Calcul de —r^- — Nous allons calculer le potentiel Y

Soit 5 l'arc de Taxe du résonateur ; coupons le fil par deux plans normaux à l'axe, à une distance ds l'un de l'autre ; nous découpons ainsi un petit cylindre, à la surface duquel est une certaine quantité d'électricité que nous représenterons par :

e.ds.

Appelons / l'intensité du courant qui traverse une des bases du petit cylindre, et écrivons l'équation de continuité.

Il entre par une des bases une quantité d'électricité représentée par :

i.dl

et il sort par l'autre base une quantité :

La quantité d'électricité comprise entre les deux bases du cylindre ayant augmenté de :

de.ds

pendant le même temps dt^ on a :

d'où l'équation

di , ,

-• dt = de.

di de

Js'^'dt~ ^'

Le potentiel Vg est dû à l'électricité qui existe à la surface deR.

Or, un cylindre de longueur î, chargé uniformément à sa surface d'une quantité d'électricité e par unité de longueur, produit en un point de son axe un potentiel exprimé par :

o 1 2^ 2e.los-. — »

2e[log2/-logpo].

Le second terme est très grand par rapport au premier, à cause de la petitesse de p^, et on peut écrire approximativement :

. — 26'log. Po.

Si la distribution sur le fil n'est pas homogène, on peut

ETABLISSEMENT DE L EQUATION 229

encore employer approximativement, la formule précédente, e étant la valeur qui correspond au point considéré. Si le fil n'est pas rectilig-ne, on peut l'employer également, en négligeant des quantités de l'ordre de celles que nous avons déjà négligées.

Posons :

A = -2log.po.

L'expression du potentiel au point M sera sensiblement :

Vj = he.

De là on déduit :

dx ds

En effet on a :

dV d\ rJ\

clY., = -^^ dx ^^^dy -^^dz.

dx ^ dy -^ ^ dz

Ici, l'axe des x étant parallèle à la tangente en M, on a :

dx dy dz

ds ds '^ ds

Il reste donc

ou comme dx = ds

d\. = Ç-2 ds,

dWj de dx ds

dF' 105. Calcul de A —7^- — On a dt

Fa = pot (Awa).

Mais u.^ est la projection sur ox du courant /, c'est-à-dire :

i cos

<p étant l'angle que fait avec l'axe des x la tangente au fil au point considéré, et par suite on a :

F2 = pot (A2C0Scf/),

En répétant le raisonnement que nous avons fait pour le calcul de Vg, on trouverait :

F2 = A/«'coscp.

Ici, la tangente en M étant parallèle à l'axe des a?, il reste :

F^ = khi,

rfF^ a;^ di.

dl dt

dY'L 106. Calcul de A — r^* — Nous allons montrer que ce

terme est négligeable vis-à-vis des autres termes de l'équation. En effet, F 2 est le potentiel dû à une matière attirante de densité :

47r dl

Pour un point situé à l'intérieur de 11, on a Xg = — X^, d'où :

dt ~~ dt

Pour les points extérieurs à R, nous allons chercher non pas à calculer exactement la valeur de X^, mais à nous faire une idée de son ordre de grandeur.

ÉTABLISSEMENT DE l'ÉQUATION 231

Remarquons d'abord que pour un point pris k la surface on a encore :

puisque la composante tangentielle de la force électrique doit être nulle et que la tangente est ici parallèle à l'axe des a\

Considérons le cas simple où R est un cylindre de révolution de rayon p^ indéfini, et placé dans un champ variable de révolution autour de l'axe du cylindre que nous prenons pour axe des x.Le champ produit par R sera aussi de révolution, et les lignes de force électrique, qui sont aussi les lignes parcourues par les courants de déplacement, seront dans les plans méridiens.

On a une sorte de série de nappes coniques concentrant le courant à la surface de R. Par exemple, l'élément AB et l'élément A'B' {/ig. 49) engendrent pj^. 49 chacun en tournant autour de ox

une surface conique, et le flux de force qui traverse la surface AB est égal au flux qui traverse la surface A'B'.

Or les surfaces telles que celle engendrée par AB varient en raison inverse de la distance p de l'élément AB à l'axe de

révolution ox, de sorte que, en un point, X^ et X, '— sont de même ordre de grandeur.

