Le Traité de Mécanique de Roberval

C'est seulement d'une manière incidente, comme appendice à la théorie du mouvement local, que le P. Fabri avait traité des Méchaniques ; encore s'était-il borné à présenter sous une forme très générale et très concise le principe qui en justifie l'emploi; ses leçons, publiées par Pierre Mousnier, ne pouvaient donc, en aucune laçon, jouer le rôle d'un traité de Statique. Ce rôle n'était pas joué davantage par l'écrit du P. Zucchi; cet écrit n'avait

rien d'un traité complet de Statique ; c'était bien plutôt un essai critique sur les principes de la Mécanique.

C'est, au contraire, un traité complet de Mécanique que Roberval se proposait d'écrire.

La publication de cet ouvrage était ardemment souhaitée par les amis du Professeur au Collège de France. En reproduisant, dans ses CogUafa physico-mathematicd, les théorèmes de Roberval sur le plan incliné, Mersenne espère (i) qu'il excitera « ceux qui s'adonnent aux études de Mécanique à réclamer de notre grand géomètre, qui le cède à peine à Archimède, l'exposé des autres parties de cette Science ; et à le réclamer avec tant d'importunité qu'ils finissent par l'obtenir, pour le plus grand honneur des lettres •». Ces réclamations ne furent pas assez puissantes pour vaincre la répugnance que Roberval paraît; avoir éprouvée à l'égard de la publication de ses oeuvres.

Le traité de Mécanique de ce grand géomètre n'était cependant point demeuré à l'état de projet ; il avait été composé en entier ; nous en avons le témoignage par une lettre que l'auteur adressait en i65o à Hevelius (2) ; cette lettre nous fait même connaître les titres des huit livres qui devaient composer cet ouvrage : « Nous avons construit, dit Roberval, une Mécanique nouvelle, depuis les fondations jusqu'au faîte; sauf un petit nombre, les pierres antiques avec lesquelles elle avait été édifiée jusqu'ici ont toutes été rejetées. Elle est complète en huit étages, auxquels correspondent des livres en même nombre.

T. Le premier livre traite, d'une manière générale, du centre de vertu des puissances ; on y cherche s'il existe un tel centre, à quelles puissances il convient et quelles sont celles auxquelles il ne convient pas.

r> Le second traite de la balance ; on y examine les poids qui se peuvent faire équilibre.

(1) Mersenni Cogitata physico-mcdhcmatica. Tractatus mechanicus, (2)Euygens et Roberval; Doctonents inédits par C. Henry. Leyde, 1880.

" Le troisième traite du centre de vertu des puissances en particulier.

» Le quatrième est consacré à un extraordinaire larcin.

w Le cinquième a pour objet les instruments et les machines.

" Le sixième a trait aux puissances qui agissent au sein de certains milieux ; on s'y occupe des corps flottants.

y> Le septième est consacré aux mouvements composés.

w Le huitième, enfin, traite du centre de percussion des puissances mobiles. «

Ce traité de Mécanique ne nous est point parvenu.

Longtemps après la mort de Roberval, on publia (i), en annexe à son traité géométrique qui a pour titre : Obsei'vatwns sur la composition des moicvemens , un court fragment désigné par ces mots : Projet (ïiin livre de Mécanique traitant des mouvemens composés ; ce fragment, dont nous aurons à nous occuper au § 4, peut être regardé comme un essai pour le septième livre du traité de Mécanique; mais cet essai se borne à ce qui devait former les premières pages de ce livre.

D'autres fragments, composés par Roberval sur divers sujets de Mécanique, et presque tous inédits, se trouvent en un cahier manuscrit conservé à la Bibliothèque Nationale (2).

(l) Divers ouvrages dk Mathématique et de Physique par Messieurs de l'Académie royale des Sciences. A Paris, MDCXCIII.

