IX^X3X'4X5 ' IX2>5X
, iXi — iXi — 2X1 — 3 XX — 4
etc. -r — ^ etc. —
I xaX3X4X5
-i ^ etc. -f- etc
Chaque produit doit avoir (b — i) facteurs.
Si l'on veut connaître la part de lenjeu qui revieai à cnaque oueur. on peut prendre l'expression précédente pour numérateur. Le dénominateur doit être alors la fraction suivante, dont le numérateur et le dénominateur sont des produits formés d'un nombre de tern\es tel que le dernier terme est égal à (b + : ~ ■ ~
PX p — I X p— 2 X p— 3 xp — 4 xp— 5 ^^^-^ 1x2x3x4x5x6
Premier Exemple.
Supposons qu'il y ait trois joueurs A. R et C. ayant u ticiies. à savoir 4 fiches blanches et S fiches noires. Le problème est alors identique au deuxième des 5 derniers Problèmes que Monsieur C. HUYGEXS a proposés aux amateurs. On a dans oe cas p = 12, .1 = S. b = 4, et en posant r = :. 2. 3. ou lrou\^ oe qui suit
A " ^ "/'^^ ^ ^'2i* >^^ + 5X4X 5 ou 2ÎT,
H '^IL^J^' ' ou îSQ.
^ ^-^^-1 ou lOv txax5 ' ixax5 ' ixaxj
En divisant le tout par 3, on trouve que les chances de A, de B et de C sont entre elles comme les nombres 77, 53 et 35.
Deuxième Exemple.
Supposons qu'il y ait quatre joueurs A, B, C et D qui jouent avec 23 fiches, à savoir 17 noires et 6 blanches. On trouvera alors pour la chance de A 37162, pour celle de B 27951, pour celles de C et de D 20720 et 15114 respectivement.
Mais si l'on restituait tout de suite les fiches tirées qui ne font pas gagner, les rapports que les chances des joueurs ont les unes par rapport aux autres seraient exprimés par la formule suivante dérivée de la formule que nous avons trouvée en résolvant le troisième Problème un peu avant le .premier Exemple. Les grandeurs désignées là par r, s, t, v, etc. sont ici égales à l'unité, celles désignées par a, b, c. d, etc. Sont ici toutes égales entre
elles et à , . On a donc
D + îi ^
Ces chances forment une progression géométrique, dont le
premier terme est i — ' et la raison . Si r est le numéro d'ordre ^ p P
du joueur dont on désire connaître la part, cette part est exprimée par la fraction suivante, où s indique le nombre total des joueurs :
as
ps
Si l'on multiplie le numérateur et le dénominateur par p^ et
qu on pose 1 — = , on trouve
b X ar-i X ps-""
ps — as
C'est là la véritable part d'un joueur quelconque.
Troisième Exemple.
Si l'on avait entendu dans ce dernier sens le problème considéré dans le premier Exemple, on aurait trouvé pour la part de
.4x122x80 9 , „ 4X8'xi2i 0
A TT — ou — ; pour celle de b 5 — ou et pour
celle de L 5 — ou .
Quatrième Exemple.
S'il y avait 34 joueurs possédant 337 fiches, à savoir 10 blanches et 327 noires, et si l'on demandait la part du joueur qui aurait le numéro d'ordre 19, on aurait b = 10, a = 327, p ^= 337, s =^ 34, r = 19; on trouverait donc pour la part de ce joueur
On trouve aisément à l'aide de logarithmes que la valeur de
cette fraction est à-peu-près égale à — ^I^^^V • C'est là le résul- " ^ '=> 27872928
tat demandé.
Cinquième Exemple.
Supposons que, le Problème étant compris dans le premier sens. A veuille parier avec B, que personi>e n'aura encore gagné le jeu après qu'on aura déjà choisi s fiches. Si alors A veut mettre un florin, on demande ce que son adversaire P> devra mettre au jeu. pour qu'ils parient l'un et l'autre avec le même avantage.
Réponse: ? — ^~ ^ — ^-^ ^ etc. — ï. Le nombre des termes
I axa — iXa— 2X!i — 3
du numérateur aussi bien que celui des termes du dénominateur doit être égal à s.
