II 1 T

de A — z^- et pour celle de B ^J-- 22631 ^ 22631

Quatrième Exemple.

Supposons que A gagne le jeu s'il jette 7 points et B s'il jette 9 points avec 2 dés, que B puisse faire 10 coups préliminaires, et qu'ensuite A fasse 3 coups et B 2 coups alternativement jusqu'à ce que l'un d'eux gagne le jeu. On trouve alors pour- la part de

A le nombre -~v 5 ' et pour B le reste.

Cinquième Exemple.

Supposons que 3 joueurs A, B et C jouent avec 2 dés. A

gagnera le jeu s'il jette 11 points. B s'il en jette 10 et C s'il

en jette 7. Ils feront chacun deux coups l'un après l'autre, A

d'abord, puis B, ensuite C, à la condition que A ne fera qu'un

seul coup la première fois. On demande quelle est la part qui

revient à chacun d'eux.

Dans la première formule de ce problème on a alors a = ^^^

b = ") c = y> i = I, k =^ 1 = r = s = t = 2. On trouvera pour 12 6

A 144737, pour B 253368, et pour C 407286.

On pourrait abréger la solution de ce problème en remarquant

que B fait d'abord 2 coups, puis C 2 coups, ensuite A, B, C. A

etc. le même nombre de coups, à la condition que A peut com-

12 6 iS

k = i = o, 1 = 1, r = s = t = 2, à cause de l'ordre des joueurs.

mencer par faire un coup. On a alors a == . b ^ ^' c :^ ^^

Comme B n'a pas de coups préliminaires, il faut ôter de la formule la partie entière, et i et k étant alors nuls, on trouve pour

B (c. à. d. pour A dans la formule sus-énoncée) ^^ Jli- ^"^ et ^ ' 1 — ar bs et

par là les mêmes réponses que précédemment.

Dans l'année 1685 M. JACQUES BerNOULLI a proposé les deux problèmes suivants dans le Journal des Sçavans.

Sixième Exemple.

Deux joueurs A et B jouent aux dés. Celui-là sera vainqueur tjui le premier jettera un nombre déterminé de points. A fera d'abord un coup, puis B, ensuite A en fera 2 et B aussi; puis A 3 et B également 3 coups, et ainsi de suite l'un après l'autre d'après une progression arithmétique ; ou bien A fera d'abord un coup, puis B 2 coups, ensuite A 3 coups, B 4 coups, etc. jusqu'à ce que l'un d'eux aura gagné le jeu. Quelle sera la chance de chacun d'eux?

Pour résoudre la première question, je remarque qu'il y a im nombre infini de joueurs, que A jette d'abord i fois, B également 1 fois, puis C et D chacun 2 fois, ensuite E et F chacun 3 fois ; et qu'ils se proposent tous de jeter le même nombre de points. Si l'on a calculé alors la part qui revient au nombre infini des joueurs de rang impair, on a la part de A dans le cas du premier problème. Le reste de l'unité constitue la part de B, Dans la formule qui précède le premier Exemple appartenant au Problème considéré, on a alors b = c = d = e:^a. De plus r = s = 1, t = V = 2, w = X = 3, etc. On trouve donc pour la part de A les progressions infinies suivantes

-\ 1 h + + etc.-a' -a+ -a'''-a'°-a^5 a36 a^y-etc.

ai a2 a3 a4 a5

La part de B est exprimée par

a + a* + a'^ + a'"* 4- a^s + ^30 -\- etc. — — r etc

a2 a3 a4 as

Dans le cas de la deuxième question la part de A est

I + a3 -f a"^ +a-'' -i- a"^ -|- etc. — a — a" — a's — a'^ — etc.

On voit aisément comment on peut continuer ces séries jusqu'à l'infini : on en trouve les termes de la façon suivante :

a3 a 7 a" a'^ (progr. géom.) I a 3 a'° a.^'

1 + a' + a^^ + a^^ + ^l^", etc.

et a^ a y a'3 a'' (progr. géom.)

— a — a^ — a'5 — a^^ — a'*^ etc.

Le reste de l'unité constitue la part de B.

Quatrième Problème.

