Les éanis attribués à Euclide

Les idées dont nous nous proposons de suivre l'évolution compliquée sont issues, en partie, de la science grecque ; non seulement nous aurons à démêler l'influence exercée au moyen âge, sur Jordanus de Nemore, par certains passages des M>;/avtxà Trpoo/rifjiaTa d'Aristote, mais encore il nous faut rechercher l'origine de quelques-unes de ces idées en un fragment attribué à Euclide.

Bien que l'antiquité grecque n'attribue à Euclide aucun écrit sur la Mécanique, le nom de ce grand géomètre revient fréquemment dans les livres des auteurs arabes qui ont écrit sur la Statique, et trois fragments relatifs à la Mécanique sont donnés comme de lui.

Le premier de ces fragments ne semble pas avoir été connu, au moyen âge, par les géomètres occidentaux ; il a été signalé, en i85 1 , par le D"* Woepcke, qui l'a traduit de l'arabe et publié dans le Journal Asiatique (i) sous le titre : I^ livre (ï Euclide sur la balance. Le texte de ce traité se trouve dans le manuscrit n*^ 952.2 du Supplément arabe de la Bibliothèque Nationale, manuscrit composé à Chîrâz en l'an 358 de l'hégire (970 de notre ère).

« Dans un autre exemplaire, dit le 1)'' Woepcke, j'ai

(1 ) D' Woepcke, Notice sur des traductions arabes de deux ouvrages perdus d' Euclide (Journal Asiatique, 4« série, i. WHl, p. âl7 ; 1851).

trouvé ce livre attribué aux Benî Moûçâ, colla tionné avec l'exemplaire d'Aboûl Hoçaïn Alsoûfî. Cette circonstance s'expliquerait par la supposition que les Boni Moûçâ auraient traduit ou revu ce traité, et qu'un copiste aurait omis le nom de l'auteur original. « A l'appui de l'opinion qui attribuerait ce traité à Euclide, le D*" Woepcke signale la mention qui est faite de démonstrations d'Euclide sur le levier dans un certain traité De canonio que renferme un manuscrit de la Bibliothèque Nationale. Mais, au § 3, nous aurons à revenir sur le traité De canonio et sur la mention qu'il renferme ; nous verrons que cette mention a trait non point à l'écrit traduit par le D*" Woepcke, mais à un autre écrit également donné comme d'Euclide.

A rencontre de l'opinion du D*" Woepcke, M. Maximilian Curtze (i) n'hésite pas à regarder le traité de la balance comme un traité arabe dû à quelqu'un des fils de Mûzâ ibn Schâkir, à l'un des trois frères Muhammed, Ahmed et Alhasan, dont le livre de géométrie fut si célèbre au moyen âge : M. Heiberg (2) se range à cet avis. M. Curtze rappelle en effet, d'après M. Steinschneider (3), que l'un des trois frères, l'un des Benî Moûçâ, avait écrit un livre sur la balance ; ce livre aurait été ensuite développé par Thâbit ibn Kurrah et l'écrit de Thâbit ibn Kurrah, que nous possédons, ne serait qu'une amplification de l'écrit publié par M. Woepcke.

Mais toute cette argumentation nous semble caduque. Nous aurons à parler longuement, au § 2, du livre de Thâbit ibn Kurrah ; nous verrons, par le témoignage très explicite de l'auteur, que son écrit n'est point l'ampliflca-

(1) Maximilian Curlze, Das angebliche M^erk des EukUdes ûber die Waage (Zbitschrift fiIr Mathematik und Physik, XiX«'' Jahrgang, 1874, p. 263)

(i) Heiberg, Litterargeschichtliche S(udien nher Euklid, Leipzig, 1882, p. il.