Sixième Exemple.
Si A, dans le Problème de M. HUYGENS, veut parier que personne n'aura encore gagné le jeu, lorsqu'on aura déjà choisi 3
fiches, on trouvera que R doit mettre 2 ^ florins contre le florin de A. ^ 14
Septième E x e m j) 1 t;.
S'il y avait deux joueurs, A et B, ayant 337 fiches, à savoir 10 blanches et 327 noires, et qu'on demandait le nombre des fiches qu'on devrait rationnellement choisir pour qui lî pût faier
avec A sans avantage ni désavantage le pari suivant: l'un des deux joueurs parierait que parmi toutes les fiches choisies il y aurait une fiche blanche, l'autre qu'il n'y en aurait pas, la formule, d'après ce que nous avons trouvé, serait la suivante. Elle donne àpeu-près le nombre exact. Soit s le nombre demandé.
logarithme de 2
S = loç. p — — loff. a .
Cette formule nous apprend que les deux joueurs peuvent parier
1 contre i, l'un que le jeu sera gagné après que 22- fiches envi-
ron auront été choisies, l'autre qu'alors le jeu ne sera pas gagné. Remarque : Nous parlons de fiche, dans le même sens dont nous
avons parlé de coup dans le 2"""^ Exemple appartenant au ^ième Problème.
Huitième Exemple.
S'il y avait une loterie de 30000 lots, où il y aurait 10 gros prix, on pourrait parier i contre i, qu'un des gros prix aura déjà été gagné lorsque 200g lots auront été tirés. Si dans la même loterie il y a 400 prix de 1000 florins, un des prix devra être gagné par un des 52 premiers lots i), et si dans la même loterie il y a 3800 prix, on pourrait presque parier i contre i, comme auparavant, qu'un prix tombera sur un des 5 premiers lots.
Neuvième Exemple.
M. Jean LaW a fait dans les journaux l'offre suivante: on pouvait lui indiquer les numéros de dix lots de la loterie organisée par la république, dont la mise a commencé le 12 Août 1712, et il se disait disposé à assurer ces lots. Il recevrait 100 florins et si tous les lots étaient des non-valeurs, c. à d. si aucun prix ne tombait sur eux, il payerait 300 florins. De même il recevrait 100 florins pour 15 lots, et il en payerait 500. On demande quels avantages ces offres avaient pour lui.
i! Ou plutôt: on pourra parier i contre i qu'un des prix sera gagaé par un des 52 premiers lots. (N. d. tr.)
Nous ferons d'abord le calcul pour le cas de lo lots. Les prix et les non-valeurs de cette loterie sont les mêmes que dans le gième Exemple i). Le nombre total des différentes façons dont on peut tirer lo lots de la loterie, est
De 26200 non-valeurs on peut en prendre 10 différentes de
41927972757232619380604843271 160988680 façons. Le nombre total des chances est donc au nombre des chances de ne gagner aucun prix à-peu-près comme sont entre
eux les nombres 16248 et 4192 "'• Il s'ensuit que des 3000
assurances qui couvrent la loterie entière 774 à-peu-près seraient perdues, de sorte que M. Law, s'il avait assuré tous les lots, devrait payer 232200 florins. Or, il en recevrait 300000. Son gain sur la loterie entière serait donc de 67800 florins, c. à. d. de 22 florins et 12 sous sur chaque assurance.
Mais comme cette méthode est longue, nous en avons imaginé une autre par les logarithmes, qui donne une valeur approchée. Soit t le nombre des lots assurés. Il faut calculer
\ X [log. p — log. a + log. p — t -|- I — log .a — t — i . J
Le nombre correspondant à ce logarithme exprime celui des assurances sur lesquelles l'assureur en perd une.
