CONDITIONS AUX LIMITES

C'est une équation linéaire à coefficients constants, qu'on peut écrire

' '^ ' a or'

en posant

Deux intégrales particulières de cette équation sont a et a' étant les racines de l'équation

d'où l'on tire :

Les deux solutions particulières peuvent donc s'écrire :

De là on déduit que l'intégrale générale est :

^^B..4' 2"^. cos.^(r -|) -|-c/« e~ ^^ sin. ^ (.-{)'

Les constantes B et C se détermineront par les conditions aux limites.

Cette équation montre que le mouvement est bien périodique, mais avec amortissement, puisque l'exposant de e contient t avec le signe — .

La même chose se passe pour un excitateur quelconque,

de sorte que, pour connaître un excitateur il faut connaître sa période et son amortissement.

Nous avons vu comment Hertz calculait la période de son excitateur ; nous allons voir maintenant comment il en a calculé l'amortissement.

47. Calcul de ramortissement dans un excitateur. — Pour calculer l'amortissement, Hertz s'est appuyé sur le théorème de Poynting : les variations de la quantité d'énergie contenue dans un volume déterminé sont les mêmes que celles d'un fluide fictif animé d'une certaine vitesse, cette vitesse étant représentée par un vecteur que nous avons appelé le vecteur radiant ; nous avons trouvé que ce vecteur radiant est perpendiculaire au plan des deux autres vecteurs X, Y, Z et L, M, N, et égal au facteur constant r-r multiplié par l'aire du parallélogramme construit sur ces deux derniers vecteurs.

Hertz a considéré l'énergie au début, a calculé la quantité d'énergie rayonnée au moyen du théorème que nous venons de rappeler et en a déduit l'amortissenient. Il a simplifié le calcul de l'énergie rayonnée en considérant celle qui rayonne à travers une sphère de très grand rayon.

Remarque. — Remarquons à propos du théorème de Poynting que la quantité d'énergie rayonnée à travers la surface d'un conducteur est nulle : cela résulte de ce que le vecteur radiant est perpendiculaire à la force électrique ; celle-ci étant normale au conducteur, le vecteur radiant est tangent à la surface ; sa composante suivant la normale est donc nulle et il n'y a pas, par suite, d'énergie rayonnée à travers le conducteur.