Un nombre indéfini de joueurs A, B, C, D, etc. jouent aux dés en se proposant de jeter un nombre déterminé de points. 11 y a q. chances de ne pas gagner le jeu du premier coup. Le nombre total des chances que les dés présentent est r. A fera d'abord i coups, puis B, ensuite C, etc. feront chacun un nombre de coups tel que les chances de tous les joueurs seront les mêmes : on demande combien de coups il faudra accorder à chacun des joueurs suivants?

Le nombre - dans ce Problème correspond avec le nombre a

du Problème précédent. Posons p = le numéro d'ordre d'un joueur

quelconque, x = le nombre des coups qu'il doit faire. La part de

l'enjeu qui re\ient à A est i — a'. Avant le joueur qui a le numéro

d'ordre p, p — i personnes ont déjà joué. Pour les faire consentir

à laisser passer leur tour, il faudrait leur payer p — i X i — a' ou

p . — a' p — I -f a'. En retranchant ce nombre de l'unité, on trouve

2 — p + a' p — a'. Le joueur qui a le numéro p jette x fois

pour gagner cette somme ; sa part d'après ce qui précède

est donc ( i — a""). (2 — p + a' p — a') ou 2 — p + a' p — a' —

2 a"^ + p a"" — a' p a"" + a' a"". Cette expression doit être égale à

I — a'. On trouve donc

a--^ = I — p + ai p

2 — p + ai p - a'

Remplacez alors a par— et multipliez le tout par ri, vous trouverez

qx pXq' — p — IX r'

r^ p — I Xqi — p — 2Xr!

En posant g =r le logarithme du numérateur et h = celui du dénominateur, on a

Log r — Log q

Mais si le joueur dont le numéro d'ordre est p avait t chances <le manquer le premier coup, on aurait

Il — g

Log r — Log t ■'

Si l'on jouait avec 2 dés ordinaires à la condition que A commencerait par faire un coup dans le but de jeter 12 points, le trentième joueur devrait faire 5 ;\ 6 coups.

Deuxième Exemple.

Supposons que l'on joue avec trois dés ordinaires, que l'on se propose de jeter 3 six, et que A puisse commencer par faire deux coups. Alors un joueur qui aurait le numéro d'ordre 30, aurait le

droit de faire 3 coups. On pourrait faire cette objection t|a'il est impossible de faire coup. Il est possible toutefois de mettre

dans un sac 5 billets, dont i marqué. Si le joueur, en tirant aveuglément un billet du sac, obtient tout-de-suite le billet marqué, il a le droit de faire encore un coup. Sinon, le tour est au joueur suivant.

Cinquième Problème.

On jettera avec q dés ayant chacun p côtés marqués i, 2, 3, 4, 5, 6 etc. A t'Iiaque coup je paierai à mon adversaire un nombre de florins ou de sous égal au nombre de fois que se présente une face déterminée (par exemple la face 6). On demande ce qu'il devra me donner à moi, pour égaliser les chances, lorsque pas un seul 6 ne se trouve parmi les faces ([ue les dés présentent.

Posez p — I = s.

Pour mieux comprendre la métliode générale, nous lommencerons par raj:)pliquer à un cas particulier. Supposons que nous ayons 4 dés ordinaires. Il u'v a qu'une seule manière de jeter 4 six.

I L'auteur veut dire ([u'on trouve la nicnie formule lorsrjue le nombre île chances de niaii'iLier le premier coup est ililTcreut pnuv chaque joueur. Le nombre (| [coiileiiu dans les exprassions h et g] reprôseute alors ce nomi)re de chances pour le ])remier joueur. (N. d. tr.j

Le nombre 4 correspond à q. Trois six, vu qu'il y en a quatre en tout, peuvent être pris de 4 ou de q façons différentes. Mais comme chaque six peut être jeté ensemble avec un des 5 autres côtés (on a 5 = p — i = s), il faut multiplier s par q et le produit encox^e par q — i, puisque nous payons pour chaque 6 qui se présente. Deux ou (q — 2) six peuvent être jetés de 6 façons différentes, éar 4 objets peuvent être combinés 2 à 2 de six façons différentes, ce qui dans le language de l'algèbre s'exprime ainsi : q objets doivent être combinés (q — 2) à (q — 2) de toutes les

façons différentes possibles ; leur nombre est — ^ d'après la

théorie des combinaisons. Et comme 2 six peuvent être jetés ensemble avec 5 ou * faces du premier dé et aussi arec chacune des 5 ou s faces du deuxième dé, le nombre total des cas où

l'on peut jeter 2 ou (q — 2) six est — '- — ^^ — s^. Puisque nous devons payer pour chaque six, il faut multiplier encore par 2 ou (q — 2). Pour bien comprendre cela, il faut se rappeler cjue q objets peuvent être pris 2 à 2 d'un nombre de façons différentes égal à celui dont q objets peuvent être pris (q — 2) à (q — 2).

