I.2.n — I 1.2.3.11 — i.ii — 2 1.2.3.4. n — i.n
Le nombre des termes doit être égal à celui des unités contenues dans — . Nous avons donc trouvé ici la formule même dont P
M. Nicolas Bernoulli s'est servi. Mais tandis que 1',, Analyse" ne contient que la formule seulement, nous y avons ajouté ici le calcul qui y conduit.
Si p = 52 et q = 4, et que la mise totale des adversaires du
banquier est a, 1 avantage du banquier est ^' , ^ — - — ^ — a.
Deuxième Exemple.
Si q=i, c.à.d. si toutes les cartes sont différentes, nous avons afîaire au cas particulier que M. Bernuulli résout dans ses ,, Remarques latines" i). L'avantage du banquier est alors exprimé par la série suivante qui doit avoir un nombre de termes égal au nombre des cartes :
I + + — ^ + etc.
Treizième Problème.
On demande quel est l'avantage du banquier dans le jeu appelé ., Pharaon".
Les principales conditions sont les suivantes. Le banquier a un jeu complet de 52 cartes. Lorqu'on les a mêlées, il les prend une à une, en place d'abord une à sa droite, puis une à sa gauche, puis de nouveau une à sa droite, une à sa gauche, etc. Chaque fois que deux cartes ont été ainsi placées les joueurs sont libres de mettre une certaine somme sur une ou plusieurs cartes. Lorsque la carte de l'adversaire du banquier se présente à droite (qu'elle occupe donc un rang impair) le banquier gagne la mise du joueur, mais le banquier perd la même somme lorsque la carte se présente à gauche (qu'elle occupe un rang pair). Le banquier prend la moitié de la mise, lorsque les cartes du joueur
l) Le Recueil de Lettres, dont nous avons fait mention à la page 21, contient aussi des remaniues de N. BernoULLI (en latin . (N. d. tr. ;
se suivent, à savoir d'abord une de rang impair puis une de rang pair, excepté seulement dans le cas suivai.t : si les adversaires du banquier ont mis sur deux cartes et que ces deux sont les dernières qu'il distribue, le banquier gagne toutes les mises. La dernière carte enfin n'est en faveur de personne : elle ne compte pas.
Posons p = le nombre des cartes dont dispose le banquier, et q le nombre de fois que la carte indiquée par le joueur se trouve parmi les cartes du banquier.
Nous agirons d'abord comme si la deuxième condition n'existait pas; nous supposons donc que le banquier gagne immédiatement toute la mise lorsque une des cartes de ses adversaires se présente à droite. Le cas est identique alors à celui où les joueurs ont des fiches blanches et des fiches noires, où chacun en tire une fiche aveuglément, le banquier d'abord, ensuite son adversaire et où celui-là gagne l'enjeu qui obtient le premier une fiche blanche. D'après le huitième Problème le numérateur de la part du banquier sera donc
q — I termes q — i ternies
q — I termes
P^XP^XP^ etc. + etc.
jusqu'au dernier terme qui est nul. Et le numérateur de la part
de son adversaire est alors
q — I termes <1 — ^ I termes i] — i termes
p-^Xp — 3Xp — 4 et^ .^ p— '4Xp^Xp^^ etc. + p— 6XP — 7XP - 8 g^^, 1X2X3 ' 1X2X3 * 1X2X3
En soustrayant cette expression de la précédente, on trouve le reste q — 2 termes q — 2 termes
p — 2Xp — 3Xp — 4 g|.^ |. P — 4XP — 5XP — 6 ç^^ç.^ 1X2X3 ' 1X2X3
q — 2 termes
1X2X3 C'est là le numérateur de l'expression qui représente l'avantage du banc^uier. 11 faut continuer ces séries jusqu'à ce que le premier nombre du numératc-ur devient q — 2 : lorsqu'il est plus petit la
c r . 11 r I • . 1 -^ ", PXP — 1 Xp-2 Xp — 3
traction est nulle. Le tUniommateur doit être .:vvT7,"Tr:
lOO
etc. (q termes). Mais par la deuxième condition cet avantage est diminué 'exactement de moitié, car l'avantage du banquier consiste uniquement dans sa primauté et le banquier n'obtient que la moitié de la mise de son adversaire. Quant aux autres chances, celles de gagner ou de perdre la mise entière, elles sont précisément égales lorsque p est pair et qu'il n'y a pas de primauté, vu que chacun choisit à son tour.
Si dans la formule précédente q= i, toute l'expression est nulle ; mais à cause de la condition concernant la dernière carte
l'avantage du banquier est • si q = i ; alors chaque terme = i ;
seulement à cause de l'avant-dernière condition le dernier terme doit être 2.