On peut donc dire que Fg est le potentiel dû à une matière dont la densité est du même ordre de grandeur que :

At: dl 0

â32 APPLICATION DE LA THEORIE

Changeons de variables et posons :

y = (I cos 0) z = p sin to.

F 2 est de la forme

mEl'^,

IVl étant une quantité de l'ordre de grandeur de -^ -^

et dz représentant un élément de volume. p étant inférieur à r, on peut écrire :

ou en remplaçant dz par sa valeur :

'mH^^^'< /mP-«p.

do.dw.dj

Mp„ —'do).dx.

Po étant la plus petite valeur que puisse prendre p, on voit que cette dernière intégrale est au plus de l'ordre de grandeur de :

Mpologpo-

En sorte qu'on peut poser en désignant par 0 une quantité finie :

d'oi

F^ = 9.p,logp.A'^,

A.-^-f=0.p,.logp,.A^-^.

ÉTABLISSEMENT DE L EQUATION 233

En remplaçant les différentes expressions qui figurent dans l'équation (3) par leurs valeurs respectives, cette équation devient :

x, + .w,;^ + .w.=oiugf.'^|i + /.|: = o.

Mais on a posé :

h = — 21ogpo.

Le troisième terme du premier membre, qui renferme le facteur log po, comme le deuxième et le quatrième, et en même temps le facteur p^i est donc infiniment petit par rapport à ces deux termes, de sorte que Féquation (3) devient :

' ' \ dt ^ ds

Remarquons» que cette équation n'est vraie que pour le point M où la tangente est parallèle à ox.

107. Nous allons maintenant généraliser l'équation que nous venons d'obtenir.

Soit S< la projection sur la tangente de la force \^,^^X^. Nous pouvons, puisque l'axe des x est parallèle à la tangente au point que nous avons considéré, écrire l'équation précédente :

Cette équation est maintenant indépendante du choix des axes ; c'est une équation intrinsèque, elle est vraie en tout point M du résonateur.

En la joignant à l'équation (4) que nous avons obtenue

précédemment, nous avons le groupe d'équations :

js,+"(A=f+i:

de\

(di de TT. + ;77 = o

ds dl

108. Conditions aux limites. — Que se passe-t-il aux extrémités du résonateur et comment pourrons-nous exprimer les conditions aux limites ? C'est ici que nous allons trouver le point faible de la théorie.

Un résonateur peut fonctionner de deux façons: avant que l'étincelle éclate, l'intervalle existant entre les deux boules du micromètre joue le rôle d'un diélectrique. Au moment où l'étincelle éclate, il joue le x^ôle d'un conducteur.

C'est le premier point qui est surtout intéressant et que nous étudions : on mesure l'amplitude de l'oscillation avant que l'étincelle éclate.

Ce qui résulte le plus naturellement de la théorie de Maxwell, c'est que le courant s'annule aux deux extrémités du résonateur. Nous allons adopter cette hypothèse et en chercher les conséquences ; nous verrons qu'elles ne s'accordent pas tout à fait avec les phénomènes expérimentaux, et nous chercherons à modifier notre hypothèse de façon à la mettre d'accord avec les faits.

Remarquons que la première des équations (5) montre que i et e varient en raison inverse de /? ; il ne faudrait pas conclure de là qu'un résonateur est d'autant plus sensible que h est plus petit, c'est-à-dire que le fil est plus gros, car ce qu'on mesure est la différence de potentiel entre les deux extrémités de l'interrupteur, et nous avons vu que l'expression du potentiel était he^ qui ne dépend point de h.

ÉTABLISSEMENT DE l'ÉQUATION 235

S Le quotient — -y est une fonction connue, d'après la façon

dont nous avons posé le problème; appelons-la o (5,/); nos équations deviennent alors :

., di . de

ds ^~ dl °'

Éliminons une des deux fonctions inconnues, e par exemple, entre ces deux équations ; pour cela, différentions la première par rapport à < et la deuxième par rapport à s. On obtient :

'iWt'^ ds.dl ~' tt

-nr + , , = o.

ds- dl.ds

En retranchant ces deux dernières équations membre à membre, il vient :

^'' dt^ ds^ ^ dt

De cette équation il nous faut tirer i, en observant les conditions aux limites, qui sont que :

( s :=- o i =1 o pour

l étant la longueur du résonateur.

