Énoncé du Principe de Torricelli

Lagrange a écrit (i) : « Torricelli, fameux disciple de Galilée, est l'auteur d'un autre principe qui dépend aussi de celui des vitesses virtuelles ; c'est que, lorsque deux poids sont liés ensemble et placés de manière que leur centre de gravité ne puisse pas descendre, ils sont en équilibre dans cette situation. Torricelli ne l'applique qu'au plan incliné, mais il est facile de se convaincre qu'il n'a pas moins lieu dans les autres machines. »

C'est dans le recueil intitulé Opéra geometrica Evangelislœ Torricellii (2), publié à Florence en 1644, que se rencontre l'énoncé du principe dont parle Lagrange.

i\) Lagrange, Mécanique Analytique, 1« Partie, Seclion I, n° 15.

d) Opéra geometrica Evangelistae Torricellii : De solidis sphœralibus ; lie motu ; De dimensione parabolœ ; De solido hyperbolico, cum appendiciàus decyclofde et cochlea.

A la seconde page, le titre De sphœra et solidis sphœralibus libri

Dans la pièce sur le mouvement des graves, Torrirelii s exprime (i) ainsi :

«* Nous poserons en principe : Que deux graves, lus insemble % ne jteuvent se mouvoir deux-mêmes, à moins que leur commun centre de gravité ne descende,

* Kn effet, lorsque deux graves sont liés ensemble de telle sorte que le mouvement de l'un entraine le mouvement de l'autre, que celte liaison soit produite par l'intermédiaire de la balance ou de la poulie ou de tout autre mécanisme, ces deux graves se comporteront comme m. grave unique formé de deux parties ; mais un tel grave ne se mettra jamais en mouvement, à moins que son ccntn» de gravité ne descende. Or donc, quand il sera constitue de telle sorte que son centre de gravité ne puisse descendra en aucune manière, le giave demeurera assurément en repos dans la position qu'il ocrupe ; par ailleurs, en effet, il se mouvrait en vain, car il prendrait un mouvement horizontal qui ne tend nullement vers le bas. *

Ce principe, Torrirelii le pose afin d'en tirer une solution du problème» du plan incliné; pour quelle raison l'obtention d'une telle solution lui semblait particulièrement souhaitable, i.ous le verrons plus tard. AusMtét

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cju'il a formulé son postulat fondamental, il énonce (1) ;ette proposition :

« Si deux graves sont placés sur deux plans inégalement inclinés, mais ayant même élévation, et si les poids de ces yraves sont entre eux comme les longueurs de ces plans, tes deux graves auront même momento.

» Nous montrerons, en effet, que leur commun centre le gravité ne peut descendre, car, quelque mouvement jue Ton impose aux deux graves, il se trouve toujours sur a même ligne horizontale... Ainsi deux graves attachés 'un à l'autre se mouvraient, et leur commun centre de jravité ne descendrait pas. Cela serait contraire à la loi l'équilibre que nous avons posée en principe. »

Torricelli revient également à cette loi d équilibre au lébut de son écrit Sur la dimension de la parabole (2). 11 formule, en effet, l'hypothèse suivante, qui devient pour lui la définition même du centre de gravité : « On supposera [jue la nature du centre de gravité est telle qu'un corps librement suspendu par un quelconque de ses points ne puisse demeurer en repos, tant que le centre de gravité ne se trouve pas au point le plus bas de la sphère sur laquelle il se meut. » Torricelli en déduit sans peine qu'au moment de l'équilibre, le centre de gravité se trouve dans la verticale du point de suspension et au-dessous de ce point.

En cette même pièce (3), Torricelli cherche à tirer de $a règle d'équilibre la loi d'équilibre du levier ; il en donne deux démonstrations équivalentes ; citons seulement la seconde :

Le levier AE (fig. 94) tourne autour du point B. Il porte deux poids, respectivement suspendus en A et en E,

(1) De molu gravium naturaliter descendentium , liber primus, Propositio I, p. 99.

(2) Evanpelislœ Torricellii De dimcnsicne parabolœ,.., Suppositiones et definiiiones, p. 11.

