Les Elementa Jordani super demonstrationem

PONDERIS

Ce titre parait avoir été le titre primitif du traité do Statique composé par Jordanus ; la forme première de ce traité est demeurée longtemps méconnue ; en effet, au cours des âges, des variantes et des commentaires en ont été composés, d'autres ouvrages sont venus s'y souder plus ou moins naturellement ; ces rhapsodies se sont modifiées et développées ; elles ont ensuite été reproduites par l'imprimerie, donnant naissance à des livres dont la forme ressemblait bien peu à celle de l'œuvre dont ils gardaient le nom.

Un manuscrit (1) de la Bibliothèque Nationale nous

(i) Bibliothèque Nationale, fonds lalin, n» 10252.

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conserve, de l'œuvre primitive de Jordanus, un texte qui semble complet et- à peu près pur de toute altération. Ce texte, d'une élégante et régulière écriture du xv® siècle, est daté, car il se termine par ces mots 8 knl, novembris 1464. 11 n'est point signé, mais quelques comparaisons aisées nous permettent de fixer le nom du copiste. Le même volume, en effet, renferme diverses autres pièces, écrites de la même main, dont deux sont non seulement datées, mais signées ; l'une, Algorismtis de integris per Joanncm de Sacro Boscho, se termine par les mots : finis. Neapoli, per Arnalditm de B?*uxella^ 1476, die 11 februarii, nnte 07iiim solis.; l'autre, Tractatiis de pondeHbus seciindiim Magistrum Blasium de Pmviia dont, au Chapitre suivant, nous verrons toute l'importance, est clos par la formule : 1476, 5 Janiuiini, Neapoli, per A. de Bi^uœella.

Sur cet Arnaud de Bruxelles, nous trouvons des renseignements plus détaillés dans une autre collection semblable (i). Des tables astronomiques, œuvres de Blanchinus ou de de Blanchinis, se terminent par cette formule :

« Finis ; 8 kal. Apvilis 1468 incompleio. Expliciunt canones sicpe?' tabulis ctarissimi maihematici et artiwn docto?'is Johannis de Blanchinis in armis militis strenuissimi factoris gene>\ilis III. Bo?^sii, ducis Mutine et Regii, comitis Rodrigii, marchionis Estensis et Ferrarie, completi pei^ Aymaldum de Tiishoid, de oppido Bimxella^ ducatus Brabancie. Anno 1468, incompleto 8 kal, Aprilis 2^ indictionis. In icrbe Parthenopes, »

Et Arnaud de Tijshout, comme un souvenir à sa patrie, ajoute ce renseignement astronomique : « Bruxelle polus elevatus g. 40 y*.

Arnaud de Tijshout, de la ville de Bruxelles et du duché de Brabant, veillait parfois — une de ces citations nous le confesse — presque jusqu'au lever du soleil pour achever

(1) Bibliothèque Nationale, fonds laiin, n» 10207.

de reproduire un manuscrit précieux en caractères gothiques réguliers et bien alignés ; cependant, il ne bornait pas son industrie au métier de copiste ; à Naples, où il était établi, le Flamand, il Fiamengo — c'est ainsi qu'on le nommait — avait apporté l'esprit d'initiative du peuple auquel il appartenait ; il s'était fait imprimeur (i),et plus d'un ouvrage connu sortit de ses presses.

C'est donc à Arnaud de Bruxelles que nous devons la collection où se trouve, à la suite du traité De spectdis de Jordanus, un texte à peu près irréprochable des Elenienta de ponderibus.

Du même écrit, la Bibliothèque Nationale possède un autre texte (2) complet et à peine différent du précédent, auquel le copiste a attribué faussement le titre Liber de ponderoso et levi qui caractérise, en général, le fragment attribué à Euclide. En outre, il a soudé à la fin de l'écrit de Jordanus trois des quatre propositions que nous avons étudiées au § i du Chapitre précédent.

La Bibliothèque Mazarine possède un texte du xiii® siècle (3) des Elementa Jordani supei^ demonstrationem ponderis ; malheureusement, ce texte n'est pas complet ; nous avons dit, au § 1 du Chapitre précédent, de quelle manière étrange le commencement d'une proposition de Jordanus se continuait par la fin d'un théorème du De canonio ; nous avons dit aussi comment cette singulière soudure se trouvait scrupuleusement reproduite dans la collection manuscrite (4) qui a appartenu à Maître François Guillebon, Docteur en Sorbonne. Quelque tronqués que soient le texte de la Bibliothèque Mazarine et sa reproduction, ils nous permettent cependant de contrôler une partie du traité copié par Arnaud de Bruxelles ; ils

(1) De Saint-Gonois, Biographie Belge, 1806.