(2. Bibliolhèque nationale, fonds lalin, Ms. n° 722G. — Voici la composition exacte de ce nianuscril :

Fol. 1 : blanc — fol. 2 (rectoj à fol. 50 (verso) : Tractatus mechayiicus a D. D. Roberval, anno 1645. — fol. 51 (recto) à fol. 55 (verso) : Bemonstratio mechanica. — fol. 54 (recto) à fol. 54 (recto) : Lettre de Monsieur de Roberval à Monsieur de Fermâtes, conseiller de Thoulouze, contenant quelques propositions méchnniques. — fol. 34 (verso) à fol. 56 (verso) : Proposition do Monsr de Roberval qui sert à trouver les centres de gravité. Envoyée à M>' Fermât le premier avril 1645. — foll. 57 et 58 : blancs. — fol. 59 (rccto) à fol. 82 (recto) : Theorema lemmaticum ad invenietidn centra gravitatis mire inserviejis a D. D. Roberval : anno /ffîS (Ce frajjment ne contient pas seulement le lemme dont il s'agit, mais encore l'application de ce lemme h la recherche des centres de gravité du dcmicerclo, de la demi-circonférence, de la trochoïde,

Parmi ces fragments, il en est assurément plusieurs que l'on doit regarder comme des ébauches de quelque livre du Traité de Mécanique annoncé dans la lettre à Hevelius.

Le Tracfatus meclianicus que l'on trouve au début du cahier manuscrit ne paraît pas être autre chose que le commencement du premier livre de ce traité. C'est bien, en effet, le centre de vertu de puissances quelconques que Rùberval se propose comme objet de ses déductions.

Roberval définit ce qu'il entend par puissance (virius seu potentia) ; à ce mot, il attribue exactement le sens que nous attribuons au mot force ; c'est, du reste, le sens qu'il lui attribuait dès i636, dans la lettre à Fermât que nous avons déjà mentionnée au Chapitre précédent : « Nous appelons en général une puissance, y disait-il, cette qualité par le moyen de laquelle quelque chose que ce soit tend ou aspire en un autre lieu que celuy où elle est, soit en bas, en haut ou à costé, soit que cette quantité convienne naturellement à la chose ou qu'elle luy soit communiquée d'ailleurs. De laquelle définition il s'ensuit que tout poids est une espèce de puissance, puisque c'est une qualité par le moyen de laquelle les corps aspirent vers les parties inférieures. Souvent nous appelons aussy du nom de puissance la mesme chose à laquelle la puissance convient, comme un corps pesant est appelé un poids, n

de la courbe associée à la Iroclioïde et du triangle). — fol. 82 (verso; et foU. 85 et 84 : blancs — fol. 85 (recto) à fol. 207 (recto) : Traicté de Medianique et sjjecialement de la conduitte et élévation des eaux. Par Monsieur de Roberval — fol. 207 (verso) à loi. 210 (recto): Proposition fondamentale pour les corps flottants sur Veau. — Le reste du cahier est blanc. Ue ces divers écrits, un seul a été publié ; c'est la lettre à Keriuat, écrite le M octobre 1G56, et relative à la querelle sur la proposition géostaiique; le commencement de cette lettre fut publié en I(j79, à Toulouse, dans les Varia opéra mathematica U. Pétri de Fermai, pp. 158-141 ; la lettre a été donnée in extenso par Paul Tannery et Ch. Henry dans leur édition des Œuvres de Fermât, t. II. Co)'resp07idance, art. XiV, p. 75. Tous les autres fragments sont inédits ; ils mériteraient les honneurs de la publication.

Pour employer notre langage moderne, c'est la composition des forces appliquées à un corps solide que Roberval se proposait d'étudier au premier livre de son Traité de Mécanique, dont le Tractatns mechanicus de 1645 nous présente sans doute le début.