La formule précédente diffère de celle de l'auteur de 1',, Analyse". Elle diffère également de celle trouvée par M. NICOLAS Bernoulli pour le cas où q est plus grand que 2.
etc. (q — I termes),
Notre formule a un plus grand nombre de termes, mais nous y opérons avec des nombres entiers, et dans cette formule-ci on opère avec des fractions. On peut tirer cette formule de la précédente en ajoutant les différentes expressions ; seulement il faut chaque fois en sauter une.
Premier Exemple.
Soit p ^ 34 et q = 3, tandis que i représente la somme mise sur chaque carte. L'avantage du banquier est alors et, si
^ = -+' ô'sV
Mais si l'on remarque que dans ce jeu l'avantage du banquier consiste uniquement dans le fait qu'il gagne la moitié de l'enjeu lorsque deux cartes du joueur se suivent dans l'ordre que nous avons mentionné, on peut raisonner comme suit:
Deuxième Exemple.
Supposons que quelqu'un ait quelques lettres A, B, C, D etc. jusqu'à p, qu'on en prenne quelques-unes, p. e. A, B, C etc. jusqu à
q, et qu'on demande alors de combien de façons 2 des lettres choisies peuvent occuper la première et la deuxième place (soit O ce nombre), de combien de façons l'une des q lettres peut occuper la troisième et une autre la quatrième place, si elles n'occupent pas la première et la deuxième place (soit P ce nombre), etc. Q représente le nombre qui correspond à la cinquième et à la sixième place, et ainsi de suite. On trouvera, en posant p — ^ q = r,
q X q — I X ' X 2 X 3 X 4 etc. jusqu'à p — 2 = 0
q X q — I X r X r — i X i X 2 X 3 X 4 ^tc. jusqu'à p — 4 = P
q X q — I X r X r — i X r — 2 X r — 3 X i X 2 X 3 X 4 etc. jusqu'à
X 4 etc. jusqu'à p — 8 - R, etc.
Le nombre total des cas possibles est i X 2X3X4X5 etc. jusqu'à p.
On trouve ainsi pour l'avantage du banquier
+ etc.,
le tout mukiplii' par
P • P— I Si l'adversaire da banquier met i, tout doit encore être multiplié par ■ Cette formule a été trouvée dans 1',, Analyse" parla
réduction de certaines équations. Nous sommes arrivés ici au même résuhat à l'aide de combinaisons, ce qui est beaucoup plus aisé.
Troisième Exe m p 1 c.
De la même manière on trouve pour la })art du banquier dans le jeu nommé ,,La Bassette" i), lorsque q est plus grand que i,
- i^-^i^ + ' X '' - ' X - 'LllZl^ 4- ';, X
Si q ::= 1, il faut encore v ajoutin" 1 • . j ,,
^ 4- etc. (q termes)
r On peut Unuver les rèi^les de ce jeu dans r,,l-:ssriy d'.Vinlyse", 2'<--i"f partie N. d. tr.'
io8 Quatorzième Problème.
A et B ont chacun un certain nombre de pièces de monnaie. On jettera des dés dont quelques taces sont en faveur de A: lorsque celles-ci se présentent, R doit donner une pièce de monnaie à A. D'autres faces sont en faveur de B: lorsque celles-ci se présentent, B reçoit de A une pièce de monnaie. Celui qui sera le premier en possession de toutes les pièces de monnaie, gagnera le jeu. On demande quelle est la part de chaque joueur.
Supposons que A et B aient respectivement r et s pièces de monnaie. Posons r + s = cl et supposons en outre que A ait b chances de gagner une pièce de monnaie, et B c chances.
Posons X ^ la part de A lorsqu'il a i pièce de monnaie, z = sa part lorsqu'il en a 2, et v = sa part lorsqu'il en a 3, le nombre de pièces que possède B étant quelconque.
Chances.
bz
Chances.
fby
by + ex
b c + c c by-|-cx = bx + cx-|-
c ce
y^'^ + b^+bb
lOQ
Et en continuant ainsi on trouvera
Si A a <! 3 i.
pièces de
monnaie, sa
part est
c c bb c c bb c c
b ^ + bb ^ + b3
Lorsque A a toutes les pièces de monnaie, il gagne l'enjeu total. L'enjeu total est donc égal à une somme de termes dont le nombre est égal à celui des pièces de monnaie, de sorte que sa part est exprimée par la fraction suivante
I ce C3 C4
X + - X -f r-r >^ + r~ ^ + i" -"^ + ^'^- '■ termes) q bb b3 b4
c ce C3 C4 •
X -f ,- X + , - X 4- — >c + — X + etc. (d termes b ]>\) b3 b4
En faisant disparaître les fractions et en divisant le tout parx, on obtient
bd— I -f bd— 2 c -i- bd— 3 c C -j- bd— 4 03 + bd— 5 c4 4- etc. (r termes! bd— I -\- bd— 2 c -f bd— 3 c c + bd- 4 c3 + bd— 5 c4 -(- ctc. (cl termes).
