AH
rindice ^ ayant la signification mentionnée dans la question précédente.
Le premier terme de l'expression ci-dessus se détermine facilement d'après les indications du n"* 203. Mais le deuxième terme ne se présente pas sous une forme communie *, et il n'existe d'ailleurs aucune tabte pour en faciliter le calcul.
li"" 9%m. Bmpl^l fie la «érie «•ntleMflée tic Tayl^r à émmiL rmrêmMem p^Mr la réd««ito« fies êâmimmeem Imwkmîr^m» — La formule (77) du n* 201 donne aussi une nouvelle méthode de réduction des distances lunaires, qui nous parait trèscurieuse au point de vue mathématique, et très-suffisante dans la pratique. C'est incontestablement la plus élégante application que M. Rouyaux ait faite de ladite formule.
On sait que pour passer de la distance apparente A^ = AB, fig. SO, du n"" 74 , de deux astres à la distance vraie A, = A'ff . il suffit de faire
JEPPLICATION» NAUTiQUfiS HE Là StRIE Sm TAYLOR COMDEN«ÎE. 495
vftrier les deux hauteurs apparentes a et A de leurs corrections arithmétiques respectives da = + (p — R) pour la Lune A, et db= + (Ri— Pi) pour Je deuxième astre B. Or, dans cette opération, l'angle z au zénith demeure constant; par conséquent, on a les deux relations :
Ao = 9(a, Of z), Av=9(a + da, ^— d6, ji),
es^é^gniit par 9 la foaolioii qoi donne explicttament la Gaïdar de A^ eorreepondant à la relation bien connue :
ces ^0= sin a sin 6 + ces <t cos b eos 2.
On déduit de ce qui précède :
Av — Ao t= 9(« +rf«, è-'db. M] — 9(0, b, z).
Dès lors, en vertu de la formule condensée (77), il vient, en tenant compte intégralement des termes du second ordre :
A,-Ao = rf«9'«^a + Y, 6-^,jj) — rf69'Ja4 —, 6— j,«l.
On sait de plus, d'après le n* 71, que les dérivées — y', (a, 6, z) et— f\(a, 6, 2) sont respectivement représentées par les cosinus des angles A et 6 du triangle apparent AZB. Donc les quantités
—?'.(«+ yt *~Y' ^r^ —?'»(« + Y» b— y, zj seront ellesmêmes représentées par les cosinus des angles A^ et B^ d'un triangle A^ZB^ , que nous laissons au lecteur le soin de tracer, et qui a pour
éléments x, ^90* — a — -^ j , ToO* ~ j 4. — j . Par suite, on trouvera finalement :
At> as ^^da cos A^ + cf^cos Bf
Or, il est facile de voir msdntenant que les angles A^ et B^ peuvent être calculés, si l'on veut, au moyen d'un triangle ayant pour côtés
^«)o a^Ç), (90«6 + ^) et (\ + 1/2 (A,- Aj). Il
suffit évidemment pour cela que le côté A.B, soit égal à f\ + 1/2 (X — \)y II Test, en effet, aux très-petits près du second ordre; car en cette hypothèse on a :
A'B' a AB— «/acosÂ+^'^cosB; AtB| = AB— l/2(facoaA+l/2</6cosB; d'où:
A|Bt = AB + i/8 (A'B'— AB) = Ao + 1/2 (At, - A^)/
Nous arriyons ainsi à cette conclusion curieuse :
M6 APTUCATfONS NAUTIQUES IBUl SÉUE DE TATLORCOIIBENSÉR.
On tiendra confie de la tataUti dn termeê deê deux première oréfte se^ rapfortaeU aux correctiom de a et de b, si Von effectue la rédueUm d'une distance lunaire par la formule :
Ao = Ao — (/a cos A| + <^ cos B|,
les angles A^ et B^ étant d'ailleurs calculée à taide du triangle a^/amt pour côtés les c&tés du triangle apparent augmentés de leure
variations respectives-^^ x-, ^ — 5 — 21 ^ cest-à-^ire à Vaide du
triangle moyen entre le triangle apparent et le triangle vrai.
La différence 1/â (À, — A^) n'est pas connue d priori^ comme lés
varialious 1/2 da^ 1/2 dfr. Mais on la calcule avec une exactitude
suffisante en déterminant une valeur approchée A, de la distance
vraie d'après l'heure approchée de Paris déduite des chronomètres.
Et effectivement le mouvement propre de la Lune est en moyenne de
30" par minute ; par conséquent 1/2 (A, — A©) ne sera erroné de ce chef
que de 15", pour un écart de 1 minute dans l'heure de Paris déduite des
chronomètres. — Remarquons encore que le calcul préalable de A^ se
fait en trois lignes, grâce au logarithme de -™- qui se trouve tout
donné dans la Connaissance des temps. Ce calcul n'entraîne donc aucune longueur sérieuse; et il sert incidemment à prévenir des fautes de signe susceptibles d'être commises dans l'expression (Ao — da€osA^-4- d^cosBJ de la fin du calcul, puisque l'on a d'avance une valeur approchée de A».
