AT = ^1+^"!+ A"T

et la fraction :

représente alors la correction AR de l'espèce dont il s'agit à faire subir à chaque état absolu du compteur provenant d'une hauteur autre que la hauteur milieu^ dans le cas d'un nombre total et impair ii d'observations, q étant, par rapport à la hauteur milieu^ le rang de l'observation considérée, pris positivement (après) , ou négativement (avant).

ô"" D'après cela, les divers états B du compteur sur le temps vrai entendus comme nous venons de le dire, étarrt considérés deui i deux à égale distance de la hauteur milieu^ devraient être affectés de corrections égales et de signes contraires ; leur moyenne est donc la même, qu'on les corrige ou non. — D'ailleurs, on a pour chaque erreur résiduelle x (n* 120) des R :

x = R — moyenne des R.

De cette égalité on tire pour l'expression générale Aâ; de la correction à faire subir à chaque erreur résiduelle, en raison de la correction de l'espèce sus-mentionnée propre à chaque état absolu : àx = AR, puisque la moyenne des R ne varie pas du fait de la correction des états. Comme d'ailleurs AR = ., ^ -, AT, on aura pour

expression générale x^ des erreurs résiduelles corrigées :

7* Des erreurs résiduelles corrigées, on déduit, d'après le n* 126, Yerreur probable conunune à chacun des états, puis l'erreur probable de leur moyenne. L'application du critérium de Chauvenii {n^* 12i et 127) indique alors les observations qui doivent être rejetées, et celles qui doivent être conservées. — Avec ces dernières seôiles, on détermine une nouvelle moyenne, qui est le retard moyen

RÉGULATION DES CHRONOMÈTRES. 315

du compteur sur le temps vrai ; et on évalue ensuite Terreui- probable de ce même élément.

8" L'équation du temps, combinée avec le retard moyen du compteur sur le temps vraU donne son retard sur le temps moyen du lieu, lequel retard est affecté de la même erreur probable que le premier. — En combinant le retard du compteur sur le temps moyen avec soa retard sur le chronomètre A dont il s'agit d'avoir la régulation, on trouve Y état absolu Ba de ce chronomètre. Puis, eu égard à l'erreur probable due au défaut de précision des comparaisons avec le compteur, on détermine l'erreur probable qui convient audit état absolu R^.

9° On retranche alors ce même état absolu d'un autre état R\ obtenu antérieurement d'une manière analogue, pourvu que la température n'ait pas varié de plus de 2° à S"* dans l'intervalle des observations; et en divisant la différence par le nombre de jours écoulés, on obtient la marche m correspondant à la température et à l'époque moyennes de cet intervalle, déduites l'une et l'autre des températures et des dates et heures afférentes aux deux états. En d'autres termes, on pose :

(h) »>» = fj[ — »

N étant le nombre de jours écoulés ; et Tordre des termes du numérateur résultant des signes adoptés au n* 105 pour distinguer les marches en avance d'avec les marches en retard.

L'erreur probable de la marche se déduit des erreurs probables des deux états, d'après les règles du n"" 128. Il est intéressant, à propos du résultat ainsi obtenu, de remarquer que les erreurs systématiques n'ont pas, dans le calcul d'état absolu, une influence aussi fâcheuse (n** 6A) que dans la détermination du point le plus probable. En effet, les hauteurs variant peu ici, les erreurs systématiques (excentricité de l'instrument à réflexion, défaut de parallélisme des miroirs, etc.) sont sensiblement les mêmes pour chaque angle successif pris à l'horizon artificiel. L'état absolu est donc affecté de la résultante des erreurs systématiques propres à une des observations ; et cette résultante constitue ainsi une portion bien distincte de Terreur totale, dont la seconde partie est intégralement formée de l'erreur probable. L'influence des erreurs systématiques dans la détermination de la marche se fait sentir dans la différence qu'elle comporte entre des états absolus pris deux à deux. Mais elle est bien faible, si les observations ont été prises environ à la même heure de la journée.

