partie de ^. Le reste est alors ~ X ^. Au troisième coup nous avons
de nouveau droit à la sixième partie de ce reste. Le reste sera
alors -7- X V- X ^ • Six est le nombre total des chances ; donc c = 6. 6 6 6
Le nombre des chances défavorables a A est 5 au premier coup.
Si on lui permet de jeter x fois, sa part est exprimée par i ;;:
ou. si l'on pose c — b = a, il a a chances de gagner du premier
coup. Sa part est donc -. En soustrayant cette fraction de l'unité
on voit qu il reste i — ou — . Après cela il a a chances de
gagner ce reste. Le nombre total des chances est c. Le prix du
ab
deuxième coup est donc — . En soustrayant cette fraction de ^ ce
— , on voit qu'il reste — . Il appert par là que le prix du troisième
abb , . ab^ . , 1 • v 1
coup sera -3 , du quatrième -^, etc. A a donc droit a la somme
a , ab abb , ab^ , ab* , ^ ^ u j t
— + — + - —„- + —y- + — r + etc. Le nombre des termes c ce c* c* c^
doit être x. La somme de ces termes, c. à d. la part de A, est,
l^: Four comprendre ce passage, il n'est pas nécessaire de connaître les règles du jeu ,,bruyten". Nous avons omis la dernière question relative à ce jeu, à laquelle cette remarque ne s'applique pas. (N. d. tr.
comme nous l'avons dit plus haut, i — — . Ce nombre doit être
égal à (car si l'enjeu de A est r et celui du second joueur p,
l'enjeu total est p + r, et la part qui revient à A est — — YNous
trouvons par réduction de cette équation
En prenant le logarithme des deux membres et en tirant x de l'équation, on trouve
log. p + r — log. p.
log. c — log. b.
Premier Exemple.
Supposons qu'on demande en combien de coups on pourrait parier (i contre i) de jeter 2 six avec 2 dés ordinaires. En ce cas p = r=i, c = 36 et b = 35. On trouvera: en 24 à 25 coups.
Deuxième Exemple.
Mais si l'on veut parier 10 contre i, on trouve 84 à 85 coups, et si l'on veut parier 3 contre i, 49 coups et une fraction.
Troisième Exemple,
Mais si l'on voulait parier i contre 2, ou trouverait 14 à 15 coups, et si l'on voulait parier i contre 3, 10 coups et une fraction.
Quatrième Exemple.
Si l'on veut parier i contre i de jeter 3 six avec 3 dés ordinaires, on trouve 149 coups. De même on peut accepter de jeter 4 six avec 4 dés en 898 coups à-peu-près.
Cinquième Exemple.
En combien de fois peut on parier i contre i d'avoir tous les 4 as parmi 9 cartes qu'on tire d'un jeu de 36 cartes? On a c = 935, b = 933, r = p=i. On trouve la réponse suivante: en 324 coups.
Sixième Exemple.
On veut parier i contre i de tirer 4 cartes, une de chaque couleur, d'un jeu de 40 cartes, dont 10 de chaque couleur. En ce cas p = r=i, c = 9i39 d'après le premier Exemple du premier Problème, et b = 8139. On trouve alors qu'il y a avantage à faire le pari, si l'on peut tirer 6 fois.
Septième Exemple.
Si l'on veut parier i co.itre i de jeter i, 2, 3, 4, 5, 6 avec 6 dés ordinaires, on doit pouvoir faire 45 à 40 coups.
Huitième Exemple.
Mais si après avoir jeté les dés nous avons le droit de retourner en notre faveur l'un quelconque des dés, pour obtenir i, 2, 3, 4, 5, 6, ou aura c = 8i, b=6i, p = r=i. On trouvera alors qu'il y a avantage à faire le pari si l'on peut jeter 3 fois.
On peut trouver la solution du Problème proposé d'après une méthode difïérente. Nous commencerons par supposer les enjeux égaux, et par chercher les limites entre lesquelles x doit se
trouver. Posons r = n. On a alors ( i H — ) = -•
Élevant i -\ — à la puissance x, nous avons
I + - H \r 3 H i ~ + etc. =2.
Si l'on pose n = i, il s'ensuit x= i, ou x := i . n. C'est là la première limite. Mais x a nécessairement une valeur inférieure à celle donnée par cette dernière formule. Pour le faire voir, posons
II == ^. Alors X est également fv. L'équation sus-énoncée devient alors
i -\ 1 1 S H z + etc. = 2.
Si nous posons — = y, nous aurons
2 ^ I + V + - yy + 7 y3 -4- -- v** + etc. jusqu'à l'infini.
