CALCUL DE L AMORTISSEMENT DANS UN EXCITATEUR

48. Voyons maintenant comment on peut calculer l'amortissement. L'une des quantités X, Y, Z, L, M, N est de la forme :

Ae- «'. ces p^-f- Be-«^sin p^.

A et B étant des fonctions de œ^ ?/, jz. Le carré d'une expression de ce genre contiendra des termes du second degré en sin ^t et cos pt.

L'énergie sera donc de la forme

E = e -?«'/• (cos j3^, sin S^)

la fonction f étant un polynôme homogène du deuxième degré.

La période de X, Y, Z ou L, M, N est :

/"(cos pt,sin pt) étant du second degré aura pour période

Soit Eq la valeur de E au début d'une demi-période, et E^

sa valeur au bout de la demi-période - • On aura :

d'où :

a = ;j,logg-«-

Cette quantité a est celle qui exprime l'amortissement.

Supposons qu'on ait pu calculer d'une façon quelconque E^, énergie totale au début de la demi-période, et aussi Eq — E^, énergie qui a disparu ; on en déduira E, et par suite a.

C'est ce que Hertz a fait en prenant Ténergie à l'intérieur d'une sphère de très grand rayon : l'énergie perdue est seulement celle qui a rayonné à travers la sphère, puisque le rayonnement à travers le conducteur est nul d'après la remarque que nous avons faite tout à l'heure.

Calcul de E^. — On peut se rendre compte de la différence de potentiel qui existe entre les deux boules de l'exci tateur quand l'étincelle éclate. Hertz admet qu'elle est d'environ 100 unités électrostatiques ; nous la désignerons par V ; cette quantité disparaîtra d'ailleurs de nos calculs, comme

nous allons le voir bientôt.

Les 2 sphères sont à des potentiels -f- -^ et — — ; leur

capacité est d'environ 15 centimètres. Pour avoir l'énergie totale, il suffît de calculer l'énergie électrostatique par la méthode ordinaire. On a :

Calcul de Eq — E^ 'pendant la demi-période. — Le vecteur radiant est proportionnel à l'aire du parallélogramme construit avec les vecteurs X, Y, Z et L, M, N comme côtés ; chacun de ces vecteurs est proportionnel au potentiel V, l'intensité du courant périodique étant proportionnelle h q&i par suite à V. Il en résulte que le vecteur radiant est lui-même proportionnel à V^, et par suite E^ — E, est proportionnelle à V^. Il en est de même de E^ ; donc le rapport :

Eq — E^

et par suite le rapport :

CALCUL DE l'amortissement DANS UN EXCITATEUR 95

sont indépendants de V ; la valeur de V n'influera donc pas sur celle de a.

Appliquons maintenant les principes que nous avons exposés : le vecteur l, t), Ç est donné par :

= — Ai

u".dT

v".dx'

w".di!

expressions dans lesquelles u" par exemple est la valeur de u au point x'y' z et au temps t — rA.

Chaque élément du courant superficiel doit être regardé comme le centre d'une onde sphérique, et les valeurs correspondantes de ?, 7), C dépendront des valeurs des composantes w, i", te du courant au moment où l'onde a quitté l'élément.

Il faudrait pour composer ces ondes sphériques en un point de l'espace effectuer un calcul compliqué. Mais le calcul se simplifie lorsqu'on l'applique à une sphère de très grand rayon, car pour un point éloigné une onde sphérique peut être considérée comme une onde plane.

Ceci nous conduit à étudier la propagation des ondes planes.

49. Étude des ondes planes. — Prenons le plan de l'onde comme plan des xy\ alors ^, -ri, C, X, Y, Z, L, M,N seront des

fonctions de z — ■r- seulement ; en effet, d'après nosformules

96 ÉTUDE THEORIQUE DES OSCILLATIONS HERTZIENNES de la forme :

les ondes sphériques se propagent avec la vitesse de la lumière, et il en est encore de même lorsque le rayon est très grand, c'est-à-dire lorsqu'on a affaire à une onde plane.

Ces différentes quantités étant des fonctions de ^ — -ri il

en résulte que :

^ di dx dy

dz dt

et de même :

<t5 =^ = 0 dx dy

d'i\ . dr\ dz ^ dt

Nos équations fondamentales deviennent alors :

dt "~ dz

dt dz