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le calcul serait trop long. On est parvenu à le simplifier, par la combinaison des deux proportions ci-dessus de la manière suivante:

En multipliant ces deux proportions terme à terme, on obtient celle-ci •

Si l'on supprime le facteur commun et inconnu y de l'un et de l'autre conséquent de cette proportion, on ne la détruit point, puisque le produit des extrêmes reste égal à celui des moyens, et l'on a la proportion suivante :

de laquelle on déduit la règle de trois :

Mais ce mode de calculer était encore bien lent. On l'a simplifié par l'application de ce principe que, les deux rapports qui composent une proportion étant égaux, on trouve le terme inconnu en divisant le terme connu par le rapport connu en opérant la règle de trois par la division. En effet, dans la proportion :

on peut observer que le premier rapport 100 X 365 : 4 revient dans tous les calculs qui ont pour base le même taux d'intérêt, soit 4 p. 0/0, quels que soient la somme et le nombre des jours proposés. On a donc cherché, une fois pour toutes, quel était ce rapport, soit: !^y65,Ott, calcul fait, 9.125. En divisant par ce nombre le terme connu du second rapport, 2420x27, c'est-à-dire 66.150, on doit avoir pour produit l'inconnu a?, l'intérêt demandé. L'opération se fait donc ainsi :

L'intérêt de 8.450 fr. à 4 p. 0/0 pendant 27 jours est donc égal à 7 fr. 24, plus une fraction qui excède visiblement 1/2 centime. Cet intérêt peut donc être évalué à 7 fr. 25.

En général, et quelle que soit la somme dont on cherche Tintéret, quel que soit le nombre de jours pendant lequel cet intérêt court, quel que soit le taux auquel la somme est placée, « on trouve l'intérêt, pendant un nombre de jours donné, en multipliant la sommé par le nombre des jours et en divisant le produit par le rapport qui existe entre 36.500 et le nombre qui exprime le taux de tintéret, soit 4, 5, 6, ou plus ou moins, p. 0/0 ».

Ges rapports, relevés une fois pour toutes: et gravés dans la mémoire de tous les praticiens, ont pris le nom de diviseurs fixes, parce qu'en effet ils ne changent pas, et sont employés toutes les fois qu'il s'agît de faire des calculs sur le même taux d'intérêt.

La multiplication de la somme par îe nombre des jours pendant lesquels l'intérêt a couru donne un produit qui représente la somme dont l'intérêt pendant un jour serait égal à celui de la somme proposée pendant îe nombre de jours qui a couru. Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, Tinté-

rêt pendant un jour de 66.150, qui contient 27 fois 2.450, est égal à l'intérêt de 2.460 pendant 27 jours. Il s'agit donc toujours, en définitive, de chercher l'intérêt d'une somme donnée et désormais connue, ou du moins facile à obtenir, pendant un jour.

Parmi ceux qui s'occupent de calculs d'intérêts, ce produit de la somme par le nombre des jours s'appelle le nombre par excellence, parce qu'il est, en quelque sorte, le point de départ des opérations, et qu'on en fait un très grand usage dans l'établissement des comptes courants.

Dans la pratique française f, on abrège les calculs employés plus haut, lesquels seraient encore fort longs: i°en supposant que l'année n'a que 360 jours, ce qui arrondit le rapport du premier terme de la proportion, c'est-à-dire le diviseur fixe ; 2° en retranchant les deux derniers chiffres à droite du nombre qui ne donnent au quotient que des fractions de centime et les deux derniers chiffres à droite du diviseur.

Ceci posé, on sait que le diviseur fixe pour 3 p. 0/0 est 12.000 ; pour4 p. 0/0, 9.000; pour4 1/2 p. 0/0, 8.000; pour 5 p. 0/0, 7.200 ; pour 6 p. 0/0, 6.000 ; pour 7 i /2 p. 0/0, 4.800 ; pour 8 p. 0/0, 4.500 ; pour 9 p. 0/0, 4.000, etc.

Si l'oa applique ces deux moyens de simplification à Pexempie ci-dessus, on aura pour diviseur du produit de ia multiplication de la somme par le nombre des jours le rapport H£2p2 ~ 0.000. Alors l'opération se posera ainsi qu'il suit : |^f ou, en retranchant les deux derniers chiffres à droite des deux termes,

On remarquera que le quotient ainsi obtenu $st un p«u

€ Â rÉîrsngcr, notamment en Angleterre, on calcule tas intérêts sur lii jour?', «I Von prend pour type la taux de 5 p. 0/0, qui&pour diviseur Û%& 7.300 on 73. On se sert aussi, plus que ches nous, de» fearêmes ou «etîïptes faits.

plus élevé que celui qui résulterait d'un calcul rigoureux. Gela tient à ce qu'on a compté 360 jours dans l'année au lieu de 365 ou 366. Le jour d'intérêt, au lieu de représenter 1 /365 ou 1 /366 de l'intérêt annuel, est compté pour 1/360. — Souvent, pour compenser cette différence, on porte tous les mois à 30 jours, douzième de 360.