D'après le théorème de Fourier, on peut écrire :

i =2j B„ sm — •

Chacun des termes de la série s'annule pour s = o et s = l ; on pourrait démontrer qu'il en résulte que la valeur de la série s'annule pour .v = o et s = A

D'ailleurs on aura :

J = ;^Usm-,

les coefficients C„ étant des fonctions supposées connues.

Pour calculer les coefficients du développement de ^, il

d-si suffit de remplacer dans l'équation (7) i et -^ et d'identifier.

On aura

mis dt:^ ~ ^ dt^ '"' l

En remplaçant dans l'équation (7) et en égalant les coeffîcients de sin — dans les deux membres, on obtient :

^ di:" ^ P t}« — u,

109. Résultats. — Les équations telles que l'équation précédente nous définissent les coefficients B, les coefiicients C étant des fonctions données de t.

Remarquons que, dans ces équations, il ne figure pas de

terme correspondant à l'amortissement des oscillations du

dBn résonateur, terme qui serait en — 7— • ^ dl

11 n'y a rien d'étonnant, car nous avons justement négligé dans le calcul les deux causes de cet amortissement, c'est-àdire :

1° La clialeur de Joule :

2" Les courants de déplacement dûs au résonateur, c'està-dire le rayonnement propre du résonateur.

Cherchons maintenant les équations ({ui définissent les vibrations propres du résonateur ; pour cela, supposons que le résonateur une fois mis en mouvement soit abandonné à lui-même, ce qui revient à faire ^ = o dans nos équations.

Les coefficients du développement de -^ seront nuls ot

nous aurons des équations de la forme:

, dm„ , n^Tz^

Ces équations nous définissent les différents harmoniques du résonateur ; mais le seul qui ait été observé est le premier; faisons donc n = \, nous aurons :

d'où Ton tire:

B. ^ cos -r/

* kl

Ainsi la période est 2A^et, par suite, la longueur d'onde 2/, c'est-à-dire deux fois la longueur du résonateur ; or, MM. Sarasin et de la Rive ont trouvé expérimentalement que cette longueur d'onde est égale à huit fois le diamètre du résonateur, de sorte que la longueur d'onde théorique est à

la longueur d'onde expérimentale dans le rapport -•

Il est à penser que, même en conduisant le calcul d'une manière plus rigoureuse, la théorie, telle que nous l'avons

exposée, ne conduirait pas au même résultat que l'expérience, car la difîéreiice précédente est considérable. Il nous faut donc modifier cette théorie.

110. Modifications à apporter à la théorie. — Devonsnous modifier notre mode de raisonnement, basé sur la théorie de Maxwell, ou bien les conditions aux limites ?

Occupons-nous d'abord des conditions aux limites. MM. Sarasin et de la Rive ont étudié, comme nous l'avons vu, la propag-ation des oscillations électriques le long d'un fil coupé brusquement. Le résonateur circulaire qu'ils employaient avait 0"\70 de diamètre ; la distance d'un nœud à

un ventre devait donc être ; — '- — = 1™,40. C'est bien ce

qu'ils ont trouvé tout le long du fil, excepté à l'extrémité : le nœud qui existait pour le courant à l'extrémité du fil n'était qu'à l'",lO du ventre le plus proche.

Ces expériences, faites sur un fil roctiligne, permettent de concevoir que, dans un résonateur circulaire, il y a des perturbations analogues.

On peut, pour essayer d'expliquer ces perturbations, supposer que les extrémités ont une certaine capacité, ce que nous avons négligé dans les calculs. Mais l'effet de faibles capacités est bien peu considérable et ne peut complètement expliquer des écarts aussi grands entre la théorie et l'expérience.

Il est donc probable qu'il faut modifier de quehjue façon la théorie, sans que cela cliango d'ailleurs le sens général des autres résultats (').

(') Voir à ce sujet la note de MM. Birkeland et Sarasin dans les Comptes rendus, 18'J3, deuxième semestre.