De o à

., lO ,,

5 ans. 10 ,, .

,, 70 ans et au-dessus

Nombres des classes

Nombres des actions

Rente de

chaque

action en

livres

Rentes annuelles en livres

Taux de l'intérêt

goo

Pour calculer d'après la formule de la page 404 le taux de l'intérêt que la société paye aux assurés, je considérerai la dernière classe et j'admettrai que sa durée est de 2^ ans. Alors

n == 23, b = 100, r ^ 17. Il s'ensuit que — — = •

On trouve aisément qu'on a à-peu-près x=ii2 — •

Le taux de l'intérêt est donc de 12 — 0 a- Dans toutes les classes

précédentes les taux de l'intérêt diffèrent fort peu des taux des

rentes annuelles. Ce contrat doit donc être fort avantageux pour

le public et désavantageux pour le Roi, si l'on suppose que les

rentes soient payées régulièrement et que la valeur des livres ne

soit pas changé. En effet, quand même on supposerait que la

durée de chaque classe de la tontine soit encore inférieure de 5

ans à celle que j'ai admise, on devra néanmoins payer plus de

42 millions tandisqu'on n'en reçoit que g. Le grand désavantage de ceux qui vendent les actions aux conditions indiquées peut aussi être démontré de la façon suivante. Il est peu probable qu'au bout de 12 ou de 13 ans une des classes sera éteinte; par

conséquent le payement intégral qui est de g — ^j^ devra avoir

lieu tous les ans pendant ce temps. Je me propose maintenant de calculer au bout de combien de temps tout l'argent reçu par

le Roi sera rendu par lui aux assurés, avec un intérêt de 2— ^Jq,

comme on le payait en Hollande en 1746. Comme le nombre x est alors connu, je le remplace par le nombre p dans la formule de la page 404, tandis qu'à n, nombre inconnu, je substitue y. Je trouve ainsi

py r

by b 4- r — p'

Posant b + r — pi^m et prenant alors le logarithme de l'équation, on trouve

log. r — I02:. m

log. p — log. b

En ce cas r = g — , m = 6 — , p = 102— et b = 100. Par con-

séquent, les nombres r et m sont entre eux comme 1462 et g37, et les nombres p et b, comme 41 est à 40; et il suffit de diviser la différence des logarithmes de 1462 et de g37 par celle des logarithmes de 41 et de 40. On trouve ainsi le résultat: 12 années. Au bout de ce court espace de temps tout l'argent d'après nos

hypothèses sera rendu au public avec un intérêt de 2— 0/0. On

peut songer quelles grandes sommes d'argent devront encore être payées avant que toutes ces classes, surtout la première et celles qui la suivent, auront disparu. Dans l'ouvrage intitulé ,, l'Encyclopédie", dont la première partie a été imprimée à Paris en 1751,. je trouve dans cette partie au mot ,, Annuité" quatre problèmes, que j'ai déjà considérés en 17 16 1). Le quatrième (p. 132) est le suivant. Supposons qu'on prête à quelqu'un a florins pour recevoir à son tour e florins par an, durant y ans, de telle sorte qu'un intérêt de c "/^ par an y soit compris, et qu'on prenne l'intérêt

I Dai\s le „Calcul des Loteries et des Intérêts", par N. S. imprimé à Amsterdai en 17 16.

composé, quel sera le nombre considéré d'années? L'auteur dit de ce problème: ,,Mais ce problème est encore plus difficile, l'inconnue se trouvant ici en exposant. On peut néanmoins le résoudre par tâtonnement; mais je ne connais point de méthode directe pour y parvenir." On peut cependant fort bien résoudre ce problème directement. En efïet, nous avons trouvé, à la page 403,

donc r ^ — .

On a aussi x = b -f c,

et d'après la formule

by r — c

b + c Posez — — = m, prenez le logarithme des deux membres de

l'équation et cherchez la valeur de y. Vous trouverez

log. r — log. r — c •^ log. m

C'est là le nombre cherché d'années.