Le problème est posé, tout d'abord, avec une grande généralité ; le corps peut être un point, une ligne, une surface ; il peut être étendu en toutes dimensions ; les forces peuvent être quelconques. Mais cette généralité ne tarde pas à subir des restrictions, explicites ou implicites ; en fait, Roberval admet que la puissance dont est doué chacun des éléments du solide a une grandeur invariable ; il admet qu'elle a une direction fixe ou bien qu'elle se dirige vers un centre fixe.

Ces restrictions rendent légitime le Postulat fondamental auquel Roberval attribue le troisième rang et que, dans sa lettre de i636, il énonçait déjà en ces termes : « Si une puissance est pendue ou arrestée à une ligne flexible et sans poids, laquelle ligne soit attachée par un bout à quelque arrest, en sorte qu'elle soustienne la puissance, tirant sans empeschement contre cette ligne, la puissance et la ligne prendront quelque position en laquelle elles demeureront en repos, et la ligne sera droicte par force. Soit icelle ligne appelé le pendant ou la ligne de direction de la puissance... -^

Du problème déjà restreint qui vient d'être énoncé, le Tractatus mechanicus de 1645 examine seulement un cas fort particulier, celui où toutes les forces qui sollicitent le corps solide sont parallèles entre elles et à une direction fixe. Ce cas particulier est étudié, d'ailleurs, avec un grand appareil de rigueur logique ; par une méthode, qui s'inspire à la fois d'Archimède et de Pappus, sont établies l'existence et les propriétés du centre des forces parallèles.

Un commencement de recherches sur la composition des puissances semblables, appliquées à des solides sem-

blables, termine ce fragment sans l'achever ; du premier livre du Traité de Mécanique annoncé à Hevelius, livre dont la leitre écrite en i636 à Fermât nous permet de deviner le plan, la plus grande partie, et la plus neuve, fait défaut.

Le second livre de ce traité était consacré à la balance ; c'est sans doute à ce second livre qu'était destinée la Demonsiratio mechanica conservée par le Manuscrit de la Bibliothèque Nationale. Cette démonstration mécaniqiie est celle de la loi du levier ; comme forme, elle imite les rigoureuses déductions des géomètres grecs ; comme fond, elle se rapproche de celle qu'avaient adoptée Stevin et Galilée.

Selon la lettre qu'il adressait à Hevelius, Roberval traitait, en son troisième livre, " du centre des vertus des puissances en particulier «. Qu'entendait-il par là? Sans doute la recherche géométrique des centres de gravité de certaines figures, recherche à laquelle il avait consacré une bonne part de son talent de géomètre. Nous trouvons, probablement, une partie des matériaux qui sont entrés dans la composition de ce livre, lorsque nous lisons, au Manuscrit que conserve la Bibliothèque Nationale, la Proposition de Mons'' de Roberval qui sert à trouver le centre de gravité et le Theorema lemmaticiwi ad invenienda centra gravitaiis mire inserviens a D. D. Roberval, anno

La proposition qui fait le principal objet de ces deux écrits énonce la propriété fondamentale du centre de gravité d'un nombre quelconque de points matériels : Le moment, par rapport à un plan quelconque, de la masse totale des points, réunie en leur centre de gravité, est égal à la somme algébrique des moments de ces points par rapport au même plan . Ce théorème se trouvait implicitement à la base de toutes les recherches de centres de gravité, aussi bien de celles qui avaient été accomplies dans l'antiquité par Archimède ou Pappus que de celles

qui avaient été poursuivies dans les temps modernes par Commandin, Mauroljcus, Guido Ubaldo, Stevin et Luca Valérie ; ou, pour mieux dire, ces recherches utilisaient un cas particulier de ce théorème, le cas où le plan choisi passe par le centre de gravité ; mais jamais, croyons-nous, il n'avait été énoncé et démontré dans son entière généralité.

