EL

dZ dt '

dL dM ~ dy dx

Dans cette dernière équation, on a supposé e ^ 1 et ?<• ^ o, puisqu'on l'applique à un point du diélectrique. Des deux premières de ces équations on déduit :

rfL

'^di/^

dx^

En remplaçant dans la troisième —r- et -f- par leurs va-

dy dx ^

leurs, elle devient

^~~ dt~ dx- ^~ dxf

et cette relation portée dans l'équation (1) donne :

dl-

d'K De là on déduit, en supposant —, différent de o, que la

vitesse de propagation est égale à l'inverse de A, c'est-à-dire

à la vitesse de la lumière.

dK Ne pourrait-on supposer que -^ est nul à la surface, ce

qui ne laisserait pas subsister le résultat précédent ? Cela est impossible, parce que, comme on part du repos, on déduirait de là que :

à la surface ; or Ç est le potentiel d'une manière attirante de densité proportionnelle à t^, et ce potentiel croît au contraire d'une façon rapide quand on s'approche de la surface

du m.

Il résulte de là que la seule solution est celle que nous avons indiquée, l'égalité de la vitesse de propagation et de la vitesse de la lumière.

60. On peut arriver au même résultat d'une autre façon : nos équations ont une autre solution remarquable que celle dont nous venons de nous servir.

C'est le potentiel vecteur F, G, H de Maxwell ainsi défini :

F est le potentiel d'une matière attirante de densité -|- Am

G + Aw

H -^Aw.

Et, ici, dans w, v, lo il faut tenir compte des courants de conduction et des courants de déplacement. Nous avons :

(Il '~ dy dz

et d'autre part :

dX, dr\^ dy dz '

THÉORIE DE LA PROPAGATION d' APRES HERTZ 119 de là nous avons déduit (paragraphe 40) :

dt "^ dx , , i . dG dY

le vecteur F, G, H remplaçant ici ;, yj, ^.

Quelle est la signification de cette fonction V ?

Le potentiel vecteur de Maxwell F, G, H satisfait à la relation :

^F , r/G , dE

dx dy dz

En différenciant les trois équations précédentes respectivement par rapport à a?, y, ^,et en les ajoutant ensuite membre à membre, on obtient donc :

^ a- ^ 4- ^ ^ AV

dx ^ dy dz

Le premier membre est par définition -i^p. On retrouve donc l'équation :

AV = — 47rp

exprimant que V est le potentiel dû à une matière attirante fictive de densité p. Ainsi s'introduit dans la théorie de Maxwell cette notion du potentiel électrostatique qui joue un si grand rôle dans la théorie ordinaire.

Supposons un point à l'intérieur du conducteur rectiligne ; la force électrique doit y être nulle, c'est-à-dire qu'on a :

D'autre part, nous avons la relation suivante liant p, ti, u, lo qui n'est autre que l'équation de continuité :

dt ~^ dx~^ dï/'^ dz ~~ ^

et qui se réduit ici à

dp , dw dt'^ dz ~

-7- est le potentiel d'une matière de densité -~-

dt ^ dt ^

c?H , . dw

dz dz

D'après la dernière équation, il résulte de là que :

.dSf, dVi dt ~ dz

Remarquons que dans le calcul de H on a à tenir compte des courants de déplacement en môme temps que du courant de conduction ; mais les premiers sont perpendiculaires à oz ; leur effet est donc nul, puisque lo est la composante parallèle à oz. D'ailleurs, on pourrait voir que, même sans cette particularité, leur action serait négligeable.

Et en effet les courants de déplacement sont répandus dans tout l'espace, et les courants de conduction concentrés à la surface du fil; si donc le fil est de petit diamètre, l'action de ces derniers sur un point intérieur au fil sera évidemment prépondérante.

THEORIE DE LA PROPACtATION D APRES HERTZ 121

De plus, alors même que les courants de déplacement qui suivent les lignes de force électrique ne seraient pas dans tout l'espace perpendiculaires à l'axe des z, ils devraient aboutir normalement au conducteur. Les portions de ces courants qui ne seraient pas perpendiculaires à l'axe des z, les seules qui puissent agir, seraient donc éloignées de la surface du fil et leur action ne pourrait être que très faible.

Nous avons donc trouvé les deux équations :

, cm , d\

dt ' dz

et:

dt dz

En les différentiant respectivement, la première par rapport à z et la deuxième par rapport à t, elles donnent :

, dm , d'Y dz.dt ' dz'

. d^v . dm

D'où l'on déduit

de- ~ dz-''

On obtiendrait de môme :

dm dm

Ces équations expriment que la perturbation se propage avec la vitesse de la lumière.

