CHAPITRE III

38. Recherche des intégrales des équations générales. — Rappelons que nous avons trouvé deux groupes d'équations de la forme :

' dt dij dz

. , dX dM f^N , , Ae -7- = -r— — —r- — A-nAn.

dt dz dy

Nous supposerons, dans ce qui suivra que les corps conducteurs sont placés dans le vide ou dans un diélectrique qu'on puisse assimiler au vide, l'air par exemple, Nous étudierons plus tard le cas de conducteurs plongés dans d'autres diélectriques.

Dans ces conditions, pour un point du diélectrique, les équations deviennent :

dt^ dy dz

KdX dM cm^ dl dz dy

RECHERCHE DES INTEGRALES DES EQUATIONS «9

Ce que nous cherchons, ce sont des intégrales ayant la

forme :

X = Beï' cos qt -\- CeV s'mql.

Nous avons vu que cette expression est la partie réelle de

l'imaginaire :

(B — /C). e-P' où l'on a posé :

Nous allons employer un artifice fréquemment utile : si on trouve une solution imaginaire, n'ayant par elle-même aucun sens, en ne gardant que la partie réelle, on a une solution répondant à la réalité physique. En effet, les équations ont leurs coefficients réels ; on aura donc une nouvelle solution en remplaçant dans la première i par — i ; mais, comme d'autre part les équations sont linéaires, si X^, Y,,Z,, L,,... et X'^, Y',, Z\,, L'^,... sont deux groupes de solutions on aura encore des solutions en formant les expressions

et ces expressions ne sont pas autre chose que la partie réelle de X^, Y,, Z^.

Cherchons donc des solutions de la forme :

(B — iC).e'>'.

On voit que de cette forme des solutions il résulte que :

rfX . Y

— - = ipL etc.

dt ^

70 ÉTUDE THÉORIQUE DES OSCILLATIONS HERTZIENNES Les équations pour un point du diélectrique deviennent donc :

dZ <n

dy dz

dz dy

11 s'agit de trouver six fonctions de oc,y,z, X,Y,Z, L,M,N et un nombre p qui satisfassent à ces six équations. Le problème n'est pas déterminé ; il faut se donner les conditions limites qui sont ici les conditions à la surface.

Le vecteur X, Y, Z doit être normal à la surface des conducteurs.

Le problème est relativement simple (^) si on considère un diélectrique limité par une surface conductrice, car alors il ne peut y avoir de rayonnement à l'extérieur (2) et, par suite, Y est nul. Les fonctions que nous cherchons sont alors réelles aux facteurs e'''^ et ï'e'/'^ près. Nous allons examiner un problème plus difficile, celui où l'on suppose le diélectrique indéfini. •

39. Cas d'un diélectrique indéfini. — La simplification qui se produisait dans le cas précédent n'a plus lieu : il y a perte d'énergie par rayonnement.

Reprenons nos équations générales. Le coefficient [jl est égal à 1 dans le diélectrique ; dans un conducteur, morne magnétique, on pourra également le supposer égal à 1, parce que nous supposons qu'il n'y a pas de magnétisme dans le conducteur.

(•) Cf. Electricité et Optique, tome 11, note 3.

(2) Ceci est, comme nous le verrons plus loin, une conséquence du théorème rie PcyntinR.

CAS d'un dielectriquh indéfini 71

Quant à e, il est égal à 1 dans le diélectrique ; dans le conducteur, nous ne connaissons pas sa valeur; mais on peut sans erreur sensible le prendre égal à 1, parce que e ne

figure que dans le terme Ae -j-^ qui est toujours négligeable

par rapport aux autres : en effet, dans le conducteur, X, Y, Z sont nulles; à la surface, u,v, ta sont très grandes et le terme

Ae -T- est négligeable par rapport au terme — AtzAu.

Ainsi nous pourrons donc dans tout l'espace supposer :

z z=: tj. = i

et écrire nos équations sous la forme :

dt dy dz

, dX dU dN , ,

A -7- = -1- — ^- — 4:rAM.

dt dz dy