La démonstration de Roberval procède avec ce luxe compliqué d'appareil déductif où se complaisait habituellement notre géomètre ; en la rédaction latine du Theorema lemmaficum, ce luxe est vraiment excessif ; on souhaiterait plus de brièveté et de simplicité. A cette rédaction, d'ailleurs, sont jointes d'intéressantes applications du lemrae qui y est démontré ; ces applications concernent la recherche des centres de gravité du demi-cercle, de la demi-circonférence, de la trochoïde (i), de la courbe associée à la trochoïde et du triangle.

Que le troisième livre annoncé à Hevelius eût bien pour objet la recherche des centres de gravité particuliers, nous en trouvons la confirmation dans le titre du quatrième livre : « Quartus, de fure mira conlinet r>. Roberval y voulait, sans doute, rapporter l'étrange larcin dont il fut victime de la part de Torricelli ; Pascal nous a conté, dans \ Histoire de la Roulette, cet impudent plagiat (2).

Un fragment sur les corps flottants : Proposition fondamentale pour les corps flottants sur Veau, termine lecahier manuscrit conservé à la Bibliothèque Nationale ; il eût servi, sans doute, à la composition du sixième livre du Traité de mécanique.

Notre manuscrit ne renferme rien qui ait trait aux mouvements composés, dont devait s'occuper le septième

(1) C'est le nom par lequel Roberval désigne la courbe que Pascal nomme la roulette et que l'on appolle communoment aujourd'hui la cycloïde, selon la proposition de Ueaugrand.

(2) Œuvres complètes de Biaise Pascal, tome III, p. 558 ; Paris, Hachette,

livre ; comme nous l'avons dit, le Projet d'un livre de Mécanique traitant des mouvements comjwsés^ qui fut publié en 1693, semble un essai de rédaction du début de ce livre.

L'objet du huitième livre était le centre de percussion des puissances mobiles, au sujet duquel une si vive discussion s'était élevée entre Roberval et Descartes. Le manuscrit de la Bibliothèque Nationale ne contient rien qui ait trait à cet objet.

Si nous laissons de côté le traité élémentaire dont nous parlerons tout à l'heure, nous ne trouvons rien non plus, en notre manuscrit, qui ait pu entrer dans la composition du cinquième livre, consacré « aux instruments et aux machines » . Cette lacune est particulièrement regrettable ; c'est en ce livre, assurément, que Roberval eût exposé en entier les démonstrations dont le Traité de Méchanique, inséré en Y Haivnonie universelle de Alersenne(i), contenait seulement l'ébauche.

Ainsi nous ne possédons point le Traité de Mécanique que Roberval avait composé, comme en témoigne sa lettre à Hevelius ; le cahier manuscrit conservé à la Bibliothèque Nationale nous présente seulement certains fragments que Roberval avait, semble-t-il, fait réunir et classer pour les employer dans la construction de ce grand ouvrage.

Si incomplets et disparates que soient les matériaux réunis sous nos yeux, ils suffisent à nous faire deviner les proportions et le plan de l'édifice achevé ; la perte de cette œuvre paraît être définitive ; elle mérite de vifs regrets. Le Traité de Mécanique de Roberval était, à coup sûr, un monument ample et puissant, où les doctrines élaborées au début du xvii^ siècle se trouvaient ordonnées et classées ; le souci de la déduction rigoureuse, poussé jusqu'à la minutie, le rendait certainement prolixe et compliqué ; mais les géomètres qui souhaitaient que la science de

{l)Ce liaité était aussi vendu séparément à Paris, par Richard Charlemagne, rue des Amandiers, à la Vérité Hoyalle, MD(-XXXVI.

l'équilibre fût développée avec une parfaite clarté y trouvaient l'entière satisfaction de leurs désirs.