Si l'on assure les lots 15 à 15, le nombre donné par notre formule est 882520T. Le nombre qui correspond à ce logarithme
(y est 7 ■' ' de sorte que de 763 assurances l'assureur en perdra
100. Sur 2000 assurances qui couvrent toute la loterie, le nombre
d'assurances qu'il perd est de 262 „ environ. Il devra dom- alors payer
T 31 062 florins, tandis qu'il en recevra en tout 200000. Il gagne
donc 68937 ^ florins, ce c}ui fait environ 34 florins 9 sous 6 deniers 2)
sur chaque assurance. Mais si l'on payait environ 763 florins chaque fois qu'aucun prix ne tombe sur 15 lots, les chances seraient égales.
1 II y a 3800 prix. '\. il. U'.
2 \]n sou = 16 deniers. N. <1. ir.
Dixième Exemple.
Dans la loterie hollandaise, dont la mise a commencé le 30 Octobre 1713, il y avait — suivant le projet de cette loterie — I million de lots, parmi lesquels 150000 billets gagnants. Nous avons calculé que si l'on recevait 100 florins et qu'à ce prix on assurait dix lots contre la chance de ne gagner aucun prix on devrait payer environ 507 florins et 19 sous si aucun prix ne tombait sur ces lots et que les chances de l'assureur et du public doivent être égales; pour 7 lots on devrait payer de même 311 florins et 18 sous environ, mais pour 4 lots 191 florins et 12 sous à-peu-près.
Dixième Problème.
On a un certain nombre de cartes, parmi Hsquelles il y a q atouts et p autres cartes. On échange r cartes, c. à. d. on rejette celles qui ne sont pas des atouts et on en prend d'autres à leur place. Quelle chance de gagner aura-t-on, si l'on parie qu'après un nombre donné de changements on aura i atouts?
Pour trouver le numérateur de la part qui nous revient, substituez dans la formule suivante n = o, n ^ i, etc. jusqu'à n ^ i inclusivement. Posez p -j- q — r =: s, p — r + n = k, alors q — n = s — k. Cette formule est applicable au cas de deux changements.
le nombre des lennes
doit être r — n
Il termes r — i termes
i — n termes
etc. X """••'
etc.
Le numérateur est
r termes
Premier Exemple.
Supposons que nous ayons 40 cartes et que nous voulions jouer ,,schar\venselen" i). Lorsque l'atout est tourné, il y a encore
i) Voir p. 31. N. d. tr.)
10 atouts et 29 autres cartes. (Jn demande quelle chance nous aurons d'avoir après le deuxième changement ni plus ni moins de 3 atouts. Nous développerons ici à l'aide de la formule cidessus la solution de cet Exemi^le pour que l'on comprenne mieux cette formule. Observons que nous comptons pour un ,, changement" le fait de recevoir r cartes la première fois.
Alors p = 29, q = 10, i = 3, r = 5, s = 34. Lorsque n = o, k = 24; lorsque n = i, k = 25; pour n ^ 2, k^= 26; pour n = 3, k = 27. 29.28. 27.26. 25 24.23 10.9.8 355
29^ ^.^,^ ^o 2^^ ^8 ou 55 p I -9--
Le numérateur est 575757. T71372 —
Par conséquent nous avons droit à la partie "" de l'enjeu,
autrement dit on devrait mettre 220545 contre 520417 pour parier
sans avantage ni désavantage qu'après le deuxième changement
on aura 3 atouts, ni plus ni moins.
Deux i è m e E X e m }> 1 e.
Mais si l'on gagne le pari lors(}u'on obtient ])lus de 3 atouts en deux changements aussi bien que lorsqu'on en gagne 3, il faut donner à i toutes les valeurs de 3 à 5. En ce cas on devrait mettre 41647 13 contre 6208755.
Pour trouver quelle chance on a d'obtenir en trois changements i atouts, ni plus ni moins, nous nous servons, outre de la formule précédente, de celle qui suit.
Posez s — r = m, k — r = g. Si alors n = o, i, 2. 3, on a g = \^^ 20, 21, 22.
(r — \) termes (i — m) termes
g X g — I X g — 2 X g — 3 , q — n Xq — n— iXq — n — 2Xq — n — 3
etc. (x- — n termes
I En ccriveiil X o, l'auteur veut dire évideniineiU ijue le nombre des tenues de
la fr.ictiou '' 'l~' etc. ou I'±ll£+M— ^ etc. s'annule. (N. d. tr.
