Application à l'excitateur sphérique de Lodge

— Supposons une sphère conductrice placée dans un champ uniforme ; une fois l'équilibre atteint, nous supprimons brusquement le champ : les électricités séparées se recombinent en effectuant des oscillations ; on a ainsi constitué un excitateur qui est de révolution et auquel on peut appliquer les équations précédentes.

Nous allons introduire une fonction auxiliaire tt et poser :

De cette relation et de :

. d(s^' dX,'

dt dz

on déduit :

diz ^ ='d~z'

Mais nous avons d'autre part:

dt dn

Y = A ^' + ^' dt "*" dy

expressions que nous allons transformer en y remplaçant l\ -/)', Z,' et cp' par leurs valeurs, qui sont :

diz ^ =d~s

^ - ^dt

obtenons :

dx.djz

dy.dz

D'ailleurs nous avons :

dL d'où nous tirons :

APPLICATION A l'eXCITATEUR SPHÉrIQUE DE LOBGE 87

Cette constante est indépendante diï temps, elle est nulle si on part du repos. On peut donc écrire la valeur de Z :

Calculons x en nous servant de l'équation :

Nous voulons intégrer cette équation en supposant que tt ne dépend que de r, r étant défini par r^ := x^ -\- y^ -{- z^. La solution est :

Il nous reste à déterminer les fonctions f et f^, ce que nous ferons par les conditions aux limites.

46. Conditions aux limites. — I. — Pour r =a, a étant le rayon de la sphère conductrice, la force électrique doit être dirigée suivant le rayon (normale au conducteur). Pour exprimer cette condition, nous allons transformer les expressions de X, Y, Z.

Nous indiquerons, pour simplifier, les différentiations par rapport à r par le signe '. On a :

d-!: , dr , z

dz dz r

d'^Tz /tt'X ' zx

dz.dx ' \r I 7

d'^-K fr^y z- j^ tt'

dz'^ \r J r "T" r

88 ÉTUDE THÉORIQUE DES OSGILL.ITIONS HERTZIENNES ce qui permet d'écrire :

Ces expressions montrent que le vecteur X, Y, Z est la somme de deuxvecteurs dont le premier a pour composantes :

Ces trois composantes étant entre elles comme .r, y, ^, le vecteur est dirigé suivant le rayon.

Le second vecteur est parallèle à oz. Il doit donc être nul à la surface de la sphère, c'est-à-dire qu'on aura :

ou :

TU

Att = r

ri 1 "^

71 4- — = o pour

IL — Une autre condition est que, au moment où le mouvement commence, c'est-à-dire lorsqu'on est encore dans un état électrostatique, (X, Y, Z) se réduise à la force due à l'action électrostatique, c'est-à-dire au potentiel de la sphère, qui

) . , , diz

n est autre que cp ou — •