I -î b î; bb 7 b^ Q b* , 2 b 2 bb , 2 b^ , 2 b
-- + •'-+ ^ 4- ^- + --. + etc. = I + — + + -- + ^- + etc.
aaaa^ a* a^ a aa a^ a'*
jusqu'à l'infini.
Si l'on remarque que les termes de cette dernière série, h l'exception du premier, forment une progression géométrique, on trouve aisément que la somme de ces termes est i + 2b. Posant T + 2b = c on a
^3b^5bb^ 7A' + '^''+etc.=c, aa a^ a* a'
b 3 bb , Sb^ , 7b+ , ^ ^ . b
+ ---- + V + -' + etc. = C X - -,
aa a^ a* a^ a
bb , 3b3 , 5b* , , , bb
+ . + T + ^ + etc. = C X -,
+ -I- +etc. = cX — ,
+ •- + etc. = c X ■ T,
etc. = etc.
I , 4b Qbb i6 Vj3 2513"*
donc - +— + ^ 1 H - + etc. = c }- c X
a aa a^ a** a^
b bb b^ b-* ,
- + C X — + C X — + C X — + etc.
Cette dernière série est une progression géométrique dont la
ac
somme est r ou a c, vu que a — b ^= i.
L'avantage que B est en droit d'attendre est donc = 66. Mais si, au lieu de la série composée des nombres carrés, on avait pris les nombres 1,2,3,4,5 etc. sa part serait 6. Et si l'on prend i, 3-5) 7' 9' '^^> ^tc- ^^ P^^^ ^^^^ ^^ nombre c précédemment trouvé, c. à d. II. On pourrait proposer le même problème avec une série composée des nombres cubes, etc.
Troisième Problème.
Un nombre indéterminé de joueurs jouent avec des dés. A gagnera l'enjeu s'il jette un nombre déterminé de points. P> gagnera l'enjeu s'il jette un autre nombre déterminé de points; de même pour C, D, etc. A commencera par jeter i lois, B k fois, C 1 fois, D m fois, E n fois, F o fois, etc. Ensuite A jettera r fois, B s fois, C t fois, D V fois, E \v fois, F x fois, etc., et l'on continuera de la même manière jusqu'à ce que l'un des joueurs aura gagné. Quelle sera la chance de chacun d'eux?
Supposons que A doive jeter 12 points avec 2 dés ordinaires.
Alors, s'il consent à ne pas jeter une fois, on doit lui donner ^
de l'enjeu. 11 restera alors ■'^. Posons ce nombre = a. Si B doit
jeter 11 points, ou doit lui offrir ^^ de ce qui reste de l'enjeu s'il
consent à laisser passer son tour. Il restera alors „ . Posons ce
nombre = b, et de même c = le nombre correspondant pour C, d et e les nombres correspondants pour D et E respectivement. Nous résoudrons ici un problème de 3 joueurs; à l'aide de notre solution ou verra aisément comment on peut prendre un plus grand nombre de joueurs jusqu'à l'intini. Nous avons vu au problème précédent que les i coups que A peut faire au commencement ont pour lui la valeur i — a'. Pour les autres joueurs, si A renonce à jouer et qu'on lui paie l'indemnité à laquelle il a droit, il reste a'.
Après cela B fera k coups. Si l'enjeu total est i, sa part d'après le problème précédent est i — b*". Puisqu'il restait a', on trouvera donc que la valeur des coups que B peut faire au commencement est a' — a'b^. Retranchez ce nombre de a', l'enjeu qui restait ; il restera donc, après qu'on aura payé à B l'indemnité à laquelle il a droit, a' b'^. Pour l coups C devra recevoir i — c', lorsque l'enjeu est T ; mais puisqu'il est a' b"", on trouve que les coups de C ont une valeur a' b^ — a' b'' c'. Le reste de l'enjeu est alors a' b'' c\ Les r coups que A doit faire ensuite, ont la valeur a' b"^ c' (i — a"") d'après ce qui précède. Si nous retranchons cela de a' b^ c', il reste a' b'' c' a"". Après cela B jette s fois. Sa part, d'après ce qui précède, est donc a' b^ c' (a"" b' — a' b' c'). i) Et comme les parts qui reviennent à A, B et C respectivement pour les coups qu'ils doivent faire chaque fois, doivent avoir entre elles jusqu'à l'infini les mêmes rapports que lorsqu'il s'agit des premiers r coups de A, des premiers s coups de B et des premiers t coups de C, il s'ensuit qu'il suffit de partager a' b^ c' en raison des nombres suivants.