(3) Sleinschneider, Intomo al Liber Karastonis. Lettera a D. Baldassare Bonconpogni (Annam di Matematica, t. V. p. 54 ; 1863).

tion d'un traité arabe, mais le commentaire d'un ouvrage grec ; d'ailleurs, les problèmes traités dans l'ouvrage de Thâbit sont, poui* la plupart, étrangers au Lim^e sur la balance; si le problème de l'équilibre du levier y est traité, comme il l'tst dans l'écrit que le D' Woepcke attribue à Euclide, il y ost résolu par une tout autre méthode, par la méthode d'Aristote.

Une autre raison peut être invoquée pour prouver que l'écrit en question est d'origine grecque.

M. Hultsch a fait cette remarque curieuse que les traités arabes traduits du grec gardent, en quelque sorte, l'estampille de leur origine dans la suite des lettres qui servent à noter les divers points des tigures ou. les diverses grandeurs dont on raisonne ; ces lettres se succèdent toujours ainsi :

a, ô, c ou g, rf, e, z, h, /,

reproduisant l'ordre de l'alphabet grec :

Or, cette sorte de marque de fabrique se retrouve dans les figures du traité publié par M. Woepcke et nous assure que ce traité représente un fragment de la science hellène.

Il n'en résulte pas que ce fragment puisse, au moins dans son état actuel, être attribué à Euclide ; des quatre propositions qui le composent, les deux premières sont établies par une suite de considératioris où les contradictions se pressent, où il est impossible d'apercevoir trace de raisonnement concluant ; on ne saurait, sans injure, regarder cet entassement de paraiogismes comme issu du génie logique auquel nous devons les Éléments,

11 semble qu'il faille voir, dans le traité qui nous occupe, l'œuvre d'un bon géomètre, défigurée par quelque commentatcui* maladroit; celui-ci aurait voulu démontrer

deux postulats indémontrables et en aurait fait les deux théorèmes illogiques que nous avons mentionnés. Ces addition vS malencontreuses seraient elles-mêmes non d'origine arabe, mais de source grecque, à en juger par Tordre des lettres employées dans les figures.

Débarrassé de ces démonstrations parasites et vicieuses, le traité débuterait par quatre axiomes ; les deux premiers, qui y sont effectivement énoncés, sont les suivants :

« Aiviome I. Lorsque deux poids égaux sont suspendus aux deux extrémités d'un fléau droit, d épaisseur uniforme, ei que le fléau à son tour est suspendu, par le point qui se trouve au milieu entre les deux poids, à un arbre de balance, le fléau demeure parallèle au plan de l'horizon.

« Aœiome II. Lorsque deux poids égaux ou inégaux sont appliqués aux deux extrémités d'un fléau, celui-ci étant suspendu à un arbre de balance, en un de ses points, de telle sorte que les deux poids maintiennent le fléau parallèle à l'horizon ; qu'ensuite l'un des deux poids soit laissé à sa place à l'extrémité du fléau; que Ton mènei, ^cw â.to-^ de l'autre extrémité du fléau une droite, formant avec ' //^ fi f^'^ celui-ci un angle droit, de tel côté que l'on voudra ; et qu'on suspende l'autre poids en un point quelconque de ^^^^^.v ^^ cette droite; le fléau restera parallèle au plan de l'horizon. ô^^ cl^. (6u

9» C'est pourquoi le poids n'est pas changé si Ton rac- Ji^ »i ,

courcit les cordons de l'un des deux bassins et si l'on prolonge ceux de l'autre bassin. ^ ""(wlCiv^-

Les pseudo-démonstrations des propositions 1, 11 ei III tviuix r(>,. impliquent les deux axiomes suivants : { ( t

u Axiome 111, Si des poids maintiennent un fléau de balance parallèle à Thoiizon et si l'on suspend un nouveau poids quelconque au point de suspension du fléau, celui-ci . " '

demeure parallèle à l'horizon.

^ Axî07ne IV, Si des poids en nombre quelconque maintiennent un fléau de balance parallèle à l'horizon ; si Z, D, J^ sont deux de ces poids suspendus à un même bras du fléau; si l'on éloigne le poids Z du point de suspension de la