Introduction du potentiel vecteur ;, tj, C- — Nous

allons poser :

/ P dX^ ch\

l dy dz

\ dx dy

Remarquons que ces équations ne suffisent pas pour déterminer \, Tj, Ç, car elles se réduisent en somme à deux à cause de la relation :

f/L , dM , c^N

dx dy dz '

qui exprime que la densité du magnétisme est nulle.

Différentions les deux membres de la première des équations par rapport à t et multiplions en même temps par A. 11 vient :

dt \dy.dt dz.dt

En comparant k la première des équations fondamentales, on voit que :

dZ dl f dK d\

dy dz \dy.dt dz.dt

ce qu'on peut écrire :

dy \ dt) dz \ dt

On trouverait de même deux équations analogues et il résulte de là que l'expression :

(x A^;)rf. + (Y-Af;)*/ + (z-A|)* = .,

est une différentielle totale exacte que nous désignerons par drsf. On a alors :

• x^Af-hr dt dx

Y = A$Î + ^^ dt dy

dt ' dz Remplaçons dans les équations générales L, M, N par

INTRODUCTION DU POTP^NTIEL VECTEUR ;, r,, l 73 leurs valeurs. La première devient :

dl dz \dz dx) dij \dx dy)

Posons

' ~ dx'' "^ dif "•" ^2-2

et:

r/o; "' dy dz

L'équation précédente peut s'écrire :

, rfX ,. d'^ , .

^Tt=^'-dx-^''^''-

En remplaçant X par sa valeur, on obtient :

On aurait de même deux équations analogues. On peut satisfaire d'une infinité de façons à ce système d'équations. En particulier, on peut définir cp en posant :

A do

et l'équation précédente devient :

A2 frî = A; - -iTTAw.

dt^

Cette équation ne contient plus que ; et u ; c'est elle qu'il nous faut intégrer.

Supposons d'abord que le premier terme n'existe pas et

74 ÉTUDE THÉORIQUE DES OSCILLATIONS HERTZIENNES que Féquation se réduise à :

L'intégrale de cette équation est un potentiel d'une matière attirante fictive de densité Au. Considérons un point xyz et un autre x'y'z' où cette matière fictive ait la densité Au : dans un élément de volume c^t' situé autour du point x'y'z' se trouve une quantité de matière fictive égale à :

et on aurait

Au'.dx'

y. . lu' .dx'

^, Y], Ç seraient alors un facteur constant Après le potentiel vecteur de Maxwell.

Mais notre équation n'a pas la forme simple que nous avons supposée. Soit :

Alors on écrira :

Désignons par r la distance des deux points xyz., 'x'y'z', et introduisons la fonction :

u" = f [x, y', z, t — vA)

A l'instant <, u est la valeur de la composante parallèle à ox du courant au point xyz ; u' est la valeur de cette composante au même moment au point x'y'z' \ quant à ?«", c'est la valeur du courant au point x'y'z', mais à une époque anté-

INTRODUCTION DU POTENTIEL VECTEUR ;, r,, l 75

rieure d'un temps rA au temps l ; cet intervalle r\ est le temps que met la lumière à aller du point xyz au pointa^y^^'. Nous allons démontrer que la fonction :

. lu" .dx' A /

satisfait à notre équation.

En effet, considérons l'expression :

elle satisfait à la relation :

Si nous voulions calculer A;, nous serions arrêtés dans la différentiation sous le signe /par ce fait que l'expression comprise sous le signe T devient infinie quand le point x'y'z' se

rapproche indéfiniment de xyz, puisqu'alors r tend vers o, sans qu'il en soit de même de u" .

Mais si nous formons :

nous pourrons différentier sous le signe /, car iC — xi devient

nul lorsque x'ij'z' se rapproche de xyz, puisque cette différence est :

f{t-rk)-f{t\

qui tend vers o quand r diminue indéfiniment.

Il — 'fi

; — n'augmente donc plus indéfiniment et on a le droit

d'écrire :

A^ — A^^= — A Ia. '^ -dx'.

Mais u' ne dépend pas de r ; donc on a :

D'ailleurs, on a :

' r ' r r dt^ "^ r dl^

En remplaçant A — par sa valeur dans l'équation précé-

dente, elle devient :

dHi" d-z'