EXPRESSION DE LA FORCE ÉLECTROMOTRICE
d'où
(VF ç^^ dl dt
Supposons maintenant que le circuit soit en mouvement ; au temps t -\- dt, les surfaces AMB et APB seront venues en A,M^B, et A,P^B^ ; soient F -f oF et F' -f W les flux d'induction qui les traversent alors. La force électromotrice a pour expression :
. BF . oF' A ~ ou A -;r-
ot ùl
Il faut donc que l'on ait §F = 8F', ce qui a encore lieu, comme dans le cas précédent, si l'on suppose que les aimants qui peuvent figurer dans le système soient permanents et emportent avec eux leur magnétisme vrai. Mais cela n'a lieu que si les surfaces A^]M,B^ et A,P,B, sont constituées par les points qui constituaient à l'instant t les surfaces AMB et APB.
11 faudra donc, dans cette étude, pour calculer la force électro-motrice dans un circuit, considérer les différentes positions d'une même surface limitée au circuit et non pas dans chaque cas une surface quelconque.
156. Établissement de la formule fondamentale de l'induction dans un circuit en mouvement. — La force électromotrice totale qui s'exerce dans un circuit est représentée par l'expression :
/ [Xdx -{- \dy -f- 'L,dz),
Soient Aq et B^ les deux points où le circuit considéré
Fio. 80.
coupe le plan de la figure au temps t [ftg. 80) ; A^M^Bo, la position au même temps d'une surface limitée à ce circuit ;
au temps t -\~ dt^ cette surface sera venue en A^M^B^.
Construisons une surface annulaire AqBo.A^B,, de façon que l'ensemble des trois surfaces A^M^B^, A^M^B^, A^Bq A,B|, limitent un volume. Désignons par ."^IL la quantité de magnétisme vrai qui se trouve à l'intérieur de ce volume et soient au temps t -\- dt:
F -)- SF le llux d'induction magnétique à travers A^M^B,
F + f/F AoM.Bo
F' A,B^AoBo.
Ecrivons que le flux total d'induction qui traverse la surface fermée est égal à 47:0IL. On aura :
F 4- 5F — (F -f- rfF) — F' = iTrOli.
oF
Evaluons F' ; pour cela considérons deux points P et P' du circuit dans sa première position, de coordonnées a;, 2/, z et .('-)- dx^ y -|- dy^ z -\- dz.
En t -\- dt, ces points sont venus en P, , et P',, la figure PP'P^P'^ étant assimilable à un parallélogramme [fig. 81).
Si on désigne par ^,-1,^5 les composantes de la vitesse du
Fie. 81.
ETABLISSEMENT DE LA FORMULE FONDAMENTALE 321 point P, les coordonnées de P^ , sont :
y -\--r\.dt \ z + l.dt.
Soient c?co la surface du petit parallélogramme et a, p, yles cosinus directeurs de sa normale; les aires des projections du parallélogramme sur les plans de coordonnées sont :
et l'on a
a.fl^to p.^co y.t/co
a.tico = [r^dz — X^.dy]dt.
p.c/co := {l.dx — \.dz)dt.
y.rfco = \!i,.dy — ■(\.dx di.
Le flux d'induction F' peut donc s'écrire :
F'=/(a.!xL -f p.aM + yix.Nyco ^hj^L.'L.dl^-t^dz —hllj)
A la place du terme X^y^dz on peut mettre sous le signe V le terme W(,dx qui s'en déduit par permutation ; de même à la place de \Xdy on peut mettre '^.t^.dx, de sorte que F' peut s'écrire :
F' =p..^x.dt.dx{m, — Nïi)
ou bien en posant :
X, = fx(M!; - N-^) Y, =.y.(N;-U) Z, = ..(Lti - M^)
F' —Ç'^^dx -\- ^^dy + Z^dz)dt,
Remarquons maintenant que la quantité de magnétisme vrai qui se trouve à l'intérieur de la surface fermée a forcément traversé cette surface pendant le temps c//, caries deux surfaces A^MoB^ et A,M,B, étaient primitivement appliquées l'une sur l'autre et ne comprenaient, par suite, entre elles aucune quantité de magnétisme.
Or la quantité de magnétisme vrai ou permanent qui a pénétré à travers A,M^B^ est nulle, puisque cette surface se déplace avec les molécules elles-mêmes qui la constituent et que le magnétisme permanent est entraîné par les corps en mouvement.
D'ailleurs, la surface annulaire A^B^ A,B, est infiniment petite par rapport aux deux autres et la quantité de magnétisme vrai qui l'a traversée est sensiblement nulle.
11 reste donc seulement le magnétisme qui a traversé A^MoB^. Supposons pour simplifier le calcul que cette surface AqMqBq soit un élément de surface d'étendue c/w, normal à ox. On voit que l'on aura :
47r.M = \-K.m.d('^.\.dl
Si la surface A^M^B^ se réduit à un seul élément fAo, la force électromotrice totale se réduit à :
D'autre part, elle doit être, comme nous l'avons vu, égale à :
De même, quand la surface A,>M„By se réduira à un e!e-
ÉTABLISSEMENT DE LA FORMULE FONDAMENTALE 323 ment, il viendra :
d'où:
dt "" V dy dz I
it. \ dii dz }
11 ne nous reste plus à calculer, pour avoir tous les termes de l'équation (1), que dV . Or :
F = [xL.c^co,
d'où
.d¥ , , d[ixh) dt dt
L'équation (1) peut maintenant s'écrire :
^-dt-^7ft'^^dt^^--dr
, fdZ d\\ , , d.{^L) , , , (d^^ c?YA , , ., ,
ou bien, en supprimant le facteur d^ù commun aux deux membres :
dy dz dt ' \dy dz j '
Nous obtiendrions de même deux autres équations analogues.
Rendons-nous compte de la signification de chacun des termes du second membre :
A --^^^■' représente la force électromotrice d'induction due dt
à la variation du champ magnétique;
A 1 -T^ — —r^ )> celle due au déplacement du circuit.
La signification du troisième terme est plus difficile à interpréter : il nous a été fourni seulement par le calcul.
