J2.11.JO.9.8.7.G

On peut donc mettre 35 contre 64.

Dans l'année 1710, on a tiré à Paris une loterie dite loterie de Lorraine. Le prix de chaque lot était de 10 sous. Il y avait un million de lots. L'organisateur de la loterie qui recevait donc 500000 florins, en rendait 425000 sous forme de 20000 prix. Et pour offrir au public un avantage en compensation des 75000 florins qui lui restaient, il avait fait encore cette condition en faveur des joueurs, que toute personne qui aurait pris cinquante lots et qui n'aurait obtenu aucun prix, rentrerait en possession de ses 25 florins.

L'Auteur de 1',, Analyse" que nous avons déjà nommé plusieurs fois a proposé à ce sujet aux mathématiciens dans le Journal des Sçavans du mois de Mars 171 1 1) le problème suivant.

Cinquième Exemple.

Si l'on suppose que chaque joueur achète 50 lots ou un nombre de lots divisible par 50, on demande quelle somme l'organisateur de la loterie devra payer en vertu de la condition nommée.

M. Nicolas Bernouli.I de Bâles a donné la solution suivante de ce problème dans le Journal des Sçavans du 13 Juillet 1 71 1 2).

On peut comparer cette loterie au jeu suivant. L'organisateur peut être censé avoir 20000 dés avec un million de faces chacune, dont 50 seulement sont marquées et avoir parié de jeter au moins une des faces marquées. Le nombre de cas défavorables est 999950-°°°°, et le nombre total des chances 100000020000, \\ s'ensuit que la condition d'après laquelle il doit rendre l'argent à ceux

qui n ont aucun prix en =;o lots, lui coûte ~ — X 2s,c.a.d.

en tout ,< c^oooo florins, ou, comme on trouve au moven

de logarithmes, 184064 florins et environ dix sous.

L'auteur de 1', .Analyse" trouve la même réponse à-peu-près de

i~ On trouve ce problème dans le Journal des Sçavans, public à Amsterdam chez les Janssons à WaesbercîE, dans le numéro d'Avril 171 1. iN. d. tr.j

2 La solution de N. Bernoulli se trouve dans le numéro de Septembre 171 ).

(N. d. tr.)

la même manière, ce qui m'étonne parce qu'il avoue lui-même qu'on devrait chercher la réponse à l'aide de combinaisons. Mais il pensait qu'on n'avait pas découvert la voie pour y parvenir. Toutefois le problème n'offre en vérité aucune difficulté, car c'est un cas particulier du problème suivant. Posons loooooo, le nombre de lots, =c; 20000, celui des prix, = a, l'enjeu total = p; posons encore c — a, le nombre des non-valeurs = b. Le cas est analogue à celui où l'organisateur de la loterie aurait a + b fiches, à savoir a noires et b blanches, et où il aurait parié d'avoir au moins une

iiche noire parmi les premières fiches qu'il en tirerait, c.à.d.

qu'il perdrait si elles étaient toutes blanches. Alors, dans la for-

mule précédente, n := zéro, chaque lot vaut florins, - lots valent donc florins. L'organisateur devra donc payer en moyenne

c,^ P\^b,b— I. b — 2 . b — 3, etc.

pour lots - X -^ florms.

^ ^ c . c — I c — 2 C — 3, etc.

Le nombre des termes du numérateur et celui des termes du

dénominateur doivent être chacun égal au nombre d'unités que

contient le nombre . La somme totale que l'organisateur de

la loterie doit payer en vertu de cette condition est exprimée par

1 r 1 t) . b — I . b — 2 . b — 3, etc. T , ^ - .

la lormule p z= — r=r — = — . Les termes du numérateur

c . c — I . c — 2 , c — 3, etc.

€t du dénominateur sont les mêmes que précédemment ; mais comme ils auraient chacun 50 termes et que ce serait un grand travail que de les multiplier l'un par l'autre, nous avons inventé une méthode pour en chercher approximativement la valeur numérique à l'aide de logarithmes. C'est la suivante :

Le log. de looOOOO est 20000000 Le logar. de 999951 est 59999787 „ „ „ 98OOOO „ 19912261 „ ,, ., 979951 .- 59912043

87741-, ce qui, multiplié par 50. donne 438075. Le reste est évident.

Pour trouver le nombre qui correspond avec ce logarithme, ajoutez-y le logarithme d'un nombre arbitrairement choisi, mais tel que la somme ne peut être trouvée dans la table que tout justement. Je prends celui de 3600, ce logarithme est 35563025. On a donc 39950100. Le nombre qui correspond avec ce logarithme

est environ 9885 .

9885 3600 — 20000 j il a donc 7283- i) chances de perdre 25

florins, ce qui fait 182080 florins.

Cette réponse est différente de celle trouvée par les Messieurs nommés plus haut. Mais il m'est impossible de voir que le problème avec les dés que ces Messieurs ont eu l'idée de substituer au problème de la loterie, est analogue à ce dernier 2). Cela se voit mieux par l'Exemple suivant.

Sixième Exemple.

Supposons qu'il y ait 6 lots à fl. i la pièce, et 2 joueurs A et B qui prennent chacun 3 lots. Il y a 4 non-valeurs et 2 prix. Si un des joueurs n'obtient aucun prix, on lui rendra ses 3 florins. Admettons qu'on tire d'abord d'un côté les trois lots de A, de l'autre trois billets pris au hasard parmi les billets qui correspondent à tous les prix et à toutes les non-valeurs. C'est la même chose que si l'on tirait les lots de A et ceux de B dans un ordre quelconque. On voit alors par la théorie des combinaisons que 6 lots peuvent être tirés 3 à 3 de 20 manières différentes, à savoir:

^ 3 nonvaleurs -x

chances de tirer j 2 non-valeurs et i prix i

t I non-valeur et 2 prix ,)

florins