En se servant de la formule de la page 404, on peut instituer une tontine telle qu'on la préfère. Je suppose par exemple que les payements annuels soient les mêmes pour toutes les classes. Dans

la formule r- représente le nombre de florins sur lesquels la

société d'assurances paye un intérêt annuel d'un florin; ce nombre est ici connu; je l'appelle g. Le nombre z est également connu; je le remplace donc par s. Soit x le nombre des actions appartenant à chaque classe et supposons que chaque action ait été achetée pour d florins. Le nombre a doit donc être remplacé par d X, et par conséquent

s — ige = dsx

ou s — I . e g

Pour en faire une application numérique, je prends e ^ fl. 3000 pour le payement annuel reçu par chaque classe, g = 40 et d = 250; et je considère la classe des jeunes gens âgés de 10 à 15 ans, supposant que cette classe durera 83 ans. Je pose ensuite b= 100 et j'agis comme suit.

log, ge ou 120000:^5,079181 log. ^ ^0,010723,8

log. s — 1=0,830191 log. s ^ 0,890075 ; nombre correspondant; 7,7638 5,909372 log. d =2,397940 log. d s := 3,288015 log. ds =3,288015 2,621357 x= 481 actions. L'argent payé au comptant par le public

Si je suppose que la classe de 40 à 45 ans ait une durée de 53 ans, le nombre des actions doit être de 286 et l'argent payé au comptant de fl. 71500. Si la société peut vendre un plus grand nombre d'actions appartenant à une même classe, il n'est pas nécessaire de refuser: on peut diviser ces actions et en faire un plus grand nombre de classes. En effet, il est plus avantageux pour la société de mettre un petit nombre de gens dans une même classe. Si l'on voulait instituer une tontine de 200 actions, dont chacune

coûterait fl. 250, l'intérêt annuel payé par la société étant de 2— »/o

et la durée de 83 années; et si l'on désirait savoir quel est le 0 0 de l'argent reçu par la société qu'elle doit payer annuellement en rentes, on peut aisément trouver ce o/q à l'aide du calcul suivant.

Log. s = 0,890075 trouvé plus haut

Log.

Log. s

On trouve ainsi 2,8696 ^/q. Le payement annuel est donc de fl. 1434 et de 16 sous.

Cinquième Chapitre.

Remarques sur les pensions pour veuves.

Parmi les gens mariés, dans les cas où le mari occupe un poste ou en général reçoit un salaire qui cessera d'être payé le jour de sa mort, quelques-uns ont commencé depuis quelque temps à prendre soin de leurs épouses dans le cas où elles survivent leurs maris; il s'agit d'empêcher que les veuves, faute d'un revenu fixe, ne tombent dans la misère, si elles ne possèdent pas un capital suffisant. A cet effet quelque maris conviennent de payer chaque

année tant que leur mariage subsiste une certaine somme d'argent et de confier cet argent à quelques directeurs. Une telle institution s'appelle une Caisse de Veuvage : cette caisse paye annuellement à chaque veuve dont le mari a signé le contrat (ou à une autre femme arbitrairement choisie par un des membres qui est célibataire ou qui assure la vie d'une femme qui n'est pas son épouse) une somme fixe jusqu'au jour de sa mort ou jusqu'à ce qu'elle se remarie. Dernièrement on a créé un grand nombre de ces caisses ici à Amsterdam et dans d'autres villes de notre pays i); mais les conditions et les règlements ne sont pas les mêmes partout. Ce serait trop long de publier ici toutes les nombreuses particularités de ces institutions ; je me contenterai d'indiquer les conditions principales d'une de ces caisses.

Une caisse de ce genre a été créée à Amsterdam en 1750 par loi hommes, sous la devise: ,,Voorziet uw huis" (Prenez soin de votre maison) ; elle commençait le i Août. On l'appelait aussi Contrat de Survivance. On avait déterminé comme suit les sommes à payer et les rentes annuelles que recevraient après la mort des membres leurs épouses ou plus généralement les femmes assurées.

Age

Au-dessous de 35 ans.

De 35 à 40 ans ,

Somme à payer au l y commencement

fl- 50

ersement annuel

Si la femme assurée était plus jeune de 5 ans que l'homme qui l'assurait, ce dernier devait payer de plus tant au commencement qu'annuellement; si elle était plus jeune de 9 ans,— de

plus; de 12 ans, de plus; de 14 ans, la moitié de plus, de 16

ans, — de plus et de 16 à 20 ans. le double. Si la différence des 4 '

l) Consultez les Annales néerlandaises du mois de Février de l'année 1749,

p. 149 — 154, du mois d'Août de l'année 1750, p. 727 — 740, du mois de Mars de la

même année, p. 260 — 268, de l'année 1749, p. 495, du mois d'Octobre de colle dernière année, p. 843 — 853, elc.

