OU I(S

ou 17 ou 16 ou 15

i; Voir p. 89, note. 'N. d. tr.)

Cinq dés Six dés Sept dés

■Coups l'oints Coups l'oints Coups l'oints

I 5 OU 30 I 6 ou 36 I 7 ou 42

5 6 ou 29 6 7 ou 35 7 8 ou 41

15 7 ou 28 21 8 ou 34 28 g ou 40

35 8 ou 27 56 9 ou 33 84 10 ou 39

70 g ou 26 126 10 ou 32 210 II ou 38

126 10 ou 25 252 II ou 31 462 12 ou 37

205 II ou 24 456 12 ou 30 917 13 ou 36

305 12 ou 23 756 13 ou 2g 1667 14 ou 35

420 13 ou 22 II61 14 OU 28 2807 15 OU 34

540 14 OU 21 1666 15 OU 27 4417 l(> OU 2)0

651 15 OU 20 2247 16 OU 26 6538 17 ou 32

735 16 ou ig 2856 17 ou 25 9142 18 ou 31

780 17 ou 18 3431 18 ou 24 121 17 I g ou 30

3go6 ig ou 23 15267 20 ou 2g

4221 20 ou 22 18327 21 ou 28

4332 21 2ogg3 22 ou 27

22g67 23 ou 26

24017 24 ou 25

Neuf dés Coups l'oiiUs

I g ou 54

g lu ou 53

45 I 1 ou 52

165 12 ou 51

1287 14 ou 4g

2gg4 15 ou 48

6354 16 ou 47

12465 I 7 ou 46

22825 18 ou 45

39303 19 ou 44

63999 20 ou 43

g8g7g 21 ou 42

i458gg 22 ou 41

205560 23 ou 40

277464 24 ou 3g

35946g 25 ou 38

Huit dés

Coups

oiius

Huit dés

Coups

Points

27 ou 29

Neuf dés Coups Points

447669 26 ou 37

740619 30 ou 33

7^57394 31 ou 3>^

Huitième Problème, i)

Quelqu'un a un dé à p faces, marquées 1,2,3,4,5, etc. II tâchera d'obtenir précisément le plus grand nombre de points marqué sur le dé. Nous voulons dire qu'il gagnera le jeu si le premier nombre qu'il jette, ou la somme du premier et du second nombre, ou bien la somme des trois premiers nombres, etc. est précisément égale au plus grand nombre de points marqué sur le dé ; mais au moment où cette somme surpasse le nombre en question, il aura perdu le jeu. On demande quelle sera sa chance de gagner.

A la fin de p coups cette personne aura sûrement gagné ou perdu le jeu. Pour gagner le jeu en p coups, on devrait jeter i point p fois l'une après l'autre. Si nous supposons l'enjeu égal à I, la part qui nous revient en vertu de la chance que nous

avons de gagner le jeu en p coups est exprimée par — ; celle qui

correspond à la chance de gagner le jeu en (p — i) coups par

Xp divisé par pP ; en (p — 2) coups par X p",

divisé par pP et ainsi de suite. Le nombre total des termes doit être égal à celui des unités contenues dans le nombre p :

, + Pl^ X p+ P^1AP=^ X p^ f P-XXP-2XP-3 3 +

,Xp-2Xp-3Xp-4^p,^^^^^

1x2x3X4 le tout divisé par pP.

La somme des termes du numérateur est ;f | p^ ' . Celui qui

i) .Struyck, par erreur, a écrit: ,, Septième Problème", et a persévéré dans cette erreur jusqu'au dernier Problème. (N. d. tr.)

jette les dés a donc droit à la partie ^ "*"P de l'enjeu, et

son adversaire à ce qui reste de l'unité.

Premier Exemple.

Si l'on avait parié de jeter six avec un dé ordinaire, la part du joueur serait -;t^-|' c. à. d. il devrait mettre 16807 contre 29849 pour jouer sans avantage ni désavantage.

Et si l'on a un dé à 12 faces, on trouve aisément par les

... , , . 448 , ^ 1325 logarithmes que la part du joueur est > et de même ^ pour

un dé à 20 faces. Ce qui reste de l'unité constitue la part de l'adversaire.

Troisième Exemple.

Si nous avons un dé ayant p faces, dont r blanches et les autres noires, et si nous promettons de donner à un autre un florin chaque fois qu'une face blanche se présente après une autre face blanche, combien devra-t-on nous donner la première fois qu'une face noire se présente, pour que les chances soient égales de part et d'autre?

Il y a - chances de ieter une fois une face blanche, chances de

jeter une face blanche deux fois l'une après l'autre, - chances de jeter

3 fois de suite une face blanche, et ainsi de suite, et comme l'on

pourrait jeter l'une après l'autre des faces blanches une infinité

de fois, le nombre de florins que le joueur devra payer est égal

à la somme de la série

r r2 , r3 , r4 . rs . '\ i>- r •