(2) Bibliothèque Nationale, fonds lalin, n° 11247. (5) Bibliothèque Mazarine, n« 5042 (ancien 1258). (4) Bibliothèque Nationale, fonJs lalin, n» 16649.

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nous montrent que du xiii* siècle à la fin du xv® siècle» cette partie n avait éprouvé aucune altération notable.

La clarté et la concision des énoncés et des démonstrations de Jordanus donnent à son traité une forme très élégante, que les commentateurs ont ultérieurement altérée. Le traité, d'ailleurs, est très bref ; il s'ouvre par sept axiomes ou définitions, et se développe en neuf propositions.

Il ne paraît pas, toutefois, que nous en possédions le texte intégral ; en démontrant la troisième proposition, Jordanus écrit ces mots : « Sicut constituimus Praeexercitaminibus »». Ces Pj^œexercitamina constituaient, sans doute, une sorte de préambule où étaient démontrés certains lemmes de géométrie. Eu deux autres passages, au cours des démonstrations de la deuxième et de la cinquième proposition, Jordanus indique un autre renvoi : « Sicut declaratum est in Filotegni — sicut declaravimus in Filotegni >» ; ces deux renvois visent encore des propositions de géométrie. Jordanus aurait donc, outre ses nombreux ouvrages déjà connus, composé sur la géométrie un traité aujourd'hui perdu ; à ce traité il aurait donné, chose singulière à l'époque où il vivait (i), le titre grec Filoiegnis, çiXori;^^/;;, Tami de l'art.

Rien cependant ne permet de supposer que les Mementa supcj^ demonstraiionem pondevis soient, comme le De canonio par exemple, une simple traduction d'une œuvre grecque ; aucun terme grec ne s'y rencontre, hors celui que nous venons de citer ; lorsqu'on suit Tordre des lettres qui marquent les divers points des figures ou les diverses grandeurs dont l'auteur raisonne, on ne reconnaît plus la suite alphabétique grecque ; dans la première démonstration, nous voyons les lettres s'introduire selon l'ordre de l'alphabet latin : a, ô, c, d, e, f ; ailleurs, nous

(1) Il convient de noter que l'un des renvois au Filotegni figure dans le frajçmont du xiii® siècle conservé à la Bibliothèque Mazarine. La copie de ce texte qui a appartenu ù François Guillebon écrit : Philotegne,

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voyons deux lignes analogues marquées dy et ez, ou bien encore dh et eg ; tout semble indiquer que nous sommes en présence d'une œuvre originale, issue du génie occidental.

Ce n'est pas que l'auteur de cetie œuvre n'ait connu certains des écrits, grecs d'origine, que nous avons précédemment analysés.

Il saute aux yeux, dès qu'on ouvre ses ElementUy qu'il connaît le De ponderoso et levi attribué à Euclide ; ses deux premiers axiomes, sa première proposition, forment comme un résumé de ce fragment.

D'autre part, la neuvième et dernière proposition des Elementa a pour objet de prouver qu'une masse cylindrique, allongée selon l'un des bras du fléau d'une balance, pèse exactement comme si on la condensait en son centre. Pour y parvenir, Jordanus se contente de remarquer que deux poids égaux, pendus en deux points différents du fléau, pèsent comme un poids unique, égal à leur somme et pendu à égale distance de chacun d eux. 11 est impossible de lire cette dernière proposition sans songer que l'auteur avait sous les yeux les quatre propositions qui composent le Liber Euclidis de ponderibus secundum ter7ninorum circumfereniiam^ ou au moins les deux propositions B et C.

Le principal intérêt de la proposition qui termine les Elementa de Jordanus est de permettre le calcul du poids compensateur dont doit être chargé le petit bras d'une romaine. Or, de cette application, son livre ne dit mot, ce qui lui donne un aspect inachevé. Dès le xiii"^ siècle — l'étrange soudure présentée par le texte de la Bibliothèque Mazarine en fait foi — on avait l'habitude de placer le De canonio à la suite du traité de Jordanus. Cette association, dont nous reparlerons au § i du Chapitre suivant, était fort naturelle, les Elementa supe?* demonstrationem ponderis se terminant précisément par le théorème que le De canonio postule en ces termes : ^ Monstratum est in libris qui de his loquuntur. « Elle paraît même si naturelle

qu'il est permis de se demander si elle n'a pas été voulue par Jordanus et si, en composant ses Elementa, il ne s'est pas proposé d'écrire une sorte d'introduction au De canonio, dont il était peut-être le traducteur (i).

