IT
Retranchez 280 de 792. Il reste 512. La chance de A est alors à celle de B comme 280 est à 512, ou comme 35 est à 64, dans l'hypothèse que A ne doit avoir ni plus ni moins de 3 blanches parmi les 7 fiches. Mais comme on pourrait également interpréter l'énoncé du problème en ce sens que A gagnerait son pari si parmi les 7 fiches il en tirait plus de 3 blanches, aussi bien que lorsqu'il en tire 3, il faut calculer de combien de façons on peut prendre 8 fiches 3 à 3: les 4 fiches blanches ne pouvant être prises que d'une seule manière.
il vient 56 336
La chance de A sera à celle de B comme 336 est à 456 ou comme 42 est à 57. C'est là le résultat demandé.
V. Ayant pris 12 pièces de monnaie chacun, A et B jouent avec 3 dés à cette condition que lorsqu'on jette 11 points, A doit donner une pièce de monnaie à B, mais lorsqu'on en jette 14, B doit donner une pièce de monnaie à A, et que celui-là sera vain queur qui sera le premier en possession de toutes les pièces de monnaie. On doit trouver que la chance de A est à celle de B comme 244146025 est à 282429536481.
Avec trois dés on peut faire 27 coups qui donnent 11 et 15 coups qui donnent 14 points. Le rapport de ces nombres est égal à 9:5. Supposons que lorsque B a une pièce de monnaie, et A toutes les autres, B ait encore droit à une partie de l'enjeu égale à I florin. La valeur totale de ses chances est alors de 14 florins. 1)
Parmi ces chances il y en a 5 qui lui donnent zéro, les 9 autres qui lui donnent 2 pièces de monnaie \alent donc ensemble 14 florins.
La valeur de chaque chance est donc de i fl. C'est là la part de
B lorsqu'il a deux pièces de monnaie. Pour calculer, en partant de là, quelle est sa part lorsqu'il a 3 pièces de monnaie, nous remarquons, comme auparavant, qu'il y a en tout 14 chances,
I : On ]-)eut se figurer qu'au lieu d'un joueur B, il y en a 14. Parmi ceux-ci il y en aura 5 en moyenne qui perdront une pièce de monnaie et 9 qui en gagneront une. (N. d. tr.,
ayant une valeur moyenne de i^ fl., ce qui fait en tout 21 florins.
Parmi celles-ci il y a 5 chances pour lui de posséder une pièce de
monnaie; sa part est alors de i florin ; ce qui fait 5 florins pour les
=; chances. Si nous retranchons ce nombre de 21 , il reste 16- •J 9' 9
pour les g autres chances, ce qui fait i„ fl. pour chacune d'elles.
C'est là la part de B lorsqu'il a 3 pièces de monnaie. On trouve de la même manière la part de B lorsqu'il a 4 pièces de monnaie, par le calcul suivant :
Toutes les chances 14. — Itç-
q i8s— ( fl. 2 — , lorsque B a 4
divisé par g (, pièces de monnaie.
En continuant de la même manière on doit chercher la part de B lorsqu'il a 12 pièces de monnaie, et ensuite sa part lorsqu'il a 24 ou bien toutes les pièces de monnaie. En prenant le premier de ces nombres pour numérateur et le dernier pour dénominateur d'une fraction, et en simplifiant cette fraction, on trouve la part cherchée de B.
I pièce I fl.
2 pièces
pièces
pièces
fl.
fl.
Mais si l'on remarque que la part à laquelle B a droit augmente chaque fois qu'il gagne une pièce de monnaie, de telle manière que les nombres qui représentent ces accroissements forment une progression géométrique, on voit qu'il suffit de prendre la somme des termes d'une progression géométrique, dont le nombre de termes est égal ;\ celui des pièces de monnaie de B, qui commence |)ar l'unité et dont la raison
est ^ . Cette somme est le numérateur, l'our trouver le dénomi-
nateur, on prend la sommt^ d'un nombre de termes de cette même progression égal à la somme des nombres de pièces de monnaie de A et de B. Or, pour chercher la somme d'un certain nombre
de termes de cette progression, il faut prendre le premier terme,