Dans la formule dont nous nous sommes servis à la page précédente, il faut poser d'abord i = o, ensuite i= i, = 2 etc. et donner à n chaque fois toutes les valeurs possibles, depuis o jusqu'à i inclusivement. Soient a, b, c, d, etc. les résultats de ce calcul. Si alors dans la formule écrite ci-dessus nous posons d'abord n = o, puis n = i etc. jusqu'à i inclusivement, et que nous multiplions le premier résultat par a, le deuxième par b, le troisième par c. etc., la somme sera la part demandée. On voit aisément comment on peut continuer les séries des termes pour un plus grand nombre de changements. Il ne faut pas oublier que si l'on ne faisait autre chose que conserver les cinq premières cartes, il faudrait dans la formule écrite à la page gô remplacer partout n par i, qu'il ne devrait y avoir que deux groupes de termes dans le numérateur, et que le dénominateur du premier groupe devrait être 1.2.3.4 au lieu de s. s — -i.s — 2.
Troisième Exemple.
Si dans le premier Exemple nous avions parié qu'au bout de trois changements nous aurions 3 atouts, ni plus ni moins, on trouvera qu'on peut mettre 54296975 contre 80558109.
Quatrième Exemple.
Nous avons trouvé qu'on ne peut pas encore parier i contre r d'obtenir 5 atouts par 5 changements : il faudrait mettre environ 28 contre 29. Mais si l'on pouvait faire 6 changements, 011 aurait avantage à accepter le pari.
Cinquième Exemple.
Supposons qu'on gagne le jeu si l'on a 4 atouts après le deuxième changement, mais qu'on gagne également si après le troisième changement on a 2 atouts, ni plus ni moins. (Remarque : il est défendu de rejeter des atouts, de sorte qu'on a déjà perdu si après le deuxième changement on a 3 ou plus de 3 atouts). Oa aurait alors 1 974313 13 chances de gagner contre 409416565 chances de perdre.
Sixième Exemple.
Supposons qu'on veuille jouer ,,schar\venselen" i) avec 36 cartes et qu'on ait tourné l'atout. A, à qui l'atout tourné n'appartient
l) Voir p. 31. (N. d. tr.)
pas, regarde seul ses cartes et n'y trouve pas d'atouts. B veut donner loo florins à A qui a la main, si au bout des 2 chano-ements qu'il a encore le droit de faire il ne trouve parmi ses cartes aucun atout, 50 florins s'il a 4 atouts au bout des changements dont nous avons parlé, et' 25 florins s'il en a 5. On demande combien de florins A devra donner à B, s'il a i, 2 ou 3 atouts au bout des changements en question, aiin que les chances des
deux loueurs soient éo'ales? Réponse: 7 florins.
■" or/ 292923
Septième Exemple.
Si A avait parié qu'au bout des changements en question on aurait o, t ou 2 atouts, et B qu'on aurait 3. 4 ou 5 atouts, la chance de A serait à celle de B environ comme 47 est à 48.
Huitième Exemple.
On a un nombre pair de cartes, dont on en prend une, sur laquelle on met la suivante, celle qui suit alors est placée en-dessous des deux premières, puis la suivante de nouveau au-dessus, et ainsi de suite, alternativement en-dessous et au-dessus (la dernière carte sera donc placée au-dessus) jusqu'à ce qu'on aura distribué ainsi toutes les cartes. On recommence ensuite la même opération. On demande combien de fois il faudra distribuer ainsi les cartes qu'on a dans la main pour qu'elles se suivent de nouveau dans l'ordre initial.
Si l'on a p cartes et que p — 2 ou p — 4 est divisible par 12, il faut distribuer toutes les cartes p fois pour qu'elles se suivent de nouveau dans l'ordre initial.
Si l'on a 2'' cartes et qu'on exécute r + i fois l'opération dont nous avons parlé, elles se suivront de nouveau dans l'ordre initial. Cela est exprimé par l'arithmétique de la façon suivante
I — 2 — 4 — 8 — 16 — 32 — 64 — 128 — 256 etc. cartes doivent
être distribuées
I — 2 — 3 — 4 — 5 — 6 — -7 — 8 — 9 fois.