Remarque. — Ce résultat, qui est donné par la théorie de

122 PROPAGATION LE LONG d'uN FIL

Maxwell, est aussi donné par la théorie ordinaire, comme KirchofT l'a démontré.

En efiet, si nous employons la théorie ordinaire, nous ne devrons plus tenir compte des courants de déplacement. La force électrique est nulle en un point de l'intérieur du conducteur, si les décharges électriques sont assez rapides, comme W. Thomson Ta montré expérimentalement. Alors la composante Z est nulle, ce qui nous donne notre première équation :

, dU , dY

^Tt+-dz = '''

D'ailleurs, dans la théorie que nous avons faite, nous avons négligé les courants de déplacement : il n'y a donc rien à changer au reste de notre calcul et nous arriverons au même résultat.

Deuxième remarque. — H est le potentiel d'une matière attirante de densité Aïo ; le diamètre du hl étant très petit, H sera sensiblement égal à Aïo multiplié par le logarithme de ce diamètre ; il sera donc proportionnel à îo et ses maxima et ses minima coïncideront avec ceux de w.

En un ventre (maximum de w et de H) on aura :

et par conséquent, d'après les équations qui précèdent :

dt-=''^

le potentiel sera constant.

THÉORIE DE LÀ PROPAGATION d'aPRÈS UKRTZ 123 En un nœud (m; = H = o), on aura :

et, par conséquent

le potentiel sera maximum.

M. Fizeau a mesuré directement la vitesse de propagation des perturbations électromagnétiques. Il n'a trouvé que 200 000 kilomètres environ : c'est qu'il employait des oscillations bien plus lentes que les oscillations hertziennes et qu'alors on ne peut plus négliger, comme dans le cas de ces dernières, l'effet de la résistance. [Videinfra, n" 87, g.)

61. Résonance multiple (')• — Nous avons exposé à la fin du paragraphe 57 en quoi consiste le phénomène de la résonance multiple : la longueur d'onde mesurée au moyen d'un résonateur dépend de ce résonateur.

MM. Sarasin et de la Rive interprètent ainsi ce phénomène : l'excitateur produit une vibration complexe, tandis que le résonateur ne donne qu'un mouvement périodique seulement ; il en résulte qu'on peut mettre en évidence une infinité de systèmes de nœuds, correspondant aux diverses vibrations simples en lesquelles on peut décomposer la vibration complexe produite par l'excitateur,: on mesure donc la longueur d'onde correspondant au résonateur employé.

(') Sarasin bt he l\ Rive, Compte.t rendus:, janvier 1890.

On peut expliquer aussi les faits observés par l'effet des amortissements de l'excitateur et du résonateur ; comme *ces amortissements jouent un rôle dans tous les cas, avant d'examiner une autre interprétation, étudions cette influence. L'amortissement de l'excitateur est, comme nous l'avons déjà vu, très considérable par rapport à celui du résonateur ; poussons les choses à l'extrême et supposons d'abord que

l'amortissement de . l'excitateur /^"~\ soit énorme, celui du résonateur

r§ ^~~c A étant nul. Voici comment on peut

Pjp jg alors se rendre compte de ce qui

se passe : à l'origine B du fil se produisent une série de chocs, de perturbations de très courte durée; chacune d'elles se propage, arrive en C devant le résonateur sur lequel elle produit un premier effet, puis se réfléchit en A et revient donner au résonateur une deuxième impulsion.

Soit i l'intensité du courant produit dans le résonateur, et P la période propre de ce résonateur. On aura :

i = B. cosp/'-f- C sinp^

les constantes B et C dépendant de l'intensité du choc qui produit la première impulsion; la deuxième impulsion se produit au temps oc -}- ^7 si la première s'est produite au temps a, h étant le temps que met la perturbation à se propager de C en A et à revenir de A en C après réflexion. Il nous suffit, pour avoir le courant dû à cette deuxième impulsion, de changer dans l'expression précédente t en l — h et de la faire précéder du signe — , le courant de retour

RESONANCE MULTIPLE 125

étant de sens inverse an eourant d'aller ; le nouveau courant dans le résonateur sera donc :

/ = — B. cos p (< - /?) — C sin.3 (t — h)

de sorte que l'intensité totale du courant circulant dans le résonateur est :

I = B. [cos pi — cos p (< — h]] -f- C [sin pt — sin p (^ — h)].

