Le groupe de termes (^)^x(0-0.)+ (5) x

•de la formule (IJ du n* 108, qui représente le défaut de compensation, doit en général être conservé en entier. D'ailleurs, le coefficient de la première puissance de (8 — 6J est généralement plus grand que celui de (6 — 8J-; et dès lors, dans les variations restreintes de température, l'influence du premier des deux termes ci-dessus est prépondérante. — Enfin, d'après la fin du n° 96, dans les chronomètres imparfaitement compensés, il arrive souvent que le terme en (8— 9j)* disparaît.

20 Le groupe de termes ^^\ x {t—t,) + (-^j X ^^ '

qui représente le changement de marche avec le temps, et dont la somme divisée par {t — (J est l'expression mathéiDatique de ce que nous avons appelé V accélération [n"* 100) appréciée par rapport à

l'unité de temps adoptée, se réduit le plus souvent ^ { -jr ) Q — ^)'

— Pour les chronomètres neufs de médiocre fabrication, l'accélération est très- forte au débuts et diminue ensuite progressivement; conséquemment cette quantité a besoin en pareille occurrence d'être rectifiée successivement, au moins pendant quelque temps.

3*» Le terme {'rr^/j X (^ — ^i) X (^ — t^)y qui représente la variation d'efficacité de la compensation avec le temps, est généralement très-faible, et se produit d'ailleurs avec une extrême lenteur. Comme M. Peters, M. de Magnac a trouvé à ce terme des valeurs insensibles pour les nombreux chronomètres qu'il a étudiés, sauf pour l'un d'entre eux, dojit les marches d'ailleurs se prêtaient mal à l'interpolation. Plus récemment, M. Rouyaux a vérifié qu'il était à peu près inutile d'en tenir compte. — Toutefois ledit terme était trèsimportant avec les anciennes montres, d'après M. Mouchez, qui fait surtout cette remarque pour les chronomètres Motel.

&*" C'est lorsque les chronomètres ont atteint un an à un an et demi

d'âge des huiles, que leurs constantes de marche se trouvent avoir leurs valeurs le mieux assises, et aptes à se conserver sans modification aucune pendant 16 à 16 mois.

— 11 résulterait des considérations précédentes qu'on pourrait, en général à la mer, au moins pour de courtes traversées, se borner à la formule :

sous la condition expresse que a serait déterminé à nouveau dans chaque relâche.

Il importe de noter, en passant, que cette dernière équation correspond justement aux courbes chronométriques désignées sous le nom d'isotemps (n° 147) par M. Rouyaux, et dont cet officier a fait, dès 1875 jusqu'à ce jour, des applications de plus en plus heureuses. Pour c« motifs, nous désignerons désormais ladite équation sous le nom de formule des isotemps.

N"* 119. Formule particulière de M. Uemiseii peur la ■larelie nermale des ehrenomètres. — Les considérations du numéro précédent conduisent à admettre que, lorsque la série de Taylor est applicable, c'est-à-dire lorsque les marches ne sont pas discontinues, et que d'ailleurs on désire avoir une formule de marche simple et dont cependant il y ait moyen de faire usage pendant quelque temps, ce qui exige expressément que les chronomètres ne soient pas neufs^ on peut le plus souvent s'en tenir à trois termes de correction, savoir : les termes contenant la variation de température à la première et à la deuxième puissance et le terme proportionnel à la variation du temps. — Dès lors, les considérations dont il s'agit justifient, dans une certaine mesure, la formule de marche proposée, dèsiSôA, par M. l'ingénieur hydrographe Lieussou, et à laquelle il était parvenu à la suite de la discussion approfondie d'un grand nombre d'observations chronométriques. Cette relation présente la forme suivante, où nous avons adopté des lettres en harmonie avec les notations de la formule (IJ du n"" 110; les lettres sans accent représentant d'ailleurs des quantités égales dans les deux cas :

(y m = a" + rfx (/-/,) +CX (e-T)».

Les quantités a'\ d, c et t, sont ici des coefficients à déterminer à l'sâde d'un nombre suffisant d'observations ; et t, en particulier, représente la température de réglage (n"" 97).

Ed développant le terme (0 — t)*, on fait dsément cadrer cette formule avec la relation générale (I^) du n' 108, dans l'hypothèse sos-mentionnée, qui implique que les coefficients des termes en {i — ty et en (6 — 9J {t — 1^) de cette relation, soient négligeables. — Quand on n'effectue pas ce développement, la température de réglage T, qui joue, répétons-le, le rôle de coefficient, demeure engagée dans un carré. Or cette circonstance rend complexe la détermination de ladite quantité. De plus, elle ne permet pas d'appliquer la méthode des moindres carrés (n"" 133) ou celle de Cauchy (n"" 13A), à la recherche de l'ensemble de tous les coefficients. Or cette application est indispensable, nous ne saurions trop le répéter, afin d'atténuer l'influence des erreurs d'observation (n** 116), et de donner à la formule, si tant est qu'on l'adopte, au moins dans de certains cas (n"" IIA) , la rigueur qu'elle exige pour fournir de bons résultats.

D'un autre côté, la forme de la relation Lieussou fait acquérir au coefficient t des valeurs démesurées, pour les montres où la variation des marches en fonction de la température se trouve sensiblement proportionnelle à ce changement, et où conséquemment le coefficient e du terme (ft — 8J* de la formule générale tend vers zéro. En effet, ce coefficient est le même que celui de (8— t)* dans ladite relation ; et le terme en (0 — Q J de la formule générale a évidemment son coefficient 6 égal à — 2ct. Or cette quantité devant avoir une valeur finie, il faut que son second facteur t devienne très-grand à mesure que e devient très-petit. — £n principe, semblablement à ce qui a été dit à la fin du n*" 110, une pareille circonstance n'impliquerait aucune objection, si la prétendue représentation par T de la température de réglage ne se trouvait de ce fait perdre toute «gnification. Nous rappellerons au surplus que, d'après le n** 97, cette températmre n'a plus aujourd'hui dans beaucoup de cas sa raison d'être.

— Dans un autre ordre d'idées, nous remarquerons que, de même encore qu'au n"" 110, on peut éviter ici, pour la détermination des coefficients, les difficultés sus-mentionnées qui proviennent de la présence de T dans un carré. A cet effet, on développe la formule (I J ; et on pose :

.On obtient ainsi :

Les coeflBcients à déterminer sont alors d'\ 6, à et c. Cette détermination pourra s'effectuer ici par la méthode des moindres carrés ou par celle de Gauchy, ainsi qu'il a été recommandé plus haut. Cependant s'il n'y a pas moyen, pour un motif ou un autre, de se procurer un grand nombre d'équations , il faudra se borner à ^n obtenir quatre , qu'on traitera par la méthode algébrique élémentaire. Ainsi, ayant observé les marches m, m', w!\ m"\ qui correspondent respectivement aux époques t, (', i'\ t"\ et aux températures 6, tf, 9", 9"', on aura à résoudre le système des quatre équations :

m' = a'" 4- M' 4- d(f - 1^) + cô'», m" = a'" -f- M" + c? (f - 1^) 4- ce"*, m'" = a'" + M"' 4- d{f"- 1^) 4- €^"\

— La solution générale est connue; mais les calculs sont longs. M. Caspari a proposé de tourner la difficulté par la voie suivante :

Si l'on a deux marches isothermes, c'est-à-dire correspondant à la même température, on fera bien d'en déduire d avant de commencer les calculs, ce qui se fera en retranchant membre à membre les . équations relatives auxdites marches. — Si l'on n'a pas de marches rigoureusement isothermes, on peut, dans des limites qui ne dépassent pas 2 à 3 degrés, interpoler proportionnellement, c'est-à-dire ramener les deux marches considérées à leur température moyenne, en appréciant leurs variations respectives d'après la différence entre les deux marches qui, parmi les quatre marches données, correspondent au plus grand écart de température. Dans les deux hypothèses précédentes, on déduira des équations ci-dessus, en les retranchant deux à deux, les relations :

m - m' =r b(0 - eo 4- d{t - f) 4-c(6» -Ô»»), m"— m'"= 6(6"— V") + d(r — n + c (6"»— y"») ;

qui ne contiennent que les inconnues 6 et c, lesquelles se trouvent ainsi déterminées fort simplement.

Pour la facilité et l'exactitude des calculs, on combinera les équations de telle sorte que le dénominateur commun des inconnues soit le plus grand possible. Ce dénominateur est :

(e—yjco"»— 6'"») — (6"— e"')(e»— 0'») = (e— e') ir—B'") [(6"-h6'")— (e4-e'jj-

11 faut donc éviter que (8 + 9') soit égal à (6" + tf'), ce que l'on obtiendra en groupant ensemble les deux températures les plus élevées et les deux températures les plus basses.

Où voit par ce qni précède comment, selon les circonstances» on est à même de simplifier les calculs.

Ed tout état de cause, on peut éliminer entre les quatre équations de départ le coefficient ol" par soustraction, et réduire ainsi à trois le nombre des inconnues et des équations,

— Une fois 6 et c calculés, on aura facilement la température de riglage :

On fera bien de déterminer cette constante. Car elle constitue une caractéristique précieuse pour les chronomètres qui ont effectivement une température de réglage (n* 97); et elle donne, en cette hypothèse expresse, la meilleure idée de Tallure de la montre aux diverses températures. — Dans tous les cas, la détermination en question, ainsi du reste quecelle de a" doivent toujours être effectuées, afin qu'on puisse, lors du calcul des marches à posteriori^ se servir de l'équation même de M. Lieussou, dont l'usage est alors plus rapide que celui de sa transformée.

Pour parfaire ce qui concerne cette équation, nous montrerons au B» 148, quelle est son interprétation géométrique.

M*" IIS. Autres formules partie«lières pour la marelie ■•naale des ehreMeaiètres. Censidératien spéciale de Fhjpolhèse de la praportIanMalUé des Tarlatlons de la marelle aux Tarlailans de la ieuapérature. — Nous ne parlerons que pour mémoire des autres formules proposées en leur temps par différents navigateurs, pour tenir compte des variations de la température et de Tâge des huiles. Ces diverses formules rentrent, en fait, dans la relation générale (IJ du n° 108, en y faisant nuls un plus ou moins grand nombre des coefficients. Du reste, elles n'avaient pas été établies rationnellement, mais seulement d'instinct, pour ne pas dire de fantaisie.

Toutefois, il est un point qu'il nous reste à examiner de plus près : c'est Thypotjièse des variations de la marche proportionnelles aux variations de la température. Cette règle, en principe inexacte, comme cela ressort du n"" 111, est pourtant recommandée par des officiers expérimentés; et on la trouve même dans des ouvrages destinés à l'enseignement.

Nous avons indiqué au même n"" 111 comment on peut y être amené, quand on a entre les mains des instruments imparfaite-

ment compeDsés. Il serait donc possible qu'avec de pareils chronomètres, la proportionnalité fût plus exacte qu'avec une montre bien réglée. — C'est ainsi que M. Mouchez, dans son rapport sur la campagne de la Capricieuse^ a pu dire qu'à certains égards on chronomètre Motel, qui variât de plus de 1 seconde par degré de température, était d'un usage plus sûr, avec la formule de la simple proportionnalité, que d'excellents chronomètres Winnerl suivis en même temps, et sur lesquels les changements de température n'avaient qu'une influence indécise (n" 97). Mais si une pareille sensibilité peut avoir l'avantage de correspondre à une loi de correction bien nette, elle expose, par contre, à des erreurs provenant de la difficulté d'apprécier exactement la température moyenne de chaque jour.

Du reste, aujourd'hui de semblables circonstances ne sont plus appelées à se rencontrer; car les conditions d'acquisition des chronomètres sont réglées de telle sorte qu'on n'admettrait aucun chronomètre qui varierait de plus de 3 secondes, en passant de la température ambiante (variable de 10^ à 20°) à la température de ()• ou à celle de 30^

IV* il A. €«iiel«0l^M0 relatiTes mmiL fmwmmiem de aMT- •he q«'ll ••MTieMt cm déflAltive d'adcpier. Be lear remplaceBieiit par le* procédés i^raphiqu^. — Si on réfléchit à ce que les résultats de M. Peters (n"" 111), comme ceux de M. Lieussou (n"" 112j , se rapportent à des expériences faites à terre, et que, somme toute, elles ne portent que sur un nombre déterminé de chronomètres, il appert que la voie la plus logique, au moins pour les campagnes scientifiques, est encore d'employer, en prindpe, la formule générale (IJ du n° 108.

En opérant ainsi, on ne s'expose à aucun inconvénient; car la dé^ termination des coefficients indique dans chaque cas, ceux d'entre eux qui peuvent être regardés comme nuls. Il importe d'ailleurs de remarquer que cette détermination est presque aussi longue, quelle que soit la formule employée, du moment qu'on a recours aux méthodes (n"" 133 et i 3i) , qui ont pour objet t atténuation des erreurs d* observation^ atténuation indispensable pour donner à toute formule l'efficacité voulue dans ses applications à posteriori. — On ne saurait trop insister sur cette dernière remarque ; elle semble avoir échappé à presque tous les auteurs, qui, en comparant entre elles les diverses formules dont nous venons de parler, en ont examiné les essences res-

pecUves, sans faire attention, dans les exemples cités par eux, que très-souvent le mode de calcul des coefficients n'était pas le même dans les divers cas. Or cette circonstance faussait manifestement lesdites comparaisons, surtout au point de vue de la longueur des opérations.

— D'après les considérations qui précèdent, l'usage de la formule rationnelle générale (IJ du n« 108, doit être exclusivement adopté quand il s'agît d'avoir des résultats rigoureiÂX, et que d'ailleurs on se propose de conserver la même formule pendant longtemps.

De son côté, l'emploi de la formule des isotemps (I,) du n** 111 bornée à la navigation courante, et pour des traversées courtes, surtout avec des chronomètres neufs, est à recommander, sous la condition qu'on y rectifie la constante a de la marche à chaque nouveau voyage. — Quant à la relation Lieussou, elle peut, d'après le n" 112, être employée en l'état actuel des choses, lorsqu'on se propose de faire usage perdant un certain temps de la formule de marche. Mais elle exige expressément alors que les chronomètres ne soient pas neufs* Oo conclut de là incidemment que cette relation n'est pas applicable à un chronomètre quelconque, d'un tempérament inconnu.

—Il nous reste àdireque l'emploi des graphiquesde marche (n**J 42, i&A, 1A9 et 150), qui tend aujourd'hui à se substituer aux formules, est appelé à prendre le pas sur les procédés analytiques, au moins dans la navigation courante.

Pourvu qu'on emploie une échelle suffisamment grande, et qu'on trace les courbes en tenant compte des erreurs d'observation (q" 116) , les graphiques de marche donnent au moins autant d'exactitude que les formules approximatives précitées. — Ils sont d'ailleurs indispensables pour comparer entre eux de visu les divers chronomètres dont on dispose. Ils offrent incidemment l'avantage d'échapper aux interminables discussions, rappelées implicitement dans les numéros précédents, relatives à la conservation d*un plus ou moins grand nombre des termes fournis par la série de Taylor. Enfu, ils représentent, dans chaque cas, la véritable fonction qui lie la marche aux variations de la température et de Tâge des huiles, et cela avec d'autant plus de rigueur que leur tracé aura été effectué avec des points plus rapprochés et d'ailleurs obtenus avec les précautions sus-mentionnées.

-K^ IW*" 1 IS. DlstâBCtton entre la marehe marmale Instan- UM^ée et Mm aiiurelie mamuae aiayeime. Faraiwle i^éiié-

raie de rétat atael«« — Il importe de remarquer qne, rigoureusement parlant, la marche normale considérée dans tout ce qai précède n'est qu'une marche instantanée. En d'autres termes, elle n'est autre que la dérivée totale à un instant quelconque de l'état absolu R fque l'on ramène toujours aujourd'hui à être un retard)^ prise par rapport au temps, l'unité servant à mesurer ce dernier étant d'ailleurs le jour moyen.

