FORMES CONDENSÉES DE LA S^E DE TAYL

faneur, à savoir : Us t du terme du troisième ordre^ la moitié eu tmn$ a

du quatrième ordre^ etc. Mais, sous les réserves faites au n* 7, ces fractions ne sont pas en général à considérer pour le degré d'approximation obtenue. Ce degré est en principe spécifié par le terme qui suit Tordre le plus élevé intégralement conservé, soit présentement par le terme du troisième ordre. Ainsi on dira que le résultat ci-dessus est obtenu aux quantités près du troisième ordre. Si on remarque que le calcul de la dérivée première n'est ni plus

long ni plus difficile pour la vsieur f a; -|~ ô) d^l^ variable que pour

la valeur x, on comprendra facilement toute l'importance de la formule (76) ; car avec un seul terme elle donne toute la précision requise dans diverses questions délicates de la science nautique.

M. Rouyaux a proposé, dans les Comptes rendus de V Académie in sciences du 7 mai 1877, la forme condensée ci-dessus de la série de Taylor à une variable, pour en tirer de très-intéressantes sçpUcatiens à la navigation, que nous donnons aux n*' 202, 208 et 204. Il a prévenu d'ailleurs que, dans le cas en question d'une seule variable, la forme dont il s'agit avait déjà été indiquée avant lui. On trouve, en effet, dans les mémoires de Legendre, une proposition sur les équations différentielles du premier ordi-e qui la renferme implicitement. Depuis lors, M. Jourjon, ignorant la proposition de L^endre, a donné explicitement ladite forme dans les Comptes rendus du 16 février 1874.

— Au surplus, en se reportant à la partie du Cours d* analyse de M. Hermite qui trsdte des quadratures^ ou plus généralement de l'évaluation approchée des intégrales, on voit tout de suite que la méthode de Gauss y signalée conduit à une loi générale des formes les plus condensées possibles de la série de Taylor, loi qui est en quelque sorte le pendant de ladite méthode pour l'obtention d'une quadrature avec l'approximation de l'ordre le plus élevé, eu ^ard au nombre des éléments employés. On sait, en effet, que l'intégrale

\ f{x)dx peut s'exprimer sous la forme :

A/'(«)+BAP)+ +L/'(X),

a, P, , X étant des Talenrs comprises entre les limites a et b]

A, B,.....v L des coefficients indépendants de la forme de la fonction f{t).

On en conclut, en supposant f{x) = f{T), la relation analytique

MORVES CONiœRSÉES DB LA SÉRIE DE TAYLOR. m

L'approximation dépend ici du choix et du nombre des quantités o^ P, • • M ^« ^iûsi que des coeiQdents A, B, ... » L. Or» en faisant usage de la méthode précitée de Gauss, on réalisera pour un nombre donné n d'éléments a, p,...J., X, l'approximatioa de l'ordre le plus ^levé qu'il soit possible d'atteindre. Prenons, par exemple, n = l, 2,.,—, nous aurons, en nous reportant iila page A51 du Cours précité de M. Hermite, les formules que yoid :

Posons :

On tire d'abord de la première formule :

ce qui est précisément la relation rappelée par M. Rouyaux, et où on a le résultat aux quantités près du troisième ordre* — De son côté» la seconde formule donne :

où le résultat est obtenu aux quantités près du cinquième ordre.

Hâtons-nous d'ajouter que, eu égard aux approximations auxquelles il y a lieu de se borner. en navigation, et en raison de la nécessité d'iJt>réger les calculs, nous n'aurons dans ce qui suit h recourir qu'à la première forme condensée.

— Nous ne saurions terminer cet intéressant numéro sans citer deux applications de ladite forme, qui, bien qu'étrangères à notre sujet spécial, sont trop utiles en elles-mêmes pour être passées sous silence.

^^ Pour la quadrature d'une surface plane, on a i

aux quantités près du troisième ordre.

476 FORMES CONDENSÉES DB LA SÉMK M tATLOA.

Pour la cubature cTun solide, il vient, en considérazit f(«, f) successivement comme fonction d'une seule variable en x d'abord, puis en y :

^ dy^dx<^{x,y)^kk^(a-^\, A +5).

aux quantités près du troisième ordre aussi.