âges était encore plus grande, on ne pouvait prendre part à la caisse. — La rente annuelle des veuves était de fl. 200 la première année, de fl. 250 pendant chacune des deux années suivantes, puis de fl. 300 par an.

Parmi les 10 1 participants cinq n'avaient pas encore indiqué les noms des femmes. L'âge total des 96 hommes était de 3844 ans, donc d'un peu plus de 40 en moyenne ; l'âge total des 96 femmes était de 3599 ans, donc de 37— ans à-peu-près pour chacune d'elles en moyenne.

Calcul d'u ne Caisse de Veuvage.

Si l'on veut faire un calcul exact au sujet de ces caisses, on rencontrera plus de difficultés qu'on n'en aperçoit à première vue. Il faudrait avoir quelques exemples de caisses déjà éteintes ou encore existantes, mais du moins pendant de longues années. Il faudrait connaître les âges des hommes et des femmes à l'époque du premier versement, ainsi que les âges auxquels les veuves s'étaient remariées ou avaient été perdues de vue ; puis encore les dates des décès pour les deux sexes. On pourrait alors les réduire en classes et voir quelles règles on en pourrait déduire.

11 me semble, il est vrai, qu'on trouvera quelque différence sous ce rapport d'une ville à une autre, ainsi que pour des personnes de condition différente ; il paraît par exemple qu'on ne se remarie pas avec une égale fréquence quand on est riche et quand on est pauvre.

On ne doit donc pas s'attendre ici à un calcul parfaitement exact ; nos considérations ne servent qu'à rendre probable que dans toutes ces caisses on paye trop aux femmes qui deviennent veuves les premières. Les auteurs des projets de ces caisses auraient-ils voulu donner des sommes incomparablement plus grandes aux premières veuves, dont les maris n'ont versé leur argent que pendant quelques années, qu'aux vieilles veuves, dont les maris ont payé les versements annuels si longtemps? Cela paraît peu raisonnable.

Les pasteurs de la classe de Dordrecht ont payé une rente plus petite aux veuves des pasteurs qui n'avaient fait partie de la classe que pendant six ans, qu'à celles dont les maris y avaient été 9,

12 ou 15 ans i).

1) Consultez la Suite à la ,, Démonstration" de M. Jean van der Burg, Seigneur de .Sliedrccht, p. 125, Dordrecht, 1738.

Les principales raisons pour lesquelles les veuves peuvent recevoir une rente annuelle supérieure au versement annuel de leurs maris, sont les suivantes. D'abord, on ne paye cette rente au commencement qu'à celles qui sont déjà devenues veuves ; et les directeurs peuvent placer le reste du capital à un intérêt composé. En second lieu, lorsque les épouses meurent avant leurs maris, les veufs n'ont plus aucun droit à l'argent de la caisse ; les sommes qu'ils y ont versées, sont donc entièrement au profit des autres.

Pour en donner un exemple, je suppose que mille couples mariés, dont les maris aient tous l'âge de 40 et les femmes l'âge de 37— ans, créent une caisse, à cette condition que chaque couple marié y verse annuellement 100 florins, depuis l'époque de la création, mais que ceux qui deviennent veufs, soient exempts de nouveaux payements, les sommes qu'ils ont déjà versées restant au profit de la caisse. La question est de savoir quelle rente on peut payer annuellement à chaque veuve, soit durant sa vie soit jusqu'au moment où elle se remarie (car dans ce dernier cas elle ne reçoit plus rien), si la société qui reçoit l'argent ou les directeurs de la caisse payent un intérêt annuel de 3 o^^.

Pour résoudre plus «ou moins cette question je me servirai des deux tables de la vie des hommes et des femmes qu'on trouve dans l'Appendice à mes ,, Hypothèses sur l'Etat de l'espèce humaine" p. 231, et je déterminerai d'après le calcul des chances, en me servant de la méthode du docteur Halley i) quel est le nombre des veuves qui reçoivent une rente. Pour abréger, je ferai le calcul à l'aide de logarithmes.

Dans la table des hommes je trouve que de 424 personnes âgées de 40 ans, 371 vivent encore après cinq ans, de sorte que 53 d'entre elles sont mortes. Sur 388 femmes âgées de 37— ans, 43 sont mortes en 5 ans, de sorte qu'il en restait 445. Je fais ensuite les calculs suivants.

log. 48812,6884 log. 1000 3,0000 log. 1000 3,0000 log. 1000 3,0000