C'est donc en réalité — qu'on a posé égal à ^(9, t) au n° 108. M. Vil-

larceau a du reste émis implicitement cette opinion à la page iO des u Recherches sur Vemploi des chronomètres » , par M. de Magnac. Oo est dès lors conduit à regarder la température 8 comme une fonction implicite du temps t. Ce point de vue n'est pas sans soulever des discussions. On objecte, en effet, que dans un pareil ordre d'idées, toutes les choses se trouveraient être des fonctions du temps. — A cela nous répondrons qu'il en est ainsi pour toutes les quantités qui ont, comme la température Q, des valeurs déterminées à des époques successives données. La fonction considérée n'est pas plus connue que la fonction générale sus-mentionnée, adoptée pour la marche instantanée; mais elle existe au même titre que cette dernière fonction. Au surplus, l'hypothèse de Q fonction de ( ne change rien aux formules à employer; elle rend seulement plus net et plus rigoureux l'établissement de ces formules. — Selon cette manière de voir, qui a été adoptée par M. Crévost, dans son enseignement sur le Borda, od a évidemment pour expression générale de l'état absolu :

l(i étant une constante représentant l'état absolu à une époque déterminée.

De son côté, la valeur m de la marche normale moyenne par jour moyen, devient :

— Quel que soit le développement adopté pour /*((, 0) en fonction de (f — t^) et de (0 — 0,), le premier terme en 8 deviendra un terme

(8 — OJ d/, deraière quantité qui n'est autre, à une constante près, que la température moyenne du jour considéré. Mais pour

les tennes renfermant Q à d'autres puissances que Tunité, ainsi que pour ceux contenant àla fois 0 et (, il surgit une difficulté, parce qu'on se trouve en présence d'intégrations ineffectuables. — On élude cette difGcalté en remarquant que, dans l'intervalle d'un jour moyen, la température d'un chronomètre s'écarte peu de sa valeur moyenne, eu ^ard à ce que les montres sont, en principe, renfermées dans une armoire spéciale. Il est dès lors licite d'admettre que pour chaque jour la quantité Q est une constante, égale à la valeur moyenne de la température du chronomètre pendant le jour considéré, cette valeur étant d'ailleurs obtenue comme il est expliqué plus loin (n« 152).

Gela compris, en admettant le développement sus-mentionné de Taylor pour la marche normale instantanée y on trouve que l'expression générale de la marche normale moyenne par jour moyen, peut s'écrire :

(i5)m=«+6x(ô-Ot)+cx(e-eo«-hrfxU-/i) + ^x(e-eo(/-fi)+/^xU-^)«,

en ayant soin, du reste, d'ordonner les divers termes d'après les valeurs décroissantes des constantes qui y entrent, ainsi que cela nous sera utile par la suite (n° 134). Dès lors la marche en question devra être considérée dans les applications, en particulier au point de vue de la théorie des erreurs d'observation^ comme une fonction de deux quantités indépendantes (0 — 8,) et {t — f,).

— D'un autre côté, pour la même heure du méridien que celle qui correspond à l'état de départ R,, et pour le n"" jour à compter de l'époque propre à ce dernier état, on aura :

R= R, + Lm = Ri + a X (n- 1) + bX^i^-^ù + cxS(e-Ôi)« + dxZ(t-t^)

+ ex2:(e-eo(/-/i)+ /^xs!/-/!)».

Toutefois, on n'a guère en général occasion de se servir de cette dernière formule; car l'état absolu se calcule ordinairement de jour en jour (n*» 155).

*^' PARTIE. — S IV. Notions sur l/l théorie des erreurs d'or-

SERVATION ; ET MÉTHODES POUR CALCULER LES CONSTANTES DE TOUTE formule REPRÉSENTANT UN PHÉNOMÈNE PHYSIQUE QUELCONQUE.

* n^ lt«. méeemMé 4km prétsent résMiié de la théorie

<«• errew0 d'otoserratioii. — Après avoir établi dans le pa-

ragraphe précédent les formules de marche qui conviennent aux chronomètres, il reste à montrer comment il convient d'en calculer les constantes^ de façon que l'emploi de ces formules ne cooduise pas à des résultats médiocres, qui les fassent rejeter comme inaavaises par les marins, alors que c'est leur établissement numèriqui seul qui est en défaut. Or, la principale précaution à prendre pour atteindre le but dont il s'agit, c'est de tenir compte des erreurs d'observation. Mais ce mode de procéder a besoin, pour être maoié avec intelligence, qu'on possède au moins quelques notions succinctes et précises sur la théorie de ces erreurs.

Cette théorie a été complètement ignorée jusqu'ici par les navigateurs; mais aujourd'hui la nécessité de son étude résulte nonseulement de ce que nous venons de dire pour les chronomètres^ mais aussi (n*" 63) de l'emploi de Nouvelles méthodes pour déterminer le point observé. Il y a donc, à tous égards, une incontestable utilité à en donner présentement un résumé méthodique.

Nous ne saurions trop recommander au lecteur de ne pas se laisser rebuter par quelques difficultés premières que présente la théorie qui nous occupe, et qui tiennent surtout à la spécification des différentes sortes d'erreurs. Pour bien comprendre cette spécification, que nous avons d'ailleurs explicitée plus qu'on ne le fût d'habitude, le mieux est de s'exercer sur des exemples numériques. Mais une fois ce point possédé, le reste de la question se préseote réellement avec un grand degré de simplicité.

En tout état de cause, pour approfondir la théorie des erreurs d'observation, le lecteur pourra se reporter aux ouvrages suivants:

LiAGRE. Calcul des probabilités et théorie des erreurs. — Bnuelles,

Bertrand. Traduction française dés Mémoires de Gauss, sur lu combinaison des observations. — Paris, 1855.

Faà de Brumo. Traité élémentaire du calcul des erreurs. —Paris,

Brunnow. Traité d*astronomie sphérique et pratique^ édition française. — Paris, 1869.

Chauvenet. Manual of spherical and practical astronome. - Londres, Trûbner et C^ Nous recommandons tout particulièremeot ce dernier ouvrage, qui est trop peu connu en France.

•X- W fit. BéflMt deprécUioii de» •iMiervaaoïM.— Quel que soit le soin que Ton apporte dans robseryation d'un phénomèoe

ou dans la mesure d'une grandeur, le nombre qu'on en conclut est toujours entaché d'erreurs plus ou moins notables. L'imperfection des instruments et surtout celle des sens de l'homme, introduisent dans l'opération des causes simultanées d'inexactitude qui altèrent les résultats. Si les observations ont été faites avec soin, et si l'instrument n'est pas par trop imparfait, les erreurs commises sont gêné-* ralement renfermées entre des limites restreintes, et sont assujetties à certûnes lois de probabilité. C'est de ces limites qu'on 4éduit la précision des observations et le degré de confiance qu'il convient de leur accorder. La considération des erreurs doit donc être d'un usage continuel dans les sciences d'observation; et leur appréciation exacte est de la plus haute importance. Dans l'état actuel de la science, si l'on veut qu'un résultat puisse être utile et sentir de base ou de comparaison à d'autres travaux, on ne doit jamais le publier sans préciser le degré de confiance qu'il mérite, c'est-à-dire sans indiquer l'erreur probable dont il est affecté.

On voit par là combien il importe d'avoir une voie sûre, à l'aide de laquelle on puisse déduire d'uu système d'observations, malgré les erreurs inévitables de chacune d'elles, un résultat aussi voisin que possible de la vérité. C'est cette méthode qui constitue ce qu'on appelle la Théorie des erreurs d observation. Elle repose sur les principes du calcul des probabilités, et peut être résumée en quelques règles pratiques, que nous allons indiquer, sans démontrer d'ailleurs toutes les formules auxquelles on est conduit.

•X- W 119. Classiacatloii de« errevrs éi* ohmerweMmn. Erreurs syaténiAiiqve*. — Abstraction faite de l'emploi d'instruments trop dérectuepx, ainsi que des erreurs grossières provenant de la négligence ou de la maladresse, et qu'un observateur soigneux parvient toujours à éviter, il y a lieu de diviser les erreurs acceptables en deux grandes classes : les unes sont régulières ou systématiques; les autres sont irréguliéres ou accidentelles.

Les erreurs systématiques sont communes à toutes les mesures laites avec le même instrument ou par le même observateur; elles se reproduisent identiquement chaque fois que l'observation est répétée dans les mêmes circonstances ; et leur grandeur est liée à ces circonstances par des lois déterminées. Mais elles peuvent varier d'une observation à une autre, en ayant entre elles une certaine différence. Elles sont susceptiMes de provenir soit d'un défaut particulier de l'instrument employé, soit de la personnalité de l'observateur. — Gomme

exemples de causes donnant naissance* du fait de l'instrument, à des erreurs de la catégorie dont il s'agit, on peut citer : avec les instruments de géodésie, un mauvais étalonnage des règles destinées à la mesure d'une base; avec tous les appareils pour observation d'angles, l'imperfection de la graduation et le défaut de parallélisme des axes optiques, par rapport au limbe; avec les sextants, l'adoption d'un angle de collimaiion inexact-, et avec tout instrument à réflexion, l'imparfaite rectification des miroirs, ou le manque de parallélisme de leurs faces; Texcentricité, c'estrà-dire le défaut de coïncidence entre le centre de rotation de l'alidade et le centre de la graduation. — En ce qui concerne les erreurs systématiques propres à l'observateur, il convient de mentionner particulièrement ïiquation personnelle provenant de Yoreille et de l'œil. Cette équation se traduit : 1** par le retard normalement constant, que l'observateur met à noter l'instant précis d'un phénomène; 2"* par une erreur d'approximation, normalement constante aussi, dans la mise en contact de deux objets observés.

— Une série de mesures affectées d'erreurs systématiques^ se trouve absolument impropre à déterminer la vraie valeur de la grandeur à apprécier. Le talent de l'observateur réside principalement dans ce tact, cette sagacité, qui lui font découvrir les causes des erreurs systématiques, et lui permettent de se soustraire à leur influence s^il est possible, ou tout au moins d'en corriger les effets. Pour découvrir ces erreurs et arriver à les éliminer, on change, par exemple, la méthode d'observation, l'instrument employé, voire même l'observateur-, et en combinant judicieusement les résultats fournis par chaque combinaison, on parvient à obtenir un résultat final dégagé de la cause constante d'erreur.

Les traités spéciaux indiquent, pour chaque instrument, les méthodes qui permettent d'arriver à la détermination des principales erreurs systématiques. Nous n'avons pas à nous en occuper ici même; mais on trouvera dans notre troisième partie tout ce qui concerne à ce sujet les divers appareils et instruments qui concourent à la détermination de la position du navire à la mer.

-)(- IV* tt9. Brrevr» Aectdeiitelles. CJonsMératkHUi ^«1 lewr «ont propre*. — Quant anx erreurs de la deuxième catégorie, c'est-à-dire quant aux erreurs accidentelles^ l'observateur le plus soigneux ne peut jamais s'en affranchir complètement

Leurs causes sont très-variables, et leur influence sur les résultats

n'est assujettie à aucune règle ; car elles les altèrent tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, — Telles sont les erreurs qui résultent de rimperfection de nos organes, non pas ici dans son influence con5(an<«, qui correspond à la double équation personnelle systématique citée au numéro précédent, mais dans son influence variable avec notre état physiologique du moment. Ces erreurs correspondent alors accidentellement à un mauvais contact, à un pointé inexact, à une mauvaise lecture, etc. — Il faut aussi regarder comme erreurs accidentelles celles qui résultent des circonstances particulières des milieux où Ton opère, comme, pai* exemple, les réfractions latérales, les secousses de l'instrument dues au vent, les trépidations de l'air, qui rendent la vision moins nette, etc.

Si, dans les observations, on se bornait à mesurer le nombre strictement nécessaire d'éléments, les résultats ne fourniraient aucun moyen de contrôle ; et les erreurs les plus grossières pourraient passer inaperçues. Mais si Ton fait plus d'observations qull n'est rigoureusement indispensable; si, en d* autres termes, on se donne plus d'équations que d'inconnues, les opérations se vérifient l'une par l'autre; et les erreurs accidentelles qui ont été commises font naître des contradictions, des incompatibilités entre les résultat?. — Lorsqu'on mesure trois fois le même angle, par exemple, les résultats diffèrent en général l'un de l'autre; et la différence susceptible d'exister entre le premier résultat et l'angle véritable, est incompa* tible avec les deux autres résultats. Or, comme le propre des erreurs dont il s'agit est de fausser les mesures, tantôt dans un sens, tantôt dans un autre, si l'on répète le plus possible le nombre des observations, on doit s'attendre à ce que le résultat de chacune d'elles soit aussi souvent trop grand que trop petit. De la sorte, dans le résultat final, ces erreurs se compensent en grande partie les unes par les autres.

Pour arriver à un résultat que l'on puisse admettre comme la véritéj il faut nécessairement faire disparaître lesdites contradictions ou incompatibilités, entre les diverses mesmes de la même gi*an* deur, en appliquant des corrections à plusieurs des observations. Mais ceci n'implique nullement qu'un observateur puisse choisir arbitrairement un système de corrections amenant la concordance voulue entre les divers résultats. Au contraire, la méthode dont nous allons résumer l'esprit est destinée à écarter, autant que possible, toute opération arbitraire, et à fournir des règles qui con-r

duisent, pour toute quantité ou pour toute position déterminée expérimentalement, aux résultats les plus probables (n* 122). Il est bon de faire observer néanmoins, afin de mettre en garde contre de fausses applications, que la théorie du calcul des erreurs repose sur l'hypothèse d'un nombre d'observations suffisamment grande pour qu'on puisse apprécier les erreurs probables auxquelles ces observations sont soumises.

— En résumé, les erreurs accidentelles (les seules dont il y ait lieu de s'occuper dans la théorie des probabilités) sont dues à des causes dont on ignore la nature ou la manière d'agir; mais qui sont aptes à se combiner entre elles, et à produire des efifets tout à faut opposés sur les résultats. Afin que les erreurs puissent être considérées comme entièrement accidentelles ^ il faut que l'observateur ait la même facilité de les commettre soit positivement, soit négativemetU. — Si par hasard les résultats penchaient plutôt dans un sens que dans un autre, on devrait en conclure qu'il existe quelque erreur systématique^ provenant de la construction des instruments, de la manière d'opérer, ou de l'observateur lui-même. Lorsqu'on parvient à connaître cette erreur systématique^ et qu'on peut en éliminer r influence sur les observations, les erreurs restantes sont purement accidentelles.

Ainsi donc les erreurs accidentelles ont pour principal caractère d'altérer indifféremment en plus ou en moins les grandeurs qu'on se propose de déterminer. Elles oscillent entre des limites généralement assez restreintes, limites qui varient avec le genre des observations, la nature et la manœuvre des instruments employés, le talent des observateurs. Au surplus ces erreurs ne se commettent pas toutes avec la même facilité. 11 est bien évident qu'avec un observateur exercé les grosses erreurs se présenteront moins souvent que les petites, en sorte qu'une erreur est d'autant plus probable qu'elle est plus petite. — S'il en était autrement, il faudrait nier la perfectibilité humaine à observer. Ce serait d'ailleurs en contradiction avec ce sentiment instinctif qui porte à admettre qu'on est le plus près de la vraie grandeur d une quantité, quand les résultats des observations s'écartent le moins possible entre eux.

-)(- N* 190. Valeurs réaldnellcs de« crrevr» accidcatellefl. liot de répartition de ces Talenrs. — Quand on détermine une grandeur par plusieurs mesures directes, si toutes les observations sont également bien faites, il est naturel de prendre la moyenne

arithmilique de tous les résultats comme la quantité s' approchant le plus possible de l'exactitude. Si cette moyenne était Y exactitude même, sa différence avec chaque résultat particulier représenterait la valeur précise de Yerreur accidentelle de ce résultat. — Gomme il n'en est pas ainsi, ladite différence s'appelle valeur résiduelle de Yerreur accidentelle^ ou simplement erreur résiduelle. — Les erreurs résiduelles peuventètre positives ou négatives. Elles sont d'ordinaire inégales entre elles; mais elles se trouvent toujours très-petites, quand on a observé avec soin.