Somme a' b^ c' X (i — a' b' c'). Les parts des trois joueurs seront donc
f a' bk cl X ( I — ar) ^ I ar bs "et
J a> bk cl X (a«- — a-" bs)
I ar bs et '
a' bk cl X (ar b» — ar bs et)
[ i — ar b' et
Et en ajoutant à ces nombres la part qui revient à chaïun d'eux à cause des coups antérieurs (l'enjeu étant î), on trouve pour la part totale de chaque joueur
l) 11 faut lire; ,,Sa pari d'après ce qui précède, esl donc ai l)*^ c> a'' — ar h-* ). S nous relranchons cela de a' bk cl ar il reste a' bk cl ar h''. I .a pari de C", (pii jeUe t fois, est donc a' bk c' (ar bs — ar bs et . N. d. tr.
ai bl^ cl X (I — ar)
I — a"" bs et ' a» bk cl X (ar — a'' b^) I — ar bs et
C a' b*^ - a' b-^ c' + a- bk cl X (aj^j^^at- bs ct)
I — ar bs et
Mais pour trouver la part qui revient à chacun, lorsque le nombre des joueurs est quelconque, il faut remarquer que la chance de chaque joueur se compose d'une partie entière et d'une fraction et que la partie entière comprend deux termes, dont le premier est positif et le second négatif. Le second terme doit contenir un nombre de facteurs égal au numéro d'ordre du joueur dont on veut calculer la chance. Les exposants doivent être les nombres des coups que les joueurs font au commencement. Si l'on divise ce terme par le nombre qui donne le reste correspondant au joueur prénommé, ce reste étant élevé à une puissance égale au nombre des coups que ce joueur fait au commencement, on a le premier terme. Les facteurs eux-mêmes sont les restes a, b. c, d, e, etc. Pour trouver maintenant la fraction, mettez dans le numérateur tous les restes a, b, c, d, e, etc. Les exposants sont les nombres i, k, 1, m, n, etc. des coups que les joueurs peuvent faire au commencement. Ajoutez-y comme multiplicateur la partie entière; seulement les exposants, au lieu d'être égaux aux nombres des coups que les joueurs peuvent faire au commencement, doivent être égaux à ceux des coups réguliers, c. à d. à r, s, t, etc. Mettez alors dans le dénominateur l'unité et retranchez-en les premiers facteurs du numérateur, mais en changeant les exposants en r, s, t. etc. les nombres des coups réguliers. Vous aurez ainsi la part demandée.
S'il y a 6 joueurs, on trouve immédiatement par cette règle pour la part du cinquième joueur E
, , , , . , , , , ai bl<^ cl dm en fo X ar bs et dv — ar bs et dv e^
b'^c' d" — a' b'^c' d'" e" H — r — ri 7
' I — ar bs et dv e^ fx
Si l'on suppose que les joueurs ne font pas les coups préliminaires dont nous avons parlé, la partie entière de la formule disparaît ; on a alors i = k = 1, etc. = o. On \ donc alors
Voilà les chances qu'ils ont l'un par rapport, à l'autre. Mais si l'on veut savoir ici, comme dans la formule qui se rapporte au cas précédent, la part de l'enjeu qui revient à chacun d'eux, on peut considérer les nombres que nous venons d'écrire comme les numérateurs d'une fraction, dont le dénominateur est l'unité diminuée de a"" b* c', etc. Le nombre des termes doit être égal à celui des joueurs.
Premier Exemple.
Supposons que trois joueurs jouent avec deux dés, et que chacun puisse faire deux coups l'un après l'autre, A d'abord, puis B, ensuite C; que A gagne le jeu s'il jette ii, B s'il jette lo, C s'il jette 7 points. Quelle sera la chance de chaque joueur?
On a ici a = -,t' b = -- c = — ; r, s et t ont chacun la ib 12 6 '
valeur 2. On trouve donc pour la part de A 181440, pour celle
de B 239292, et pour celle de C 384659.
S'il y a deux joueurs et que A peut commencer par faire
quelques coups préliminaires et B de même, la formule pour A est
I — ar bs
Deuxième Exe m p 1 e.
Si A doit jeter 7 points et B 5 points avec deux dés, que B peut commencer par faire trois coups et A par faire i coup, qu'après cela A et B feront chacun un coup alternativement, on
a a=^-b= . k = ^, i = r = s=i. On trouvera alors 69^
pour la i)art de A la fraction
Troisième Exemple.
Supposons que A et B jouent comme auparavant avec 2 dés ordinaires à la condition que A gagnera s'il jette 7 et B s'il jette 6 points, c]u'ils feront alternativement 2 coups l'un après l'autre, A d'abord, B ensuite et que B pourra commencer par faire un coup. C'est là le premier des 5 derniers problèmes proposés par M. C. HUYGENS, dont la solution est une solution particulière comprise dans la formule précédente. En effet, la partie entière y est nulle et i = o,
la formule est donc dans le cas considéré — ^ , où a = -^^,
I — a'' bs 6
b ^= ^ • k = i, r :^ 2, et s = 2. On trouve donc pour la part