Pour qu'il y ait un nœud, c'est-à-dire pour qu'on n'observe point d'étincelles au résonateur, il faut que Ton ait à la fois :

cos p< = cos p(t — h)

sin fi/ = sin fi {t — h),

ce qui exige que :

ph = SKti, K étant un nombre entier.

h est le temps que la perturbation met à parcourir le

double de la longueur AC = /, avec une vitesse V = -r • On

peut donc écrire l'expression précédente :

p.^M = SKtt ou :

Afl

Ainsi on aura un nœud en faisant K = o, ce qui donne ; = o ; un autre en faisant K = d , ce qui donne :

La longueur d'un internœud dépend donc dans ce cas seu-

126 PROPACxATION LE LONG D UN FIL

lement de la période du résonateur, et pas du tout de celle de l'excitateur.

62. Mais en réalité les choses ne se passent pas ainsi, et l'on doit supposer que le résonateur est mis en mouvement par une cause excitatrice de la forme :

B.e-*' cosy^ -j- Ce^^'sinyf,

où Y est la période de l'excitateur.

L'équation donnant l'intensité du courant dans le résonateur peut alors s'écri-re :

^ -f ^H = B.e- «'• cos yt + Ce-«' sin ^t.

11 nous faut intégrer cette équation en supposant, pour t = 0,1 nul ainsi que ses dérivées. On trouve :

i = B'e-«'cosYi+C'C"-«'sinY^ + W cos^t^ e" sm^t,

expression que nous appellerons :

et dans laquelle les constantes B', C, B",^ sont des fonctions linéaires de B et C.

S'il n'y avait pas de réflexion en A, l'intensité du courant dans le résonateur serait :

S'il y a réflexion, la perturbation revient en sens contraire au bout d'un temps h et l'intensité du courant a pour expression :

RESONANCE MULTIPLE 127

Or, dans les expériences de MM. Sarasin et de la Rive, un nœud est un point où l'étincelle ne jaillit plus ou est minimum; un ventre est un point où rétincelle est maximum.

Pour que l'étincelle jaillisse, il faut que la différence de potentiel entre les deux bornes du micromètre dépasse une certaine limite, qui dépend elle-même de la distance de ces deux boules. Si donc l'étincelle ne jaillit pas, c'est que le maximum de cette différence de potentiel ne dépasse pas cette limite ; si elle jaillit, c'est que ce maximum est plus grand que cette limite. Ainsi la longueur de l'étincelle (c'est-à-dire la distance à laquelle on doit mettre les boules pour que l'étincelle commence à jaillir) est égale à la « distance explosive » correspondant au maximum de cette différence de potentiel.

Comme cette différence de potentiel peut être regardée comme proportionnelle à y) cette différence S sera égale à :

C [F' {t) — F'[t — h)] = <^{i) — <b [t — h). Pour avoir le maximum de S il faut égaler sa dérivée à o ;

on trouve :

En éliminant t entre cette équation et celle qui donne B, on obtiendrait une relation entre o et A : les ventres et les nœuds correspondent aux maxima et aux minima de 8 considéré comme fonction de h ; cherchons ces maxima et minima, en écrivant que :

128 PROPAGATION LE LONG d'uN FIL

ou:

Le premier terme est nul en vertu de la relation précédente ; on a donc :

et cette relation elle-même se réduit à: <!>' {t) = o.

Ainsi les valeurs de <et de h, qui correspondent aux ventres et aux nœuds, rendent maximum ou minimum de la fonction <I>,

Il nous faudra donc construire la courbe :

puis en étudier les maxima et minima consécutifs ; il y a une infinité de maxima et de minima : on choisira les mieux marqués.

Supposons d'abord les périodes de l'excitateur et du résonateur très voisines. La fonction a. [t] aura d'abord une faible valeur et croîtra peu à peu, les chocs répétés faisant éprouver au résonateur des vibrations de plus en plus rapides. Les maxima bien marqués de <I> [t) et '!> {l-h) ne seront obtenus qu'au bout d'un certain temps, et alors les termes en y^ seront devenus négligeables, à cause de l'exponentielle à exposant négatif qui y figure, de sorte que ce qu'on mesurera en réalité, ce sera la période propre du résonateur, qui est très voisine de celle de l'excitateur.

Si la différence des périodes est grande, la courbe 8 = <^(/)