Par leur irrégularité, par leur nature même, les erreurs accidentelles ne semblent pas tout d'abord susceptibles d'être soumises au calcul. Cependant la théorie et l'expérience sont d'accord pour montrer que, lorsque l'on considère un très-grand nombre d'observations d'une même grandeur, les erreurs purement accidentelles sont réparties suivant une loi très-remarquable que nous allons faire connaître.

Si Ton forme des groupes avec les valeurs résiduelles de ces erreurs, en assemblant entre elles celles desdites valeurs qui sont égales ou à peu près, on reconnaît que les groupes des erreurs positives et ceux des erreurs négatives sont également nombreux et sensiblement les mêmes de chaque côté de la moyenne arithmétique de toutes les observations. A mesure que l'erreur concernant un groupe augmente, le nombre des termes de ce groupe d'erreurs diminue rapidement suivant une loi régulière. — Après avoir dressé le tableau des groupes d'erreurs en question, on peut en déduire le tracé graphique d'une courbe N'AN, dite courbe de probabilité^ qui représente la manière dont les erreurs sont distribuées de part et d'autre de la moyenne. Dans ce tracé, qui donnerait une courbe analogue à celle de la fig. SA, on porte sur l'axe OX les grandeurs tant positives que négatives des erreurs des divers groupes, et sur l'axe OY le nombre des erreurs comprises dans chacun de ces groupes. Théoriquement cette courbe devrait être symétrique par rapport à l'axe OY, qui correspond à une erreur de valeur résiduelle nulle ; mais il est rare qu'il en soit complètement ainsi, parce que les causes d'erreur en plus et en moins, ne sont jamais parfaitement égales et indépendantes.

En s' appuyant sur les principes du calcul des probabilités, on peut établir à priori la loi de la répartition des erreurs accidentelles. Nous avons déjà dit que les petites erreurs doivent être plus îré-

quentes que les grandes. Par conséquent, le nombre de fois qu'existe une erreur de grandeur déterminée, est fonction de cette grandeur même. — Admettons que la moyenne arithmétique de toutes les observations soit la valeur la plus probable (n*" 122) de la grandeur exacU^ et du reste inconnue, correspondant à ces observations; et désigoons par X la valeur résiduelle d'une erreur qu'on se fixe. Les prindpes en question mettent à même de trouver la probabilité y qu'on a de commettre cette erreur a?, c'est-à-dire le rapport entre le nombre 8, par exemple, d'erreurs de cette valeur, et le nombre total 50 des

Fig. Si, relative à la loi de probabilité des erreurs accidentelles.

observations. Ceci, pour parler vulgairement, revient à dire qa avec les nombres pris pour exemple, il y aurait 3 à parier contre (50 — 3) ou 47 qu'on a commis une erreur de grandeur x sur chaque observation. On démontre que la probabilité en question y, est exprimée parla^ formule :

(54) y^jLe'^U^;

dans laquelle :

ic représente le rapport de la circonférence au diamètre ; e la base des logarithmes népériens (e= 2,71828...) ;

h une constante qui varie avec chaque espèce d'observations, et dont nous expliquerons au n*" 122 le mode de détermination, à posteriori du reste.

— Si l'on construit, fig. 34, la courbe représentée par l'équation (54), elle varie de forme selon les différentes valeurs que l'on attribue à la constante h ; mais elle a toujours l'axe X'X des abscisses pour asymptote.

Les probabilités des erreurs étant représentées par les ordonnées de cette courbe, on voit que plus une erreur est petite, plus on » de chances de la commettre. Cette probabilité décroit rapidement à mesure que l'erreur augmente, ainsi que nous en avons prévenu à la fin du nM19.

•X- nr"" 191. FormvlM de pr^bablUié 4m errevM aeeldentelles. Preprtéié de la eonstonte h. — L'expression {Ik) étant admise comme la loi des erreurs accidentelles^ permet dès lors de calculer les limites entre lesquelles elles ont grande chance de tomber. En effet, la probabilité P, de commettre une erreur qui soit comprise entre les limites — a? et + x, c'est-à-dii-e le rapport entre le nombre d'erreurs comprises depuis — x jusqu'à + x, et le nombre total des observations, est donné par la formule :

(55) P, = -i l e-h^x^ dx.

Mais l'intégrale ci-dessus est évidemment le double de l'int^ale définie, lorsque celle-ci est prise depuis a? = 0 jusqu'à x= + xi on peut donc écrire :

Il convient de remarquer que la valeur de P, n'est autre chose que l'aire de la courbe représentée par l'équation (54), comptée depuis l'ordonnée qui correspond à l'abscisse — x jusqu'à celle qui correspond à l'abscisse + x. Gomme la coiu'be est symétrique par rapport à l'axe OY, on peut dire aussi que P, représente le double de l'aire comprise entre cet axe et l'ordonnée qui correspond à -|- x.

— La constante fc, qui caractérise (n** 120) tout système d'observations, peut servir de mesure à l'exactitude de celles-ci. En effet, d'après ce qui précède, la probabilité qu'une erreur, dans une série d'observations, soit comprise entre les limites —a et + a est exprimée par :

P, = r e-h^^ dx=: — l e-t*dt,

en prenant t^ftx pour noiiTelle variable indépendante.

11 importe de remarquer que la notation t avec la précédente signification, est adoptée par tous les auteurs de Calcul des probabilités. On doit bien se garder de confondre le présent usage de cette lettre avec l'emploi habituel qu'on en fait pour désigner le temps.

En tout état de cause, dans une autre série d'observations plus

«î« THÉORIE DES ERREURS D'OBSERVATION.

OU moins exactes que les premières, la probabilité qu'une erreor tombe entre les limites — o' et + o' sera :

Or ces deux intégrales P^ et V^ seront égales si ha = ha'. On déduit de là :

Le$ constantes h et h! qui se rapportent aux deux systèmes i observations^ sont donc inversement proportionnelles aux limites dT erreurs dé mime probabilité. Si, par exemple h = ih\ une erreur ayant pour limite db 2a est aussi probable dans le second système qu'une erreur ayant pour limite ± a dans le premier; par suite, le premier système est d'une exactitude deux fois plus grande que le second. Cest pour ce motif qu'on appelle h la mesure de précision ou le module de converçence des observations. — Toutefois, nous allons voir, dans le numéro suivant, que cette mesure de précision e^t avantageusement remplacée en pratique par une autre quantité.

-^ m"* 199. Be rewevr prebaUe^ ses propriétés. Valeur la pl»i probable d'viie qvaiitité, et posltiaa la pl»i probable é*un point. — La constante h est essentiellement abstraite et ne représente rien à l'esprit. Il est beaucoup plus commode en pratique de lui substituer ce qu'on appelle l'erreur pro6a5k. Si, ainsi que le fait Gauss, on pose comme ci-dessus ftx= (, l'intégrale (56) prend la forme suivante :

(57) Pt=-7l\ ^^'•

Parmi les différentes valeurs de (, il en est une très-remarquable,

c'est celle pour laquelle l'intégrale P, acqmert la valeur ^. — Si,

dans une longue série d'observations, on rangeait les erreurs suivant leur ordre de grandeur, sans avoir égard aux signes, en écrivant chacune d'elles autant de fois qu'elle se présente réellement, cette valeur de t les diviserait en deux groupes d'égal nombre. La valeur de X correspondant à cette valeur de t est Y erreur qu*on auneprù-

6a&tlt(é ^ de ne pas dépasser; c'est celle qui occupe exactenotent le

miliea de la rangée. On la nomme erreur probable commune à chacune des observations^ parce qu'il n'existe pas plus de raisons pour qu'elle soit dépassée par une quelconque des erreurs commises, qu'il n'y en a pour qu'elle ne le soit pas. — Cournot lui donnait le nom plus rationnel d* erreur médiane. Mais cette appellation n'a pas été ratifiée par l'usage.

Au point de vue géométrique, il est bon de noter que terreur probable est représentée sur la courbe des probabilités, fig. 3A, par une longueur CM, ou CM', telle que l'ordonnée correspondante MN, ou M'N', partage en deux parties égales l'aire ANXO, ou son égale AN'X'O. Cette conséquence découle de Tinterjprétation géométrique que nous avons indiquée au n*" 121 pour l'intégrale (56).

D'ordinaire, on appelle p ladite valeur particulière de t pour laquelle P, = 5. On trouve facilement que :

— Si l'on désigne par r la valeur de a; pour laquelle ^=p, c'està^ire si l'on pose r = erreur probable ^ la relation établie plus haut hx=zt^ donne hr = p. Cette égalité permet de calculer, ainsi que nous l'avons annoncé au n*" 120, la constante A, quand on connaît Terreur probable r afférente à une série d'observations, erreur qu'on détermine elle-même comme il est indiqué au n"" 126. Mais ce calcul de h n'offre aucune utilité pratique; car il faut passer par l'intermédiaire de l'erreur probable r, et nous allons voir que l'inverse de cette erreur peut être substituée à h pour apprécier la précision d'une observation; c'est même un terme de comparaison beaucoup plus habituel

que A.

Pour démontrer la validité de la substitution de - à ft, il suffit de

remarquer que si, pour un système d* observations, on a :

p= Ar,

pour un autre système, on aura :

d'où l'on conclut :

Cette proportion montre que les erreurs probables r sont en raison inverse des mesures de précision h. Elles peuvent donc servir à comparer des observations de qualités différentes; et, en particulier, on

peut dire que plus Terreur probable d'un système d'observations est petite, plus les observations sont précises.

— C'est ici le moment de définir mathématiquement une expression dont nous avons déjà fait un fréquent usage, et que nous invoquerons encore souvent dans la suite.

Il s'agit de ce qu'on doit entendre par valeur la plus probable d'une quantité et par position la plus probable d'un point. Cette expression correspond au cas où le résultat considéré, supposé d'ailleurs corrigé de ses erreurs systématiques [W 118) , a son erreur probable réduite an minimum. Du reste, en vertu du n** 126, il en est de même alors pour l'erreur moyenne^ dite aussi erreur à craindre.

Lorsqu'on n'a qu'à considérer en elle-même une série d'observations d'une même quantité, la valeur la plus probable est évidemment, en vertu de la définition précédente et de celle de l'erreur probable, la moyenne arithmétique de toutes les observations.

Mais lorsqu'il s'agit de quantités devant satisfaire à une suite d'équations de conditions (n® 132) dépendant desdites observations, on démontre que les résultats les plus probables sont donnés par la Théorie des moindres carrés (n« 138).

•X- IV"" tnz. Conniraettoii et vsaffe de la table de pw- •baMlité de* errevrii aecldentellefl. — Si l'on élimine h entre les deux relations hx = t^ ftr =p, on obtient :

et l'intégrale P, devient :

(58) p,= i-r=p;^^rf^.

On a réduit en table (Table II de la fin du texte) les valeurs de l'intégrale (68). Mais pour simplifier l'usage de cette table dans les applications, on a pris pour argument d'entrée le rapport (— ], au lieu

du produit p (-)•

— La Table 11 donne donc la probabilité que, pour une espèce •quelconque d'observations, la valeur résiduelle x de chaque erreur accidentelle, soit (n*" 129) chaque erreur résiiuellej ne dépasse pas une certaine limite exprimée en fonction de Yerreur probable r commune à chacune des observations. On voit, par exemple, que

0,064 = jrr^ pris dans la deuxième colonne, représente la probabilité P, d'une erreur résiduelle x égale à 0,1 de l'erreur probable r« En d'autres termes, sur 1000 observations, il y en aura 54 où l'er^ reur x sera plus petite que 0,1 de r. — On trouve de même que sur 1000 erreurs résiduelles, il y en aura 1 07 au-dessous de 0,2 de l'erreur

probable, 160 au-dessous de 0,3, etc

Si Ton considère une série d'observations sufTisamment nombreuses, la table en question permet de calculer immédiatement le nombre d'erreurs résiduelles comprises (en valeur absolue) entre

zéro et a;, lorsqu'on connaît le rapport ( - j de la limite considérée

a: à Terreur probable r. Il suffit, en efifet, de prendre, dans la table qui nous occupe, la valeur numérique de l'intégrale P, correspondant au

rapport T- j , puis de multiplier cette valeur numérique par le nombre n des observations : le produit représentera le nombre des erreurs rési^luelles plus petites que x en valeur absolue. — Ainsi pour

U|=0, 1 comme ci-dessus, et pour n=200, on trouvera 0,064

X 200 ==: 10,8 : soit, en nombre rond, 11 erreurs résiduelles plus petites qae 0,1 de r.

La différence des deux valeurs de P, correspondant aux rapports

(- J , (— ) » multipliée par n, donnera de la même façon le nombre

des erreur» comprises entre x et x'.

— En résumé, au moyen de la Table II, il est facile de calculer le nombre des erreurs comprises entre deux limites déterminées; et, quand on dispose d'une longue suite d'observations, on peut se convaincre que les nombres théoriques, ainsi trouvés, s'accordent presque exactement avec les nombres effectifs obtenus.

Gomme preuve de l'accord qui règne entre la théorie et l'expérience, nous ne pouvons mieux faire que de citer un exemple tiré de l'ouvrage de Bessel « Fundamenta astronomie ». On y trouve discutée une série de 470 observations, faites par Bradley pour la détermination directe de la différence d'ascension droite entre les deujL étoiles AUaïr et Sirius. — Bessel a d'abord trouvé, au moyen des rè* gles indiquées plus loin (n"" 126), que Y erreur probable pour l'exemple dont il s'agit était r = 0",2637 ; d'où l'on déduit OM = 0,5792 r.

Dès lors, si l'on veut connaître le nombre des erreurs qui, suivant b théorie, doivent tomber entre 0'',0 et G",! , entre 0",1 et 0",2, etc.., il faut calculer préalablement, au moyen de la Table II, les valeurs de r intégrale P, pour ces diverses limites. On trouve ainsi :

TÀLBUIS DE T.

EAPP0ET8(£)

VALBUM DB Pf.

TAUDIS Dl J.

T&UEBU H P^

Pour 0",7 0",8 0",9 1",0

oo

oo

Si, conformément à la dernière règle ci-dessus, on retranche chaque nombre de l'espèce P, du suivant, et qu'on multiplie le reste par le nombre des observations n = 470, on forme le tableau ci-dessous, dans lequel la dernière colonne a éié obtenue en comparant les valeurs des éléments observés avec leur moyenne arithmétique :

y UMITBS

1 eotre letqoeUes on suppose tucceMiyeinent qœ les erreors tombent.

mffAienci

entre

deux Ttleon

consécotiTes de ?«.

ntmxa, Ms mms

calculé

dédaitdelacompiniMO

entre tons les éâMM

obcerrès et leur mej^aat.

0",0 et 0",1 O'M et 0",2 0",2 et 0",3 0 ",3 et 0'',4 0 ,4 et 0",5 0",5 et 0",6 0",6 et 0",7 0",7 et 0",8 0",8 et 0",9 0",9 et 1",0 Au delà de l'',0

Le nombre total des erreurs indiquées par la théorie est de A69, bien que le nombre des observations soit 470. Mais ce désaccord provient uniquement des fractions décimales qui ont été négligées, après avoir fût les produits des nombres de la seconde colonne par A70. En somme, l'accord entre la théorie et Texpé-

rience, bien qu'il ne soit pas absolument parfait, n'en est pas moins très-remarquable.

Comme on peut le remarquer dans l'exemple que nous veaons de traiter, il arrive fréquemment que la pratique présente un nombre plus élevi de grandes erreurs que la théorie n'en prévoit. Cela tient à ce que toutes les observations ne sont pas prises avec le même soin^ et que par suite quelques-unes d'entre elles sont entachées d'erreurs accidentelles plus fortes qu'il ne convient.