3 Torricelli, loc. cit., p. 15.

et en raison inverse des longueurs AB, BE. « Réunissons les deux centres de gravité G, L, par la droite GL. Comme la grandeur du poids L est à la grandeur du poids G dans le même rapport que AB à BE ou bien, pour des misons de parallélisme, que ON à NL, le centre commun de gravité des deux poids suspendus au levier est en N. Si donc la balance AE ne demeurait pas en

repos, le rentre de gravité N monterait ; car, se trouva* ' l sur la verticale DF, il ne peut m» mouvoir qu'il i * e monte. «

Torricelli commet iei une inadvertance ; un déplace" ment virtuel de la balance m» ferait pas monter le point N* • il le laisserait immobile. Dans re cas, donc, comme dar** le cas du plan incline, le centre commun de gravite de»=* deux poids lies ensemble n'est pas /<• jilu.\ twx j**sstf>te . H serait aussi bas après un déplacement wrtuel. Auj«»ur-

d'hui, et grâce à Lagrange, nous savons relier ce caractère à un autre : Les deux cas d'équilibre traités par Torricelli sont des équilibres indifférents. Au contraire, l'équilibre d'un système de poids est stable lorsque le centre de gravité de cet ensemble de poids est plus bas dans l'état actuel que dans tout état voisin. Nous avons vu que Roberval, précédant Torricelli, avait traité un tel cas d'équilibre stable.

Il ne paraît pas, d'ailleurs, que Torricelli ait eu, touchant les questions de stabilité, les idées aussi nettes qu'elles l'eussent pu être, grâce aux recherches et aux discussions de ses prédécesseurs. La démonstration de la loi d'équilibre du levier, précédemment citée, est suivie (i) du passage que voici :

« Je n'ignore pas qu'une controverse s'est élevée entre les auteurs pour savoir si une balance portant des poids dont les centres se trouvent sur le fléau même, demeurera dans la position où on l'incline, ou bien si elle reviendra à sa position primitive. Quant à nous, dans ce livre, nous avons toujours supposé que les poids se trouvaient suspendus au-dessous du fléau ; nous avons mieux aimé écrire des choses qui soient utiles à notre objet que d'approprier nos démonstrations aux controverses d'autrui. »

Que les centres de gravité des poids soient ou non au-dessous du fléau, cela importe peu à la stabilité de la balance ; cette stabilité dépend de la disposition du fléau par rapport au point de suspension ; lorsque le fléau se réduit à une droite passant par le point de suspension, comme en la démonstration de Torricelli, l'équilibre de la balance est indiffèrent, lors même que les poids pendraient au-dessous du fléau. Ces idées étaient clairement exposées, dès le xm e siècle, dans le traité composé par le Précurseur de Léonard de Vinci. Léonard et Benedetti les avaient élaborées à nouveau. On peut s'étonner de

(I) Torricelli, loc. cit., p. 15.

« Pour rencontrer une antvre en laquelle la Statique se trouve aussi absolument concentrée autour du principe des travatur virtuels, encore que ce principe ne soit conçu que dune manière partielle et imparfaite ; une teuvre, dirai-je, où la Statique soit assujettie dune manière si despotique à ce principe ; une teuvre où Von refuse, dune manière si rigoureuse, toute initiative, tout droit d'intervenir à Tintuition directe, dont la méthode d Archimèdc faisait si largement usage , /x)ur rencontrer une telle œuvre, dis-je. il faut venir jusqu'à l'opuscule que Descartes a intitulé : Explicatio machinarum alque mstrumentorum quorum ope gravissima quaeque pondéra sublevantur ; cet opuscule est. en effet, la jtremière tentative qui ait été faite, ajtres le traité dont nous jxvions, /pour construire C édifice entier de la Statique sur le plan que devait réaliser la Mécanique analytique de Ixigrange. -

Au moyen tige, la Statique était enseignée de deuj manières : Dans les universités, les maitres-ès-arts rattacha tent l'étude des lois de l'équilibre aux commentaires dont ils enrichissaient les écrits cosmologiques dAristote; hors des Universités, on traitait la Statique comme une science mathématique autonome, sans attache avec la Philosophie, cette science, on en trouvait le déftât dans des ouvrages que l'on attribuait parfois à Euclide, à Archimède, à Jordanus, dont /tins souvent encore, les auteurs étaient simplement désignés par ce terme collectif : Auctores de ponderibus.

Xotre premier volume a eu />our jyrincipal objet de suivre* parmi mille vicissitudes, le dé velop jument des méthodes que les AiKtoivs iU* pondérions avaient créées ,- de ce développement e\t issue la Statique Cartésienne, fondée tout entière sur l'égalité entre le travail moteur et le travail résistant,

Les deu,v premiers chapitres du présent volume tuais retraceront l'évolution des idées émises jxir les maîtres scth

— Ylî —

lastiques ; nous y voyons cette évolution aboutir au célèbre principe de Torricelli : Un système pesant dont le centre de gravité se trouve aussi bas que possible est assurément en équilibre.

