouve ;

p est la longueur du rayon qui va du lieu de Tobservateur au centre de la Terre, cette longueur étant évaluée en fonction du rayon de Téquateur;

Ri représente la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune ;

V vaut Tangle à la verticale, considéré comme positif ou négatif suivant que la latitude est Nwxi ou Sud.

Si l'on remarque que p est égal à (1 ^«asin'L), a étant, comme plus haut, la valeur de Y aplalisiement^ on voit que pD, n'est autre chose que la parallaxe horizontale n de la Lune relative au lieu de l'observation. D'autre part, d'après la valeur donnée ci-dessus pour rangleV,ona sinV=asin2L. Dès lors, la correction précédente peut 8'écrire :

« . «. co86'8inZsin(Z— z.) (A'r — A,) =r — an sin 2L -——i -L-.

U importe d'ajouter que, pour avoir le droit de calculer par cette formule la correction relative à l'aplatissement, il faut employer, dans la correction de la hauteur de la Lune, la parallaxe en hauteur corn-

plète, c'est-à-dire la parallaxe nécessaire pour ramener la hauteur du lieu de l'observation à l'horizon mené par le centre même de la Terre, perpendiculairement à la verticale géocentrique ; tandis que dans la méthode précédente la hauteur est ramenée à l'horizon perpendiculaire à la verticale astronomique^ et passant par le point de cette verticale le plus voisin du centre de la Terre, et auquel se trouve alors rapportée la distance vraie fournie par le calcul. — La parallaxe complète dont il s'agit présentement, est donnée avec une exactitude suffisante par l'expression ncos(a+VcosZ), a représentant la hauteur apparente de la Lune.

Dans le procédé de Brunnow qui nous occupe, les deux astres se trouvent, après le calcul de réduction, ramenés au centre de la Terre en ce qui concerne les hauteurs. Hais ils ne le sont pas au point de vue de la distance vraie elle-même ; car la valeur de cette distance, déduite de la distance apparente, forme le troisième côté d'un triangle dont les deux autres sont les verticaux astronomiques des deux astres passant par le lieu de t observateur; tandis que la véritable valeur forme le troisième côté d'un triangle dont les deux autres côtés sont les verticaux astronomiques des deux astres passant par le centre de la Terre, c'est-à-dire passant par la verticale astronomique transportée parallèlement à elle-même en ce centrç. — Relativement au second astre, son éloignement d'avec la Terre est toujours suffisant pour que le vertical astronomique du lieu de l'observateur soit parallèle à celui du centre de la Terre. Mais, en ce qui concerne la Lune, les deux verticaux en question font un certain angle, qu'on* appelle parallaxe d'azimut, et dont la valeur s'obtient à l'aide de la hauteur apparente de l'astre, de son azimut, de sa parallaxe horizontale par rapport au lieu, et enfin de l'angle à la verticale. Dès lors, concevons que, dans le triangle A'ZB', fig. 20 dun** 71, on déplace dans le sens voulu, par une rotation autour du point Z comme centre, le vertical de la Lune d'une quantité égale à la parallaxe d'azimut. Imaginons, en second lieu, par la pensée, que sur le vertical ainsi déplacé on prenne ZA" = ZÂ', et qu'on joigne FA". 11 est évident que ce dernier arc représentera la véritable valeur A'^ de la distance vraie; et que, pour le déterminer, on connaîtra, dans le triangle A^ZF, les deux côtés ZV et ZA" et l'angle compris, ce dernier pouvant évidemment se déduire des azimuts Z et Z^ des deux astres pour le lieu de l'observateur, combinés avec la parallaxe d'azimut — C'est en suivant la marche précédente, en prenant d'ailleurs pour

incoimue {\'^ — Av)» ^t en développant de façon à négliger les termes d'ordre supérieur, que Brûnnow parvient à sa formule.

— La manière d'arriver à la relation de M. Mas Saint-Guiral, citée la première, se présente moins naturellement ; car la distance réduite A„ se trouve rapportée à un point situé sur la verticale astronotnique du lieu; et il s'agit de transporter cette distance de ce point aa centre de la Terre.