Le numérateur et le dénominateur forment l'un et l'autre une
, , ■ bd — cr bs
progression géométrique. La somme de la première est -
bd — cd bd - C'- bs
et celle de la seconde , —
Le part de A est donc i)d - cd
et celle de B
cr bs
cd
bd — cd
Premier Exemple.
Deux personnes A et I> jouent avec 2 dés. A a ig pièces de monnaie, B en a 5. A doit donner une pièce de monnaie à B lorsqu'on jette 10 points, et !> une pièce de monnaie à A lorstju'on en jette 11. Quelle est la chance de chacun d'eux?
On trouvera que A a 245237169537 chances de perdre et 37175549728 chances de gagner, de sorte que pour jouer contre B sans avantage ni désavantage il devrait metlrt- i au jeu et B un peu moins de 7.
Lorsqu'ils ont l'un et l'autre le menu- nombre de pièces de monnaie,
b^s — c^ b" C" r c;à.d. lorsque r = s et d = 2s, la part de A est -^^—"^ ' ^' ^ '^'^
divise le tout par b^ — c^ il vient .- ^. Et pour la part de B
on trouve ensuite
bs + es es
bs -f es
Deuxième Exemple.
Ayant pris chacun 12 pièces de monnaie, A et B jouent avec 3 dés à cette condition que lorsqu'on jette 1 1 points, A doit donner une pièce de monnaie à B, mais lorsqu'on en jette 14, B doit en donner une à A et que celui-là gagnera la partie qui le premier sera en possession de toutes les pièces de monnaie. Quelle chance de gagner auront-ils l'un et l'autre? C'est là le dernier des Problèmes posés par M. C. HUYGENS.
Avec 3 dés on peut faire 27 coups de 11 points et 15 coups de 14 points. Les chances qu'ils ont de gagner une pièce de monnaie sont donc entre elles comme 5 est à 9. La part de A est donc 5^-, celle de B g", en d'autres termes la chance de A est à celle de B comme 244140625 est à 282429536481.
Troisième Exemple.
Si l'on était 2 dés ordinaires avec cette condition que A gagne une pièce de monnaie lorsqu'on jette 7 points, et B lorsqu'on en jette 6, la chance de A serait à celle de B comme 2176782330 est à 244140625, c.à.d. à-peu-près 9 contre i.
Lorsque les deux joueurs ont la même chance, c.à.d. lorsque b = c, chaque terme de la progression géométrique précédente
vaut I ; la part de A est donc , et celle de B , , de sorte que
leurs chances sont entre elles comme les nombres de leurs pièces de monnaie.
Quatrième Exemple.
A et B jouent avec 2 dés ordinaires. A a 8 pièces de monnaie, B en a 5. A donnera une pièce de monnaie à B lorsqu'on jette 6 points, Fî en donnera une à A lorsqu'on en jette 8. Celui-là gagnera la partie qui le premier sera en possession de toutes les
pièces de monnaie. La part de A est alors "^ et celle de B — .
Cinquième Exemple.
Supposons que dans le premier Exemple on donne la somme des pièces de monnaie et qu'on demande combien de pièces de
monnaie chacun doit en prendre pour que les chances des joueurs soient égales? Alors b'^ — c^~^ b^ = c''~^ b^ — c'^. Prenez (d — s) au lieu de r, vous trouverez b*^ + c'^ ^2c'^~^ X b\ En posant log. 2 = q, log. b =^ k, log. c = i, log. (b^' + C^) = h, on obtient
s = —r — : — . de sorte que l'on peut trouver que si A avait 22
pièces de monnaie et R 2 pièces seulement, B jouerait encore avec un léger avantage.
Supposons qu'il y ait deux spectateurs C et D, que C veuille parier que le jeu sera terminé en h coups, et D le contraire, quelles chances auront-ils? Pour calculer ces chances on peut se servir de la formule suivante, trouvée par M. N. BerxOULLI. Cherchons d'abord la part à laquelle C a droit à cause de la chance qu'a le joueur A de gagner le jeu en h coups. Supposons que A doive encore gagner m pièces pour gagner la partie et B n pièces. Soit m + n = s. Soit p la chance du joueur A de gagner une pièce de monnaie, q celle de B d'en gagner une. Posons p + q = r, h — m = 2k.