On comprend tout de suite combien les deux relations précédentes sont de nature à abréger le calcul numérique d*une quadrature ou d'une cubature.

li* li#t. O^ndenMiiton de la série de Taylor émmm le eas de plasiears Tarlaliles. — La formule (76) du numéro précédent peut s'étendre au cas d'un nombre quelconqve dé variables, comme l'a fait voir dans la communication sus-mentionnée à l'Académie des sciences M. Rouyaux, auquel l'extension en qoestîOD revient tout entière. On a en effet :

(TT) 9(*+^y+AHç(a:,y)-*9'.(^4-j. y4j)+*9;(*+j.y+J). (7S) 9(«4-A,y+*,i+0— ç(x.y,i)=à9'.(x4-|,y+j, « + |)

Ces relations se démontrent en appliquant le développement complet de Taylor aux différentes fonctions f', et en comparant ensuite le résultat au développement de la fonction f elle-même. On reconnaîtra ainsi qu'allai (tannent compte intigraûment des termes des deux premiers ordres ednsi que des S/A des termes du troisième ordre et de ceruûnes fractions des termes suivants*

M. Rouyaux a aus^ tiré un excellent parti pour la navigation (n^** 206 à 207), des formules condensées ci-dessus à dmx ou trois variables, notamment dans le cakul de la réduction des distances lunaire'.

— M. Hermite a étudié le cas d'une condensation de la série de Taylor à plusieurs variables correspondant à une approximation sapérieure à celle du commencement du présent numéro, et foraunt le pendant de la seconde condensation du numéro précédent. Afin que la question puisse former un tout complet, nous citerons le résultat auquel il est parvenu dans l'hypothèse de trois variables, et d'où on déduit aisément l'expression qui convient au cas de deux Mriables.

APPUCATIOSS'RAUIKWBS »K LÀ S^IB OE TATLOR CONBBN^E. 471 . Poor alwégitr l'écriture, posona, comme au n* 200 t

Cela étant, on a l'expression approchée :

+ 5AL?»(«4-eA,y+eA,^ + tO+9'ir(«+t'A, y+f'*, z + t'l)] + ;'[?'.(« + »^, y + «*, « + tO+9'.(«+*'A, y + t'*, x + e7)].

Les quantités négligées sont ici du cinquième ordre en A, k, /; c*e&trà-dire que si on développe les deux membres suivant les puissances de ces quantités, les quatre groupes homogènes des termes du premier, du deuxième, du troisième et du quatrième ordre sont complètement identiques.

— 11 importe, à propos de l'usage des expressions condensées de la série de Taylor, de prévenir qu'à côté de ces expressions on ne connaît pas de limites priciêes des quantités négligées. Dès lors, ce n*est qu'à la suite de nombreuses applications numériques propres à chaque sorte de calcul , et comparées aux résultats complets obtenus par une autre voie, qu'on sera à la rigueur en droit de stipuler s'il est licite d'appliquer d'une manière courante au calcul considéré» l'expression condensée à laquelle on se sera arrêté.

A* PARTIE. — S II. Applications naiïtiqubs de la séru

DE TaTIOK condensée.

Ni* 9#li« Bmplei de la série e^ndemaée de Tajlor àr «me seule TariaUe pour dédaire d'«n ealenl déjà fait «Il BouTel an^le horaire, la latltwde n'nyaiit pas dianifé.

— <* L» formule (76) du n"" 200 fournit le moyen d'obtenir rapidement un nouvel angle horaire quand on en a calculé un quelques instants auparavant, et dans l'hypothèse qu'entre les deux observations la latitude n'a pas changé. Cette hypothèse ne convient, il est vrai, qu'au cas d'un navire au mouillage, ou sinon en panne ou en cape. Mais elle prépare par ailleurs k la solution générale de la môme question donnée au n'' 201^ Si on désigne par AP la variation de

l'angle horaire correspondant à la 4ifiéreDoe AH de lahMitevTt'Ia latitude et la déclinaison restant constantes, nous aurcMis, en tenant compte intégralement des quantités du deuxième ordre :