Quant au nombre de coups qui ne donnent aucun six, supposons que nous ayons 3 dés A, P> et C. Le i de A peut être jeté simultanément avec le i, le 2, le 3, le 4 ou le 5 de P. Il en est de même pour le 2, le 3, etc. de A. On peut donc avec les deux dés faire 5 fois 5 coups qui ne donnent aucun six. Or, le i du dé C peut être jeté simultanément avec chacune des 25 combinaisons qu'on peut former avec i face de A et i face de B; de même le 2, le 3 etc. du dé C. Par conséquent, on peut avec les 3 dés faire 25 X 5 coups qui ne donnent aucun six, c.à.d. s^ coups.

Nombre de six

q . q — I • q — 2 S^. . . . i^i^^^^:£i-ll^ . . q-4

Xs

Xs^

La somme de ces expressions est i +

sf

Xs^ +

X s3 + etc. multiplié par q.

Le nombre des termes de la progression précédente doit être q.

On trouve pour la somme de cette progression i + s X q, et

comme i + s = p, on trouve p'^^'Xq pour le nombre de florins ou de sous que nous devrons payer. Et le nombre de cas où nous

recevrons quelque chose à notre tour est p — i • i)

Premier Exemple.

En prenant des dés ordinaires on trouvera qu'en jouant avec

4 i dés, on recevra

6 I de nous 46656

sous ou florins, [- pour tous les six qu'on aura jetés.

Le nombre des coups possibles qui ne donnent aucun six est 4 ^ ^

L 78125, de sorte que, si l'on reçoit t sou pour chaque six, on devra nous payer environ sou lorsqu'on joue avec 2 dés chaque fois qu'on n'aura jeté aucun six, et de même sou environ en jouant avec 3 dés, à-peu-près i^ sou en jouant avec 4 dés, à-pcu-jirès 3 sous en jouant avec 6 dés, et un peu plus de 4 - sous tm jouant avec 7 dés. p o — I X q , . . ,

l) Nous recevrons donc ^—.=zzz-. — Honns ou s(nis, cliaiiuc lois c|u aucun ^i\ ne p - l'I

se trouve parmi les faces ([ue préseiitenl les dés. (N. d. tr.

Deuxième Exemple.

Mais lorsqu'on a un grand nombre de dés, on peut se servir de logarithmes pour éviter les longues multiplications. C'est ce que nous ferons ici pour 12 dés.

Le log. de 5 est 6989700 Le log. de 6 est 7781512

Mult. Mult.

10791812 log. de 12 96388444 83876400 125 12044

Le nombre qui correspond à ce logarithme est 17 environ. Il

taudra donc payer 17^ sous chaque fois qu'on n'aura jeté aucun

six. Nous avons trouvé de la même manière pour 18 dés 80 sous environ, pour 24 dés de même 318 sous, pour 48 dés 2527 florins

et 17"^ sous. Mais pour 1000 dés nous trouvons qu'il faudrait

mettre contre i sou un nombre de florins qui s'exprime par 1264 suivi de 77 autres chiffres.

Troisième Exemple.

A et P) jouent avec des dés ordinaires. Pour chaque six que l'on jette B recevra un sou de A, mais lorsqu'on n'aura jeté aucun six B donnera à A un million de florins. On demande le nombre des dés avec lesquels on jouera, afin que les chances des joueurs soient égales autant que possible.