Ce qui fait l'intérêt principal de cette introduction, ce qui la distingue de tous les écrits précédemment étudiés, sauf des M7îyavr/.à TrpocXyîaara, ce qui la rapproche jusqu'à un certain point de ce dernier ouvrage, c'est que la décomposition du poids suivant diverses directions y joue un rôle essentiel.

Jordanus considère un mobile assujetti à descendre suivant un chemin non vertical et il introduit dans ses raisonnements, comme représentant la seule force efficace, la composante du poids selon la direction de la trajectoire ; cette composante, il la nomme la pesanteur 7'elaiive à la situation du vaohiXe, gravitas secundum sitiim. La relation quantitative qui unit cette gravité relative au poids proprement dit, Jordanus ne la connaît point ; il énonce seulement une règle qualitative : Plus la trajectoire est oblique, plus est faible la gravitas secundum sitwn. D'ailleurs, pour comparer l'obliquité de diverses trajectoires, il faut prendre sur ces trajectoires des chemins de même longueur et évaluer la descente verticale à laquelle ils correspondent ; celui qui correspond à la plus petite descente verticale est le plus oblique.

Tels sont les principes qu'au commencement de son écrit, Jordanus formule en ces termes :

u Omnis ponderosi motum esse ad médium, virtutemque ipsius potentiam ad inferiora tendendi et motui contrario resistendi

n Gravius esse in descendendo quando ejusdem motus ad médium rectior.

(1) Nous avons fait remarquer que le iraducleur du De canonio remplaçait, dans les figures, Vri par un i ; de même, Jordanus écrit filotegni pour

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» Secundum situm gravius, quando in eodem situ minus obliquus est descensus.

« Obliquiorem autem descensum in eadem quantitate minus capere de directe. »

Ces principes eussent été d'une application facile aux trajectoires rectilignes ; il semble que le problème du plan incliné. eût dû, tout d'abord, solliciter les efforts de Jordanus ; son attention, cependant, ne parait point s'être portée vers ce problème, mais seulement vers les problèmes de mouvement curviligne que soulevait l'étude du

levier et de la balance. Or, ces derniers problèmes se prêtaient moins aisément à la considération de la gravité relative à la situation du mobile ; pour évaluer l'obliquité de la trajectoire, il aurait fallu comparer la longueur d'un chemin infiniment petit parcouru sur cette trajectoire avec la chute infiniment petite qui correspond à ce chemin; de telles considérations infinitésimales ne pouvaient être poursuivies au xu^ ou au xiii^ siècle.

Il semble, cependant, qu'elles se soient offertes un instant à l'esprit de Jordanus, au cours de la démonstration d'une importante proposition, d'une de celles qui ont le plus influé sur le développement ultérieur de la Statique.

Jordanus considère un point pesant fixé à l'extrémité

d'un bras de levier mobile autour du point b (fig. 20). Ce bras de levier est d'abord horizontal et le poids se trouve on a ; puis on l'incline de manière à amener le poids soit on d, au-dessus du point a, soit en e, au-dessous du même point ; dans un cas comme dans l'autre, la gravité secundum situm diminue.

En effet, dit Jordanus, prenons au-dessous des points a, d, e, des arcs ac, dh, eg, aussi petits que nous voudrons, « quantulumcunque parvi », égaux entre eux, et marquons en bf, hn, tx ce que des descentes, effectuées selon ces

arcs, prennent du direct ; comme kn et tx sont sûrement plus petits que bf, les descentes dh et eg sont plus obliques que la descente az ; ainsi la gravité secundum situm est plus faible en d ou en e qu'en a.

Si la méthode infinitésimale pouvait apparaître un instant à un géomètre du moyen âge, ce ne pouvait être que comme une lueur qui brille un clin d'œil et s'éteint aussitôt. En général, Jordanus considère des arcs finis et les compare à leur projection sur la verticale, comme l'avait fait Aristote dans les M/î^avixà npoclr^iiara ; de là, parfois, des raisonnements inexacts. En voici un qui, au XVI® siècle, donnera lieu à bien des débats :

Un levier bac (fig. 21), aux extrémités b et c de ses

bras égaux, porte des poids égaux ; ce levier n'est point horizontal ; le bras ac est levé et le bras ab est abaissé. Jordanus se propose de prouver que le poids c est plus grave seaindum siium que le poids ft, en sorte que le premier fera remonter le second et ramènera le levier à la position horizontale, qui sera ainsi position d'équilibre stable.

Pour construire cette preuve, il prend, au-dessous des points b et c, des arcs égaux bg et crf, qu'il projette en hl et zm sur la verticale ; kl est plus petit que Z7n, l'arc bg

prend moins du direct que 1 arc cd, ce qui établit la proposition énoncée.

