CALCUL DES CHANCES AU MOYEN DE L'ARITHMÉTIQUE

Premier Problème.

Lorsqu'on a quelques chances de gagner un certain nombre de florins, et quelques autres de ne rien gagner ou de perdre de l'argent, quelle est la valeur moyenne de chaque chance?

P r e m i er Exemple.

Lorsque quelqu'un a 5 chances de gagner 10 florins et 11 chances d'en gagner 2, on demande la valeur moyenne de chaque chance. Rép. 4I florins.

On peut considérer ce cas comme une loterie où il y a 5 prix de 10 florins. La valeur de ces prix est donc de 50 florins, et la valeur des tt autres prix est de 22 florins, de sorte que les 16 lots ensemble ont une valeur de 72 florins : en divisant les 72 fl. par 16, on trouve pour la valeur de chaque lot la somme de 4-i florins.

Quelqu'un tire au hasard un billet d'un sac qui contient 3 billets de 25 florins, 2 de 10 florins et 20 billets sans valeur. On demande la valeur d'un tirage.

Chances. Florins.

divisé par 25 (. Rép. 3 florins 16 sous, i)

Troisième Exemple.

Quelqu'un a 3 chances de gagner 20 florins et 5 chances d'en perdre 10; on demande ce qu'il faudra lui donner, s'il consent à laisser passer son tour. Rép. i^ flor.

Chances. Florins.

3 — 20 r 60 gain

5— 10 1 50 perte

S { Rép. li fl.

I florin — 20 sous. N. d. tr.).

Quatrième Exemple.

Lorsqu'on a 6 chances de gagner 12 florins, 10 chances de ne rien gagner, et 20 de perdre 9 florins, quelle est la perte moyenne? Rép. 3 flor.

C!liances. Florins.

6 — 12 '" 72 gain "^ 10 — o <j o \- soustraction.

20 — 9 L 180 perte J

1 ^^^'P- perte de 3 fl.

Deuxième Problème.

On demande de combien de manières il est possible de grouper un certain nombre de lettres ou de pièces de monnaie, de sorte que l'ordre dans lequel elles se suivent soit difterent pour chaque position.

Supposons que nous ayons 3 lettres. 11 est possible de les grouper de i >. 2 X 3, c'est-à-dire de 6 manières, comme ci-dessous,

abc bac

Quatre lettres peuvent être groupées de i X 2 X 3 X 4 ou de 24 manières, et 5 lettres de 1X2X3X4X5 ou de 120 manières, et ainsi de suite, (ce signe X signifie : multiplié par) ; il faut prendre d'une progression arithmétique qui commence par l'unité et dont la raison est égale à l'unité, autant de termes que Ton a de lettres ou de pièces de monnaie; tous ces termes doivent être multipliés l'un par l'autre; on obtiendra ainsi le résultat désiré.

On trouve par là, en ajoutant les logarithmes de tous les nombres depuis I jusqu'à 52, de combien de manières environ 52 cartes peuvent être groupées, de sorte que l'ordre dans lequel elles se suivent soit chaque fois un autre. Le nombre qui correspond à la somme de tous ces logarithmes est 8065 et 64 autres chiffres. Ce nombre est beaucoup plus grand que le produit de mille milliards par le nombre de grains de sable de grandeur ordinaire qu'une sphère creuse grande comme la terre pourrait contenir. Cela paraît incroyable, et cependant il est facile d'en donner la preuve.

Troisième Problème.

Si l'on a quelques pièces de monnaie ou quelques cartes, on demande de combien de manières différentes il est possible d'en prendre un nombre donné.

Premier Exemple.

Supposons que l'on possède 12 pièces de monnaie de formes différentes ou 12 cartes, et qu'on demande de combien de manières on en pourrait prendre 3, de sorte qu'on n'eût jamais les mêmes. Pour résoudre ce problème on écrit une progression arithmétique, dont le premier terme est égal au nombre des pièces de monnaie ou des cartes, et dont la raison est — i ; le nombre des termes doit être égal à celui des pièces de monnaie ou des cartes qu'on en veut prendre. En-dessous de cette progression arithmétique on en écrit une seconde qui possède autant de termes, qui commence par I et dont la raison est + i. On divise les- termes de la première progression par ceux de la seconde (ce qui ne donne jamais de fractions), on multiplie l'un par l'autre les nombres qui restent, et le produit est le nombre demandé.

220 . On peut donc prendre trois cartes de 220 façons. La raison de cette règle n'est pas difficile à apercevoir. Supposons que l'on ait 5 objets différents, a b c d et e. Il est évident qu'on peut en prendre un seul de 5 manières différentes. Pour savoir alors de combien de manières on peut en prendre 2, de sorte que la suite de ces deux nombres soit chaque fois différente, il faut remarquer que a peut être pris avec chacun des 4 nombres suivants; et comme la même chose est vraie ])our b, c, d, e, il s'ensuit que les combinaisons demandées sont au nombre de 5 n 4 ou de 20, comme on le voit ci-dessous.

ab ba ca da ea ac bc cb db cb ad bd cd de ec

be ce de éd.