Le second astre peut encore ici être considéré comme ramené à ce centre. Mais, pour la Lune, il y a d'abord à introduire sa parallaxe en azimut, de même que plus haut, ce qui modifie l'angle z du triangle AZ'B' de la fig. 20. De plus, il faut faire entrer en ligne de compte la parallaxe spéciale due à l'écartement entre le point susmentionné et le centre de la Terre, et qui influence à la fois la parallaxe en azimut et la distance zénithaie ZA\

— La recherche de (A'„ — ^) par l'un ou l'auti-e mode précédent, ne laisse pas que d'offrir un certain degré de complexité. D'ailleurs, la formule finale renferme, dans l'un et l'autre cas, les azimuts des deux astres, qui ne sont pas des éléments se présentant naturellement dans la réduction des distances, et qu'il faut dès lors observer ou calculer approximativement. On est donc conduit à chercher une méthode de correction de V aplatissement qui soit exempte de ces inconvénients.

Il y a moyen d'y parvenir en commençant par ramener la hauteur de la Lune à l'horizon du point de la verticale astronomique du lieu qui coupe la ligne des pôles. Il faut, à cet effet, calculer une première parallaxe horizontale ad hoc 11^, correspondant à la portion du rayon terrestre du lieu comprise entre ledit point et la surface du globe. Le triangle rectiligne formé par les intersections des verticales astronomique et géocentrique du lieu avec l'axe des pôles, donne d'une manière évidente la valeur n, de ladite parallaxe. Cette valeur exprimée en fonction de la parallaxe horizontale ordinaire du lieu n est :

„ „ cos(L — V) Ut =nx —^ — i;

cosL

d'où l'on tire, en introduisant la parallaxe horizontale équatoriale U^ :

nt=noX(i — ttsin'L) ^*^^^ 7" =IIo — nogsm'L-fnoVsini"tgL=Do-hDoasin«L.

La quantité U^ s'obtiendra donc avec la plus grande facilité, en fai-

i 68 DISTANCES LUNAIRES.

sant subir à la parallaxe horizontale iquatoriale de la Lune, la correction habituelle pour tenir compte de la latitude, mais en ajoutani cette fois ladite correction, au lieu de la retrancher.

La distance A'„ obtenue avec la hauteur de la Lune ainsi corrigée, se trouve alors rapportée au même point sus-mentionné de la verticale astronomique que cette hauteur; et il n'y a plus qu'à la transporter de ce point au centre de la Terre. — Or le transport s'effectue ici tout simplement; car il suffit de considérer présentement les cercles de déclinaison des deux astres, c'est-à-dire de remplacer le triangle MZS de la fig. 20 par un triangle ATff, dont nous Isdssons le tracé au soin du lecteur. Dans ce triangle, l'angle au sommet P ne varie pas; PB' ne change pas non plus. Il n'y a que PA' qui se modifie et devient une certaine longueur PA'', après qu'on l'a corrigée d'une deuxième parallaxe ad hoc correspondant à l'écartement entre le centre de la Terre et le point auquel est rapportée la distance réduite A«, écartement qui se trouve contenu dans le plan du cercle de déclinaison PA'. — En suivant cette voie, on parvient à la formule :

I At A \ a n • ,/sinD0 8mD((\ \ / \ sinAe tgA„/

D0 et D([ étant les déclinaisons des deux astres considérées avec les signes qui lear conyiennent, eu égard à leurs noms comparés à celui de la latitude, suirant les conventions de la légende page 1.

Cette formule n'est pas aussi courte que celle de Brûnnow, ni plus simple que celle de M. Mas Saint-Guiral. — Son avantage fondamental consiste en ce qu'elle évite l'usage des azimuts, et qu'elle se sert d'éléments déjà employés dans le calcul de réduction de la distance observée.

Il» te. De remaetlUide à apporter «ans le ealeul 4e la réd«etioM des distemees I«iialr<»i. — Nous commencerons par bien spécifier que nous n'entendons pas absorber ici toute l'attention des navigateurs, dans l'usage des distances lunaires, par la question Calcul; et il demeure convenu que c'est la réduction à leur minimum des erreurs sur Tobservation des distances mémes^ qui devra rester leur principale préoccupation. En d'autres termes, le point que nous allons traiter n'a qu'une importance relative^ mab qui a néanmoins sa valeur et doit être bien comprise.