En posant le nombre de faces de chaque dé = p, 20 millions de sous = a, et le nombre des dés = x, nous aurons par ce qui précède

On pourrait transformer l'équation trouvée en une autre et trou\er ainsi la valeur de x, mais nous nous servirons ici d'un procédé plus aisé. En multipliant les deux côtés de l'équation

précédente par — et en tirant la racine x on trouve

En prenant le logarithme des deux membres, on a

p__log a + p-x^, => p — I X

OU

log. a + p — X

log. p — log. vP— i)

Le logarithme de a est 73010300, celui de p est 7781512, et celui de (p — i) 6989700. On a donc, en posant log. x = y,

Pour trouver ensuite une valeur approchée de y, prenez x = 100. Le logarithme de ce nombre, c.à.d. y, est alors 200000. Alors

— s — y = 2S environ, d'où l'on tire x = 77. Nous prendrons cette 791812 J ^ ' 1 1 i

valeur pour voir combien la partie en question de y devient par

là plus petite. Le logarithme de 77, c.à.d. y, est 18864907; alors

„ — y = 24, ou x = 78 dés. (J'ai contrôlé ce calcul, et j'ai vu 791812 J ^' I \j < }

que le vrai nombre est entre 78 et 79). Cette méthode est fort

aisée et l'on ne peut nullement objecter que nous procédons par

tâtonnements, car si nous prenons x = 100, et que nous en tirons

y, et ensuite de nouveau x, nous en trouvons la valeur à i près,

quoique x ait été pris trop grand de 22. Il s'ensuit que la vraie

valeur de x doit être trouvée à peu de chose près si l'on part

d'une valeur de x qui n'en diffère que par l'unité.

Quatrième Exe m p 1 e.

Si l'on voulait mettre 1000 millions de florins contre un sou, l'équation serait

A l'aide de cette équation on trouve par la méthode précédente un nombre de 1 14 dés.

Cinquième Exemple.

Si quelqu'un a comme précédemment q dés possédant chacun p taces, dont une seule est marquée sur chaque dé et que les

l) Par log. a + p — x l'aïUcur cntciid ici log. a -f log. p log. x. N. <\ n

faces marquées forment une progression arithmétique ou géométrique ou carrée ou cubique, etc., et que nous voulons payer un sou pour chaque point que nous jetons, on demande combien nous devrons recevoir lorsque toutes les faces qui [se présenteront seront blanches.

Cet Exemple est à-peu-près identique avec le premier et le deuxième Exemple appartenant à ce Problème ; c'est ce qui ressort de la règle suivante.

Règle.

Cherchez la somme de la progression arithmétique, géométrique, carrée ou cubique à l'aidé des formules algébriques qui servent à ce but. \'ous trouvez ainsi le plus grand nombre de points qu'on peut jeter avec tous les dés. Divisez le résultat par q, le nombre des dés, multipliez le quotient par la formule des sous ci-devant trouvée, vous aurez ainsi le nombre de sous que nous devrons payer dans les conditions du Problème. En divisant ce nombre par celui des chances qui nous sont favorables, on obtient le résultat demandé. Remarque: Les chances qui nous sont favorables sont les mêmes que précédemment.

Si les nombres des faces marquées sur les dés forment une progression arithmétique commençant par l'unité et dont la raison est I, le nombre des termes de cette progression est q, et la

somme des points divisée par le nombre des dés est alors .

Multipliez cette fraction par p^i"' X q- H vient p'i~' V . C'est

là le nombre des chances que nous avons de payer i sou. Mais

il y a en notre faveur p — i chances.

Sixième Exemple.

Si l'on veut appliquer la solution de ce problème au cas de 6 dés ayant chacun 6 faces, dont 5 blanches, les 6 faces restantes étant marquées i, 2, 3, 4, 5, 6, on trouvera que, si l'on paye un sou

pour chaque point, l'on devra recevoir 10 — 7- sous lorsqu'on aura

jeté 6 faces blanches.

Si les dés étaient marqués d'après une progression géométrique dont le premier terme est a, et la raison b, le nombre des termes

étant q, la somme de la progression divisée par le nombre des termes serait

bq — I X a

Multipliez ceci par p"~'Xq- Vous obtiendrez ainsi la formule désirée donnant le nombre de sous qu'il faudra payer. C'est la formule suivante :

- bq — I X a

Nous pavons un sou pour chaque point. Lorsque nous n'aurons jeté aucun point nous devrons donc recevoir à notre tour

PA^Zl .. bq — I X a

q X ^ sous.