Roberval ne s'était pas seulement soucié des aspirations des géomètres, amis des savantes et rigoureuses déductions ; il avait aussi songé aux besoins des artisans ; ceuxci n'ont ni assez de force d'esprit, ni assez de loisir, pour suivre les raisonnements par lesquels, d'un petit nombre de postulats simples et généraux, on peut tirer avec méthode les diverses lois de la Mécanique ; et cependant, il leur est nécessaire d'user de ces lois, partant d'en prendre une connaissance claire, précise et assurée. C'est pour leur procurer l'avantage d'une telle connaissance que fut sans doute composé le Traicté de Mechanique et spécialement de la conduiite et élévation des eaux, par Monsieur de Roberval, traité dont le texte, malheureusement inachevé, occupe la plus grande partie du Manuscrit de la Bibliothèque Nationale.

Ce Traicté de Mechanique n'est pas daté ; mais un' passage qu'il renferme nous peut donner une indication sur l'époque où il fut composé. Traitant de l'élévation des eaux au moyen du " Syphon r> , Roberval s'exprime en ces termes ( i ) :

" Et quoyque par ce mo3'en il semble qu'on peut faire passer l'eau par une haute montaigne, touttefois on se souviendra qu'une telle conduitte d'eau est impossible aux lieux plus haults que 32 pieds de France, et qu'un peu au dessoubs de 32 pieds, elle est fort mal asseurée par deux raisons. La première qu'il est fort difficile que le Syphon soit si bien soudé que l'air n'y trouve bientost passage, et par ce moyen le Syphon s'emplissant d'air, l'eau ne coule plus. L'autre raison est qu'en une grande haulteur il faut un syphon trop hault, ainsy il est subject à crever. «

L'expérience de Torricelli a mis en la pression de

(I) Roberval, loc. cit., fol. 176, verso.

l'atmosphère la raison véritable des effets que mentionne Roberval. Il est clair que celui-ci na encore, à Fépoque où il rédige son Traicté de Méchanique, aucune idée de cette expérience célèbre. Or c'est en 1644, q^^'^u retour d'un voyage en Italie, Mersenne répéta à Paris l'expérience de Torricelli et « la divulgua en France, non sans l'admiration de tous les savans et curieux « (i). Familier de Merserme. Roberval dut connaître un des premiers l'importante « expérience d'Italie ". Si donc il l'ignore en son Traicté de Méchanique, c'est apparemment que ce traité fut rédigé avant 1644.

En ce Traicté de Méchanique, plus de définitions, de postulats, de déductions ; mais un exposé très clair, très simple, très exempt de prétentions à la science abstruse, présente les principaux enseignements de la Mécanique; en lisant ce petit ouvrage, on se prend parfois à songer au Traité de Véquilib7^e des liqueurs et au Traité de la pesantetir de la masse de Vair, ces deux immortels chefsd'œuvre de Pascal ; le Traicté de Méchanique de Roberval procède du même esprit.

La Dynamique, la Mécanique des fluides en forment la plus grande partie. " Mais auparavant, dit l'auteur, nous donnerons quelque cognoissance des Instruments de la Méchanique, sçavoir autant qu'il en sera besoin pour fabriquer ceux qui servent à nostre dessein de la conduitte et élévation des eaux «, Voilà pourquoi le traité débute par l'étude des " cinq genres principaux d'instruments réguliers et dont les forces sont cognùes, sçavoir la balance, le levier, la roue avec son aissieu, les poulies ou les moufles, et le plan incliné auquel se réduisent le coin et la visz ».

C'est en cet écrit que l'on peut retrouver les marques de l'influence exercée sur Roberval par Bernardino Baldi ; nous avons relevé ailleurs (2) quelques-unes de ces mar-

(l) Pascal, Nouvelles expériences touchant le vide ; au lecleiir (Œuvres complètes de Biaise Pascal, Ed. Ilachelte, 1880; p. 1).