L'exactitude à apporter dans le calcul des distances porte, d'un côté, sur le degré acceptable d'abréviation des formules employées, et, en second lieu, sur le degré acceptable d'approximation des opé-

rations. Nous avons déjà envisagé cette importante question d'une manière générale au n"" 33. Mais il importe de la reprendre au point de vue particulier des distances lunaires.

Contrairement à une opinion courante et même professée, il faut bien se garder de crcnre que les deux degrés en question doivent donner le résultat qui les concerne, seulement avec une approximation de même ordre que les écarts provenant des erreurs mêmes d'observation. Nous avons, au contraire, précisé audit n"" 38 qu'il faut commencer par bien se rendre compte de V approximation totale, avec laquelle on se propose d'obtenir le résultat définitif. Cela fait, on défalque de cette approximation la part afférente aux erreurs d'observation dans les circonstances les plus défavorables, où il est encore cependant licite d'observer. Le reste doit alors être réparti enti*e l'abréviation des formules et l'approximation à apporter dans les opérations. — Avec les distances lunaires, la marge qui reste pour ces deux dernières parts est bien faible, en raison de ce que, quel que soit le moment où Ton prend les distances, les erreurs d'observation se trouvent multipliée^ en moyenne par 30 sur la longitude, qui est le résultat définitif cherché. Or, dans certains cas, comme celui où Ton se propose (n~158 et 159) de retrouver, après perturbations, l'état absolu d'un chronomètre à l'aide de distances lunaires, on doit viser à la dernière rigueur. Nous conclurons de là que, au moins pour le cas spécial dont il s'agit et qui tend à devenir le seul où l'emploi des distances lunaires sera utilisé, il faut se conformer aux prescriptions suivantes :

!• Les formules abréviaiives susceptibles d'être employées pour lesdites distances, ne doivent pas donner, du chef de l'abréviation, plus de 2" à 3" d'erreur. C'est ce qui explique, entre autres, pourquoi, dans la méthode du n* 71 , on a poussé les développements jusqu'aux termes du second ordre, afin de réaliser un semblable objectif.

S"" Le degré d'approximation à apporter dans les calculs, tant pour l'évaluation des éléments quq pour le nombre de décimales avec lequel il y a lieu de prendre les logarithmes, doit être du même ordre que le degré d'abréviation des formules. — Ainsi, pour toutes les méthodes, il faut calculer avec la dernière rigueur les corrections pour passer des hauteurs apparentes aux hauteurs vraies, les premières de ces hauteurs n'ayant au contraire besoin d'être connues qu'à la mioute. A cet effet, on tient compte pour la réfraction des indications du baromètre et du thermomètre ; de leur côté, les demi-dia-

mètres réfractés se calculent avec soin ; puis on emploie la parallaie horizontale de la Lune poiu* la latitude même du lieu. Enfin, il est nécessaire (n** 73) de déterminer avec une grande précision Yaecourdssement des demi-diamètres, pour passer de la distance observée des bords à la distance apparente des centres. — En ce qui concerne k nombre de décimales avec lequel il convient de prendre les logarithmes, cela dépend de l'espèce des formules à employer. Avec la méthode de Borda, par exemple, il faut se servir de toutes les décimales de la table, d'un bout à l'autre des opérations. Avec la méthode du n* 71, au contraire, le calcul logarithmique n'exige que 5 décimales, pour obtenir un résultat même plus rigoureux. — Au point de vue dont nous nous occupons, 1* heure de Paris (T^, + 1' + f) correspondant à la distance, doit, de son côté, être calculée en tenant compte du terme en t", qui représente la correction due aux diflFércnces secondes, comme il a été dit au n*" 7A. Mais, de plus, il faudra, pour être tout à fait rigoureux, déterminer t' en employant dnq décimales. — Enfin, en principe, il sera bon de faire subir à la distance calculée la correction afférente à l'influence de l'aplatissement de la Terre (n* 75), surtout si l'on se trouve aux environs des circonstances où cette correction approche de son maximum.

fd^ 99. PrécRutioiis à preiiéire pour l'olMuervaii^B el le ealenl des dlstamees Innatres. fi^abstitvtioii à ee« 4I«tances de rascension droite de la Ii«iie pour la reekerebe de la loii^iiiide à la mer. — Il nous reste à exposer la manière dont les observations doivent être conduites pour en tirer le meilleur parti possible.

