p xl

Or à mesure que p ou ç croit, le facteur du coefficient différentiel

peut croître pareillement, jusqu'au moment où — —-^ et -^ — f ,

deviennent plus petits que 1. Mais, comme (8 — 6J et surtout (t— (,), peuvent avoir des valeurs très-grandes, on voit bien que ce senties valeurs des coefficients différentiels qui sont les seules aptes à rendre négligeables les termes lointains. Cette condition est d'ailleui-s utile, afin que le reste complémentaire (n" 7) propre à chacune des deni variables pour parfaire le développement, tende vers zéro, et que le développement lui-même représente bien la marche.

— Quoi qu'il en soit, à l'aide d'un plus ou moins grand nombre d'observations, on trouve un nombre correspondant de vaieors pour m, 9 et t. Ces valeurs, introduites dans (I^,), donnent une série d'équations qui permettent de calculer les valeurs particulières des

divers coefQcients différentiels qu'on conserve dans la formule, et qui De vont jamais au delà de ceux du second ordre. Ce sont ces coefficients qu'on appelle les constantes du chronomètre.

En principe, il est nécessaire d'obtenir un bien plus grand nombre d'observations, et par suite d'équations, qu'il n'y a de coefficients à déterminer ; car on est ainsi à même d'appliquer à la réso* lution des équations, la méthode des moindres carrés (n*» 133), ou la méthode de Gauchy (n*" 13 A), qui ont Vune et Vautre pour but essentiel d'amoindrir tinfluence des erreurs d'observation^ et de donner par suite à la formule toute la rigueur nécessaire à l'obtention de bons résultats. Nous ajouterons que pour la navigation courante, on substitue d'ordinaire aujourd'hui à la relation algébrique des méthodes graphiques (n" 142, lââ et 150), qui en sont l'interprétation géométrique plus ou moins fidèle.

— Il importe de remarquer que la relation générale (I^) est somnise à une réserve importante, qui résulte de la fin du n® 100. En d'autres termes, cette réserve provient des variations norwia/e* que subit, avec le temps, la force élastique du spiral; elle tient aussi à ce que, le balancier éprouvant des influences analogues, sa forme ainsi que les coeflScients de dilatation varient avec une certaine régularité; enfin les huiles elles-mêmes subissent différemment l'action régulière de la chaleur, selon qu'elles sont fraîches ou vieilles. Ce serait donc un bien grand hasard, si tout cela n'influait pas plus ou moins sur la manière dont la compensation et le réglage ont été obtenus au début. Il résulte de là, la conclusion capitale que voici :

Il est nécessaire de considérer les constantes du chronomètre qui tiennent compte de Vaction de la température et de ïàge des huiles^ comme ne convenant que pour une période de temps restreinte^ un m à dix-huit mois, et encore (n° 111) en tant qu'il ne s'agit pas de chronomètres neufs.

La réserve précédente revient à supposer que les coefficients de la formule (IJ sont, en fait, des fonctions de la températiu-e et de l'âge des huiles. Mais ces fonctions, développées elles-mêmes suivant les puissances de (8— 9J et {t—t^), donneraient, toutes réductions fiâtes, une nouvelle série allant au moins jusqu'aux termes du troisième ordre, si on s'était primitivement arrêté à ceux du deuxième ordre^ et renfermant de nouveaux coefficients jouissant d'une constance absolue y ou du moins d'une constance plus fixe que les premiers. — En résumé, la réserve dont il s'agit revient à dire que, pour avoir une

formule tenant compte de la température et de Tâge des huiles, avec des constantes susceptibles de servir au delà du terme précité de un an à dix-huit mois, il faudrait employer un développement plus étendu.

fH"" t09. Térilleatl«Hi ei^pérlmentale de la tomuiMle r«tl«iiHiclle i^éMérale de la niarelie Mormale. — Comme nous en avons prévenu au n'^lO?, il appartenait àl'expérience de prononcera posteriorU sur la validité de Temploi de la formule (I J, ou des moyens graphiques y suppléant, et découlant de l'hypothèse faite à priori Aem = f{t, 9).

Cette expérience a d'abord été entreprise numériquement par M. de Magnac, dans plusieurs campagnes importantes à bord de la Victoire et du Jean-Barty où le long temps qu'on a pu accorder aux recherches voulues, a permis d'éviter les inconvénients, signalés ci-après, de relâches trop courtes pour recueillir un nombre suffisant d'observations. Il a pu établir ainsi que les procédés dont il s'agit convenaient non-seulement pour déterminer m par interpolation^ autrement dit (n° 105) pour des valeurs de t et de 0 comprises entre les limites extrêmes de celles ayant servi à calculer les coefficients; mais même par extrapolation^ autrement dit pour des valeurs de t et 8 en dehors de ces limites. — Depuis lors, il a été fsdt en Allemagne, à l'observatoire de Kiel, d'importantes vérifications de ladite formule (n* 111).

— De son côté, M. Rouyaux est venu donner une nouvelle consécration à sa validité, en se servant, à bord du Décris^ des marches de plusieurs chronomètres considérées, non plus avec leurs valeurs INTÉGRALES, mais avec leurs valeurs relatives (n" 148), c'est-à-dire avec leurs différences par rapport à la marche de l'un d'eux pris pour étalon, ce qui n'exige que de simples comparaisons journalières. Il est évident à priori que la loi des marches relatives en fonction de la température et de l'âge des huiles, doit être la même que celle des marches intégrales; et l'existence de l'une entraîne celle de l'autre.