Dans l'exemple ci-dessus, le dernier chiffre retranché à droite du produit de la somme par le nombre des jours 66.150 était un 5. Afin de réduire l'erreur volontaire que l'on commet par le retranchement des chiffres qui expriment des fractions de centime, on aurait pu ajouter une unité au dernier chiffre conservé, et prendre pour dividende 662 : on aurait dû ajouter cette unité, si le chiffre retranché avait été supérieur à 5: on ne l'ajoute jamais, s'il est inférieur à ce nombre.

Mais, comme les diviseurs que donnent les divers taux d'intérêt ne sont pas tous des nombres aussi commodes dans le calcul que 9.000, on a pris le parti de calculer toujours l'intérêt par 6.000, diviseur fixe pour le taux de 6 p. 0/0, et de défalquer du produit 1/6, s'il s'agit de 5 p. 0/0; 1/3, s'il s'agit de 4 p. 0/0 ; 1/12, s'il s'agit de 2 1/2, et ainsi de suite. Enfin, au lieu de diviser le nombre par 6.000, on retranche deux chiffres à droite du &vidende, et l'on divise par 60.

Cette manière de calculer l'intérêt d'une somme donnée pendant un certain nombre de jours est connue sous le nom de méthode des diviseurs fixes, parce que, pour toutes les sommes prêtées à un taux d'intérêt, le diviseur est le même, et il suffit de le placer dans sa mémoire une foi* pour toutes, pour être dispensé de le rechercher ensuite. Cette méthode a été longtemps seule employée en banque, et c'est par elle que l'on obtient la démonstration de toutes les autres méthodes relatives aux calculs des intérêts.

2* Méthode des multiplicateurs. — La méthode des diviseurs fixe3 et la proportion fondamentale sur laquelle elle est établie ont conduit à la découverte de deux autres méthodes : celle par les multiplicateurs, et celle par les parties aliquotes. La première, qui a servi à la formation

CALCUL DES INTÉRÊTS ET DES ESCOMPTES G3o

delà plupart des livres d'intérêt ou comptes faits, consiste à multiplier le nombre, ou produit de la multiplication de îa somme par le chiffre des jours où l'intérêt court, par une fraction dont le numérateur est le chiffre qui exprime le taux de l'intérêt et le dénominateur 36.000. Ainsi, avec les données de l'exemple employé ci-dessus, l'intérêt de 2.450 francs pendant 27 jours est égal à:

8450 X 27 X m£» soit : * = 6J§iïT = '•«•

À proprement parler, l'opération est la même que par les diviseurs fixes : il n'y a de différence que dans l'ordre des calculs et la disposition des chiffres.

Les fractions ordinaires fixes ont été réduites, par un grand nombre de praticiens, en décimales pour la rapidité deB calculs, et elles ont fourni le moyen d'obtenir des résultats prompts, mais surchargés de chiffres, et, par conséquent, de chances d'erreurs.

On connaît, par ce qui précède, l'origine du rapport B555, et l'on sait que la multiplication d'un nombre par une fraction équivaut à sa multiplication par le rapport qu'exprime cette fraction. Il est donc inutile d'insister sur cette méthode, àiie des multiplicateurs, qui, d'ailleurs, est peu employée.

3* Méthode des parties aliquotes. — Les praticiens préfèrent avec raison la méthode des parties aliquotes, fondée sur le raisonnement direct, qui les dispense de chercher le nombre, c'est-à-dire de multiplier la somme par le nombre des jours. Ils disent donc :

« Quel nombre de jours est nécessaire pour que i franc d'intérêt, placé à un taux donné, produise un centime d'intérêt ? Précisément le nombre de jours indiqué par la division de 360 par le chiffre qui exprime le taux de l'intérêt. Si, par exemple, l'intérêt de 1 franc pendant un an, soit 860 jours, est de 4 centimes, il est clair qu'il faudra pour produire le quart de 4 centimes un nombre de jours égal au quart de 360, soit 90. Si l'intérêt courait à 5, il faudrait prendre le cinquième de 360, soit 12 jours, et, s'il

courait à 6, il faudrait prendre le sixième, soit 60 jours.

« Qu'est-ce que le centième d'une somme quelconque ? C'est un centime pour chacun des francs qui la composent..

« Or, le centième peut être obtenu facilement, puisque, pour le trouver, il suffit de placer une virgule après le second chiffre à droite de la somme proposée. »

Soit demandé l'intérêt de 2 450 francs placés à 4 p. 0/0 pendant 15 jours.

Le centième de 2.450 est 24,50. Ce centième étant l'intérêt de 2.450 pendant 90 jours, l'intérêt cherché est à ce centième comme 15 jours est à 90 jours; et comme 15 est le sixième de 90, il suffit de diviser 24,50 par 6 pour avoir l'intérêt cherché. On écrit donc :