(:2) Cf. P. Uutiem, Bernardino Baldi, Roberval et Descartes (Bulletin Italien, t. vi, janvier 1906).

ques ; citons seulement ici la discussion touchant la stabilité et la sensibilité de la balance ; non seulement Roberval y reproduit fort exactement ce que Baldi avait dit à ce sujet (i), mais encore il transforme en une erreur formelle un passage douteux écrit par Tabbé de Guastalla ; parlant des balances où le centre de gravité du fléau se trouve au-dessous de l'axe de rotation, Roberval s'exprime en ces termes (2) : « La troisiesme sorte est sujette à tromper, quand le centre de pesanteur est au dessoubs de celuy du mouvement. »

Ce n'est pas en ce traité élémentaire qu'il nous faut chercher aucune vérité nouvelle de Statique ; Roberval se borne à formuler avec clarté et simplicité les lois qui étaient déjà connues par les travaux de ses prédécesseurs ou par les siens ; c'est ainsi que les propriétés du plan incliné sont exposées avec grand soin. Contentons-nous de citer ce passage (3), relatif à l'égalité du travail moteur et du travail résistant dans les machines ; il ne diffère guère de ce que nous avons lu au De subtilitate de Cardan ou en La Raison des forces mouvantes de Salomon de Caus :

« Enfin il faut remarquer, ce qui est vray non seulement au levier, mais aussy en tous les autres instruments, touchant le mouvement et le chemin que font les poids et la puissance qui les meut par le moyen de l'instrument, sçavoir que s'ils agissent par des bras égaux ou par des distances égales, ils font des chemins égaux; s'ils agissent par des distances inégales, celuy qui agit par la plus grande fait le plus de chemin, à proportion que sa distance est plus grande, et partant, il s'ensuit que le moindre des deux, soit la puissance ou le poid. estant celuy qui, en récompense, doit avoir le plus grand bras ou la plus grande distance, sera aussy celuy qui aura le plus de chemin. Il

(1) V. ci-dessus. Chapitre XV, 2e Périoile; p. lôo.

(2) Bibliotiièque Nationale (fonds ialin), Ms. 7226, (oi. 89, reclo. (5) Bibliothèque Nationale, (fonds Ialin). Ms. 7226, fol. 99, verso.

s'ensuit encore que, à proportion, il faudra plus de temps à celuy qui agira par le plus grand bras pour faire cheminer l'autre, ou au contraire. Par exemple, posant une petite puissance, laquelle doit mouvoir un grand poid, il faudra que cette petite puissance ayt, à proportion, un plus grand bras, et partant qu'elle fasse beaucoup de chemin, etainsy qu'elle employé beaucoup de temps, pendant que le poid fera beaucoup moins de chemin ; sçavoir que si le bras de la puissance est lo fois aussy grand [que celuy du poid] (i), il faudra que pour faire cheminer un pied, elle chemine dix pieds ; par ce moyen, le poid se meut fort lentement, et faut beaucoup de temps pour faire cheminer assez peu.

" Ce que nous venons de dire est pour donner advertissement qu'il ne faut point espérer d'espargner ensemble du temps et de la puissance, ny faire un grand eifect avec peu de force, sinon en beaucoup de temps ; et en quoy se trompent ordinairement les ignorants qui sont cause de se faire mocquer d'eux, et de la science aussy, sur laquelle les autres ignorants en rejettent souvent la faulte mal à propos, r

Roberval a donc consacré une très grande part de son activité scientifique à composer un vaste et rigoureux traité de Mécanique à l'usage des géomètres, à rédiger un exposé élémentaire de cette même science pour la commodité des artisans. Mais, selon son étrange coutume, il n'a point fait imprimer ces deux ouvrages ; le premier est aujourd'hui perdu, le second est encore inédit. Aussi ces Traités de Mécanique, demeurés inconnus, ne pouvaientils satisfaire au besoin de plus en plus pressant qui poussait aussi bien les géomètres que les artisans à désirer une Statique complète et coordonnée.

(1) A la place de ces mois, le texte, par erreur évidente du copiste, dit qu'elle.