^ N* 1^4. CrUcrlmn de CliavTeiieC peur le rejet d'aine •iMiemitleii devtevse. Quand on possède un nombre suffisant d'observations, on peut facilement reconnaître celles d'entre elles qui donnent des erreurs anormales, et il y a lieu, dès lors, de les écarter de la moyenne. Mais ce rejet ne doit pas être laissé à l'arbitraire; on a donc proposé diverses règles destinées à guider le calculateur dans un sujet aussi délicat : celle que nous allons donner, et qui est due à M. Chauvenet, est basée sur la loi même de probabilité des erreurs accidentelles.

La Table II de la fin du texte se prête à cet usage important. Autrement dit, elle fournit un moyen de savoir si l'on doit rejeter une observation comme douteuse. On vient, en eflet, de voir, au numéro précédent, que le nombre des erreurs résiduelles plus petites que x est donné par le produit entre la valeur de P, située dans la table

en regard de l'argument (- j , et le nombre n des observations et en

même temps des erreurs. On a donc la relation :

Nombre des erreurs plus grandes que x— wl i —probabilité P, correspondant ^ ( - ) |«

Si ce nombre est moindre que ^, une eneur de grandeur x aura

une plus grande probabilité contre elle que pour elle ; et conséquemment Tobservation qui a donné cette erreur devra être rejetée. Le critérium, c'est-à-dire la limite à partir de laquelle on doit rejeter une observation comme douteuse, est donc :

d'où ron tire

n M — probabilité ?i correspondant à f - j 1 = jî

fx\ in— i

Probabilité Pj coirespondant ^ l ") = ' %n ' '

La Table III de la fin du texte donne tout calculé le rapport • ,

pour une suite de valeurs de n. En cherchant dans la Table II la

(x\ 2fi — 1

- 1 qui correspond à la probabilité —^ — , on a la limite inférieure du rapport entre Terreur résiduelle x que l'on doit rejeter, et TeiTCur probable r commune à chaque observation. Par

suite cette limite elle-même n'est autre que le produit (- J x r.

— La règle pratique à suivre comme critérium du rejet d'une observation douteuse, peut donc s'énoncer ainsi :

2fi 1

1* Prendre dans la Table III la valeur du rapport — ^ ^ n étant

le nombre des observations considérées.

2*» Chercher dans la Table II la valeur de l'argument ( -), qui

correspond à la probabilité P, représentée par le rapport — ^ — •

3** Multiplier cette valeur de (-) par l'erreur probable r commune à chacune des observations.

h* Le produit (-jxr représente la limite à partir de laquelle on

doit rejeter comme douteuse^ toute observation qui donnerait une erreur résiduelle supérieure à cette limite.

Il importe de remarquer que, dans la méthode précédente, on ne peut rejeter à la fois que l'observation la plus erronée, ainsi que. si elles existent, celles qui présentent à très-peu près le même degré d'erreur. En tout cas, avec les observations conservées, on recwnmence les opérations sus-indiquées ; et on ne s'arrête que quand enfin on arrive à ne plus trouver aucune observation douteuse. — Hâtonsnous de dire qu'en pratique, on n'applique pas la méthode avec toute cette rigueur, et qu'on se borne en général à l'élimination afférente à la série donnée d'observations.

On trouvera une application numérique de la règle précédente au n" 127, ainsi que dans les types de calcul n*^ 8 et 9 de la fin du texte.

^ N"" lliS. DlTerMs espèces d erreurs d'nme ^mamUié déduite de plusieurs oiiservatloiis. Détenuinatleu de

THÉORIE DES ERREURS D^OBSERVàTION. £7^

Terrenr probable. — Supposons que Ton ait à combiner un grand nombre d'observations, pour en déduire le résultat le plm probable (d° 122), et évaluer ensuite la précision sur laquelle on peut compter. Nous traiterons d'abord le cas le plus simple, celui où l'on n'a à déterminer qu'une seule inconnue, dont la valeur est donnée par des observations directes.

Si toutes les observations ont été faites avec le même soin, on adopte comme valeur la plus probable de cette quantité, la moyenne arithmétique [x prise entre tous les résultats d'observation. — La moyenne arithmétique ne donnant que la valeur la plus probable de la quantité inconnue, les valeurs réelles des erreurs accidentelles de chaque observation, ne peuvent pas être déterminées exactement, comme nous l'avons dit au n° 120. De chaque observation on retranche alors la moyenne arithmétique; et on obtient une quantité que oons avons appelée erreur résiduelle au même n"" 120.

Cela dit, quand on considère une série déterminée d'observations, on appelle erreur moyenne commune à chacune des observations^ la racine carrée du quotient que l'on trouve en divisant la somme des carrés des erreurs résiduelles, par le nombre des observations diminué d'une unité. — La dénomination ci-dessus provient de ce que, si l'on avsdt commis ladite erreur sur chaque observation, on aurait à peu pris pour la moyenne, sous le radical, de la somme des carrés des erreurs, la naoyenne qui résulte réellement de la convention faite, et à laquelle conduisent des considérations théoriques.

De son côté, Y erreur probable commune à chacune des observations considérées, est telle, comme nous l'avons dit au n** 122, que l'on ait, pour chaque observation, la même probabilité de commettre une erreur qui lui soit inférieure, que d'en commettre une qui lui soit

supérieure; c'est-à-dire qu'elle a pom* probabilité ^. — On démontre

que Y erreur probable est égale à Y erreur moyenne commune à chacune

des observations^ multipliée par le facteur constant 0,67A5..., c'est-

à-dke que Y erreur probable est un peu supérieure aux ^ de Y erreur

moyenne.

L'erreur moyenne est aussi nommée avec juste raison erreur à craindre. Et effectivement, bien qu'il existe autant de chances pour que contre de tomber sur une erreur plus petite ou plus grande que Yerreur probable^ on doit plutôt craindre les erreurs supérieures à

l'erreur probable que les erreurs inférieures, puisque les premières de ces erreurs étant plus grandes que les secondes en valeur absolue, ont une influence plus considérable sur la précbion de la moyenne déduite de la série donnée d'observations.

A côté de l'eireur moyenne commune à chacune des observations, on considère aussi ce qu'on appelle Yerreur moyenne de la moyenne arithmétique des observations. Cette nouvelle espèce d'erreur s'obtient en divisant l'erreur moyenne commune à chacune des observations par la racine carrée du nombre des observations.

Enfln, on fsdt encore usage de V erreur probable de la moyenne arithmétique des observations. Cette quantité s'obtient eu divisant Terreur probable commune àchaque observation par la racine carréedu nombre des observations ; ou, ce qui revient au môme, en multipliant l'erreur moyenne delà moyenne arithmétique par le facteur 0,6745...

•^ N'* Ite. Formules relteMt entre elles les Mw^nutê espèees d'erreurs du naméro précédeut. — Désignons par :

£(a;') la somme des carrés de toutes les erreurs résiduelles ; n le nombre des observations ;

e Verreur moyenne commune à chacune des observations ; r Verreur probable commune k chacune des observations ; t Eq Verreur moyenne de la moyenne arithmétique des observations ;

r^ Verreur probable de la moyenne arithmétique des observations.

Étant donnée une série d'observations à peu près également bonnes, on peut déterminer le résultat le plus probable^ puis en éva-

I luer la précision en ayant recours aux prescriptions et aux relations

suivantes qui découlent du n*" 125. Pour la première partie de la ques-

j tion, on prend la moyenne arithmétique de toutes les observations,

J moyenne qui donne (n** 122) la valeur la plus probable de rinconflue.

Pour la seconde partie de la question, on calcule les différences x

I entre les valeurs observées et la moyenne ; on forme les carrés de ces

ï différences, et on en fait la somme 2 (x*).

I Verreur moyenne commune à chacune des observations est alors

I donnée par la relation :

De son côté, Y erreur probable commune à chacune des observations s'obtient par la formule

(«>) r=d:ex0,6745.... , ..

THÉORIE DES ERREURS D'OBSERVATION. Ui

Puis, Y erreur moyenne de la moyenne arithmétique vaut :

m Eo=±i,=±^/^î^

■^- Vn(it-i)'

Enfin, Y erreur probable de la moyenne arithmétique a pour équation:

(6«) ;•, = ± ^ r= ± eo X 0,6745...

— En tout état de cause, les premières erreurs à déterminer sont les erreurs moyennes (59) et (61), dans l'expression desquelles il n'entre que des données fournies par l'observation. Pour faciliter le calcul des S (ar*), il est bon d'avoir une table des carrés des nombres, telle que celles qui ont été publiées dans le Recueil de formules et de tables numériques de M. Hoûel, dans les Tables de logarithmes de M. Gaillet, ou dans le Traité élémentaire du calcul des erreurs par M. Faà de Bruno. Les mêmes tables donnent ensuite les erreurs moyennes elles-mêmes en permettant d'extraire à vue, la racine

carrée des quotients , ^ ;, et — ^—^. ^ (n — 1) n{n — 1)

Dne fois obtenues les erreurs moyennes^ on en déduit aisément les deux sortes d'erreurs probables; et en particulier Y erreur probable commune à chaque observation^ quantité dont nous n'avions pu donner au n*» 122 que les propriétés, en rejetant d'ailleurs sa détermination au présent numéro.

Le facteur constant 0,6745.... vaut à 1/850 près :

D'après cela, pour avoir l'erreur probable, connaissant l'erreur moyenne, il suffit de prendre les f de cette erreur moyenne, et d'y ajouter le j^ de ces (f).

^ IV* 1»9. AppUcation namérl^ae des formales préeédciites ci da erlterinm de ChaaTenet. — Dans une triangulation on a mesuré 15 fois un angle au théodolite; et l'on a obtenu les résultats suivants :

THÉORIE DBS ERREURS D*OBSERVàTION.

AtlfiLK OKBâViS.

ANGLES 0B6UlViS.

iS'SS'SS"

Report. 320"

Report. 50,88 ||

Moyenne -jj-=39",4

On prend d'abord la moyenne arithmétique de tous les angles observés, ce qui donne 48* 25' 89", 4. En retranchant cette moyenne de chacun des angles observés, on obtient les erreurs résiduelles x portées dans la seconde colonne. Enfin dans la dernière colonne on inscrit les carrés de ces erreurs; et on en fait la somme S (x*).

Le nombre n des observations étant égal à 15, Y erreur moyenne commune à chacune des observations est :

Par suite, V erreur probable commune à chacune des observaiiims vaut :

Puis, pour Y erreur moyenne de la moyenne arithmétiqucy on a :

eo=±^=±0",72; V15

et pour l'erreur probable de ceUe moyenne arithmétique :

Si donc on répète les mêmes observations dans les mêmes circonstances, il y a probabilité 4, c'est-à-dire 1 à parier contre 1 qa*oii commettra une erreur de dz 1",87 = r sur chaque angle, et une erreur de d= 0",48 = r^ sur le résultat final.

— Le quatrième angle donnant une erreur résiduelle de-|-6",6, cette observation peut sembler douteuse ; et il est bon de lui appliquer

THÉORIE DES ERREURS D*0BSERYAT10N. ns

le critérium de Chauvenet (n* 124). Pour cela, avec le nombre des observations n=lô, on prend, dans Stable III de la tin du texte, le chiffre 0,967; et l'on cherche dans la table II, qui la précède, et qui donne la probabilité des erreurs accidentelles, là valeur de l'argument f-j qui correspond à ce nombre 0,967. On trouve ainsi

/-| = 8,17. Dès lors, dans Texemple dont il s'agit, r étant égal à

±1",87, on a pour la limite x qu'aucune des erreurs résiduelles ne doit dépasser :

X = (^\ xr=ifcl",87X3,17=d:5'\».

U y a donc lieu de conserver l'observation en question , puisqu'elle ne donne pas une erreur résiduelle supérieure à 5",9.

— Remarque importante. Si l'on n'a pas une table des carrés des nombres» la méthode précédente est assez laborieuse , dès que le nombre des observations devient un peu considérable. En pareil cas, et quand d'ailleurs on ne tient pas à une grande exactitude, il y a moyen de se dispenser de la formation des carrés des erreurs résiduelles, pour parvenir aux valeurs des diverses espèces d'erreurs ci-dessus. A cet effet, on calcule lesdites erreurs au moyen seulement de la somme des premières puissances des erreurs résiduelles. On démontre, en effet, que l'on a :

t» représentant la moyenne arithmétique de toutes les erreurs, ubsU*action faite de leurs signes.

Dès lors, de la formule précédente (63) jointe à la relation (60) du numéro précédent r = ex0,67â6..., on tirera pour expression de Terreur moyenne commune à chacune des observations, en fonc-' tion de la moyenne des erreurs t^ :

Puis, de r et de e on déduira r, et e^ comme précédemment, au moyen des formules :

Les relations (63) et (6 A) appliquées à l'exemple précédent donnent :

r==fcl",87, e=d=2",76.

L'accord de ces résultats avec ceux obtenus par la première méthode est ici parfait. Mais il n'en est pas toujours ainsi. On démontre même que, en employant les premières puissances des erreurs, il faut prendre cent quatorze observations pour avoir l'erreur probable avec la même précision que celle obtenue au moyen de cent observations traitées par les carrés. — L'application de la théorie des erreurs d'observation aux types de calcul n"^ 8 et 9, déjà cités au n** 121, a été faite selon ce dernier mode.

•X- N'' tt9. Erreurs d'nue foMeil^n de plnsiears ^mibiltés iMdépendaMtefli déduites des erreurs respeetlvei de ces ^uautltés. — Dans la pratique, les grandeurs observées servent en général à déterminer d'autres grandeurs qui en dépendent. Nous allons donc montrer comment on peut, connaissant les erreurs d'une ou de plusieurs quantités observées X^, X,, X,,...., calculer celles d'une autre quantité X fonction des premières.

Désignons par :

E Terreur moyenne de X ;

*i» ^' Hy" ^®* eiTeurs moyennes de X|, X,, Xj....;

R Terreur probable de X ;

r„ /%, /'j,.-.. ïe» erreurs probables de X|» X|, X,

Considérons d'abord la fonction simple :

On démontre que Ton a :

(65) E* = eH«î + «M-....

(66) R*=r; + rî + rî-|-,...

Exemple L — Les marches relatives déduites (n* 148) (iîIb — ihaI^ et (fWc — nix)d des deux chronomètres B, C par rapport à A, ont été obtenues, l'une avec 0%3, l'autre avec 0*,4 d'erreur probable. Calculer l'erreur probable de la marche relative (ma — mc)dde B par rapport à C, marche qui est liée aux deux autres par la relation :

(m„ — mc)j = (tw, — m J^ — ("ic — ^kjd.

Les formules précédentes donnent :

R = dr V(0',3)«-t- (0-,4)« = d: 0%,%.

TllÉORIK DES KRREURS D*0RSERVATIOX. M5

— Considérons maintenant la fonction linéaire X = a^X^; il est évident que les expressions a,e^ = E, et a/, = R^ représentent Terreur moyenne et Terreur probable de X. Par suite, la fonction

X = ajXt + fljX, + a,X, + ....

donne :

(67) E«=a;e;+a5e; + a|eî4-....

m . R«=«îr; + aM + aîrî-t-....

Exemple IL — Pour trouver la marche diurne d'un chronomètre, on a déterminé deux états absolus {retards) à 40 jours d'intervalle; et Terreur probable de chaque état absolu a été trouvée de 0*,7. On demande Terreur probable de la marche diurne.

La fonction qui sert à déterminer la marche est :

i*' état ~ 2* état Marche diurne = = 0,1 x (!•' étot) — 0,1 x («• état).

Par suite, Terreur probable cherchée est :

R =± V^(0,1 X 0',7)* + (0,l X 0',7)» = ± ^(0,1 X0*,7)« X 2 = =fc 0-,l, en nombre rond.

