Calcul de l'amortissement dans un excitateur
Pour calculer l'amortissement, Hertz s'est appuyé sur le
théorème de Poynting: les variations de la quantité d'énergie
contenue dans un volume déterminé sont les mêmes que
celles d'un fluide fictif animé d'une certaine vitesse, cette
vitesse étant représentée par un vecteur que nous avons
appelé le vecteur radiant ; nous avons trouvé que ce vecteur
radiant est perpendiculaire au plan des deux autres vec-
teurs X, Y, Z et L, M, N, et é^al au facteur constant ; — r mul-
tiplié par l'aire du parallélogramme construit sur ces deux derniers vecteurs.
Hertz a considéré l'énergie au début, a calculé la quantité d'énergie rayonnée au moyen du théorème que nous venons de rappeler et en a déduit l'amortissement. Il a simplifié le calcul de l'énergie rayonnée en considérant celle qui rayonne à travers une sphère de très grand rayon.
Remarque. —Remarquons à propos du théorème de Poynting que la quantité d'énergie rayonnée à travers la surface d'un conducteur est nulle : cela résulte de ce que le vecteur radiant est perpendiculaire à la force électrique ; celle-ci étant normale au conducteur, le vecteur radiant est tangent à la surface ; sa composante suivant la normale est donc nulle et il n'y a pas, par suite, d'énergie rayonnée à travers le conducteur.
CALCUL DE l'amortissement DANS UN EXCITATEUR 93
48. Voyons maintenant comment on peut calculer l'amortissement. L'une des quantités X, Y, Z, L, M, X est de la forme :
Ae- *'. ces ^f.-\- Be-*'.sin fi/.
Aet B étant des fonctions de a;, y, z. Le carré d'une expression de ce genre contiendra des termes du second degré en sin p/ et cos ^t.
L'énergie sera donc de la forme
E = e -?»'/" (cos p^ sin pt]
la fonction /* étant un polynôme homogène du deuxième degré.
La période de X, Y, Z ou L, M, N est :
/■(cos 3/, sin Ç^tj étant du second degré aura pour période -•
Soit Eq la valeur de E au début d'une demi-période, et E,
T sa valeur au bout de la demi-période — • On aura :
h, = e~ . E-Q, d'où :
a = ^log^.
Cette quantité a est celle qui exprime l'amortissement.
Supposons qu'on ait pu calculer d'une façon quelconque E^, énergie totale au début de la demi-période, et aussi E^ — E,, énergie qui a disparu ; on en déduira E, et par suite a.
C'est ce que Hertz a fait en prenant l'énergie à l'intérieur d'une sphère de très grand rayon : l'énergie perdue est seulement celle qui a rayonné à travers la sphère, puisque le rayonnement à travers le conducteur est nul d'après la remarque que nous avons faite tout à l'heure.
Calcul de E^. — On peut se rendre compte de la différence de potentiel qui existe entre les deux boules de l'exci tateur quand l'étincelle éclate. Hertz admet qu'elle est d'environ 100 unités électrostatiques ; nous la désignerons par V ; cette quantité disparaîtra d'ailleurs de nos calculs, comme
nous allons le voir bientôt.
Les 2 sphères sont à des potentiels + -^ et — — ; leur
capacité est d'environ 15 centimètres. Pour avoir l'énergie totale, il suffit de calculer l'énergie électrostatique par la méthode ordinaire. On a :
Calcul de Eq — E^ pendant la demi-période. — Le vecteur radiant est proportionnel à l'aire du parallélogramme construit avec les vecteurs X, Y, Z et L, M, N comme côtés ; chacun de ces vecteurs est proportionnel au potentiel V, l'intensité du courant périodique étant proportionnelle à ç-et par suite à V. Il en résulte que le vecteur radiant est lui-même proportionnel à V^, et par suite E^ — E^ est proportionnelle à V^. Il en est de même de E^ ; donc le rapport :
En — E,
et par suite le rapport ;
CALCUL DE l'amortissement DANS UN EXCITATEUR 95
sont indépendants de V; la valeur de V n'influera donc pas sur celle de a.
Appliquons maintenant les principes que nous avons exposés : le vecteur l, t), Ç est donné par :
ç=-aP^
v\dT
lO^dV
expressions dans lesquelles u" par exemple est la valeur de u au point x'y'z' et au temps t — rA.
Chaque élément du courant superficiel doit être regardé comme le centre d'une onde sphérique, et les valeurs correspondantes de ^, 7), Ç dépendront des valeurs des composantes u, V, ic du courant au moment où l'onde a quitté l'élément.
Il faudrait pour composer ces ondes sphériques en un point de l'espace effectuer un calcul compliqué. Mais le calcul se simplifie lorsqu'on l'applique à une sphère de très grand rayon, car pour un point éloigné une onde sphérique peut être considérée comme une onde plane.
Ceci nous conduit à étudier la propagation des ondes planes.
49. Étude des ondes planes. — Prenons le plan de l'onde comme plan des xy; alors ?, r^, Ç, X, Y, Z, L, M, N seront des fonctions de z — ~ seulement ; en effet, d'après nos formules
96 ETUDE THEORIQUE DES OSCILLATIONS HERTZIENNES de la forme :
^ ^ p^Çji{E\y\z\t—rh^
les ondes sphériques se propag'ent avec la vitesse de la lumière, et il en est encore de même lorsque le rayon est très grand, c'est-à-dire lorsqu'on a affaire à une onde plane.
Ces différentes quantités étant des fonctions de ^ — -ri il
en résulte que :
<^ d\ dx dy
d}, di dz~ dt
et de même :
dr^ c?7)
dx dy
^^ — A ^• dz dt
Nos équations fondamentales deviennent alors :
df\
dz
d\ dz
N = o; dh
dt
dz
I dt dz
f , rfN A— = o;
\ dt