Si on se reporte au n* 178, on voit d'abord que, pour prendre les distances elles-mêmes, il faut employer le cercle de préférence au sextant. En second lieu, d'après le numéro précédent, chaque observation doit être faite avec toute l'exactitude possible. Il ne faut rien négliger de ce qui peut éviter une erreur, si faible qu'elle soit; car c'est seulement grâce à cette précision et aux autres précautions indiquées ci-après, qu'on peut parvenir à déterminer la longitude, sans dépasser 8' à KV d'erreur, comme il a été avancé au n* 68, et ainsi que cela est nécessaire en particulier (n* 76) pour rectifier Tétat absolu d'un chronomètre après perturbations.

Afin d'arriver à ladite précision, il conviendra de prendre, sans interruption, 10 à 12 séries de distances. De plus, on observera^ autant que possible, la hauteur du Soleil immédiatement avant on

DISTANCES LtNAlRE& i71

après rd)servation des distances. Si l'on peut choisir son moment, on fera en sorte que cette hauteur soit prise dans les circonstances favorables, afm de déterminer très-exactement du même coup 1* heure temps moyen du bord correspondant à cette hauteur, et par suite à chacune des séries de distances. On calculera, à Taide de cette heure, les hauteurs des deux astres correspondant à la première série, à la série intermédiaire et à la dernière. Il suffit d'avoir ces hauteurs à la minute. Mais il importe, comme nous l'avons expliqué au n"" 76, de calculer avec la dernière exactitude les différences entre les hauteurs vraies et les hauteurs apparentes, ainsi que les accour^ eissements des deux demi-diamètres pour passer de la distance observée des bords à la distance apparente des centres.

On aura donc ainsi trois hauteurs apparentes du centre pour chaque astre et les corrections correspondantes, et par ailleurs les distances apparentes des centres qui s'y rapportent. On fera simultanément, avec ces éléments, la réduction des trois distances spécifiées ; et on en déduira trois longitudes, ensuivant d'ailleurs les indications du n*" 7i pour le calcul des heures de Paris. Cette opération terminée, on réduira par interpolation en distances vraies les séries non calculées, en partant des trois séries qui ont fourni directement des longitudes, et en ayant au surplus égard aux différences secondes. On tirera de là autant de nouvelles longitudes. — Cela fait, on verra, d'après le cri^ terium de Chauvenet (n"" 12A), celles de toutes les séries sans exception qui doivent être rejetées comme donnant des longitudes douteuses. Si c'est une des séries fondamentales qui est ainsi atteinte, il faudra recommencer tous les calculs qui dépendent de cette série, à moins que celle des différences secondes sus-mentionnées y afiférente ne doive se trouver que très-peu affectée, ce qui peut s'apprécier à première vue. En tout état de cause, on prendra la moyenne des longitudes conservées comme bonnes, ce qui donnera une longitude unique, correspondant à la moyenne des heures au compteur propres aux distances conservées. Au besoin, on corrigera cette longitude de rînfluence de l'aplatissement de la Terre (n** 75) , en se bornant pour cela à mesurer l'effet en question sur une des trois distances calculées. Le calcul des hauteurs allonge un peu l'opération. Cependant cette manière de faire est préférable à leur observation directe, parce que la personne qui prend les distances n'a pas à se préoccuper d'autre chose; et la précision de celles-ci en bénéficie. Cest conformément aux indications précédentes qu'a été établi le

TYPE DE CALCUL N* 8 de la fin du texte, déjà mentionné au n' 71.

