T^ 12 II

lOOT

C obtient à cause de ■< ^ ' l B 1456

ou -^7 i)our C. Il vient 2'3 128 '

ensuite: -, pour U.

1 1 u i t i c ni c 1'^ X e m p 1 e. Lorsque m = 3, n = 2 et h = 15, il s'ensuit k = 6. La

première série est alors 7 — 5 + 2 . Dans la dcuxiriiu- il

faut prendre 1 de moins jjour h, mais on a de nouveau k = 0. La deuxième devient | y | I 4 I + | 2 | divisé par 2''. Quant à la première, elle doit être divisée par 2'5.

h+ 1 = 16— 15— T4— 73- T2— IT I -| ^X iCi

C obtient à cause de A — ojo-j -^

QO^Q 2'"*

C obtient à cause de B -^ ..y

add.

Part de C - - '„ 32768

La part de D est donc — ^^.

L'auteur de 1',, Analyse" trouve que la chance de C est h celle

de D comme 13303 est h 3081, ce qui est impossible. Il a bien

trouvé la part cjui est due à C à cause de A, mais pour la part

qui revient à C à cause de B, il donne la fraction ~ ,i . Son ' 3276t>

erreur provient de ce qu'il n'a pas remarqué qu'ici h doit être

diminué d'une unité, car si l'on opère avec le nombre h lui-même,

on trouve le résultat indiqué par cet auteur. Il est aisé toutefois

de voir pourquoi il faut ici diminuer d'une unité le nombre des

coups: il est impossible pour A de gagner dans les loups de rang

pair et pour B de gagner dans les coups de rang impair. Par

conséquent c'est comme si l'on avait posé le problème de la façon

suivante: C perdra le jeu, à moins que B ne gagne du i^'^n^^ coup,

ou du 12'""^^ ou (lu 10"""'', etc. ou à moins que A ne gagne du

ji.iimc çJ^ joi'-me ^^^ (\^ j j i.-me ^-^up, etC.

Si l'on prend n = m, les séries qui précèdent immédiatement le y'"='"^ Exemple appartenant au 12"^'"^ Problème, ont la même valeur; la règle que nous avons appliquée dans lé ô'""'"^ Exemple est alors changée dans la suivante :

Portez p + q à la puissance n, retranchez-en les deux termes extrêmes, multipliez le reste par pp + 2 pq -f qq, retranchez-en de nouveau le premier et le dernier terme, multipliez de nouveau le reste par pp + 2 pq + qq, retranchez-en comme précédemment le premier et le dernier terme, continuez à agir de la même nianièri', justiu'à ce que vous aurez fait autant de multiplications qu'il y .1 d'unités dans k. lui divisant le reste par p -f c|'', vous trouverez la part de D.

S'il y a 2 joueurs A et B ayant chacun 4 pièces de monnaie et que C peut parier avec D i tegen i, sans avantage ni désavantage, que le jeu sera terminé en 4 coups, t|uel est le rapport des t:hances de A et de B de gagner une pièce de monnaie?

()ii trouve ---' î-^-^-î ^^^i--' = , d ou Ion tire:

pp — - P'I + MM =^ PM 1/ '-'• ^' ' "''' P^^t^ P^ '• '' '"'^ résulte (1 = 5-oQ- ^e qui veut dire (jue la chance de A est .\ celle de B

comme i est ;\ s " ■ ■'500

ii6

Dixième Exemple.

Si dans l'Exemple précédent on avait dit 6 coups au lieu de 4 coups et qu'on demandait la même chose, on aurait

--~^~- = ^. Un trouve par la que la chance de

A est à celle de B à-peu-près l'omme 2 est à i, ou comme

322 est à 125.

Quinzième Problème.

Un certain nombre de joueurs A, B, C, D etc. jouent une partie de trictrac ou de piquet. A et B commencent. Celui cjui perd met i florin. C joue ensuite avec le vainqueur; celui qui perd alors met de nouveau i florin an jeu. Après cela D joue avec le vainqueur; celui qui perd met i florin comme auparavant, et l'on continue de la même manière : chaque joueur qui perd met I florin au jeu. Et celui-là gagne l'enjeu total qui triomphe de tous les autres joueurs l'un après l'autre, qui gagne donc successivement un nombre de parties égal à celui des joueurs moins un. Lorsque tous ont joué, le tour est à l'eux Cjui ont les premiers perdu une partie dans l'ordre où ils ont joué. On demande en premier lieu quel est l'avantage ou le désavantage de chaque joueur, en second lieu quelle somme l'on pourrait parier que A ou B gagnera le jeu plutôt que C. On demande aussi quelle est la chance de gagner l'enjeu de deux joueurs qui se suivent immédiatement. Et en troisième lieu quelle est la durée moyenne de la partie entière?

On a proposé ce Problème à M. N. BernuULI.I. Celui-ci était d'avis que la solution qu'il en avait trouvée valait plus que tout ce qu'il avait inventé en cette matière, bien qu'il ne trouve que deux théorèmes à l'aide desquels il résout le problème, et non pas une formule générale. S'il v a 25 joueurs, il faut encore d'après les théorèmes dont nous avons parlé réduire 48 équations algébriques pour trouver la part d'un joueur, 22 équations s'il y a 12 joueurs, et ainsi de suite. Il nous a semblé bon de chercher une formule générale et nous avons trouvé la formule suivante : si l'on suppose qu'il v ait n + i joueurs, et qu'on pose 2" = a et I + 2" = b, l'avantage ou le désavantage d'un joueur quelconque

est exprimé par la formule suivante, où r est le numéro d'ordre du joueur au commencement du jeu:

n — b a — 2 r X bi> — a" b + b» — ' ar — n — r — i X a» ar X X b'> — '■— 1 X — — .

2bn — a X b'i— I — an Lorsque r = o, ou trouve le désavantage de A et de B, lorsque r = I celui de c, lorsque r = 2 celui de D, etc. C'est à dessein que nous avons conservé dans la formule la première fraction

— r— • de cette manière on ne tombe dans aucun embarras en b

cherchant l'avantage du dernier joueur. En effet, l'avantage ou le

désavantage du dernier joueur se trouve avoir toujours la valeur

n — b a — 21- X t>'> — a" b + b" — lar a'' X

îb" — aX b" — I

Premier Exe m pie.

S'il y a trois joueurs A, B et C, l'avantage de A aussi bien que celui de B est exprimé par — -• A cause du signe — , il s'agit d'un désavantage. L'avantage de C est -\ Mais si chaque joueur avait commencé par mettre i florin au jeu et que la condition était que tous ceux qui perdraient une partie, feraient

après cela une mise de z florins, l'avantage de C serait ^z — --. Dans le cas de trois joueurs, lorsque z = i, la perte de C est — -

D e u X i c me Exemple.

S'il y a quatre joueurs A, B, C et D, le désavantage de A

aussi bien que celui de B est " , l'avantage de C est ——7 et ^ 22201 '^ 22201

celui de 1) ^-^.

Troisième Exemple.

S'il y a 5 joueurs A. B. C, D et E, le désavantage de A aussi

bien que celui de B est- ''^.— , celui de C ^ - -, 1 avantage