— Supposons enfin la fonction quelconque

Si Ton désigne P^^'f^)» {at)* (sx") ' ^^ dérivées de la

fonction X prises successivement par rapport aux diverses variables Xp X,, X,,...., on démontre que Ton a pour Terreur moyentte][commise sur X :

et pour Terreur probable :

Si la fonction donnée est implicite, par exemple F(X,X„X„ x„....) = o,

on calcule, conformément aux règles de la diSërentiation des fonctions implicites, les coefficients différentiels [^^ , i-r%r)^ (ïïïr)"*** de la variable X par rapport aux quantités X^, X,, X,, ...., dont on

f(M THÉORIE DBS ERREURS D'OBSERVAYION.

OQDBaU les erreurs. — Les deux formules précédentes (69) et (70), docuimt ensuite les erreurs moyenne et probable de T inconnue X dépendanl des premières.

Exemple III. — Avec les données suivantes et les erreurs probables indiquées, on a fait un calcul d'heure. On demande Terreur probaUe du résultat.

L = 43* 27' 30" N', Ti = ± 2",0 ; D= 7•!iS'3^"S^ i^=dbl",0; H= 17* 00' 58" . r, = ±5'\0;

. heure tiu iieu déduite du cakui =3^ 51 «43*.

De la formule sin H = sin L sin D + cos L cos D cos P, qui lie ces divas éléments à Tangle au pôle P, et par suite à Fheure, on tire les coefficients différentiels : •

/dP\ tgD tgL /^\ ^ tgL tgD ^^

Le calcul numérique des trois coeflBcients (;jr)i (;jk)» (in)'

soit dit en passant, est des plus simples au moyen des TABLES de M. Perrin . — Les deux termes qui entrent dans le premier coefficient, sont donnés immédiatement par les iabUi I et II avec leurs signes;

leur somme algébrique (p'+p") fournit p= (^rr). — Le second

coefficient f^j s'obtient de la même façon, en entrant dans la toitel

avec la latitude considérée comme déclinaison, et dans la taUe II avec la déclinaison considérée comme latitude. Les règles des signes sontdu reste les mêmes que pour le problème d'azimut. — Pouravoirle

troisième coefficient (^rp)) il faut préalablement calculer l'azimntZ

au moyen du coefficient p ci-dessus et de la table 111. Puis on prend

dans la table I le nombre correspondant au rapport (-^-y ) • Enfin

avec cesombre regardé comme chemin n.s et la latitude prise comme mo^ de route, on entre dans une table de pokit ordinaire, ei le

THÉORIE DBS ERREURS DOBS^RVÂTION. vn

nombre des milles correspondant représente (~\ •

D'après la formule (70) , on aura pour erreur probable R sur l'heure do lieu :

On voit par cet exemple, qu'avec des erreurs assez faibles sur chacun des éléments, on n'arrive pourtant à ne connaître l'heure qu'à ^ seconde près.

Les données de l'exemple précédent sont précisément celles qui entrent dans le type de calcul n" 9 de la fin du texte. Dans ce type, après avoir fait la moyenne des heures fournies par les différentes hauteurs, on trouve que l'erreur probable de cette moyenne est de O'ySC, Mais, en opérant s^nsi, on ne tient compte que des erreurs commises dans l'observation des hauteurs ; et l'on néglige complètement les erreurs inévitables afférentes à la latitude et à la déclinaison. — Si l'on veut apprécier, dans le type en question, l'influence de ces dernières erreurs, en leur supposant les mêmes limites que dans l'exemple que nous venons de traiter, il suffit d'employer le radical ci-dessus, en y remplaçant la quantité (5",0x 1,68) par l'erreur probable sur les hauteurs afférente audit type, et qui y vaat(V,36, soit en secondes d'arc 0,36x16 =6",4. De cette façon l'errear probable de Theure deviendrait :

R =d= v/(2",0 X 0,76)« + (i",0 X 1,20)« + (5",4)» = ±5",74 = d= CSS.

—Nota important. Il est bon de remarquer que toutes les formules relatives aux erreurs des fonctions de fonctions, ne s'appliquent qu'autant que la variable dont on cherche Terreur dépend de quanHtés absolument indépendantes les unes des autres. — Ainsi, elles ne s'appliqueraient pas à la fonction Y déterminée comme voici :

Gomme exemple de fausse application possible des formules précédâtes, il est b<»i de signaler le cas coDcemant l'erreur probable de la moyeme de plusi^irs marches relatives (n* US) cooiécaûv9$ d'an ehronoiiiëtre B par rapport à un chronomètre A, ces auurches étut

1188 THEORIE DBS ERREURS DOBSËRVATION.

Hduites de comparaisons (B^ — A^) , (B, — AJ , (B, — A J ,. .. . , prises chaque jour. Ces comparaisons donnent, par leurs différences, les marches relatives suivantes :

(m, - mJi = (B,- AJ - (B^- A,) = X, - 11, (m, - m^)i= (B,~ A,) - (B,- AJ = X, - X,,

Au bout de n jours consécutifs, on a :

(71) Moyenne des marches relatives

[B,-A,)-(B,-A0]+[(B,-A,)-(B,~A,)]4- + [(Bn+,-A,.^,)-.(B,-A,]

Mais, en simplifiant le numérateur, on obtient aussi :

( Tt) Moyenne des nwrches relatives = ^Mi~^-nW i~A^)

c'est-à-dire que, pour avoir la moyenne des marches relatives, il suffit de diviser par le nombre n de jours, la différence entre les codh pandsons du premier et du dernier jour. D*autre part, si Ton désigne par :

^li '*«)••• ^«7 l^s erreurs probaUet afférentes aux dÏTerses comparaisoos,

on trouverait, en appliquant, sans plus ample informé, la formule (68) :

Erreur probable de la quantité (71) -^V^Vf^i+j^ Erreur probable de la quantité (74) = ±. ^ "^ ''''.

D'après ces formules, la première erreur se trouverait toujours supérieure à la seconde. Or, il y a évidemment là un paradoxe; ctf on est en présence de deux quantités égales; et ces quantités ne^aaraient avoir des erreurs probables différentes. — La chose s'explique en considérant que c'est indûment qu'on a appliqué à la quantité (71) la formule (68). Remarquons, en effet, que chaque comparaisoo simple (B^ — A J, (B, — A,) , .. . . , est bien une quantité indépendimU des comparaisons précédentes. Mais les marches relatives ne sont pas, ellei , indépendantes de l'une à l'autre ; car dans deux marches relatives consécutives, il y a une compandson commune. Dès lOrs, pour calculer l'erreur de la moyenne des marches relatives en fonctimi

TBËORTE DES ERREURS DOBSËRYATION. 289

des erreurs de comparaison, il ne faut pas considérer cette moyenne comme étant déterminée par la relation (71) ; car ce serait appliquer la formule (68) à une fonction Y de la forme Y = F(X, X', X\....), chacune des quantitè$ X, X\ X'\....« dépendant de la précédente; or cette dépendance rend inapplicables toutes les formules du présent numéro. Mais il n'en sera plus ainsi, si l'on considère la moyenne qui nous occupe comme déterminée à Taide de la formule (72) , où il n'entre que les comparaisons du premier et du dernier jour, qui sont des quantités complètement indépendantes l'une de l'autre. C'est donc la seconde des erreurs probables ci-dessus qu'il convient d'adopter.

•X- W t%9. Déllullion et expreMdoM ûem poAds d»Ma I» ilié^rle des erreurs d'olMervatioa. — Dans ce qui précède, nous ayons toujours supposé que toutes les observations employées à déterminer l'inconnue étaient à peu près également bonnes. Hais souvent il n'en est pas ainsi ; on peut avoir à combiner des séries de mesures d'une même grandeur prises dans des circonstances tout à fait différentes et par des observateurs inégalement expérimentés. Nous allons montrer comment on doit agir pour ramener fictivement les choses au cas d'observations à!égale précision.

On a vu au n* 126 que l'erreur probable r^ de la moyenne d'une même série d'observations est liée à l'erreur probable r commune à chacune de$ observations de la série, par la relation :

(«) ro = -^ = e, X 0,6745....

Par suite, cette erreur probable r, diminue en raison inverse de la racine carrée du nombre n des observations. C'est ce qu'on exprime, eu égard d'ailleurs à la propriété établie dans le cours du n"" 122, en disant que la précision dune moyenne croit comme la racine carrée du nombre S observations qui ont servi à la former.

Imaginons qu'une grandeur ait été déterminée par une série d'observations ayant chacune une erreur probable égale à r. Puis faisons, en vue de mesurer la même grandeur, une deuxième série d'observations ayant chacune r' comme erreur probable. Pour que la moyenne arithmétique de ces observations soit aussi précise que la première valeur déjà connue, autrement dit ait une erreur probable r^^=r^, il faudra, d'après ce que nous venons de dire, en prendre un nombre n', tel que Ton ait :

Ji — '■ •

d'où Ton tire :

— Supposons d'abord n = 1. On peut alors dire qu'une observation

unique ayant pour précision -, équivaut à n! observations de précision égale à -7.

Gela posé, nous appellerons", d'après Liagre, poids (*) d'une observation unique^ le nombre T d'observations d'égale précision qu'il faudrait faire pour que leur moyenne arithmétique ait la même exactitude <|ue ^observation unique. 11 suit de là que le poids de la moyeDoe arithmétique de T observations d'égale précision, considérée comme une observation unique, vaut r fois le poids commun à chacune des observations simples de la série, en convenant de prendre ce dernier poids comme unité.

— Supposons maintenant n quelconque. D'après ce qui précède immédiatement, le poids p de la moyenne d'une première série d'observations, toutes d'égale précision, sera n par rapport à l'une quelconque decelles-ci. Demëme, pour une seconde série de n' observations, encore d'égale précision tant entre elles que par rapport aux premières, le poids p' de la moyenne sera n'. Donc on peut écrire :

Maintenant, remplaçons n et n' par leurs valeurs tirées de la rektioD (63) rappelée ci-dessus, et qui, appliquée aux deux présents cas, donne :

Remarquons d'ailleurs que r^r'y puisqu'il est expressément supposé que toutes les observations simples des deux séries ont même poids et par suite même précision. On obtiendra dès lors :

(*) 11 imperte de remarquer que certains auteurs nomment poidsj les uns ce que ikw aTons appelé mesure de précision^ les autres le produit de cotte dernière qaantiti fv d racine carrée du nombre des obsenrations. Une pareille multiplicité de dénomioatioDS est un des principaux obstacles qui s'opposent à la facile intelligence de la théorie aes probibi* iités. — Le lecteur dcTra aToir le plus grand soin de s'en tenir strictement à notre définition.

THÉORIE DBS ERREURS D ORSERVÂTION. ^9\

Mais, par suite de ladite formule (62), on a aussi :

ro"= eo X 0,6745 ; r'o = c'» X 0,6745.

Gonséquemment on peut aussi écrire :

ih) (A)

ou

; —, et incidemment

;> = --, et incidemment «2

Oo voit donc que : les poids de deux moyennes d'observations sont inversement proportionnels aux carrés des erreurs probables de ces moyennes ou aux carrés de leurs erreurs woyetmes. — En définitive, si Ton appelle p le poids d'une série d'obseiTations d'égale précision, et en particulier le poids d'une observation isolée, on a :

G et C désignant des constantes arbitraires, sous la seule réserve que toutes les obser Talions «mples entrant dans les moyennes, soient considérées comme ayant même précision.

11 y a lieu de remarquer que ce que nous avons appelé la mesure de précision d'une observation (n" i 21) se distingue du poids de celle-ci, en ce que ladite mesure varie (n* 122) en raison inverse de l'erreur probable, tandis que le poids varie en raison inverse du carré de cette même erreur. D'où il suit que les poids de deux observations sont proporiionnelsaux carrés de leurs mesures de précisioii.

^ M"" iSO. MSmm^e des poids dmmm la théorie des erreiurs d'obserratloM. — Les potd^ sont très-utiles dans la théorie des erreurs d'observation, en permettant de combiner entre elles des observations d'inégale précision. — Supposons, par exemple, que Ton ait obtenu, à l'aide de n séries d'observatioDs, les valeurs suivantes de rinconnue X :

l'* série. X, avec l'erreur probable r-, d'où le poids p* = — ] «^a^s ITiypothèse que lesob-

r; M senratlons simples dont

. . __ ^ f *»' ^« représentent las

y séné. \j la. r,, ta. p^ — — l moyennes, sont toutes d*é-

3« série. X, id. r„ id. Ps = -^ i ^^H^ ? * d'ailleurs la si-

rj I gnifteation convenue au

fêla préekin. — La constante C gnifteati

Oo devra commencer par rendre les diverses quantités observées comparables entre elles, en multipliant chacune d^elles par sa mesure de précision^ soit, d'après le numéro précédent, par la raciM carrée de son poids. Il est alors facile de prouver, suivant la manière indiquée à la fm même du présent numéro, que : l"" la valeur la plus probable (n« 122) x de X est :

/73. j^Pi^t + PA4-Pt^> + <

Pi+P, + P,H- '

2'' le poids de x est :

W P=/>t + Pt + P3 +

On obtient ensuite pour erreur probable R de cette même valeur x :

Comme la constante G peut être prise arbitrairement, on posera par exemple :

C = rîr?r;

De cette façon, les poids p^ p,, p,, seront tous des nombres

entiers.

Exemple. — Supposons que l'on ait mesuré un angle X par deoi séries d'observations, l'une faite avec un théodolite, l'autre avec un sextant, et que l'on ait trouvé les valeurs suivantes :

i'* série : X^ = 23«46MÎ", atec une erreur probable r^ =±8''; 2- série: X, = 23*46'i9", id. r, =±5".

En prenant, comme il vient d'être dit, la constante arbitraire G = 2' X 5* = 100, les poids des deux séries d'observations seront:

Ces nombres signifient que la première valeur de l'angle X^ équivaut à la moyenne de 26 observations ; et la seconde X,, à la moyenne de A observations, toutes légale précision ou de même poids. Par conséquent, on peut réduire les deux séries en une seule série de (25+ 4) =W observations, toutes de même poids, dont la moyenne fournira la valeur la plus probable x. On a donc d'après la relation (73) :

De son côté, la relation (75) donne pour erreur probable R du résultat précédent :

Gomme on devait s* y attendi*e, la valeur de R est moindre que la plus petite des erreurs probables r, et r,, bien que Ton ait combiné entre elles deux observations de précisions très-différentes. — Il est facile de se rendre compte de ce fait. Supposons, en effet, que r^ soit la plus petite des erreurs probables des quantités observées. En considérant isolément F observation y relative, on aura, d'après le n** 129 :

Or Terreur probable R du résultat est :

Le dénominateur P étant égal à p^ + />, + p, + , le (|uotientp

est évidemment plus petit que — ; par conséquent R est plus petit

que r^.

La formule (73) montre bien que l'unité de poids est arbitraire :

car en adoptant une autre unité, on ne ferait qu'introduire un facteur commun qui disparaîtrait comme se trouvant à la fois au numérateur et au dénominateur.

La formule (73) permet également de justifier un procédé pratique généralement employé, lorsqu'on veut obtenir un angle au moyen de plusieurs séries de répétitions faites avec le même instrument et dans les mêmes circonstances. Il consiste à multiplier le résultat que fournit chaque série, par le nombre de répétitions qui lui con-espond ; et à diviser la somme des produits par la somme des nombres de répétitions. On prend ainsi pour unité de poids la précision d'une observation simple. Il est bien entendu d'ailleurs qu'on pourrait choisir toute autre unité de poids, en s' astreignant seulement à la condition du n* 129 :

En général, avant de combiner des moyennes dont chacune a son

294 TUËORte DES ERREURS D OBSERVATION.

poids particulier, il faut d'abord chercher si elles sont rapportées à la même unité de poids. Si cela n'est pas, on doit faire ce nf» l'on appelle la réduction des poids, en ramenant toutes les données à un poids fictif commun.