L'Exemple qui suit peut être traité d'une manière analogue. Toutefois on aurait pu également commencer par cet Exemple, et l'on aurait pu traiter en partant de là tous les Exemples qui précèdent.

Septième Exemple.

Deux personnes jouent pour savoir lequel des deux aura le premier le droit d'effacer quelques traits. A a encore m traits à effacer, et B n traits. A a s chances d'effacer un trait, B en a t. Quelle sera la part de chacun d'eux ?

Posons m f n — i = q. s + t = p. Pour résoudre ce problème nous nous imaginerons que A et B jouent aux dés, comme dans l'Exemple précédent.

Dans cet Exemple-là chaque dé n'avait qu'une face marquée, mais ici chaque dé a plusieurs faces noires. Il est donc nécessaire d'examiner de combien de façons ces faces noires peuvent être combinées entre elles.

Il est clair qu'avec q dés on peut obtenir de t^ manières que chaque dé présente une face noire ; car supposons que nous ayons trois dés C, D, E ayant chacun 4 faces blanches et 2 faces noires, alors les 2 faces noires de C peuvent se présenter avec les deux faces noires de D de 4 ou t t façons, et chacune de ces t t combinaisons peut se présenter avec une des t ou 2 faces noires de E. Nous aurons donc 8 ou t^ ou comme q = 3, t'' pour le nombre total des combinaisons possibles.

Faces blanches (nombre des combinaisons S S

possibles).

Chances

tq

ti

tq-4

tq-4

d'obtenir -]

Le nombre total des coups qu'on peut faire avec q dés est p'^. La part de B est alors représentée par la série suivante

X ti—^. s^ + etc.,

tq + 'i X tl-\ s + '^^ X t'^-

le tout divisé par p'^'. Le nombre des termes doit être m. Ce qui reste de l'unité constitue la part de A. On peut également obtenir cette part en remplaçant partout t par s, s par t, m par n.

Nous avons résolu le même problème par une voie différente^ et nous avons trouvé ainsi pour la part de P>

n. n+i n. n4-I'ii + 2^,,^

+ etc.,

n . n + I . n + 2 . n + ^ pm-4 + Z T TA X s+ X p'

le tout multiplié par t" et divisé par p'"+"~'. Le nombre des termes doit être égal à celui des unités de m. Ce qui reste de l'unité constitue la part de A. On peut également obtenir cette part en remplaçant m par n, n par m, t par s, s par t.

Et en supposant les chances égales, donc a = b = t, on trouve pour la part de B par la première formule

+ etc.

le tout divisé par 2'^. Le nombre des termes doit être égal à m. Mais en prenant un nombre n de termes, on a la part de A.

Mais si l'on suppose les chances égales dans la deuxième formule, on trouve pour la part de B

le tout divisé par 2". Le nombre des termes doit être m. Et la part de A devient

m ,1 .m.in + i i m.m+i.m + 2 i

le tout divisé par 2". Le nombre des termes doit être n.

Huitième Exemple.

Deux personnes A et B jouent avec deux dés. A effacera un

trait lorsqu'on aura jeté 8 points, et R lorsqu'on en aura jeté 6.

A doit effacer en tout 4 traits et B 5 traits. On trouvera alors

que la chance de A est à celle de B comme 163 est à 93, c. à. d.

A a droit à — . de l'enjeu, et B au reste. 256 J

Neuvième Exemple.

Mais si A a le droit d'effacer un trait lorsqu'on aura jeté dix

points, et B lorsqu'on en aura jeté 11, et que A doit effacer en

tout 4 traits et B 5 traits comme précédemment, alors m = 4,

n =^ 5, s = 3, t = 2, q = 8 et p = 5. On trouvera que la chance

de A est à celle de B comme 322785 est à 67840.

Dixième Exemple.

A et B jouent avec 3 dés pour gagner une somme d'argent déterminée. Ils déposent 24 fiches. Chaque fois qu'on aura jeté 11 points, A prendra une des fiches, et chaque fois qu'on aura jeté 14 points, B en prendra une. Celui qui a le premier 12 fiches, gagne l'enjeu. On trouvera que la chance de A est à celle de B comme 2ii552297i22453884o6G370544està 18033395764527611421850000. c. à. d. environ comme 47 est à 4.