Onzième Problème.
On demande quel est l'avantage du ban(|uier dans le jeu nommé ,, Banco flûte."
Les principales conditions sont les suivantes. In nombre illimité de joueurs prennent un jeu de cartes. L'un deux est le ban-
quier. Après que les caries ont été mêlées, on divise le jeu en un nombre de parties égal à celui des joueurs et chacun des adversaires du banquier place sa mise sur ses cartes. Le banquier doit payer une somme égale à la mise à tous ceux dont la carte de dessous a une valeur plus haute que la carte correspondante du banquier. Mais si la carte de dessous du banquier est égale en valeur ou qu'elle a une valeur supérieure à celle d'un des joueurs, le banquier gagne la mise de ce joueur. Le banquier reste en fonction tant que sa carte de dessous n'a pas une valeur inférieure à la plus basse des cartes correspondantes de ses adv'ersaires.
Supposons qu'il y ait s joueurs, qu'on ait p cartes, parmi lesquelles q différentes couleurs et que la mise de chaque joueur soit a. Si le banquier a une carte, il en reste encore p — i. Parmi cellesci il y a en moyenne plus de cartes qui font gagner le banquier que de cartes qui le font perdre: la différence est q — i. L'avantage du
banquier serait donc as X s'il n'avait la banque qu'une seule
fois. On pourrait trouver la même formule à Taide des combinaisons.
Pour trouver maintenant le nombre des cas où le banquier perd
la banque, il faut remarquer que si le banquier a une des plus basses
cartes, il v a p — q cartes qui lui font perdre la banque. 11 faut
donc examiner de combien de manières on peut de p — q cartes en
prenclre s ; on trouve que le nombre en est
etc. (s termes). Si le banquier a une carte supérieure d'une unité seulement à une des plus basses cartes, il y a p — 2q cartes qui lui font perdre la banque. Le nombre de manières différentes dont s joueurs peuvent chacun obtenir une de ces p — 2q cartes est
5 — £ 2^ £ 2 etc. (s termes). Lt en continuant a
raisonner de la sorte, on trouve le numérateur de la formule écrite ci-dessous, lequel exprime le nombre de cas où le banquier perd la banque. Quant au dénominateur, on le trouve en cherchant de combien de manières on peut de p — i cartes en
prendre s. Le nombre cherché est '- '- etc. (s termes);
il faut le multiplier par "^ . car dans le numérateur on a une somme de - termes, y compris le dernier terme qui bien entendu
lOI
est nul (car si le banquier a une des cartes les plus élevées, il n'y a pas de cas qui peuvent lui faire perdre la banque). Or, le banquier n'a qu'une seule carte de dessous, le dénominateur doit
donc être multiplié par la fraction - dont nous venons de parler.
p — g X p — g— I X p — g— 2 p— zg Xp — zg — IX p — 2q — 2
etc. + etc.
P.. p— iXp — 2Xp — 3 . / - X
- X ' — etc. (s termes).
En multipliant le numérateur et le dénominateur par i, 2, 3 etc. jusqu'à s inclusivement, on a
s termes s termes
p-qXp-q- I Xp-q-2 etc. + p - 2q . p - 2q - l . p - 2q - 2,
s termes
etc. + p — Sq^^ P~3^~iXp-3q — 2, etc, divisé par - X p - I X p — 2 X p - 3 X p - 4, etc. (s + I termes, y compris le
premier).
Désignons cette expression entière par c et l'avantage du banquier lorsqu'il tient la banque une seule fois, c. à. d. l'expression as X
par d; comme il peut avoir la banque plusieurs et même
une infinité de fois, son avantage moyen, tant c[u'il reste en fonction, est exprimé par la série infinie
d + d X I — c^ +dXi — c^ + dXi — c + etc. La somme de cette série est et l'avantage cherché par consét]ut;nt
(somme de — i termes).
1' r e m i C r Exe m p 1 c.