Or cette série a une somme dont y est le logarithme hyperbolique ; y est donc le logarithme hyperbolique de 2 i). Pour trouver maintenant la grandeur du logarithme hyperbolique de 2, il faut dire: le logarithme de 10 qu'on trouve dans les tables, c. à d. 1,00000, est au logarithme de 2 qu'on trouve dans les tables, c. à. d. à 0,301030, comme le logarithme hyperbolique de 10 qui vaut 2,302585 (,, Analyse démontrée" par ReinaUT, 2) p. 710) est au logarithme hyperbolique cherché. Ceci donne y ^= 0,693147
environ ; x est donc à-peu-près — — n, et c'est là la deuxième
limite. Elle donne pour x une valeur qui se rapproche d'autant plus de la véritable valeur que x est plus grand.
Si l'on demandait en combien de coups on pourrait jeter 2 six avec 2 dés ordinaires, on aurait n = 35. Multipliez ce nombre par
693 , ^ ,., vous trouverez comme auparavant 24 a 25 coups. Lorsqu il
s'agit de jeter 3 six avec 3 dés, on a n = 215. En multipliant
, 693147 ce nombre par , on trouve 140 coups comme auparavant.
Mais si l'on veut jeter 4 six avec 4 dés, on a n = I2()5: on trouve alors 897 à 898 coups.
Si l'on veut résoudre le 5"-''"«= Exemple de cette manière, on a c = 935, b = 933. La différenie de ces nombres est 2. En
divisant 933 par 2, on trouve n = 460^, et en multipliant ensuite
693147 par — , on trouvera ^23 a ^24 tirages,
Proposons-nous en second lieu de chercher la limite lors(jue les enjeux sont inégaux; par exemple lorsqu'on veut jouer 10 contre I comme dans le deuxième Exemple. On opère de la même fa^on ; seulement au lieu de chercher le logarithme de 2, il faut maintenant chercher dans la table celui de 11. On trouve de cette manière y = 2,3979, et en multipliant ceci par 35, on obtient 84 coups environ.
I^ Dans nos notations: eV = 2, ou y ^ loge 2. 'N. d. tr.
2' ,, Analyse démontrée ou Manière de résoudre les problèmes de niaihcuiaiii|ues", 1708, par Ch. R. Reyneau. (N. d. tr.)
Supposons X connu et soit demandé quelle est la part de l'enjeu auquel les deux joueurs ont droit. Si A doit avoir i ^,B a droit
à -. On peut calculer cela directement, mais si x est un grand
nombre, le calcul approximatif par les logarithmes est beaucoup plus court. Multipliez à cet effet par c^ la part de A aussi bien que celle de B et divisez le produit par b''. A est alors à B comme
T est à I. Prenez le loo-arithme de c diminué de celui
de b. Multipliez la différence par x ; cherchez le nombre qui
correspond à ce logarithme ; retranchez en l'unité. Vous aurez alors
la part de A, celle de B étant supposée égale à l'unité.
Neuvième Exemple.
Si l'on nous demandait de jeter i, 2, 3, 4, 5, 6 en 100 coups avec 6 dés ordinaires, combien pourrions nous mettre contre i ?
En ce cas c = 324, b = 319. Le logarithme de 324 est 25105450, et celui de 319 est 25039707. La différence de ces nombres est 65743. Multipliez par 100; il vient 6574300. Le nombre qui correspond avec ce logarithme est environ 4 — . Si nous en retran-
chons 1, il reste ^ — . Un pourrait donc parier ^ — contre i. ou ^125 ^ ^ 125
443 contre 125.
On voit aisément que la règle énoncée au commencement du Problème considéré, permet aussi de résoudre la questioi\ suivante.
A promet de donner 1 florin à B s'il jette 6 points du premier coup avec un dé ordinaire, 4 florins s'il jette 6 au deuxième coup, 9 florins s'il jette 6 au troisième coup, j6 florins si c'est au quatrième coup seulement qu'il jette 6, puis 25, 36. 49 florins, etc. Cette série se compose des carrés de tous les nombres entiers. On demande quelle est pour B la valeur de cette promesse.
Posant 6 (le nombre des faces du dé) = a, et 5 (le nombre des faces qui ne donnent pas 6) = b, on a a — b= i. La part
de B est représentée par la somme suivante d'un nombre infini de termes :
a aa a^ a"^ a^ a
Pour trouver la somme des termes de cette série agissez en sorte:
~ + — + -T- + -r + -'-- + etc. = I a a a a^ a* a^
2b 2 bb 2 b^ 2b*,, 2b
^ + ^- + -^ + -^ + etc. = — aa a^ a* a^ -^
Progressions géométriques.
2 bb 2 b^ 2 b'*
+ --—-\ r +etc.
2bb
aa
-t- etc.
+ etc.
etc. = etc.
Donc
