I -i X y + — ^^ X yy ^-7^— X y

X V^ — etc. = ----.

La somme de (b + i) termes de cette série est i — y (d'après M. Newton ou M. Jean BerNOULLI. On trouve la même chose dans r,, Analyse démontrée," par P. C. ReiNEAU, ou dans les ,, Oeuvres posthumes" du Marquis DE l'HoSPlTAL). Donc

P+T ou

En prenant le logarithme des deux membres, on trouve

log P + ' — log p — -^

C'est là le nombre de coups, qu'il s'agissait de trouver.

Cinquième Exemple

On pourra parier i contre i de jeter en 13 à 14 coups avec un dé ordinaire toutes les six faces. M. DE MoiVRE trouve que ■c'est en 12 à 13 coups.

Sixième Exemple.

On pourrait parier i contre i de jeter en 80 coups environ six faces désignées avec un dé de 36 faces ou de jeter avec 2 dés ordinaires toutes les combinaisons de deux faces identiques.

Septième Exemple.

Nous avons trouvé que lorsqu'il s'agit de jeter six faces désignées avec un dé de 216 faces, ou de jeter avec 3 dés ordinaires tous les 6 coups triples, savoir 3 as, 3 deux, etc., on doit pouvoir faire, si l'on a parié i contre t, 478 à 479 coups. M. DE MoiVRE trouve 477 coups.

Huitième Exemple.

Si dans le sixième Exemple on voulait mettre i contre to, on trouvera

log 36- — log 35^

Si Ton trouve quel(|ue difficulté h chercher le logarithme de ce

nombre et d'abord à tirer la 1/ de ' , ([ui- l'on sache tju'il faut

opérer de la façon suivante. Ecrivez t8 zéros dans le numérateur aussi bien que dans le dénominateur de cette fraction. Alors la racine 6""'"= du numérateur est précisément 1000. Cherchez ensuite le logarithme de 11 suivi de 18 zéros; c'est 190413927. Divisez

ce nombre par 6; il vient 31735654. Le nombre qui correspond

au logarithme de la racine est environ 1491 . Par conséquent

1 y i 1000 23000 230 -^ iV^i 113 T- 1

1/ = ou - ou ^ . Donc T — 1/ = •'. Et 1

*^ II t.^t7 34300 343 *" II 343

on a

= — . Le logarithme de 343 est 25352941 et celui de

113 est 20530784. La différence, c'est-à-dire le logarithme qui figure au numérateur est 4822157. Pour trouver le nombre par lequel celui-ci doit être divisé, retranchez log. 71 de log. 73. Le reste sera 120646. On trouve de cette façon environ 40 coups. Et si l'on ne voulait mettre qu'un contre loo, on trouverait de la même façon 22 à 23 coups.

Si nous avons un nombre donné de dés et que nous nous proposons de jeter avec ces dés un certain nombre de fois des nombres de points désignés d'avance, et cela en un nombre donné de coups, on demande quelle chance nous aurons d'y réussir. Supposons que le nombre total des chances que présentent les dés soit c, et a le nombre des chances qui peu\ent nous donner la première fois un des nombres de points désignés, b celui des chances que nous avons de ne pas jeter un de ces nombres du premier coup. Alors a -|- b = c. Supposons que nous fassions x coups et que nous ayons parié de jeter deux fois un nombre

donné de points. Nous avons - chances de jeter du premier coup

un des nombres donnés. Si l'on suppose que nous jetons la première fois un des nombres donnés, nous aurons encore (x — 1) coups pour jeter le second nombre donné. La part de l'enjeu qui

b X — I , nous revient alors est i d après le deuxième Problème.

ex — I r

Si nous ne jetons du premier coup aucun des nombres désirés, nous avons - chances d'en jeter un du deuxième coup; nous avons donc alors droit à i 7^- de l'enjeu, et 1 on peut continuer à raisonner ainsi comme on le voit par la table ci-dessous, jusqu'à ce qu'on a (x — i) termes; car si nous ne jetons pas le premier nombre demandé en (x — i) coups, nous perdons notre pari.

ab ce abb

abs

bx— I

abb

ab3

Eic. jusqu'à (X — I .

La première colonne contient des nombres 'qui forment une progression géométrique. Dans la seconde tous les termes sont identiques. La somme est donc

ab X •

axbx — 1 4-bx

ou, comme a = c — b, la part qui nous est due est i —

Et en continuant de la même manière on trouvera la part qui nous est due, lorsque nous aurons parié de jeter trois fois ou 4 ou 5 fois etc., en un nombre donné de coups des nombres de points désignés d'avance, et en général lorsque nous parions de jeter en x coups au moins p fois quelques nombres donnés de points. Mais on peut obtenir le résultat bien plus facilement, si l'on observe que les conditions de ce jeu sont équivalentes à celles du jeu suivant. Supposons que deux joueurs A et B jouent un jeu où il s'agit d'effacer quelques traits. A doit effacer encore p traits avant de pouvoir gagner le jeu, et R encore (x — p + i) traits. A a a chances d'effacer un trait, et B b chances; a -f b = c. On trouve alors par le septième? Exemple du cinquième Problème que la part de B est égale à la somme de la série suivante

' ^+ iX^'T'x^

a' + a3 +. etc..

le tout divisé par c''. Le nombre des termes doit être q. En retranchant ce nombre de l'unité, nous obtenons un reste qui représente la part de A, savoir

.Xb-'a-^X ^

Xb''

le tout divisé par c''. Le nombre des termes doit être (p + i ).