Onzième Exemple.

Supposons (ju'il v ait 3 joueurs et que chacun d'eux doive effacer un certain nombre de traits, à savoir A i trait, B n traits, C m traits. On sait que le nombre des chancts de A d'effacer un trait est a, celui de B b et celui de C c. Soit a + b + c = d.

On trouve par notre formule pour la part dt> B

Il , Il . 11 -4- I V ^ . Il . 11 + I . Il 4- 2 ^ ,

d'"-'+ XcXd'"-^^- -^^-cc Xd'"-3-f -^ r^'>^

c3 X d— 4 + "•." + i>" + ^-"±3 X ^, X d.5 + etc.. 1.2.3.4

le tout multiplié par b" et divisé par d'"+"— . Si l'on remplace ensuite m par n, n par m, 1) par c, c par b, on obtient

la part de C. Ce qui reste de l'unité constitue la part de A. Douzième Exemple.

Trois personnes jouent. A doit encore effacer i trait, B 8 traits et C lo traits. On demande la part de chacun d'eux, lorsque leurs chances d'effacer un trait sont les mêmes.

Le calcul arithmétique, d'après la formule précédente, est le suivant:

10. II. 12.13. 14.15. 16.8.9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.16 ^ Uo—jf 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 1. 2. 3. 4. 5. 6. !7. 8. 9 I

jusqu au

ième

terme.

Élevez 3 à la puissance 1 7 (ce dernier nombre est la somme des traits que B et C doivent effacer — i); il vient 1 291 401 63. Retranchez-en les parts de B et de C, il restera 128545033 pour la part de A.

Treizième Exemple.

Trois personnes jouent avec 2 dés ordinaires. A effacera un trait lorsqu'on aura jeté ii points, B lorsqu'on en aura jeté id, et C lorsqu'on en aura jeté 9. A doit encore effacer i trait, B 2 traits, C 3 traits. On demande quelle est la part de l'enjeu qui revient à chacun d'eux.

Alors m =^3, n ^= 2, a = 2, b ^ 3, c = 4, donc d =- 9. On trou\e pour A 400, pour B 201, et pour C 128.

Quatorzième Exemple.

On demande quelle chance on a de jeter avec q dés ayant p faces chacun, un nombre b de six, de quatres etc.

Si l'on voulait jeter tous les six qui sont marqués sur les dés à trois six près, on aurait q — 3 = b ou 3 = q — b. l'renez alors s = p — I, ce qui donne

Le numérateur et le dénominateur de cette dernière fraction doivent avoir chacun un nombre de termes égal à q — b.

Quinzième Exemple.

Supposons que nous parions de jeter trois six. ni plus ni moins, avec 6 dés ordinaires. Nous aurons alors 12500 chances en notre faveur. Le nombre total des chances que présentent les dés, est 4G656. Il V a donc 3415G chances qui nous font perdre.

S e i z i è me Exe m p 1 c

Supposons qu'on parie de jeter au moins b six avec q dés ayant p faces chacun, marquées i, 2, 3, 4, 5, 6, etc. On gagnera donc le jeu lorsqu'on jettt' plus de b six aussi bien q.ie lorsqu'on en jette b.

On trouve pour la chance la lormulc suivante

p-i X l iL 3.__.^ etc. + p-i X

q . q-I . q-2 . cFi p-Z,'^-'-' X ±L^-ll3Z:^3lZl etc. + etc.

Les tr<'nilurcs ' * '^' -~ -^-~ etc. doivent avoir dans le luuiK'rateur

aussi bien que dans le dénominateur un nf)nibre de termes égal

au nombre d'unités que contiennent les exposants qui les précèdent, donc le premier (q — b), le second (q— b — i), etc. La série entière doit avoir un nombre de termes égal à celui des unités comprises dans (q — b+ i). On peut dire aussi qu'il faut continuer la série jusqu'à ce que (q — b — le nombre ordinaire) s'annule.

Dix-septième Exemple.

Si l'on a 5 dés ordinaires et qu'on parie de jeter au moins 2 six, nous avons p — i =5, q = 5 et b = 2.