— Dans ce qui précède, nous n'avions affaire qu'à des observations de même espèce et d'inégale précision; et l'élément inconnu dont il s'agissait d'obtenir, à l'aide des poids, la valeur la plus avantageuse, n'était autre que la quantité observée elle-même. Maïs il peut arriver qu'on se trouve en présence d'observations d'espèces différentes prises concomitamment par groupe, et destinéai déterminer les constantes a, 6, c,..., d'une équation générale, telle que la relation (I J du n* 132, où les données d'observation z, x, » entrent comme arguments connus. — Si les diverses observations de même espèce ne sont pas d'égale précision, la détermination la plus avantageuse desdites constantes par la méthode des moindre carrés (n*» 133) ou la méthode d'interpolation de Cauchy (n^ 134), exige qu'on commence par rendre également précises les équations dérivant des divers groupes d'observations. Il faut donc multiplier chacune de ces équations par un facteur égal ou simplement proportionnel à la mesure de précision qui lui convient, ou à la racine carrée du poids y afférent. Or l'une et l'autre de ces quantités sont inversement proportionnelles à l'erreur probable correspondante. 11 convient par suite de bien se rendre compte de ce qu'on doit entendre ici par cette erreur probable.

A cet effet, imaginons que dans l'équation précitée on fasse passer tous les termes dans un môme membre. Nous obtiendrons de la sorte une relation de la forme :

Or on est libre de considérer le second membre de cette équation comme une fonction dont la valeur rigoureuse est nulle, mais qui, calculée avec les données z, x, y de chaque groupe d'observations dans la supposition de la connaissance à priori des constantes a, *, c,..., différerait plus ou moins de zéro, en raison des erreurs d'observation. Cela posé, l'erreur probable qui nous occupe doit évidemment s'entendre de l'erreur probable propre à ladite fonction, regardée comme dépendante des données en question, et doit dès lors èlrt calculée selon les règles du n* 128. L'inverse du résultat ainsi obteno ou toute quantité qui lui sera proportionnelle, représentera Jawwwrv

THÉORIE DES ERREURS D'OBSERVATrON. 295

de précisiùn ou la racine carrée du poids convenant à Téquatlon considérée. Comme en réalité les constantes précitées, au lîeu d'être connues, sont au contraire les éléments dont on se propose la recherche, il faudra, pour déterminer l'erreur probable en question, se procurer d'abord des valeurs approchées de ces constantes, en ne tenant pas compte des différences de poids, et en résolvant les équations par les procédés algébriques élémentaires. — On trouvera au n*" lAO une application suffisamment explicite de la question générale que nous venons de traiter.

Il importe de remarquer que le cas d'observations d'une même espèce examiné au commencement du présent numéro, rentre dans cette question générale, en réduisant à ses deux premiers termes le second membre des équations complètes de la forme ci-dessus. Ceci donne, en effet, une série de relations particulières de la forme 0 = — «-h^» qoî» traitées par la méthode des moindres carrés, conduisent aux résultats mentionnés à propos du cas que nous rappelions.

^ N'' I s i . Remaniée* pr«tl%«e« 0«r lem pmÈdm ewmplmjém il«M0 la ihéaric de« errcors d'obscriratton. — Nous terminerons ce qui concerne les poids par quelques remarques importantes au point de vue pratique, et que nous extrayons de l'ouvrage de M. Liagre cité au n* 116.

Le poids des observations n'est pas une quantité qui dépende uniquement et invariablement de l'instrument employé et du nombre des répétitions. Des circonstances extérieures et même des considérations physiques ou morales, peuvent influer sur le poids que l'observateur attribue à ses résultats ; mais il doit noter sur son registre, eivant de faire aucun calcul^ les motifs de sa détermination. Il est ioipossible, du reste, de prescrire aucune règle positive à ce sujet; car comment soumettre à une appréciation exacte et numérique, ce sentiment intime qui fait qu'un observateur se juge plus ou moins bien disposé^ qu'il a plus ou moins de confiance dans ses résultats ? Il y a là une affaire de bonne foi, de tact, d'habitude que nous n'essayerons pas d'analyser.

Il arrive très-souvent, dans une série un peu étendue, que des observations qui ne paraissaient nullement suspectes avant le calcul, s'écartent ensuite tellement de la moyenne qu'on est tenté de croire qu'une erreur a été commise par inadvertance. Faut-il, pour rétablir l'accord, diminuer le poids de ces observations douteuses?

29G CALCUL DBS CONSTANTES DE TOUTE FORKULB REPRÉSENTANT UN PIBNOIÉNR PHTSItlffi.

Cette marche est condamnée par tous les bons observateurs ; et Ton n'est autorisé à y avoir recours que si les notes inscrites sur le registre, pendant la durée même du travail, signalent 1* observation comme ayant présenté quelque particularité qui soit de nature à la rendre douteuse. Encore vaut-il mieux, dans ce cas, rejeter complètement l'observation, que d'invoquer le secours équivoque d'un poids arbitraire, afin de modifier à son gré les résultats discordants, et d'établir ainsi, sur le papier, un semblant d'harmonie, qui, au fond, ne prouve rien pour l'exactitude réelle. — Il est d'ailleurs très-dangereux pour un observateur d'entrer dans cette voie de transaction ; car on peut assurer qu'il ne tardera pas à s'y laisser entraîner trop loin, et à faillir à cetle honnêteté scientifique qui est la sauvegarde des résultats de l'expérience.

•X- N*' t8t. Des éqaatientf de eondltlen prévenant de l*étnde d'an phénomène physique qnelcenqne, et ser- ▼ani à «pécifler la loi de ee phénomène. — Pour mieux fixer les idées, nous prendrons l'équation générale :

que nous considérerons comme une transformation de la relation (I J du n* 108 ou (Tg) du n° 115, en convenant de représenter ici m par z; (9— 64) par x; {t — tj par y; et où a, 6, c, d, «, f correspondrout aux diverses constantes de ladite relation. — L'équation générale (IJ pourra, dès lors, être regardée comme représentant la loi d'un phénomène physique quelconque, où un élément variable z dépend à chaque instant de plusieurs autres x^ y, etc.

La connaissance la plus approchée de cette loi exige qu'on détermine les constantes de l'équation, dans les meilleures conditions d'exactitude compatibles avec le nombre de données dont on dispose. A cet eflet, on déduit de l'observation une série de groupes de valeurs de js, x et y ; et on se sert de ces éléments pour déterminer les constantes a, 6, c, d,..., qui jouent maintenant le rôle d'inconnues, tandisque les quantités z, x, x^, y, a;y, y*,..., représentent désormais des coefiicients. D'après cela, la relation (I J , une fois fixée, est une véritable formule d'interpolation (n"" 105); puisque , établie à l'aide de valeurs connues de z correspondant à des valeurs déterminées de X et de y, elle permet réciproquement de trouver des valeurs uiooii- NUES de z correspondant à des valeurs quelconques de x et y.

En tout état de cause, si les groupes de valeurs connues de x, x

(lALGUL DBS G0NSTANTB8 DB TODTB FORNULB RBPRÉSBNTANT UN PHBNONÉNB PHYSIQUE. 297

et y, sont en même nombre que les constantes formant les inconnues, on trouve ces constantes par la résolution d'un nombre égal d'équations du premier degré ou linéaires. — Si les groupes sont en plus grand nombre que les inconnues, Télimination de celles-ci, pratiquée à la manière ordinaire, conduit à des équations de condition incompatibles. Mais la cause de cette incompatibilité est dans les erreurs des valeurs numériques de 3, x et y, erreurs dues à l'imperfection des moyens d'observation qui ont servi à les déterminer. L'inégalité des deux membres des équations de condition reste en général très-petite et de Tordre de grandeur des erreurs d' observation, de telle sorte que s'il était possible de connaître ces erreurs, et par suite d'en corriger les coefficients, les équations de condition seraient complètement satisfaites. Dans l'impossibilité où l'on se trouve à cet égard, on est conduit à demander à la théorie des prob£j)ilités la solution la plus avantageuse du problème.

Ce que nous venons de dire convient, du reste, d'une manière générale, à tous les cas qui peuvent se présenter dans les sciences appliquées aux phénomènes de la nature ; car on est toujours à même de ramener préalablement à la forme linéaire les équations à considérer, lorsqu'elles ne se présentent pas d'elles-mêmes sous cette forme. En pareille conjoncture, en effet, on commence par obtenir une valeur approchée de chaque inconnue ; et on substitue à celleci, dans les équations, la valeur approchée augmentée d'une correction très-petite, qui devient alors Tinconnue. Ceci fait, on développe les termes qui renferment les nouvelles inconnues; et eu ^ard à la petitesse de celles-ci, on néglige, dans les développements, leurs produits et leurs puissances.

En tout état de cause, les équations linéaires provenant, d'une manière ou d'une autre, de l'étude d'un phénomène physique qu'il s'agit de soumettre à la théorie des probabilités, prennent dans leur ensemble le nom générique Adéquations de condition.

^ m"* flSS. Résolviion d'«ne saife d'équations de coudllion par la méibode de« moindres carrés. Wopriété ^oni Joulsseni les résultais. luterprétailon géométrique dudli mode de résolution. — Si on admet que le meilleur parti à tirer d'un certain nombre de mesures directes, est d'en prendre la moyenne arithmétique, ce qui suppose des erreurs également possibles sur les observations, le calcul des probabilités conduit, comme Gauss l'a fait voir, à appliquer à la résolution des

298 GALCUIi DBS C^TANIBS D8 TOUTB FOMRJIB RIPRÉSiNTANT UN PHBNMI^ raTaWI.

équations de condition la méthode bien connue de Legendre, dite des moindres carrés. Toutefois le point de départ de Gauss a été attaqué. Mais Laplace a démontré, qu'en dehors de toute hypothèse sur les erreurs afférentes aux données, la méthode des moindres carrés est celle qui donne les résultats les plus probables (n* 122), comme nous l'avons annoncé à ce même numéro ainsi cfu'au n* 6S. Toutefois, la démonstration de Laplace suppose expressément que le nombre des équations de condition soit grand par rapport au nombre des inconnues à déterminer.

Enfin, dans ces derniers temps, M. Paye a donné le moyen d'établir une*loi de probabilité (n"" 121) des erreurs accidentelles^ en se basant sur l'étude directe des écarts des séries de mesures d'espèces très- variées (observations astronomiques, expériences sur le tir des armes à feu, etc.). Puis, il a fait voir que la méthode des moindres carrés convient aussi à un nombre restreint d'observations, lorsque les écarts y manifestent ladite loi de probabilité avec la même netteté que dans les nombreux exemples qui ont servi à établir cette loi. — D'après cela, pour parvenir à appliquer sûrement la méthode des moindres carrés, il faudrait faire, dans chaque cas, une épreuve afin d'établir que les écarts satisfont bien à la condition susmentionnée. Mais on peut considérer comme certain que pareille opération réussira d'ordinaire avec les chronomètres; et dès lors il y a lieu d'admettre, en principe, la validité de la méthode des moiodres carrés pour la détermination des constantes des formules de marche des montres marines.

Au surplus, il importe de bien noter qu'avant d'appliquer la méthode des moindres carrés, on doit : 1** faire un choix sévère des observations à employer, conformément à la recommandation mentionnée au n*" 6A ; 2*" dépouiller, au moins autant que possible, les observations des erreurs sysiématiques (n* 118), comme celles qm peuvent résulter de ce qu'on n'a pas observé le phénomène lui-même qu'il s'agit de soumettre au calcul, mais seulement quelque phase pins ou moins voisine; ou de ce que les instruments d'observation étaient en défaut, etc. — Tel serait ce qui aurait lieu, dans notre exemple particulier des chronomètres, si on déterminait les états absolus appelés à déterminer les constantes a, 6, c,..., à l'aide d'un instrument dont la construction laisserait à désirer en un ou plusieurs de ses points.

En tout état de cause, pour appliquer la méthode des moindres carrés à la formule (I,) du n** 132, il faut commencer par ramener i

.CAIGDL BES GONSTAimSS M mn rillUI£ KEm»^

rhypothèse d'en^eurs égaillent possiUes, les dUTérentes équalionB résultant des divers systèmes de valeurs de 2, 4;« y iatrcKliiits dans ladite formule. A cet effets conforoiément au n"" 130, on multipliera chacune de ces équations par la racine carré d'un poids convenable, approprié au genre particulier d'observations considérées. Indiquant par V l'expression générale de la racine carrée du poids «l'une équation, nous serons en présence d'une nouvelle série de relations de la forme :

v5 = rtxv + ôxva;4-cxvjr* + û?xvy-fex va-y + fx vy' 4- . . .

L'af^licaiion des moindres carrés retient, on le sait, à trouver les valeurs d« a, 6, «,... , qui rendent minîoHiin l'expression suivantes

Iv«(z— a — ôxx — ex*'— (/xy — cXJ?y — /'Xy» — ...)•= Sv«e*, en i]^ant e l'erreur afférente k chaque valeur observée de Télément z.

La recherche du mimmutn ^n question, basée sur les principes du calcul différenUeU conduit à une série d'équations, d'où on tire pom^ chaque constante sa valeur la pltis probable.

— La formule (I J, considérée dans toute sa généralité, représente une surface du second ordre dont les éléments z sont les coordonnées suivant l'axe des s, et les éléments x et y, les deux autres coordonnées.

Gonséquemment, l'opération en question interprétée géométriquement revient à trouver une surface telle« que les distances, suivant les 2, entre cette surface et tous les points de l'espace dont les trois coordonnées correspondent respectivement aux observations effectuées, aient une valeur miHimum pour la somme des produits de leurs carrés par les poids.

^ m*" AS4. Bésolution d'ane siilte d'équAltons s^us f^rme île Aéries par ta uiéUiode d'interpolation de t^aneliy. Propriété fondamentale de cette métbode. — L'emploi de la méthode des moindres carrés pour la résolution d'une suite d'équations résultant d'un développement çn sérié, exige qu'on fixe à priori le nombre des termes à conserver dans chaque équation. C'est afin de remédier à cet inconvénient que souvent, et en particulier pour les formules de marche des chronomètres, on préfère à ladite méthode le mode de résolution des équations de l'espèce en question proposé par M. Gauchy, toujours dans l'hypothèse expresse d'erreurs également possibles sur les observations. Ce mode est connu sous le nom de Mclhode d'interpolation de

300 CALCUL DES CONSTANTES DE TOUTE FORMILE REPRtoTANT UN PHÉNOIÉNK FflYSWl.

Cauchy^ c'est-à-dire de méthode pour trouver une formule générale d interpolation^ dont les équations considérées soient des expressions particulières. La méthode de Cauchy jouit de la propriété importante suivante :

Supposons que les constantes telles t]ue a, fr, c, d, e,..., faisaot fonction d'inconnues dans Texpression générale (IJ (n'-132) des équations qu'il s'agit de traiter, soient rangées par ordre de grai^ deur décroissante. Chacune des inconnues se détermine successivement; et on ne passe à la suivante que quand on s'est assuré que la substitution dans lesdites équations des valeurs obtenues pour les inconnues précédentes, donne, pour satisfaire à ces équations, des écarts en dehors de l'ordre de grandeur des erreurs probables (n* i 22) d'observation. On est dès lors prévenu du terme auquel il est licite de s'arrêter, dans le développement en série qui forme l'expi-ession générale des équations de condition à considérer. Ce procédé loet aussi à même de reconnaître si l'on a fait entrer en ligne de compte des observations par trop erronées, et de les distinguer des auu^. En pareil cas, on rejette les observations erronées; et l'on recommence les calculs avec les données conservées.

La propriété fondamentale que nous venons de signaler, caractérise la supériorité de la méthode d'interpolation de Cauchy sur la méthode des moindres carrés. Mais les ouvrages qui en parlent ont omis de spécifier cette propriété, en laissant ainsi le lecteur dans l'ignorance complète du principal esprit de la méthode de Cauchy. Gomme celte méthode est peu répandue, nous allons en donner l'exposé succinct sur le cas spécial de Téquation générale (IJ susmentionnée.

11 nous reste à dire que les résultats obtenus ici ne sont pas les résultats les plus probables^ comme le sont les éléments fournis ]W la méthode des moindres carrés (n' 133). Mais, d'après ce qui a été dit ci-dessus, ces résultats jouissent de la propriété de satisfaire aux équations considéï^ées avec des écarts ne dépassant pas l'ordre de grandeur des erreurs probables d'observation.