C'est là le résultat qu'il fallait trouver, c.à.d. la part de celui qui parie de jeter en x coups au moins p fois un nombre donné de points.

Neuvième Exemple.

Si nous nous proposons de jeter en 50 coups avec 2 dés ordinaires 2 fois 2 six, la part qui nous est due est

50 X ss'tg + 355°

ce qui, calculé à l'aide de logarithmes, prend une valeur de

-^, — environ.

SI l'on demandait en combien de coups nous pourrions parier,

I contre i, de jeter 2 fois, 3 fois, etc. quelques nombres donnés

de points, on pourrait, pour ne pas tâtonner, se servir des limites

de M. A. DE MoiVRK, qui sont les suivantes. Si l'on doit jeter

deux fois un nombre donné de points, x est plus petit que — et

plus grand que ; de même pour trois fois, x est plus petit

que ^ , mais plus grand que . pour quatre fois x doit être

plus petit que 7 q et plus grand que , pour cinq lois x est

plus petit que 9 q et plus grand que . mais s'il s'agit de jeter

six fois un nombre donné de points, x est plus petit que 1 1 q

et plus grand que . Toutefois ces limites ont le défaut que

si le résultat consiste en un petit nombre de coups, on ne trouve

pas le nombre exact.

Dixième Exemple.

On demande en combien de coups nous pourrions nous proposer

de jeter 2 fois 12 points avec 2 dés. En ce cas = 35. Multipliez

ce nombre par ; il vient =,S — . Le nombre demandé serait

donc entre 58 et 59 ; mais en réalité il est supérieur à 60. Onzième Exemple.

En combien de coups pourrait- on parier de jeter 2 fois 15 points avec 6 dés ordinaires? Il y a 1666 coups qui peuvent donner 15 points, et 44990 coups qui donnent un nombre de points plus grand on plus petit. Multipliez 44990 par 1678 et divisez le

résultat par le produit de looo et de i666. On trouvera ainsi que le nombre de coups est 45 à 46, quoiqu'en réalité ce nombre soit entre 46 et 47.

Douzième Exemple.

On demande en combien de coups l'on p(5urrait parier de jeter avec 2 dés ordinaires tous les coups doubles, à savoir les as d'abord, ensuite les deux, puis les trois, etc. jus(|u'à ce qu'on

jette enfin les deux six. Alors = 35. Multipliez ce nombre par

. 11 viendra iqô . l.e nombre demande est doni' entre 105

et 19g.

Treizième Exemple.

Combien de coups devra-t-on nous accorder, si nous parions 1

contre i comme précédemment, de jeter deux fois les trois six avec

trois dés? On trouve par la méthode précédente: 360 a 361 coups.

Septième Problème.

Quelqu'un a q dés ayant chacun p faces. On demande combien de chances il a de jeter b points.

En posant b — q = a, on trouve que le nombre demandé est la somme de la série suivante

a leimes a — p ternies

q X g -f- I X g + 2 X g + 3 X g +4 , q X g+iXg+2Xq4-3Xq+4

a — 2 p termes

etc. X^'^'^^-^ '''''"' I 1x2x3

a — 3 p termes qXq4-lXq + 2Xci + 3Xg + 4 1X2x3x4X5 a — 4P termes

-^etc.x'^^'^-' 1x2

„tp x,qx'i-ïxq-

qXQ + lXq + 2 ^^^^ -i Xg— IXq— 2Xq — 3 ^^^ 1X2x3 ■ 1x2X3X4

Mais cette formule peut être écrite d'ime façon différente. Nous savons d'abord que le dernier terme du numérateur de la première fraction sera (b — i). Or, il est certain que tous les nombres du dénominateur disparaîtront ;\ partir du nombre p, vu (ju'on peut les rayer en même temps que les nombres corresi:)ondants du numérateur. Restent alors les derniers ternu^s du numérateur et les premiers du dénominateur. La première fraction se change

donc en ^^^-^ — ~^ etc. Le nombre des termes est p — i. En- 1x2

suite on pourra opérer de la même manière sur toutes les autres fractions. Posant alors b — i — p = d, d — p = e, e — p = f. f — p = g, etc. on trouvera la série suivante, dans laquelle chaque fraction qui est suivie de etc. doit avoir un nombre de termes égal à celui des unités comprises dans q — i :

b— I X b — 2 X b— 3 ^^^ dX d— ixd-2 ^^^ x^ q e X e - i X e

etc X 'ï>isZÏ — fx^^IxT^ etc. X q^xq^~^xq^=^ ^

gXg— IXg — 2 g^^ y^ qxq— iXq — 2Xq--3 gj^, 1X2X3 ' 1X2X3X4

et de cette façon nous sommes parvenus à la formule qui se trouve aussi dans la ,,Mensura Sortis" i), où elle figure (quoiqu'on n'en donne ancune explication) comme un Lemme, appartenant au 5''''"*' Problème, qui correspond avec notre 2'^"' Problème.

Si nous parions de jeter I2 points avec 5 dés ordinaires, on trouvera qu'il y a 305 chances en notre faveur.

Deuxième Exemple

Et s'il s'agit de jeter 24 points avec g dés, on trouvera un nombre de 277464 chances. A l'aide de cette formule on peut aisément construire les tables suivantes qui donnent tous les coups possibles avec un nombre de dés variant de 2 à 9.

;ux 1

dés

rois

dés

Quatre

dés

Coups

Points

Coups

Point

Coups

Points

OU rg