On trouve alors 1526 chances en faveur de celui qui a fait le pari. Et s'il s'agit de jeter au moins i six avec 5 dés, 4651 des 7776 chances que présentent les dés sont en faveur de celui qui jette les dés.

On peut aussi se servir de la série suivante

pq p l4 - Xp-I ^-^ Xp— I —

- — ~ — X p^ — I — etc.

Le nombre des termes doit être (b + i). Cette série exprime également la part de celui qui parie de jeter du premier coup au moins b six, b quatres, etc. avec q dés ayant chacun p faces. La première formule est la plus commode lorsque b difïère peu de q, et la dernière lorsque b diffère peu de l'unité.

Dix- huitième Exemple.

A et B jouent un jeu où l'on se propose d'effacer un certain nombre de traits. La chance qu'a le joueur A d'effacer un trait surpasse celle de B d'autant, qu'il joue contre lui sans avantage ni désavantage, lorsqu'il a encore m traits à effacer et B i seul trait. On demande le rapport des chances d'effacer un trait qu'a chacun des deux joueurs.

Posons s = I. Alors (Septième Exemple) la somme des chances de A et de B est (i + t)i . La part de A doit consister en un seul terme, à savoir s^ qui est égal à i. Et comme les chances des deux joueurs sont égales on a (i + t)'^ = 2 ou (r + t) = IV^ 2 ou t = — I + \/ 2. Or m = q. La chance de A d'effacer un trait est donc à celle de B comme i est à — i + V/ 2.

D i X - n e u V i è m e Exemple.

Si A avait encore 7 traits à effacer et B un seul trait, on trouve aisément en se serv'ant de logarithmes, cjue la chance de A serait à celle de B comme 2200 est à 229.

Quelqu'un parie de jeter du premier coup avec q dt's ayant chacun p côtés, a as, b deux, c trois, d quatres, e cincjs, f six, etc.

Posons q-a— n. q-a-b = o, q-a-b-c=:s, q - a- b-c-d]= t, et les restes suivants = v, = \v, etc. La part du joueur i) est donc exprimée, d'après notre premier Problème, par la formule suivante

a termes b ternies c ternies

<i'^-^-^l~- etc. X "^-^-"-^ etc. X - °-^ ' -— etc. X 1.2.3 ^^ 1.2.3 1.2.3

d termes e ternies termes f

etc. X etc. X etc. /\ etc.

La preuve de cette formule est évidente. Car si l'on veut avec 7 dés ordinaires jeter du premier coup 4 as, 2 cinqs et i six, il faut chercher d'abord de combien de façons différentes on peut jeter quatre des sept as ; on trouve ainsi le premier terme de la formule: restent alors encore 3 dés, c.à.d. q — a ou n dés; il faut examiner de combien de façons on peut obtenir avec ces dés les 2 cinqs ; ceci donne le deuxième terme de la formule et ainsi de suite.

\'' i n g t - 1; t - u n i è m e Exe m p 1 e.

Si nous voulons j)arier de jeter du premier coup avec 9 dés 4 as, 2 six, 2 cinqs et i (juatre, on trouvera qu'il y a 3780 chances en notre faveur.

\' i n g t - d e u X i è m e Exe m p 1 e.

On demande de jeter avec q dés ayant chaciui p laces, b faces désignées d'avance, ni plus ni moins.

En ce cas il faut poser dans le 20'^'"= Exemple a = b ■= c etc. = i.

La formult' se ri'duit alors h

l) Ou plutôt: le nombre de cliances favorables nu i')ueur. N. <1. Ir."*

q.q— 1 .q — 2.q — 3.q — 4, etc.

Quant aux dés qui ne doivent pas présenter de faces désignées, ils sont au nombre de q — b; dans ces conditions (p — b) faces seulement de chacun d'eux peuvent se présenter. La formule entière qui détermine la chance qu'on a de jeter du premier coup b faces données^ ni plus ni moins, est donc

q.q — 1 .q — 2.q — 3, etc. X p — b

Le nombre des premiers facteurs q.q — i, etc. doit être égal à celui des unités comprises dans b.

V i n g t - t r o i s i è m e Exemple.

Si nous voulions parier de jeter 1,2,3,4,5,6 avec 6 dés ordinaires, 7J0 chances seraient en notre faveur, ce que l'on trouve aussi par le vingtième Exemple et par le sixième Problème, vu qu'on a ici précisément toutes les faces du dé.