— Quoi qu'il en soit, le mode de calcul précédent appUqué à plusieurs séances d'observations, distancées entre elles d'un certain nombre de jours, au moins cinq (n^ 137), fournira : ^ En premier lieu, une série d'états absolus du chronomètre consi-

316 RÉGULATION DES CHRONOMÈTRKS.

déré, ayant chacun son erreur probable connue, et parmi lesquels on pourra dès lors choisir celui qui inspirera le plus de confiance pour servir d'état absolu de départ ;

En second lieu, une série de marches dudit chronomètre, correspondant respectivement à une température et à une époque déterminées, et ayant aussi chacune son erreur probable connue.

Ce dernier élément permettra d'apporter toute la rigueur désirable au calcul (n° 140) des constantes de la formule de marche adoptée, particulièrement en mettant à même, d'après le n* 129 et la fin du n* 130, d'avoir exactement la mesure de précision propre à chaque observation. Il procurera le même avantage au tracé des graphiques de marche (n*^ 142, 144, 149 et 150).

-)f IV* l80. RAfflnemeni de la détermliiatioii précédcHie par remploi de» moindres earrés, dans le cas d'une tenipératnre sensiblement constante. — Il peut aniver que la température demeure constante dans l'armoire des montres, à2''oa 8** près (c'est-à-dire dans les limites indiquées au n*» 187), pendant toute la période qui a été employée à déterminer une suite d'étate absolus et de marches, et qu'en outre cet intervalle ne dépasse pas 20 à 25 jours, et par suite se trouve assez restreint pour qu'il n'y ait pas à se préoccuper du changement d'âge des huiles. En pareille occurrence» il est bon d'appliquer la méthode des moindres carrés (n* 133), pour déduire de tous ces éléments la valeur la plus probable de Tétat absolu de départ, ainsi que la valeur la plus probable de la marche pour la température et l'époque considérées. — On peut suivre, pour le cas dont il s'agit, la voie indiquée par M. Daussy, en ayant bien soin de se rappeler qu'elle suppose d'une manière expresse que la température demeure sensiblement constante ; toutefois, Féminent hydrographe ne s'était pas préoccupé de cette condition ; car, de son temps, la question chronométrique était, sur ce point pailiculier. encore fort ignorée.

Prenons pour état absolu approché le premier retard observé R,; et soit Rj le dernier retard observé. Calculons une première marche approchée par la formule (I^) du numéro précédent ; nous aurons :

Rf-Rj ^

A l'aide de cette première marche a^, réduisons tous les états absolus à la même heure de la journée. Puis, déduisons du premier état R^ les états suivants. On trouvera généralement ainsi des nombres différents de ceux que l'observation a donnés. — Soient maintenant i

RÉGULATION DES CHRONOMÈTRES. 317

AR Terreur de Tétat absolu R^;

Aa Terreur la plus probable sur la marche réelle, provenant de ce qu'on prend «o Po^

cette marche; R' Tétat absolu observé pour un jour de rang q\ R Tétat pour ce jour-là déduit de Rq.

On auTa :

État observé = état déduit + AR + qàa ;

soit :

R' = R + AR + ^Aa;

d'où il vient :

AR H- qàa = R' — R.

On formera ainsi autant d'équations qu'on a d'observations. — Conformément à ce qui a été dit au n* 133, il faudrait, à la rigueur, avant d'aller plus loin, multiplier chacune de ces équations par la racine carrée du poids qui lui convient; ce facteur se calculerait d'après le n« 129, à l'aide de Yerreur probable afférente à R', et déterminée comme il a été expliqué au n** 138. Mais nous négligerons ce nouveau raffinement de calcul. — Dès lors, soit n le nombre des observations, on appliquera aux n équations qui leur correspondent, la méthode des moindres carrés. Ceci conduira d'abord à ajouter ces n équations, ce qui donnera :

nàK + àaxLq = I(R'— R).