Si l'on a 52 cartes ordinaires, p = 52. c] = 4, et si 5 personnes jouent contre le banquier, s = 5. L'avantage du banquier
329489 au bout du jeu, lorscju'il perd la baniiue, est alors 2 (..g^^^ •'• ^^
S = 4, cet avantage est i a, si s =^ 'î, V a, si s = 2,
— a, et SI s = I, - a.
Douzième Problème.
(3n demande quel sera l'avantage du banquier dans le jeu nommé ,, Treize" i), si l'on décide que le jeu iinira lorsque le banquier aura gagné ou perdu une seule fois.
Le banquier prend un jeu de cartes complet qui est mêlé et coupé. Il dit: ,,as'' et tourne une carte. Si cette carte est un as, le banquier gagne l'enjeu des joueurs, sinon il dit ,,deux" et tourne de nouveau une carte. Si cette carte est un deux, le banquier gagne, sinon il dit ,, trois" et ainsi de suite jusqu'à 13. La troisième carte doit être un roi. Si le banquier ne tourne aucune des cartes qu'il annonce, il doit payer à ses adversaires une somme égale à leur mise, et son voisin de droite obtient la banque ; mais s'il annonce une carte qui correspond avec celle qu'il tourne, il gagne toutes les mises et continue à dire : as, 2, 3, etc. comme auparavant. Quand enfin il ne reste plus de cartes, le banquier prend toutes les cartes et les mêle de nouveau. Il recommence alors là où il était resté, jusqu'à ce qu'il gagne ou perd. S'il gagne, il recommence comme nous l'avons dit, et ainsi de suite.
Supposons qu'on ait n cartes et que les couleurs, coeur, carreau etc., soient au nombre de p. On a donc p as, p rois, etc. Le nombre total des différentes façons dont on peut prendre n cartes, est I X 2 X 3 X 4 X etc. jusqu'à n. Le nombre total des arrangements possibles où un as occupe la première place est p X i X 2 X 3 X 4 etc. jusqu'à n — i. Si l'on appelle i l'enjeu qu'on peut gagner
par le jeu, le banquier a donc droit à la partie . Le nombre
total des arrangements possibles où un 2 occupe la deuxième place, si l'as n'occupe pas la première, est p X i X 2 X 3 X 4 etc. jusqu'à n — I, — p^ X I X 2 X 3 X 4 etc. jusqu'à n — 2. Le banquier a
droit par là a la partie ^- —- ^-== de l'enjeu. Le nombre total
des cas, où un 3 occupera la troisième place, lorsque la première n'est
i^ Voir aussi r,,Essay Analyse", 2'éme paitie. (.N. d. iv.
pas occupée par un as ni la deuxième par un 2 est PX1X2X3X4 etc. jusqu'à n — -i, — ■ 2p^X 1X2X3X4 etc. jusqu'à n — 2, + p^ X I X 2 X 3 X 4 etc. jusqu'à n — 3, de sorte que le banquier a
droit par là à - — • 4- == — =^1^ , et en continuant à
Il n X n — I n X n — i X n — 2
raisonner de la sorte, ou trouvera les expressions qui suivent, où l'on doit savoir que les nombres ordinaires, figurant dans les numérateurs et qui ne sont pas des exposants, représentent les génitures.
Pour l'as —
rour le deux - —
Pour le trois il — - - -|- — : — — — -n n . 11 - I n . u - I . n - 2
Pour le quatre il ^ /^- +
Pour le cinq -^ 1--: -|- : : —r^ — -^^r — : -|-
La première colonne a termes ; la somme des nombres ordi-
naires qui y figurent est donc . Dans la deuxième colonne il y
a I termes; la somme des nombres ordinaires v est -X i;
on trouve de même pour la troisième colonne X i X 2
€t pour la quatrième X — i X — — 2 X „ ~ 'î et ainsi de ^ P P P P ^
1.2.3.4 suite. La part du banquier est donc exprimée par la l'ormulc suivante
p ,, n X — l./ P^ , -X —IX 2^. P3
un n n
P P P P /x + etc.