Soit t le nombre de fois que s est compris dans k. Substituez alors dans la série suivante pour t toutes les valeurs possibles, depuis zéro jusqu'à la grandeur trouvée pour cette lettre, et ajoutez l'une à l'autre toutes ces sommes. Faites la même chose pour la deuxième série. Retranchez la somme de cette dernière de la somme précédente. Le reste est alors la part cherchée, c.à.d. la part de celui qui parie qu' A gagnera le jeu en h coups. Lorsqu'on a divisé k par s et que le reste de la division est plus petit que n, il ne faut pas substituer à t dans la seconde série toutes les valeurs depuis o jusqu'à t, mais seulement jusqu'à t — i. — Pour trouver ensuite la part à laquelle C a droit à cause de la chance qu'a le joueur B de gagner la partie en h coups, remplacez partout q par p, p par q, n par m et m par n.
Soit 2k — 2ts = a
Première série :
I Xp=^ +q=^ + hXp^-'q + q^-'p+ /x 2 X P''' ~ ^ q^ + q'^ h X h — I X h — 2
+ 1X2X3 ''Xp=---q3 + q--3p3 + etc. jusqu'à
! — „ — X p q 2*^' h' tout multiplié par
pts + m qts
Deuxième série
I X p''-^" + q=*-'" + h Xp*-^"-' q + q^"-'"~' pH-
hi . h— I
X p^-2"-2 q^ + qa — 2n — 2 p2 ^ ç|-^ jusqu à
X p q ^ -le tout multiplié
pts -1-sqts + n
par ~ .
En posant h, k et a = l'infini on trouvera pour les parts de A et de B les mêmes expressions que plus haut dans le premier Exemple.
On pourrait aussi se servir de la règle de M. DE MoiVRE, laquelle en vérité exige une démonstration plus longue. Cette règle est la suivante. Multipliez p + q par p + q. rejetez toutes les quantités dans lesquelles les dimensions de p surpassent celles de q m fois, de même pour tous les termes où les dimensions des grandeurs q surpassent celles des grandeurs p n fois. Multipliez le reste de nouveau par p + q et rejetez les termes dont nous venons de parler, et ainsi de suite jusqu'à ce que vous aurez fait n — I multiplications. Divisez le reste par p + q. vous aurez la part de D. Pour mieux faire comprendre ceci, nous développerons un Exemple d'après cette méthode.
Sixième Exemple.
Supposons que A ait 3 pièces de monnaie et que B en ait 2. A a p chances de gagner une pièce de monnaie et B en a q. C fait un pari avec D que le jeu sera terminé en 6 coups, p + q
PP i + 2pq +qq p 4- q
2ppq + 3pqq+ I q'
2p^ql + 5ppqq+3pq' p + q
5 p3 q q + 8 p p qi + | 3 p q^
T 1T-. 1 i3P3Q3-(-8ppq4 ^
La part de D est donc — ^ --. Lorsque p
la part de D est et celle de C 7"^-
Dans les séries précédentes il faut bien remarquer que les deux derniers termes sont irréguliers, car tous les autres multiplicateurs des génitures consistent en une somme de 2 termes, tandis que les derniers termes n'en ont chacun qu'un seul. Il faut remarquer de plus que si dans le développement les expressions h-m ou h-n sont trouvées impaires, il faut diminuer h d'une unité. Si l'on prend p = q = I, on a r = 2, c. à d. si l'on suppose les chances égales, les séries précédentes prennent la forme suivante :
+ etc.
a + T termes
le tout multiplié par 2 à l'exception du dernier terme qui est multiplié par i seulement. La deuxième série est identique à celle que nous venons d'écrire ; toutefois le nombre des termes doit être
^ 'd. — n + I seulement. Eu divisant les deux séries par 2'', en
donnant alors à t toutes les valeurs possibles à partir de zéro, et en retranchant les séries l'une de l'autre, on trouve pour la part de celui qui parie que A gagnera le jeu en h coups, l'expression suivante :
+ ctc
La part de celui qui jjarie cjue R gagnera le jeu en h coups sera
m-fi +k — s+i k' — s — m-|-i + k — 2s-i-T
2 m + I + etc
Or 2 k = h — n.
Par les nombres renfermés dans des rectangles nous entcMidons des sommes de génitures, dont la puissance est h -f- i : If noini)re <iilirmi' exprime cha(|uc fois ((tlui des génitures qui composent la sDiiime en (juestion.
Lorsque m = 3, n = 5 et h = 13, on a s = 8. La premiènsérie devient alors 1 G | 1 i 1 divisé par 2'^ et la sctf)nd»' | 5 |
divisé par 2'-^. On a d'abord n = 5 et en second lieu k = 4, dans l'une et l'autre série on a de plus h = 13. On aie développement suivant :