On multipliera ensuite chaque équation par le coefficient q de Aa dans cette équation ; et on sommera encore les nouvelles équations obtenues de la sorte. L'équation résultante sera :

ARxS^ + àaxlq* = S (R'— R) 7.

La résolution des deux équations précédentes du premier degré en AR et Aa donnera les valeurs de ces quantités. On aura alors pour la marche cherchée (a^+ Aa) ; et pour l'état absolu demandé (R^+ AR) , cet état ayant d'ailleurs pour date celle de R^. — Il importe d'ajouter qu'on pourra, conformément au n"" 128, déterminer l'erreur probable afférente à (R^ + AR), d'après la connaissance (n'* 138) de celle de chaque quantité de l'espèce R'. On trouvera de même Terreur probable qui convient à (a^ + Aa).

— Si l'on parvenait à obtenir, avec le degré de raffinement que nous venons d'indiquer, une suite d'états absolus de l'espèce (R^ + ^R)» ainsi qu'une suite de marches de l'espèce (a^ + ^a) correspondant respectivement à la température moyenne relative h la période des obseiTations d'où on les a déduites, on se servirait de ces éléments suivant les indications de la fin du n° 138, en apportant ainsi un nouveau degré de précision dans l'emploi qu'on en ferait.

318 RÉGULATION DES CHRONOMÈTRES.

-X- IV^ 140. néffalatlon des chronomètres pour les «mmpannes selenflllq«es. — D'après ce qui a été dit aux n"^ 11 A et 1S7, nous devons prendre ici la formule de marche complète (IJ du n** 108, qui devient en y remplaçant les difiFérentes dérivées par des lettres :

m = a + 6x(e-o,) + cxce-6,)«4-rfx(^-/i)+ex(e-eoy-/i)i-/'x(/— 0*+-.- Dans cette formule, nous rappellerons qu'on représente par :

6| et ^ la température et l'époque de comparaison^ lesquelles correspondent à la raleir particulière a de la marche normale (n" 105), soit à la constante de cette mardie;

6 et / une température et une époque quelconques, correspondant k la valeur générale m de la marche normale.

La relation précédente peut s'écrire, pour simplifier : (lo^w) »t = «H-6xj; + cxx*-Kdxy+exxy4-/'x y'H- ....

Le problème à résoudre consiste alors à déterminer les constarUet a, 6, c...... de la manière la plus rigoureuse pour les divers chronomètres embarqués, en se procurant d'ailleurs, pour le chronomètre é(aIon, un état absolu de départ aussi exact que possible. — Cet état absolu pourra s'obtenir en choisissant parmi les derniers états observés celui qui inspire le plus de confiance (n^'lSS). On aurait encore plus d'exactitude en combinant tous ces derniers états d'après les indications du n° 189; mais il faudrait que les observations fussent dans les conditions de température voulues à cet effet Enfin, le dernier degré de raffinement serait obtenu si les circonstances indiquées à la fin du n"" 139 venaient à se réaliser.

La détermination des con$tantei de la formule de marche ne se présente pas aussi facilement, tant s'en faut, que celle de l'état absolu de départ. Car elle exige un nombre considérable d'observations différentes entre elles, par groupes^ et comme température et comme époque, et d'ailleurs réparties de part et d'autre du moment où on passe aux lieux dont on se propose de déterminer la longitude, cette dernière condition étant nécessitée par l'utilité d'employer (n* 187) la formule de marche par interpolation plutôt que par extrapolation.

Si on reste longtemps en rade, avant le départ, 4 ou 6 mois, par exemple, et que l'on traverse des températures très-variables, on se trouvera dans d'excellentes conditions pour effectuer au moins la plus grande partie des observations voulues, et pour déterminer de premières valeurs des constantes de marche. On rectifiera ensuite ces premières valeurs quand on aura réuni de nouveaux groupes d'ob-