Si l'on veut voir ensuite de combien de manières 5 lettres peuvent être combinées 3 à 3, de sorte que l'ordre des termes soit chaque fois différent, il faut placer encore une lettre derrière les autres. Or, il est certain que, quelles que soient les deux lettres écrites d'abord, on a encore le choix, pour en ajouter une, entre les trois lettres restantes. Les 5 lettres peuvent être combinées deux-àdeux, comme nous l'avons démontré, de 5 X 4 ou de 20 manières, les combinaisons demandées de trois lettres sont donc au nombre de 5 X 4 X 3 ; et en continuant à raisonner de la même manière, on verra que les 5 lettres peuvent être combinées 4 à 4 (l'ordre des termes étant chaque fois différent) de 5 X 4 X 3 X 2 ou de 120 manières, et 5 à 5 de 5 >. 4X3X2X1 ou de 120 manières également. On voit donc que la formule du deuxième Problème est démontrée.

Voyons maintenant de combien de manières on peut de 12 lettres en prendre 3 de sorte qu'on n'ait jamais les trois mêmes lettres. On conclut de la formule du Problème précédent que 1 2 lettres peuvent être combinées 3 à 3 dei2XiiXiooude 1320 manières, l'ordre étant chaque fois différent ; mais dans ces combinaisons beaucoup contiennent les mêmes lettres. On trouve par le deuxième Problème que 3 lettres peuvent i X 2 X 3 ou six fois être placées l'une à côté de l'autre dans un ordre différent, si on les prend toutes les trois. Les lettres abc par exemple sont comprises dans les 12 X 11 X 10 ou 1320 combinaisons de toutes les manières dont il est question dans le deuxième Problème; et comme la même chose est vraie pour chacune des trois lettres qu'on tire des douze lettres données, il s'ensuit que les combinaisons demandées sont au nombre de 12 ,,; 11 X 10 ou 1320 divisé par 1X2X3 ou 6, c. à d. au nombre de 220. De ce qui a été dit résulte la règle que nous venons d'énoncer.

On demande quelle est la probabilité, étant données 40 cartes, d'en tirer 3 cartes désignées d'avance.

On peut de toutes les cartes en prendre trois de 9880 manières différentes. Or, il n'y a parmi tous ces cas qu'un seul cas favorable. On a donc 987g chances de perdre et une chance de gagner.

Troisième Exemple.

On demande la chance de gagner d'une personne qui parie de deviner l'une après l'autre les trois cartes qu'elle tire d'un jeu de 40 cartes.

Supposons que cette personne ait déjà deviné deux cartes l'une après l'autre. Restent alors encore 38 cartes et elle a une chance

contre 37 d'en tirer celle qu'elle nomme. Elle a donc droit à „ de

l'enjeu. Mais avant de prendre la deuxième carte, elle n'a droit

qu'à de ce „. c. à. d. à ^^ de l'enjeu, et avant de commencer

à — de — ^^ , de sorte que sa part de l'enieu est alors — ^, le 40 1482 -1 r j 59280'

reste de l'unité appartenant à son adversaire.

Mais si l'on veut se servir de la méthode que nous avons suivie

dans le premier et dans le second Exemple appartenant à ce Problème,

il suffit de multiplier l'un par l'autre les nombres 40, 39 et 38, ce

qui donne 59280 pour toutes les manières dont 40 cartes peuvent

être combinées 3 à 3, l'ordre étant différent dans chaque cas.

Parmi ces cas il n'y en a qu'un favorable au parieur, et 59279

qui lui sont contraires.

On demande la chance de gagner d'une personne qui parie de tirer du jeu nommé cinq cartes de même couleur (ou ,,Lanterlu").

En multipliant l'un par l'autre les nombres qui restent, on trouvera 658008 pour le nombre des combinaisons des 40 cartes 5 à 5.

En opérant sur ces nombres comme ci-dessus, on trouve que

l'on peut tirer 5 cartes d'une même couleur de 2^2 manières ; et et en multipliant ce nombre par 4, vu qu'il y a quatre espèces de cartes, on trouve 1008, ce qui représente le nombre de cas favorables au parieur.

Nombre total des chances 658008

Nombre des cas défavorables ôsvooo contre looS cas favorables.

ou 9125 contre 14, ce qui est la

probabilité demandée.

Cinquième Exemple.

On demande la chance de gagner d'une personne, qui tire g

cartes d'un jeu de 36 cartes, et qui veut parier d'avoir les quatre as.

Il faut calculer d'abord de combien de manières on peut combiner

toutes les cartes 9 à 9, et ensuite les 32 cartes qui restent 5 à 5.

fi —