Aristote avait fort bien vu que la stabilité d'une règle tenait à ce fait que le point de suspension se trouvait au-dessus du centre de figure de la règle ; pour Jordanus et pour ses commentateurs, cette idée juste se trouve obscurcie.

D'autres paralogismes se trouvent dans l'œuvre de Jordanus, erreurs dont, pour la plupart, l'admission devait, en son temps, sembler fort naturelle. Il pouvait sembler naturel, par exemple, de croire qu'en un mécanisme, un

poids en soulèvera un autre si la gravité secundum situm du premier surpasse la gravité secundum situm du second. De ce principe vraisemblable assurément, mais inexact, Jordanus va tirer une proposition formellement erronée ; cette proposition nous montrera clairement à quel point son auteur était loin de concevoir la notion de moment.

Jordanus considère un levier coudé (fig. 22), dont le petit bras ca est horizontal tandis que le grand bras c/'est oblique; il suppose que la distance fe du point /"à la verticale est précisément égale au bras horizontal ca. Nous savons aujourd'hui que des poids égaux placés en a et / se feront équilibre. Notre auteur se propose au contraire de prouver que le poids placé en a l'emporte sur le poids placé en f.

Dans ce but, il remarque que toute descente du poids a a lieu suivant le quadrant aky de centre c et de rayon ca, tandis que toute descente du poids f a lieu suivant Tare /i, de centre c et de rayon cf ; sur ces deux trajectoires, prenons respectivement, au-dessous des poids a, /*, des arcs égaux, al, fm ; la longueur en que le premier 7)renrf du direct est supérieure à la longueur ed prise du direct par le second ; le poids a est donc plus grave secundum situm que le poids f ; et Jordanus se croit en droit d'en conclure la proposition énoncée.

Parmi les démonstrations de Jordanus, il en est une qui mérite une attention toute particulière ; elle ne fait point appel à la notion de la gravité secundum situm ; le principe dont elle se réclame n'est point explicitement énoncé ; mais, d'autre part, ce principe transparaît si clairement qu'il est impossible de le méconnaître et de ne le point formuler ainsi : Ce qui peut élever un certain poids à une certaine hauteur peui aussi élever un poids k fois plus g7^and à une hauteur k fois plus petite. Ce principe est donc celui que Descartes prendra pour fondement de toute la Statique et qui, grâce à Jean BernouUi, deviendra le principe des déplacements virtuels. Il y a

plus ; nous verrons que le courant d'idées qui a apporté ce principe à Descartes et qui a pris sa source aux Elementa de Jordanus na subi, dans son progrès, aucune discontinuité. C'est bien aux commentateurs de Jordanus. que Descartes a emprunté ce postulat.

C'est pour justifier la loi de l'équilibre du levier que Jordanus de Nemore fait implicitement appel à ce principe.

« Soient, dit Jordanus, acb le fléau (fig. 23), a et ft les poids qull porte et supposons que le rapport de 6 à a soit celui de ca k cb. Je dis que la règle ne changera pas do

place. Mettons, en effet, qu'elle descende du côté b et prenne la position oblique dce ; b descendra de la hauteur verticale he et a montera de la hauteur verticale fd. » Si Ton plaçait en Z, à une distance du point c égale à cb, un poids égal au poids 6, il monterait en même temps d'une hauteur verticale gm, égale à he. <* Visiblement, les triangles ceb, cda sont semblables ; le rapport de dfà eh est donc celui de ac à cb, partant celui du poids b au poids a ; donc dfest à gm comme le poids b est au poids a, ou comme le poids / est au poids a. Dès lors, ce qui suffit à amener le poids a en d suffirait à amener le poids l en 771. Mais nous avons montré que les poids 6 et / se contre-balancent exactement. « Le mouvement supposé n'aura donc pas lieu, et il en serait de même du mouvement en sens inverse.

Cette démonstration de la loi d'équilibre du levier était en très grand progrès sur celle qu'avait donnée Aristote, qu'avait suivie plus tard Thâbit ibn Kurrah. Celle-ci prenait pour fondement l'axiome de la Dynamique péripatéticienne, la proportionnalité de la force à la vitesse. La révolution accomplie en Dynamique par le xvi® siècle devait un jour la rendre caduque. Celle-là, au contraire, rattachait l'équilibre du levier à l'égalité entre le travail virtuel moteur et le travail virtuel résistant. Elle était le premier germe d'un principe dont le plein développement serait atteint seulement à la fin du xviu® siècle, en la Mécanique Analytique de Lagrange. L'étude de l'évolution par laquelle ce germe, infime en apparence, est parvenu à la forme achevée sous laquelle nous le contemplons aujourd'hui, sera un des principaux objets de ces études sur les Origines de la Statique.