CALCUL DE LA PERIODE DE L EXCITATEUR DE HERTZ

courant ouvert n'a pas encore reçu de vérification expérimentale.

En appelant / la longueur du fil et cl son diamètre, on trouve, en supposant que le courant circule seulement à sa surface :

[Al "1

log. ^ - IJ-

Si on admettait, comme le fait Hertz, que la distribution du courant est uniforme, c'est-à-dire que la densité du courant est la même au centre qu'à la surface, on obtiendrait la formule :

L=-2.[logi-0.7.-,].

Mais Thomson a montré que, pour des courants oscillant aussi rapidement, la [jropagation ne peut s'effectuer que par la surface. D'ailleurs, la différence entre les deux formules est très petite.

Remarquons que, si on prend pour L et C les unités électromagnétiques, \ LC est un temps ; mais en exprimant, comme le fait Hertz, L en unités électromagnétiques et C en unités électrostatiques, L et G sont des longueurs, yLC sera aussi une longueur, et par suite, pour obtenir la période, il faudra employer la formule :

T = 2-A v'LC

D'ailleurs, a longueur d'onde X est donnée par :

OÙ V désigne la vitesse de propagation. Si on fait sur cette vitesse l'hypothèse qu'elle est l'inverse de A, on aura pour la longueur d'onde l'expression

X = 27: v/LC

Il vaut mieux considérer la période, ce qui ne préjuge rien sur la valeur de la vitesse de propagation.

Hertz emploie non pas la période complète, mais l'expression:

7C\/LC".

Il trouve que la longueur d'onde est d'environ 3 mètres, c'est-à-dire que, en admettant que la vitesse de propag-ation soit la même que celle de la lumière, le nombre des oscillations simples est de 100 millions par seconde.

34. Examen de quelques objections. — I. — Les deux boules du micromètre à étincelles sont reliées aux extrémités du fil induit de la bobine : on peut se demander si la capacité et la self-induction de la bobine n'ont pas une influence sur la période, de sorte que le calcul de cette période fait en ne tenant compte que de la capacité et de la self-induction de l'excitateur serait inexact ? Nous allons voir que non.

Nous avons à considérer deux courants : d'abord, un courant dont l'intensité est donnée par:

. dq^

*~ dt

circulant d'une sphère à l'autre, et en particulier d'une boule à l'autre du micromètre ; et, de plus, le courant de

décharge de la bobine, d'intensité z", qui ne parcourt que le micromètre.

Dans le micromètre, ces deux courants sont superposés et peuvent agir l'un sur l'autre : soit M leur coefficient d'induction mutuelle. M est beaucoup plus petit que le coefficient de self-induction L, car les deux courants n'ont qu'une très petite partie commune.

Notre équation devient alors :

dt ^ dt^ C

Nous négligeons le terme Rz, parce que nous supposons la résistance très faible. Quant à i\ il ne sera pas troublé par la présence de l'excitateur, car il est très considérable par rapport à i, et il conservera sa période propre, qui est la période de la bobine.

On peut donc poser :

— M ^= A. cos(X^-}-/î), ce qui permet d'écrire l'équation précédente :

L^ + ^ = A. cos(X^-f-/0.

Nous obtenons ainsi une équation linéaire à second membre ; l'intégrale générale du premier membre est :

B^ cosjiC -}- Bj siufj.^ ou :

'' sjLC

î LES OSCILLATIONS HERTZIENNES

L'intégrale générale de notre équation est donc :

A. cos(Xf + ^)

^ = B^ cos ]j.t -}- Bj sin ]j.t -}-

Ce dernier terme est petit, puisqu'il renferme le coeiïlcient très petit A ; de plus, il est sensiblement constant par rapport aux deux termes qui le précèdent, car la période propre de la bobine est beaucoup plus longue que celle de l'excitateur, ce qui revient à dire que 11 varie beaucoup plus lentement que [j.t.

Ainsi la période de l'excitateur ne sera que peu influencée par celle de la bobine, la solution de l'équation précédente ayant une période oscillant très lentement autour d'une valeur moyenne.

II. — En établissant la formule de Tbomson, nous avons fait quolqueshypotbèses : nous avons supposé que le courant circulait d'un bout du fil à l'autre avec la môme intensité, ce qui revient à négliger la capacité du fil. Ceci n'est pas toujours permis, comme nous allons nous en rendre compte en examinant un cas extrême.

Considérons un excitateur formé par un fil métallique fin. Si le fil est indéfini, toutes les théories, et en particulier celle de Maxwell, s'accordent pour montrer qu'une perturbation s'y propagera avec une vitesse constante ; cette vitesse est d'ailleurs celle de la lumière. Dans le cas d'une oscillation périodique, on pourra donc représenter l'intensité du courant <en un point par l'expression :

i = A. sin[x(^ — Vf!).

Supposons que le fil ait une extrémité : il s'y produira une réflexion donnant lieu à un courant rélléchi d'intensité :

{ = A sin u.{z -f- V<)

et l'intensité du courant total en un point sera donnée par :

l = / -\- i' =z 2A. sin 'J.Z. COS. <j\t.

On obtient ainsi ce qu'on appelle des ondes stationnaires, dont l'amplitude est proportionnelle à sin t^^ en un point d'abscisse -c.

Cette amplitude est nulle aux points pour lesquels •

sin uz = 0, c'est-à-dire quand :

U.Z = Ktt,

K étant un nombre entier quelconque. En particulier, le

courant est nul aux points - = o et ^ = - : on peut couper

le fil en ces deux points sans rien changer à l'état du courant ; le tronçon ainsi obtenu constitue un excitateur dans lequel le mouvement oscillatoire de l'électricité est toujours représenté par :

1 =: 2 A. sin ij.3. cos u\t.

Ainsi, dans ce sas particulier, la longueur du segment de fil est égale à la moitié de la longueur d'onde du mouvement périodique, et ce résultat est indépendant du diamètre du fil, tandis que dans la formule de Thomson intervient l'expression delà self-induction, où entre ce diamètre.