■^ %"* 18&. Formule» mttéreuteuà la mélliode d'ialerpolaiion de Caucby. — Les raisonnements qui vont suivre admettent (n** 134) l'hypothèse expresse d'erreurs également possibles sur les observations. Il faudra donc commencer, de même qu'au n* 133. par rendre comparables les difi^i-entes équations résultant des divers systèmes de valeurs de z, x, y, introduites dans les re-

CALCUL m (MNSTANTBS M TOtT» FiHUlULS MFISSINTANT US FH8N0IÈNB PHYSIQUE. 30 1

ladoDS générales de la forme (I,) du n*" 1S2. \ cet effet, on multipliera aussi chacune d'elles par la racine carrée v du poids qui lui convient, et cbobi conformément aux indications du n"" 130. — Nous nous trouverons donc encore ici en présence d'une suite de relations de la forme :

(I) vr = a X V 4- 6 X va: + c X vx« 4- </ X vy + e X vx^ + /* X vy* + . . . .

OÙ les constantes a, 6, c, d,..., sont du reste rangées par ordre de grandeur décroissante (n° 13A).

Le problème consiste à déterminer le nombre strictement néces* iaire de ces constantes, au moyen d'un grand nombre de systèmes donnés de valeurs de z, x^ y. D'ailleurs, conformément à ce qui a été annoncé au numéro précédent, et comme cela découle de la suite de ladite recherche, on n'effectuera les cari*és x', y', et le rectangle xy, qu*à mesure que Ton aura reconnu la nécessité d'aller jusqu'aux termes qui les renferment.

Afin de donner à la démonstration la généralité qu'elle comporte, et plus encore afin d'arriver à une suite de relations offrant entre elles uneentière symétrie, nous écrirons la formule ci-dessus sous la forme :

fr) Z=raxA + AxB4-cxC + rfxD+exE + /'xF+...

Lorsqu'il s'agit des formules de marche des chronomètres, qui sont en définitive notre objectif dans l'application de la méthode Cauchy, le premier coeflBcient A vaut + 1 dans les diverses séries d'équations de l'espèce (I), si ces équations ont toutes mime poids. Bien que ce soit là un cas particulier, quand il se présente, le coefficient A n'offre plus le même degré de généralité que les autres coefficients B, G, D.... Mais alors rien n'empêche de supposer que cette différence n'existe pas, et d'arriver à des formules complètement générales, qu'on adaptera facilement au cas particulier en question. Cette manière de faire est parfaitement licite, et évitera de traiter à part la détermination de la constante a du coefficient A, ce qui jetterait de la confusion dans l'esprit, en ne lui permettant pas d'embrasser avec facilité l'enchaînement des relations d'ensemble qu'il s'agit d'établir. — Ceci convenu, supposons à priori que toutes les constantes 6, c, d,... après a soient négligeables; et réduisons, pour un moment, le second membre à son premier terme. Nous aurons» en désignant par a une première valeur approchée de a :•

z = axA.

30i UIOLIB €0)ffiTA}ITI&DB IWli HmU IBPIÉ8ENTANT DN PIËN(«bl8 nTSWII

Chaque système de yaleors de Z et de A pourrût fournir une Taleur de l'inconnue ou Mais à cause des erreurs d'observation, ces différente valeurs ne seraient pas identiques. Afin d'employer toutes les données à la détermination de a, multiplions chaque équatioD de la forme précédente par un coeffident indéterminé k particulier à chacune d'elles, et plus petit que 1, ou au plus égal à 1. En faisant la somme de toutes les équations partielles ainsi modifiées, et que nous supposerons en nombre n, et en tirant ensuite la valeur de a, il viendra :

iki

Soit 5Z l'erreur inconnue dont Z est affectée, et Ç la véritable valeur de cette fonction, de sorte que l'on ait :

Z + «Z = ;; soit Z=C— «z.

La substitution de cette valeur de Z dans l'équation ci-dessus eu a, donnera :

* ■" IkX Ikk '

Le premier terme du second membre de cette nouvelle relation sera égalàla véritable valeur de a dans la supposition de 6, c, d, négligeables; et le second terme représentera Terreur de cette quantité calculée par la formule précédente. Il s'agit de rendre ce second terme minimum. On y parviendra, si l'on dispose des indéterminées k de manière à rendre le dénominateur un maximum, et si les valeurs de k qui satisfont à cette condition, rendent en même temps le numérateur un minimum.— Or, par hypothèse, le maximum de k en valeur absolueest égal à l'unité. Il est clair, dès lors, que le dénominateur atteindra un maximum, si l'on donne à fc le signe de A, afin que tous les termes prennent le même signe, et si, de plus, on donne au facteur k sa valeur absolue maximum qui est l'unité. En un mot, la condition pour le maximum do dénominateur consiste à faire chaque quantité fc = :^ 1 ,' suivant que la valeur correspondante de A est positive ou négative. — Il reste à faire voir que cette même circonstance tend à rendre le numérateur un fntiiimum. Désignons par 04.,Z et 8,Z, les valeurs de 8Z correspondant aux valeurs positives et négatives de A ; le numérateur SkSZ = S (± 1) SZ, pouiTa s'écrire S84.1Z — 28,Z, et se composera ainsi de deux groupes distincts de valeurs de 8Z. Or, dans l'hypothèse d'erreurs également possibles, ainsi que nous l'avons supposé expressément au début des

CALCUL m CONSTANTES Dl TOUTB FOUIIILB RfiPRÉSBlTANT UN PHKiOMÈNE PHTSi»». dio3

opérations, après d'ailleurs que toutes les équations ont été ramenées au même poids, il suffit que les valeurs SZ de chaque groupe soient asseï nombreuses pour que leur somme algébrique approche d'être nulle par une compensation des erreurs. Il est visible qu'il n'en saurait généralement être ainsi, que dans le cas où les 8Z seraient affectés de coefficients ayant des valeurs absolues égales entre elles, et valant 1 entre autres. D'après cela, si,.au numérateur aussi bien qu'au dénommateur de l'expression de l'erreur commise sur la valeur appro^ chée OL de a, on pr^nd le facteur h égal à + *• ou — 1, dans les sommes £, suivant que les valeurs correspondantes de A sont positives ou négatives, on réduira ladite erreur à son minimum.

Afin de simplifier les énoncés, nous nommerons somme subordannie àcertains coefficients d'une espèce donnée, aux quantités de l'espèce A, par exemple, une somme d'éléments correspondant à des valeurs données de A, formée en changeant les signes de ceux de ces éléments qui sont associés aux valeurs négatives de A. En désignant par S^ une semblable somme, on voit d'abord que SaA se compose de la somme positive des valeurs absolues des quantités A. De son côté, S^Z se compose de la somme algébrique des valeurs des éléments Z, après qu'on a ramené chacun de ces éléments au signe delà quantité A correspondante. — Nous désignerons en outre les quantités, telles que A de notre exemple, qui règlent les changements de signe à opérer dans les autres fonctions, parla dénomination de dominantes.

Dans ce qui va suivre, nous nous trouverons en présence des quantités B,, G,, D,,..., qui joueront successivement le rôle de dominante. — Pour éviter la confusion des relations, les sommes subordonnées à ces dominantes seront notées S.^, Sq,, S»,, etc.

— En vertu des raisonnements et des conventions qui précèdent, l'équation donnant une première valeur a de a avec une erreur minimum, s'écrira:

Substituons (II) dans les équations de la forme (I) ; et voyons la quantité Z, qu'il faut ajouter, pour changer chacune de ces équations en une autre de la forme :

(in) Zi=z— -Î--xSaZ = z-«xa.

On examinera alors si les quantités de l'espèce Z^ ne dépassent

304 CALCUL m CONSTANTES M TOUTE FORMULE REPRÉSENTANT UN PHÉNOniffi PHTSHKIE.

pas Tordre de petitesse des erreurs probables d'observation. — Supposons que toutes lesdites quantités, ou au moins presque toutes, satisfassent à cette condition. On en conclura que Ton est en droit de négliger les termes qui suivent celui en a dans les équations générales de l'espèce (I) ; et que l'expression (II) convient à la question, après toutefois qu on l'aura recalculée, en laissant de côté le très-petit nombre d'équations pour lesquelles la condition dont il s'agit n'est pas satisfaite^ et qui correspondent très-vraisemblablement à des observations manquées. — Si, à l'encontre de notre supposition, c'est pour un nombre important d'équations que cette condition n'est pas remplie, il faut en conclure qu'on n'a pas le droit de se borner au terme en a dans les relations générales de l'espèce (I). Éliminons alors de ces équations la quantité a. A cet effet, commençons par sommer ces mêmes équations par rapport à la dominante A. Nous trouverons :

(\ bis) SAZ = axSAA + 6xSAB+cx SaC + c^xSa D+ ...

Puis multiplions les deux membres de cette équation par ^-r-, il viendra :

-X SaZ == ax A+ 6 Xr-rXSAB+cX—rXSAC + </--. xSaD + ... OaA OaA oaA. o*A

Tirons de là a ; et introduisons-le dans chaque équation (I), après avoir d'ailleurs remplacé Z par sa valeur tirÂe de (III) . On trouvera, tout calcul fait :

(I')Z,=bx(B-SABxA.) + cx(c-SACx^)+rf(D-SADx3^) + ....

Or on peut représenter par B^, G^,... les nouveaux coefficients de 6, c... Il vient encore ainsi :

{V) Zi = 6xBj + cxCjH-rfxl)i4-...

— Cette relation est tout à fait de la même forme que l'équation (I) au point de vue des constantes 6, c, d,..., à déterminer; on pourra donc la traiter comme cette équation. A cet effet, on admettra à priori que les constantes c, d,..., sont négligeables; et on déduira une première valeur approchée p de 6, savoir :

(in

SiiB|

Supposons maintenant cette valeur introduite dans les équations dont elle dérive, c'est-à-dire dans les équations de l'espèce (!');

CALCUL DIS GONftTANTBS Dl TOUTE FORIULfi RBFRÉSBNTANT ON PHÉNOliNB raYSIQUE. 305

et voyons la quantité Z, qu'il faut ajouter pour changer chacune de ces équations en une autre de la forme :

(nn Zî==Zi-SB,z,xr\=Z4-pxB,.

On examinera alors si les quantités de l'espèce Z, remplissent la condition de ne dépasser pour aucune ou presque aucune équation, la limite des erreurs d'observation; en pareil cas, on n'ira pas plus loin. — Sinon, en continuant à suivre la même marche que ci-dessus, on obtiendra évidemment la série de relations suivantes, pour arriver à une première valeur approchée y de c :

(I' bis) S.iZ, = 6 X SiiB, + c X S., Cj -h rf X Sb,Di + ;

(n Z,= cx(c,-.S.,C,Xg^J+rfx(Di-S.iDiXg£^)4-

ou

(n z,=cxC,+rfxD,+ ...;

et ainsi de suite.

— Enfin, quand on sera arrivé à un coeflicient remplissant la condition précitée, on s'arrêtera là, c'est-à-dire qu'on considérera les coefficients venant après lui comme négligeables ; ou, si on préfère, on regardera le développement général donné comme n'allant pas au delà de ce coefficient.

11 restera alors à revenir sur ses pas, pour trouver les deuxièmes valeurs des diverses constantes qui précèdent la constante à laquelle on vient de s'arrêter. — La deuxième valeur de l'avant-demière des constantes calculées s'obtiendra en introduisant la dernière de ces constantes dans la formule sommée qui a servi à établir la relation d'où dérive l'avant-dernière constante, et limitée au terme qui renferme la dernière constante, et qui est alors le second. La deuxième valeur ainsi obtenue de l'avant-dernière constante sera introduite à son tour, en même temps que la dernière constante, dans la formule sommée précédente, où cette deuxième valeur fait partie du second terme, et qu'on arrêtera à son troisième terme; et ainsi de suite.

Par exemple, si la valeur approchée y de c obtenue en prenant la relation (1") comme point de départ, est bonne, on obtiendra une deuxième valeur approchée et suffisamment exacte de la constante précédente 6, en introduisant y à la place de c dans l'équation (1' 6ti),

306 GÂLCDL DES CONSTANTES DE TOUTE FORMULE RBPEÉSKNTANT UN HSIMliNS PITSWII.

bornée aux deux premiers termes, et en tirant b de cette équation aioâ réduite. — 11 ne restera plus alors qu'à se procurer une valeur suffisamment bonne de a. Ceci se fera en introduisant la dernière valeur que nous venons de trouver pour b d'une part, et c= y d'autre part, dans l'équation (I bis) bornée- à ses trois premiers termes, et en résolvant cette équation par rapport à a.

On trouvera, au type de calcul rr 1 0 de la fin du texte, une application numérique complète de la méthode que nous venons d'exposer.

-X- W tS6. Remarqoe* diTerscs; prévue dics opéniitoM0, et interprétation y éamétrlqve de la métheée d'interpalatiev de Caaeby. — Comme cela a lieu en général (n** 111] pour les chronomètres d'après les applications qui leur ont été faites de la méthode de Gauchy, il arrive souvent, avec cette méthode, qu'il n'est pas nécessaire d'aller au delà de la constante da terme qui correspond à la première puissance de y de la première formule (l) du numéro précédent. — Quand on est conduit à atteindre la constante du terme en y*, il faut bien examiner si on a eu soin, dans la discussion de la valeur approchée de chaque constante, de rejeter les quelques observations qui peuvent avoir été manquées, et dxmi l'existence se révèle ainsi qu'il a été expliqué dans ce qui précède* Si néanmoins, on est obligé de descendre j usqu'à la constante en question, cela prouve que la série de Taylor converge lentement pour le phénomène considéré.

Par ailleurs, il peut être utile, quand on est conduit à s'an^ter aux deux ou trois premières constantes, de pousser outre néannKnns. €ar si on trouve que les constantes suivantes ne satisfont pas à la condition relative à la limite des erreurs d'observation, alors que les précédentes constantes la remplissent, c'est que le développement (I) sus-rappelé a été mal ordonné à priori suivant l'ordre de grandeur décroissante des constantes.

Il va de soi que, dans tout le cours du calcul, on se servira des logarithmes pour effectuer les produits et les quotients, quand cela en vaudra la peine.

— 11 importe de prévenir que la nature particulière des sommes S„ S,,, Se,,..., du n* 136 offre, entre plusieurs autres, une preuve asseï simple des opérations. Cette preuve consiste en ce que les sommes formées de quantités d'une espèce donnée, et subordonnéeê à des dominantes qui précèdent ces quantités dans l'ordre des calculs, sont égales à zéro.

RÉGULATION DES CHRONOMÈTRES. 307

En cflfet, en vertu de l'équation (II!) du numéro précédent, on a :

soit :

S,Zi=0;

et on obtient semblablement, d'après les valeurs mêmes de B^ et C^ :

SaBj = 0; SaC, = 0.

On démontrerait d'ane manière analogue la proposition de proche en proche pour les sommes subordonnées de la forme S,,, S^, etc.

Les vérifications fournies par cette proposition sont d'un usage trèscommode. En effet, lorsqu'en suivant l'ordre des calculs, on est sur le point de subordonner une somme par rapport à une certaine dominante^ il convient d'effectuer préalablement, au moyen des quantités de l'espèce que l'on considère, une somme subordonnée à la dominante qui précède immédiatement. De cette manière, il est presque impossible qa*il se glisse des erreurs, sans que l'on s'en aperçoive sur-le-champ.

— II nous reste à interpréter géométriquement la méthode d'intwpolation de Gauchy.

Si on se reporte à l'équation générale (1) mentionnée au commencement de ce numéro, il est manifeste que la détermination des constantes de l'équation par ladite méthode, revient à trouver une surface qui satisfasse à la condition de passer à des distances de chacun des points (z,y,^) obtenus par Texpérience, moindres que les erreurs probables d'observation , ces distances étant d'ailleurs estimées suivant l'axe des z.

