T QI

le numérateur et dans le dénominateur, et diviser le reste par

l'unité diminuée de la raison. On trouve ainsi les sommes demandées. Mais comme la division doit être effectuée dans le numérateur aussi bien que dans le dénominateur, on peut l'omettre. La part

qui revient à B est alors

C12 Numérateur i

gi2

Dénommateur i

Or, il est certain que le produit de la somme et de la différence de deux nombres est égal au carré du plus grand nombre diminué du carré du plus petit. Car en multipliant la somme des deux nombres par le plus grand seulement, on trouverait pour résultat la somme du carré du plus grand nombre et du produit des deux nombres; et en multipliant cette somme par le plus petit nombre, on trouve le même résultat, mais cette fois avec le carré du plus petit nombre. En soustrayant ces deux produits l'un de l'autre, on obtient un reste égal à la différence des deux carrés. Dans la fraction considérée le numérateur est la différence de 2 nombres, et le dénominateur la différence de leurs carrés. Il s'ensuit que si l'on divise le dénominateur par le numérateur, on trouve l'unité dans le numérateur et la somme des nombres dans le dénominateur ; la part de B est donc i

ei2 912'

OU bien, si l'on rend le numérateur et le dénominateur entiers,

9" + 5' La part de A est donc 5"

et la chance de Aest à celle de B comme 244140625 est à 2 JS 242953648 1 . Le théorème que nous venons de démontrer et qui nous a servi à simplifier la fraction considérée n'a pas besoin d'être démontré pour ceux qui connaissent l'algèbre : nous avons donné la démonstration pour ceux qui n'entendent que l'arithmétique ordinaire. Le nombre devant lequel est placé le signe + doit être ajouté à

celui qui précède ; mais celui devant lequel se trouve le signe — doit être retranché du nombre précédent. Lorsqu'on écrit 5'*, cela veut dire qu'il faut douze fois multiplier le nombre 5 par lui-même : de cette façon 5- est égal à 25, 5^ à 125, 5^ à 625, etc.

Nous ferons voir par l'exemple suivant que la même méthode peut être emplovée lorsque les nombres des pièces de monnaie de A et de B ne sont pas les mêmes.

Deux personnes A et R jouent avec 2 dés ordinaires. A a deux pièces de monnaie, B en a 5. A donnera une pièce à B lorsqu'on jette T2 points. B en donnera une à A lorsqu'on jette 11 points. On demande la chance de chaque joueur.

A a 2 chances de gagner une pièce de monnaie contre B une chance. Supposons que la chance de A ait encore la valeur de 1 florin, lorsqu'il ne possède plus que i pièce de monnaie.

Il y a en tout 3 chances ; elles valent 3 florins. Parmi elles il y a une chance qui vaut o, les deux autres valent donc ensemble

3 florins. Cela fait 1 ^ florin pour chaque chance, ce qui est la

part de A lorsqu'il a 2 pièces de monnaie. Nous calculerons maintenant la part qui lui est due lorsqu'il a toutes les pièces : cette part doit être égale à l'enjeu.

Chances

A I , lorsqu'il a 3 pièces de monnaie.

A i^, lorsqu'il a 4 pièces de monnaie.

A I—., lorsqu'il a 5 pièces de monnaie.

A i-~, lorsqu'il a 6 pièces de monnaie.

Oo,

A I t"', lorsqu'il a 7 pièces de monnaie. On dit alors: l'enjeu étant i /', A a droit à i-; lorsque l'enjeu est 1, on trouve donc pour la part de A et pour celle de

P> "^ . Leurs chances sont donc entre elles dans le rapport 96 : 31,

c.à.d. A peut parier un peu plus de 3 contre i qu'il gagnera.

Si dans l'exemple précédent A devait donner i pièce de monnaie à B lorsqu'on jette 8, et B i pièce de monnaie à A lorsqu'on jette ô points, les chances de gagner une pièce de monnaie seraient égales, donc dans le rapport i : i. Si alors la part de A est égale à i florin lorsqu'il ne possède plus qu'une pièce de monnaie, sa part serait de 2 florins lorsqu'il a 2 pièces, de 3 florins lorsqu'il en a 3, etc. Les chances des joueurs ont alors entre elles un rapport égal à celui des nombres de pièces de monnaie que chacun d'eux possède. En ce cas la chance de A est donc à celle de B comme 2 est à 5. Mais lorsqu'il y a

plus de 2 joueurs le problème est plus ardu. Nous ferons suivre ici un exemple où il v a trois joueurs.

Il y a 3 joueurs A, B et C qui jouent avec 2 dés ordinaires. A a 3 pièces de monnaie, B en a i, C en a 2. A recevra une pièce de B et une de C lorsqu'on jette y points. B gagne une pièce de A et une de C lorsqu'on jette 6 avec les mêmes dés, et C une pièce de A et une de B, lorsqu'on jette 5. Celui qui n'a plus de pièces, sort du jeu et les 2 autres continuent à jouer. Celui qui obtient le premier toutes les 6 pièces de monnaie, est vainqueur. On demande le rapport des chances des trois joueurs entre elles.

Réponse. Les chances de A, de B, et de C sont entre elles comme les nombres 442301036382, 23692678875 et 90101841 776. Ce sont là les nombres demandés.

Fin du Calcul des Chances au moyen de l'Arithmétique.