V i n g t - q u a t r i è m e Exemple.

Supposons qu'on jette 5 dés ordinaires, et qu'on gagne lorsqu'on jette un 5 et un 6, tandis que les autres dés présentent les faces I. 2, 3 ou 4. Alors q = 5, p = 6 et b ^= 2. Les chances de gagner sont donc au nombre de 1280.

Sixième Problème.

On demande quelle chance on a de jeter en q coups au moins b faces données avec un dé qui a p faces.

On voit par le iy><^'"« Exemple qu'il y a p'* — ^p — i chances de jeter au moins une face donnée. S'il s'agit de jeter deux faces données, on a moins de chances. Pour trouver la différence, supposez que chaque dé ait une face de moins. On trouve alors

p — I — p — 2. Si nous retranchons cette expression de

p"* — p — I , il reste p"^ — 2X p — i + p — 2 . C'est là le nombre des chances s'il faut jeter 2 faces données. S'il s'agit de jeter trois faces données, on suppose de nouveau, en se servant de la dernière formule, que chaque dé ait une face de moins. On a alors

p — I — 2Xp — 2 +p — 3. Si nous retranchons cette expres-

sion de la précédente, il reste p — p — i X3+ 3Xp — 2 — p — 3 •

C'est là le nombre des chances qu'on a de jeter 3 faces données. Les facteurs numériques des termes sont les ,,génitures" ordinaires. La part qui nous est due i), lorsque nous voulons jeter au moins b faces données en q coups, est donc exprimée par la formule suivante

p'-jXp-i + TTa-XP — ^ ""TTTTl Xp-3 +

X p — 4 — etc.

Les signes sont alternativement + et — , et le nombre des termes est égal à celui des unités comprises dans (b + i).

Premier Exemple.

Si nous parions de jeter en 4 coups avec un dé ordinaire au moins 2 faces données, p. e. i et 2, il y a 302 chances en notre faveur.

Deuxième Exemple.

Si nous nous proposons de jeter en 12 coups avec un dé ordinaire toutes les six faces du dé, il y a 953029445 sur 21 7678233»> chances en notre faveur; ce qui fait voir qu'on ne doit pas parier de jeter toutes les 6 faces en 12 coups, en mettant i contre i; mais si l'on parie de les jeter en 14 coups, on a un léger avantage.

Troisième Exemple.

Si l'on pariait de jeter en 40 coups avec un dé de 36 faces au moins 2 faces données, ou bien de jeter en 40 coups avec 2 dés ordinaires 2 as et 2 deux, on trouve par les logarithmes qu'il y aurait à-peu-près 1081 chances de gagner contre 1302 chances de perdre.

Quatrième Exemple.

Pour trouver en combien de coups on pourrait parier de jeter b faces données, si l'on voulait mettre r contre s. j'ai suivi à-peuprès la même voie que AL DE MuiVRE 2). Toutefois j'estime que notre formule s'approche encore davantage de la vraie valeur et que nos expressions sont plus générales.

r Voir la note prccédeiUe. (N. d. tr.)

2) .\. UK MoiVRii publia en 1711 le traité ,,De mensura sortis sivo de pioliabiiiiatc eventuum in ludis a casu fortuito pendentibus". (N. d. tr. j

Supposons que p, p — i, p — 2, etc. dans la formule précédente soient en progression géométrique. Cela sera à-peu-près vraij lorsque p = 6. Les nombres sont alors 6, 5, 4, 3 etc. mais ceux-ci diminuent plus rapidement que dans une progression géométrique, dont le premier terme est 6 et le second 5 ; car cette progression

est 6, =;, 4,, ^ , etc. On trouve donc par là un nombre de

chances favorables supérieur au nombre qu'on devait trouver, et par conséquent un nombre de coups moindre. Pour corriger ce défaut,

j'ai admis que les nombres décroissent suivant la formule — ^.

Posant cette expression = y. on a par ce qui précède

p'— , py + ^"TY-XP >T TTaTs XpM^'X

■ " ^ ■ "~ ^ ' "-X p'' y^ — etc., le tout divisé par p^'. doit être