2* PARTIE. — § V. Régulation des chronomètres;

IV* iS9. C)«ii0ldéraiioii0 et reeonmiaiftdatlontf gênéwmMem «vr la réir«il*tioii de* cKraMoiiiètres. — On entend par régulation des chronomètres, la détermination de leurs états absolus et de leurs marches. Gomme nous l'avons déjà dit au n"" 115, les états absolus sont, en principe, aujourd'hui, ramenés à être des BetardSy afin de faciliter les calculs.

En tout état de cause, la détermination dont il s'agit, doit s'effectuer d'une manière différente, suivant qu'il s'agit d'une campagne êcientifique ou de la navigation courante.

— Par campagnes scientifiques^ il faut entendre les campagnes où

308 RÉGULATION DES CHRONOMÈTRES.

on se propose de relier à des points déjà connus, la longitude de points inconnus secondaires comme importance, ou appartenant à des lies isolées, dans lesquelles on n'est pas d'ailleurs appelé à séjourner.

Les localités considérables de tous les points du globe sont aujourd'hui reliées entre elles par des télégraphes électriques; et l'emploi de signaux obtenus par l'intermédiaire de ceux-ci, constitue des procédés aussi exacts et aussi commodes que possible de la détermination de la longitude. — De leur côté, les points où on séjourne un certain temps se prêtent, pour la détermination de leur longitude, à l'usage des culminatiom lunaires, qui est, somme toute, avec les bons instruments ad Aoc dont on dispose aujourd'hui, supérieur à l'emploi des chronomètres. D'ailleurs, cet emploi exige qu'on attende le retour du navire à une station connue, afin (n*» 140) d'employer les formules de marche par interpolation, ce qui est beaucoup plus rigoureux que par extrapolation.

Ledit emploi des chronomètres pour les campagnes scientifiques se trouve donc, en l'état actuel des choses, réduit à un rôle bien moins important que par le passé. Dans tous les cas, il nécessite expressément (n* 114) qu'on adopte la formule de marche complète (I^) du n* 108, et qu'on détermine les constantes de cette formule par les moyens les plus perfectionnés.

— Pour la navigation courante, la régulation des chronomètres comporte deux méthodes (n* 114), Tune avec les formules de marche réduites (1,) du n* 111 ou (I,) du n* 112; l'autre avec des graphiques démarche (n*»* 142, 144 et 160).

Mais aussi bien pour le présent cas que pour le précédent, les éléments doivent être calculés par les moyens les plus perfectionnés.

— Ces moyens comportent, entre autres, la détermination, pour les états absolus et les marches, de leurs erreurs probables (n* 122), en se basant pour cela sur la théorie des erreurs d'observation, lis exigent d'ailleurs, avant tout, qu'ils soient appliqués par un habile observateur, et que ce soit la même personne qui se charge de toutes les opérations : comparaisons du compteur avec les chronomètres tous les matins vers 9 heures ; lecture de la température de l'armoire des montres à ce même instant; observations des hauteurs, etc. — Il ne servirait à rien d'indiquer à un observateur médiocre des procédés de calcul perfectionnés. L'examen des ^^ journaux des chronomètres " apprend avec évidence que tant vaut l'officier des montres, tant vaut le chronomètre.

On doit, par ailleors, se rappeler les précautions à prendre pour obtenir de bons états absolus et par suite de bonnes marches, à savoir : évaluer et corriger toutes les causes d'erreurs systématiques (n"* 118) des instruments; — observer aux environs des instants favorables ; — prendre, autant que possible, les hauteurs à Tborizon artificiel ; — noter les hauteurs du baromètre et du theimomëtre au départ du bord et au retour; et corriger les hauteurs des astres de Tinfluence de ces éléments snr la réfraction, en employant la pression et la température mojnsnnes ; — n'employer pour la détermination des marches, que les hauteurs observées à peu près aux mêmes heures; — espacer les états absolus do cinq jours au moins, afin qu'il s'écoule un laps de temps suffisant entre chaque couple d'états, d'où l'on déduit la marche se rapportant à l'époque et à la température moyenne entre les deux observations ; car il importe de comprendre que, d'après Y exemple 11 du n° 128, plus l'intervalle entre les deux états est grand, plus est petite Yerreur probable sur la marche calculée; — quand la température de l'armoire des montres a changé dans l'intervalle de deux observations, ne se servir de celles-ci qu'autant que cette température n'a pas varié de plus de 2 à 3 degrés, laps de température pour lequel, eu égard à l'excellenie compensation des chronomètres actuels, il est loisible de considérer la variation de la marche comme proportionnelle à celle de la température, et par suite pour lequel la marche déduite des états absolus afi*érents à chacune des deux observations peut être regardée comme une marche isotherme correspondant à la température moyenne ; — rejeter à priori les états observés dans des circonstances mauvaises, ou dont les séries ne concordent pas suffisanmient ; et à posteriori ceux qu'indique le critérium de Chauvenet (n** 12A) appliqué comme il est expliqué au n"" 1 38 ; — enfin calculer les états absolus au dixième près, et les marches au centième.

Quand on prend une longue suite d'états absolus, il est bon, à l'instar de M. Mouchez, de dresser un graphique de ces états à grande échelle. A cet eflet, on porte le temps sur l'axe des X, et on compte les états sur des parallèles à l'axe des y. On joint ensuite par des bouts de droites toutes les extrémités des ordonnées ainsi obtenues. Quand un plus ou moins grand nombre de points successifs sont sensiblement en ligne droite, on est à peu près certain qu'entre les deux époques correspondant aux deux extrémités de la droite, la marche est demeurée isotherme. Pour qu'il en fût

310 IIÊGULATION DES CHRONOMÈTRES.

autrement, il faudrait qu entre chaque paire d'états consécutifs, il y eût des variations alternatives de température finissant par se compenser, ce qui est infiniment peu probable, et ce dont on peut s'assurer en consultant le registre des températures diurnes de rarmoire des montres. — Quoi qu'il en soit, le graphique dont il s'agit a l'avantage de frapper les yeux, et de bien indiquer quels sont les états U$ plus écartés qu'on puisse considérer pour en tirer une marche tsotherme, au grand avantage de l'exacte détermination de cette marche. Un point que nous ne saurions trop recommander, c'est, lorsqu'on observe à terre, de s'exercer à compter soi-même les battements da compteur, de s'appliquer à fractionner ces battements par la pensée, afin d'obtenir des résultats aussi exacts que possible. Il ne sert à rien de lire les angles à 5 secondes sur un sextant, de les répéter six à huit fois avec un cercle, de calculer les déclinaisons à la seconde d'arc, si l'on se contente de la seconde de temps, et si l'on introduit ainsi des erreurs delôsecondes d'arc. — La même recommandation est à faire pour les comparaisons des chronomètres entre eux : prisesàl/2seconde près, elles donnent des marches relatives (n* 148) discontinues, et laissent échapper parfois des différences significatives. Malgré les mouvements et le bruit du navire, nous pensons qu'on peut se servir de l'oreille pour évaluer les petites fractions de seconde. — Nous donnerons en détail au n° 195 les divers modes de procéder. Présentement, nous nous bornerons à dire que d'habitude on compare successivement les chronomètres au compteur, que l'on tient près de l'oreille ; et on déduit de cette comparaison les heures simultanées des diverses montres. Le compteur n'agit ici que comme intermédiaire ; et il est toujours licite de négliger sa marche par rapport à chaque chronomètre dans l'intervalle des deux ou trois minutes nécessaires pour faire les comparaisons. D'après l'expérience d'observateurs très-compétents, ce procédé réussit parfaitement à bord.

Pour justifier l'ensemble des précautions que nous venons d'énumérer, il importe de dire que si on n'a pas besoin à la vérité de connaître les états absolus en eux-mêmes au dixième de seconde près précité, en revanche les marches exigent la précision sus-menlionnée d'un centième. Or, en principe, cela n'est possible qu'à la condition d'apporter à la détermination des états l'exactitude que nous venons de rappeler.

— Il est essentiel, pour compléter les indications pratiques précédentes, d'avertir que l'emploi simultané de plusieurs chronomètres

KËGCLATION DES CHRONOMÈTRES. 311

n'entraîne pas poar chaque chronomètre, la répétition des opérations exigées pour la régulation de Tun d'entre eux.

En d'autres termes, il sufSt de prendre l'un des chronomètres comme Étalon; puis on ne calcule directement ^ c'est-à-dire par les observations, que l'état absolu et les marches de ce chronomètre-, et on en déduit par des comparaisons (n** 148) les marches des autres chronomètres. — Réciproquement, à la mer, on ne calcule que l'état absolu de V Étalon, en se servant pour cela (n*" 155) de sa mai*che préalablement corroborée par celle des autres montres.

Il importe dès lors qu'on choisisse pour étalon le chronomètre qui inspire le plus de confiance ; puisque, d'après ce que nous venons de dire, c'est en définitive à sa formule ou à sa courbe de marche extra^ poUe qu'on se reporte pour fixer à la mer l'heure de Paris, et que les autres montres ne servent qu'à le contrôler.

— C'est ici le moment d'expliquer, d'après M. Caspari, pourquoi le Dépôt de la marine alaissé exclusivement aux ofliciers chargésdes montres, le soin de déterminer eux-mêmes les constantes des formules de marche, ainsi que la marche normale convenant à une température et à une époque données, c'est-à-dire la constante même de la marche, et pourquoi les observatoires des ports ne communiquent à cet égard que des renseignements officieux et sur la demande des officiers responsables.

Autrefois chaque montre, à sa sortie du Dépôt, était accompagnée d'un bulletin donnant la valeur des deux constantes de la température et la valeur de la constante de la première puissance des variations du temps. Du reste, soit dit en passant, on donnait à cette dernière constante le nom d'accélération; car, d'après l'expression exacte de l'accélération donnée au n« lH, celle-ci se confond avec ladite constante, quand on regarde comme négligeable le terme renfermant le carré des variations du temps. — Eu tout état de cause, on fournissait ainsi les trois constantes propres à la formule Lieussou (n° 112).

On a renoncé à cette pratique pour les raisons que voici :

L'expérience a prouvé qu'il est généralement imprudent de se fier aux marches d'un chronomètre dont les huiles ont plus de trois ans de date. Aussi est-il de règle, dans la marine de l'État, qu'une montre ayant atteint cet âge d'huiles rentre au Dépôt, et passe chez r horloger. Le nettoyage doit se faire avec tout le soin imaginable. On ne change rien au balancier, ni au spiral ; ces deux organes sont replacés ensuite exactement dans les positions qu'ils avaient auparavant. Tout au plus touche-t-on légèrement aux vis de réglage, si la

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constante de ia marche est trop forte, ea plus ou en moios. Mais les nombreuses précautions requises dans ces opérations délicates ne sont pas toujours prises avec la rigueur voulue ; et il y a en général peu de chance pour que la compensation reste exactement la même après le nettoyage. — Ce fait a été constaté sur beaucoup de montres qui ont fait retour aux observatoires des ports après le changement des huiles, et principalement sur des chronomètres qui, ayant été primés lors de leur achat, ne donnaient plus que des résultats d'une médiocre valeur après le nettoyage. D'ailleurs, tant vaut (n'» HA) le mode employé pour calculer les constantes d'un chronomètre, tant valent ces constantes elles-mêmes.

D'après les diverses considérations précédentes, il semble prudent, en se conformant à la réserve dont il s'agit, de ne pas hasarder des prédictions, qui risqueraient de partager le sort des prophéties météorologiques, et qui auraient ainsi le grave inconvénient de donnera l'oflicier des montres une fausse sécurité; ou bien quand l'événement viendrait les démentir, de lui inspirer une méfiance exagérée.

IV* ISS. Délermlnatloii perCeeUoniiée des éiata abi#las d'an ebronoiiiètre et dem marebies qa^on en dédait; et appréeiaiion de leurs errears proliables. — Quels que soient les procédés employés pour la régulation des chronomètres, nous venons de voir au numéro précédent qu'il y a lieu, à tous égards, de perfectionner la détermination actuelle des états absolus. Mais il importe d'arriver à ce résultat sans allonger outre mesure l'ensemble des opérations. On doit au surplus se servir, à chaque calcul, d'un bon nombre de hauteurs, afln d'apprécier sûrement les résultats par la théorie des erreurs d'observation y et de pouvoir, par cette appréciation, rejeter les observations douteuses.

Le TYPE DE CALCUL N° 9 de la fin du texte, dû à M. Rouyaux, nous semble satisfaire aux conditions du problème. Du reste, si le lecteur n'en accepte pas les deux parties intermédiaires y 2*» et 3', qui sont susceptibles de se traiter autrement, il pourra, en toute circonstance, se servir de la partie 4% pour la manière de s'y prendre dans l'appréciation du degré d'exactitude des résultats. — Le type complet de M. Rouyaux peut s'effectuer en ôO ou 60 minutes. Il nécessite les divers commentaires et explications que voici :

1° On observe à Thorizon artificiel et aux environs des circonstances favorables ; et on prend, au sextant, des hauteurs distantes les unes des autres exactement de 20', en disposant d'avance l'alidade. Si le Soleil

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se déplaçait trop lentement, on espacerait les hauteurs de ICen IC — Cette manière de faire permet de saisir le sextant des deux mains au moment du contact, et d'obtenir de très-bonnes observations, grâce au surcroît de fixité de l'instrument ainsi tenu. En outre, elle met à même de réduire récriture pendant l'opération au simple enregistrement des secondes de temps. Car les minutes de la hauteur et les minutes du compteur se suivent à des distances constantes ; et on a tout le loisir d'écrire exactement les valeurs de ces éléments pour la première et la dernière hauteur, avant et après la séance d'observation. Cette réduction si grande de l'écriture procure la facilité d'observer tout seul, ce qui est quelquefois nécessaire. Enfin, si l'on dispose d'un timonier pour compter et inscrire les résultats, on a le temps de relire l'angle mesuré, afin de s'assurer que l'alidade n'a pas bougé ; et il devient possible d'obtenir, par cette double lecture, une approximation plus grande, qui peut aller jusqu'à 5" avec les bons instruments.

2* Autant que possible on observe un nombre impair de hauteurs, de façon que les deux hauteurs extrêmes, et en général les hauteurs également éloignées de^ extrêmes, soient iquidistantes de celle du milieu.

3* Pour l'heure M du compteur au moment de l'observation de la hauteur milieUy on calcule l'heure approchée de Paris, la déclinaison D et l'équation du temps E correspondantes. — Puis, on détermine les variations AM, AD, AE (= A'T) de ces éléments entre leurs valeurs correspondant à la hauteur milieu et leurs valeui-s concernant la der^ mire hauteur observée ; AD et AE se déduisant, bien entendu, de AM. — Cela fait, à l'aide des TABLES de M. Perrin, on calcule, comme il est indiqué dans le type, la variation A"T de l'heure T du lieu, qui correspond à la variation AD de la déclinaison. — Enfin, au moyen du carnet d'observation, on trouve la variation A'"T de l'heure du lieu, qui résulte de la différence de la valeur de la réfraction pour la hauteur milieu et pour la dernière hauteur. — Quant aux signes de ces différentes variations, ils suivent les règles que voici :

AT a le signe de U Tariation diurne de réquation du temps, tel qa*il résulte de rexamen

de cette variation dans la Connaissance des temps; A'1 a le signe qui résulte de la combinaison du signe de la somme {p* -{- ff') déduite

des TABLES de M. Perrin et du signe propre de AD ; &!"T est toujours positif.

A* Avec toutes les hauteurs corrigées de la même quantité que la hauteur milieu, et avec la même déclinaison que pour cette hauteur.

314 RÉGULATION DES GHRONOMËTRES.

on calcule un nombre égal d'états absolus du compteur. On se borne d'ailleurs à estimer ces états par rapport au temps vrai.

b"" On détermine la correction totsde AT à faire subir à l'état absolu du compteur déduit de la dernière hauteur, pour tenir compte de l'erreur commise dans le calcul de cet état par l'emploi d'éléments ne convenant rigoureusement qu'à la hauteur miUeu. Cette correction est donnée par la relation :