— Pour compléter les recommandations qui font l'objet de ce numéro, il importe d'ajouter la remarque suivante :

L'effet des erreurs conêtantes susceptibles d'être commises dans Tobseryation des distances, peut être annulé en employant deux étoiles, l'une à Y Orient, l'autre à Y Occident de la Lune, à peu près également écartées de celle-ci. Car, en pareil cas, les deux distances, qui sont alors de noms contraires, sont erronées de quantités semblablement de noms contraires, et d'ailleurs à peu près égales. U en est alors de même des erreurs dont se trouvent affectées les deux heures de Paris correspondant aux distances ; de telle sorte que la moyenne de ces heures se trouve bonne. — Un autre procédé du même genre est recommandé par certains navigateurs pour s'affranchir des erreurs constantes d'observation. Il consiste à prendre la distance d'une étoile au bord éclairé de la Lune la nuit où celle-ci va être pleine, et à observer la même nuit, ou sinou le lendemain, une nouvelle distance entre la même étoile et le nouveau bord éclairé de la lune. — Quant aux erreurs constantes dont il s'agit, elles peuvent provenir, avec le cercle comme avec le sextant, de la totalité ou d'une paitie des erreurs systématiques (n^ 180).

A propos du point que nous venons de traiter, il convient de mettre en garde les officiers contre une hérésie qui a cours, et qoi tire son origine d'un ouvrage classique, où on l'a vue figurer dans plusieurs éditions successives. C'est la croyance qu'on peut annuler les erreurs dues aux tables lunaires elles-mêmes, en observant la distance de la Lune à un astre dans TEst, puis à un autre dans l'Ouest à peu près également écarté, c'est-à-dire en opérant suivant le mode indiqué ci-dessus. — Cette hérésie devient manifeste, si on réfléchit que les erreurs des tables lunaires affectent la détermination de l'heure de Paris, de la même manière que le feraient, avec une Connaissance des temps rigoureuse, des erreurs d'observation qui changeraient de signe suivant qu'on aurait observé dans TEst ou dans l'Ouest. Mais, d'après ce qui précède, pour que des observations de côtés différents puissent se corriger, il faut qu'elles soient toutes deux trop grandes ou toutes deux trop petites.

— L'observation des distances lunaires étant naturellement difficile« et d'autant plus inexacte que les marins s'y exercent fort peu aujourd'hui, on a proposé, il y a déjà longtemps, de substituer à ces distances, pour la recherche de la longitude à la mer, la détermina-

lion de Tascension droite de la Lune. Cette détermination ne dépend, en effet, que de l'observation de hauteurs. Or les navigateurs étant familiarisés avec cette sorte d'observations, peuvent, dans des circonstances exceptionnelles de beau temps, prendre des hauteurs simultanées de l^une et de Soleil avec une exactitude assez grande pour en déduire une bonne ascension droite de la Lune, et par suite une bonne heure de Paris correspondante.

Avec ce mode d'opérer, l'erreur en longitude vaut, comme pour les distances, 30 fois en moyenne l'erreur commise sur l'ascension

droite précitée. Or à cause de la relation bien connue jn

url

= . . y, la dernière erreur surpassera toujours celle de la

hauteur de la Lune. On voit donc avec quelle circonspection il faut préconiser le procédé dont il s'agit. — Sous cette réserve, exposons rapidement en quoi il consiste :

On prend, avec le plus de précision possible, des hauteurs de Lune et de Soleil ; et on note les heures correspondantes du compteur. On déduit des observations une ou plusieurs hauteurs moyennes simultanées des deux astres. Avec l'heure du chronomètre relative à chaque groupe de hauteurs moyennes simultanées, on se procure une heure de Paris plus ou moins exacte. Cette dernière heure sert à calculer la déclinaison du Soleil, l'équation du temps et l'ascension droite moyenne, puis la déclinaison de la Lune. — La latitude du bord étant supposée exactement connue, comme provenant d'une hauteur méridienne prise dans la même journée, on déduit des triangles de position les angles horaires du Soleil et de la Lune. Avec les premiers de ces angles horaires, on se procure l'heure moyenne du bord, puis l'heure sidérale par la relation T. — Tm+iR». Au moyen de l'angle horaire de la Lune, on obtient ensuite T(( , et par suite il vient Mil ^^ ^« — '^d' — Connaissant JK(i pour le moment des hauteurs simultanées des deux astres, on trouve, à l'aide de la Connaissance des iempsy l'heure de Paris correspondante T^,,„. Si cette heure Tp,,„ esi notablement différente de celle qui a servi i déterminer les éléments précités introduits dans le calcul, on recommence celui-ci avec ladite heure T^^m* On arrive fmalement ainsi aune bonne heure de Paris, qui, combinée à l'heure moyenne T« du lieu, donne la longitude de l'observateur.