Le germe qui devait donner naissance à cette vérité se devine, vague et indistinct, dans les écrits de très anciens commentateurs cCAristole, de Simplicité par exemple ; au xiv 6 siècle, il se précise dans les livres d Albert de Saxe et prend cette forme : En tout grave, il y a un point bien déterminé, le centre de gravité, qui tend à se placer au centre des choses pesantes.

Cette proposition qui se montrera extrêmement féconde en conséquences, implique une importante erreur ; V existence cCun centre de gravité fixe en un corps pesant est liée à la supposition que les verticales des divers points de ce corps peuvent être regardées comme parallèles entre elles ; elle est incompatible avec l'existence, à distance finie } d'un commun centre des choses pesantes. Tout en % onée soit-elle, cette proposition s'impose, indiscutée, à tous les espiHts ; elle est prise « pour un axiome, le plvs clair et le plus évident quon peut demander. »

La révolution copemicaine, en déplaçant le centre de r Univers, ne ruina pas ce principe ; elle l'obligea seulement à se tnodifier ; le centre de la teri*e fut substitué au centre commun des graves, et l axiome ainsi rajeuni put recevoir la constante adhésion de Galilée.

Les conséquences visiblement inadmissibles que Fermât déduisit de cette proposition en*onèe purent seules en amener la ruine, tandis que les corollaires utiles que Ion en avait déduits prenaient enfin une forme connecte.

Le principe faux qui avait si longtemps dirigé la Statique de F École, avait aussi produit la théorie gèodèsique la plus généralement enseignée dans les Universités ; aussi t histoire de la Science de t équilibre se trouve-t-elle liée d'une manière inextricable à C histoire des doctrines qui ont été émises, au

comme si les deux parties équilibres séparées dans un corj* par un plan issu du centre de gravité étaient non |>oint d'égal mo)tic»t % mais d'égal jtoids. Ainsi Pappus conclut r » que le centre de gravité d'un triangle est sur la médiane * simplement de ce fait que la médiane donne deux triangle* partiels qui ont des aires égales.

La seconde remarque est, pour l'étude que nous allons poursuivre en ce Chapitre, de grande importance.

Nous savons aujourd'hui que la loi du levier, telle qu'Archimède Ta formulée, nous savons que le* règles tracées par les géomètres pour obtenir le centre de gravit* des divers corps, que l'existence même, au sein d'un corjis solide, d'un point rixe qui mérite le nom de centre «le gravité sont autant de conséquences de celte hypothèse : La gravité a, en tous les points du corps, la même grandeur et la même direction.

11 est très certain que les géomètres n'ont eu que m-s tard une vue claire des conditions précises auxquelles soit assujetties l'exactitude de la loi du levier et la notion même de centre de gravité.

Ashurt'nx nt, tout ce qu'a écrit Archimède en son traite Sur Véqvililw <hs j>fa)<s s'accorde avec l'hypothèse d'ure . pesanteur partout constante en grandeur et en direction ; nulle part, ce perdant, le giai.d géomètre ne signal»» qt.e cette restriction roit cssei.tit lie à l'exactitude des propositions qu'il énonce. Il < st même permis de douter qu'il ait cm çu sur ce j oint une opinion précise.

Ce d( ule se fortifie lorsqu'on lit ses livres Sur 1rs <vr/.» flottants. Au premier de ces deux livres, nous le voyons sans cesse mentionner et figurer la convergence des vert.- / cales au centre de la Terre, alors que les lois qu'il \euï démontrer ne sont point exactes lorsque la pesanteur n\M pas constante en grandeur et en direction. L'illustre SyracuMiin donne ainsi, du principe qui a gardé son nom.

I; P4|i|-us tfiC. rit.. |». 1055.

un énoncé trop général et entaché d'une grave erreur (1). Mais au second livre, lorsqu'il veut appliquer ce principe, il traite les verticales comme des parallèles ; alors disparaissent les conséquences erronées de sa première analyse. Rien ne prouve que Pappus ait eu, des conditions dans lesquelles il est permis de parler du centre de gravité d'un corps, la connaissance claire et assurée qui semble avoir été refusée à Archimède. Comme son illustre prédécesseur, il semble n'avoir point attaché d'importance à cette question. Il désigne les verticales comme des lignes qui convergent vers le centre de l'Univers, « tk rb toù rcavrè; xs'v- Toov » et, aussitôt après, il les traite comme parallèles.