Les avantages inhérents au mode de réduction du n** 71 sont attribuables à la méthode précédente de M. Rouyaux, qui toutefois cesse d'être applicable quand on ne peut compter que sur une heure approchée de Paris erronée de plus de 1 minute. Une discussion approfondie de ladite méthode ne saurait trouver place ici. Il suffit actuellement de dire qu'une étude attentive amène à conclure que :
La réduction des distances lunaires par la série de Taylor condensée ne donne^ quand elle est applicable^ plus de 1" d'erreur qu'avec les distances inférieures à lô"", et cela pour toutes les latitudes où ton est appelé à naviguer couramment^ c'est-à-dire entre 60* N*" et ÔO^'S'.
Elle suffit donc amplement avec toutes les distances fournies par la Connaissance des temps.
Pour achever la question, il reste à en donner une application nu-
ArPLfOATioifs lïAtmonsswr la sflus 0h tatlor condensée, m
fliérique. On troa^ehi oètte a|q)Iîcatk»t«u tm os CAUcn 9 M de la fin du texte : ce tjpe est suffisaniEient explioîle par lui-même pour ne nécessiter ici aucun développeimnt auxiliaire.
If" moi. Bmptoi fie la «érie ••«tieiàsée tic Vmjlmr A ir*i« variables pmur tlédalre, avee la LaMe, tl'vM ealcol MJ4 fal$ plaslears Maaveaax anirlea horaires. — Il convient de signaler une application dont est susceptible la formule condensée (78) du n* 201 :
9{x + h,y-^K 24-/)-9(ar,y,z) = A9',fa:4--, y + j, z + ij
dans laquelle figurent cette fois trois variables indépendantes, recevant chacune un accroissement arbitraire.
L'application dont il s'agit se présentera quand , par temps brumeux , coup de vent, etc. , on aura observé la Lune d'une manière discontinue. Dans les mauvais temps, il arrive fréquemment que le Soleil reste caché toute la journée, et que la Lune se montre au contraire pendant la nuit. Comme, près des côtes, on a un grand intérêt à reconnaître le plus vite possible sa position, on prendra alors quelques hauteurs, quand la Lune apparaîtra dans l'éclaircie de deux nuages. Il s'agit d'utiliser ces hauteurs assez écartées les unes des autres, en ne faisant, bien entendu, qu'un seul calcul d'angle horaire avec la hauteur intermédiaire. Eu égard à la rapidité du mouvement en déclinaison de la Lune, il y a lieu ici de tenir compte des trois variations simultanées : AH de la hauteur, AL de la latitude, et AD de la déclinaison. La formule (78) donne, en tenant compte intégralement des termes du deuxième ordre :
"="©,-Oj-»(»V
rindlce " signifiant tonjours que les élâhents variables doivent être angmentés de leurs accroissements correspondant à 1/3 aH, 1/2 AL et 1/2 ÀB.
Remarquons que 1/2 AL et 1/2 AD atteignant au plus quelques minutes, on pourra les négliger dans les éléments (L+1/2AL) et (D + 1/2 AD), et ne pas tenir compte de leur influence sur Z. Il viendra alors simplement :
cosLsin^Z+l/SAaZ) cosL
Nous avons vu aux n*»* 202 et 206 la manière de calculer les deux
4S8 APPLIGATION S NAUTIQOES DB LA SÉRIE DE TAYLOR GOtU>EMStt«
premiers fermes, aa moyen des TABLES de IL Perrin. — Quant aa troisièiue terme, on Taura facilemeitt ; cm*, si on différentie l'équation fondamentale du triangle de position par rapport à P et à D» et qu'on néglige l'influence de 1/2 AL et 1/3 AD eur P, <m trouve sans dîfieullé :
tgL tgP
8iïr(P + i/ÎA.P) (tg P + 1/8 A.P)'
à hP ayant la même signiilcatioii qu'au n« %K,
Or cette expression se calcule en entrant dans lesdites iable$ (là ou elles donnent les deux parties du coefficient Pagel), avec la latitude comme déclinaison, et la déclinaison comme latitude.
Exemple. Dans les mêmes conditions qu'à l'exemple du n* 205, supposé d* ailleurs se rapporter présentement à la Lune, on a trouvé 21»00' pour une deuxième hauteur prise 33 minutes après la première* — La latitude ayant varié de + 4' ®^ la déclinaison de + y, c'està-dire la latitude étant devenue âS'^Oi' N* et la déclinaison 1*57S*, on demande le deuxième angle horaire.
Calcul de ( —- ) par les Tables de M. Pcrria :
Tabie L ^^ = N?4»
' 8Îii(P-f i/iA.P) tin (^99^ ^'^
tg(P+l/^.P) tg(--^) J^ Somtne aigibriqne = — t^
produit i
Noua avons déjà trouté audit exemple :
cosL Ou a, en outre, ci-contre adroite :
Somme algébrique AP=+ SH4'58''
Un deuxième calcul d'angle horaire fait directement avec la hauteur de 21*00', la latitude de 48*04' N^ et la déclinaison de 1»57'S*, aurait donné F = — 64*66'18''; d'où :
Ceci assigne au résultat fourni par la formule condensée une erreur de 29" geulementy quantité absolument négligeable dans Thypothèse d'observations de nuit et de mauvais temps oà nous nous sommes placé.