Au surplus, ladite consécration a été établie par M. Rouyaux, non pas analytiquement, mais géométriquement, par la considération très-ingénieuse de diverses sortes de lignes de marche (u** 1A6 à 147). Et, bien entendu, la validité sus-mentionnée de l'hypothèse m = /(/, 8) s'est trouvée vérifiée du même coup.

En tout état de cause, on ne saurait trop insister sur les avantages de diverses sortes, qu'on retire (n^ 148) pour la question qui nous oc-

cupe, de la considération des marches relatives de préférence à celle des marches intégrales.

^ IV^" ttO. i^impUfieattoM analytique de la fermiile ratleMiielle f^énérale de la aiarelie Mermale. — M. Rouyaux a remarqué que la formule générale (I^) du n"" 108, limitée aux termes du second ordre , est susceptible d'être débarrassée des termes du premier ordre.

En effet, comme on dispose des quantités 0^ et I,, on est libre de leur donner des valeurs 6^ et T^ telles, que lesdits termes primitifs du premier ordre puissent se grouper avec les termes également primitifs du second ordre ainsi qu'avec le terme constant, de façon à ne plus former en tout qu'un nouveau terme constant a', et trois termes du second ordre de la forme c x (tt — ej% e X (8 — 8^) x (t— T^) et (>:,{% — Tj)*, En un mot, de même que dans l'équation générale d'une conique, on est ici à même de faire disparaître les termes du premier degré par un choix convenable de l'origine des coordonnées, lesquelles peuvent être considérées actuellement comme représentées par les variations de la température et du temps. Dans cet ordre d'idées, l'équation générale (Ip) pourrait s'écrire :

(II) m=«' + cx(0-^i)« + ex(0-e,) y-Tj)4-/x(<-Ti)«.

Il faut bien comprendre que cette nouvelle forme renferme le même nombre de coefficients que la première, c'est-à-dire six, qui sont présentement 6^, T^, a', c, f, A Elle est du reste aussi générale.

La forme en question offre l'avantage pour la détermination uUérieure de m, une fois lesdits coefficients déterminés, de n'exiger que le calcul de trois termes au lieu de cinq* Par contre, elle entraîne l'inconvénient de ne pas être linéaire, par rapport aux coefficients ©j et T,, ce qui ne permet plus d'appliquer la méthode des moindres carrés (n"" 133) , ou celle de Gauchy (n"" 13A) , au calcul des coefficients ; elle rend d'ailleurs ce calcul, par tout autre procédé, extrêmement laborieux. — Mais il y a moyen d'éviter l'inconvénient dont il s'agit. A cet efiet, il suffirait d'établir la formule dans sa forme complète (I J en appliquant lesdites méthodes. Puis, d'après ce qui a été dit ci-dessus, on passerait de cette forme à la forme réduite (IJ^ par les formules de transformation de l'équation d'une conique, lors du transport, parallèlement à eux-mêmes, des axes de coordonnées à une nouvelle origine, choisie de façon à faire disparaître les termes du premier degré. Pour cela, on écrirait l'équation gêné-

raie (IJ sous la forme adoptée au n* 132, à savoir :

avec

D'autre part, en désignant par x^ et y^ les coordonnées de la nouvelle origine, apte à faire disparaître les termes en x et en y, et|par a/ = (8 — B^) et y' = {t — T J , les coordonnées se rapportant à cette origine, on poserait :

z = « +6x (x'+aro) +dX(/+yo)+<?X(a/+a:b)*+<? X(a:'+ Xo)|(y'+yo) +/'X(y^^

En appliquant alors les règles de la géométrie analytique, on aurait :

«'=« — a:©; soit 6 — 61 = 6 — 61 — Xo,

soit / — Tj =/ — /,— yo'

^ . ^d-eb

a'=« + 6xo+rfyo + c^o' + ««oyo+/Vo"= J__^^ "'^

z = a' + cxx^+exxV+Z'xy'*.

Dans la détermination précédente, les coefficients Q^ ou T^ prennent des valeurs élevées lorsque les coefficients des termes en ofjf et en X* ou en y* du développement complet ((,) convergent versiéro; car, en pareil cas, d'après les équations ci-dessus, x^ et y^ tendent vers l'oo; et dès lors il en est de même de 9, ou de T^. Mats cela importe peu, attendu que les deux dernières quantités représentent une température et une époque fictives^ qui, n'ayant pas de signification spéciale, sont de nature à prendre toute espèce de valeurs, sans nuire à la logique des choses.

Nous n'insisterons pas davantage sur la réduction que nous venons d'appliquer, parce que, comme toutes les méthodes analytiques, elle ne nous semblerait opportune au besoin que pour les campagnes scientifiques; et parce que dans la navigation courante, elle doit céder la place aux formules de marche réduites (n*" lAl), ou aux procédés purement graphiques (n"^ 1A2, lAi et 160).

1V« lit. SimplUleatioM ei^pértnieiitale de la fermie rattoimelle i^éiiérale de la aiarelie naihnale. — Dans ces derniers temps, M. le D* Peters, déjà cité au n« 401, a étudié d'une

manière spéciale, à l'observatoire de Kiel, la formule générale (I^) du n* 108 de la marche des chronomètres. 11 est arrivé à diverses remarques importantes qu'il a déduites de l'expérimentation d'une centaine de chronomètres. £ti complétant ces remarques importantes par d'autres renseignements recueillis d'autre part, nous sommes arrivé aux conclusions suivantes :