EN NÉCESSITÉ INCONDITIONNELLE ET EN VÉRITÉ ARSOLUE

I. — La nécessité hypothétique et la vérité relative des théorèmes.

Dans une science décluctive, telle que la géométrie, il existe deux sortes de propositions bien distinctes : il y a des propositions indémontrables, que Ton trouve au début, appelées indifféremment aujourd'hui principes, axiomes ou postulats; il y a les propositions que Ton démontre, à partir des premières, en vertu des règles de la logique, appelées théorèmes. Les théorèmes sont nécessaires : ils s'imposent invinciblement à notre esprit, en vertu des lois de la logique formelle qui règlent l'accord de la pensée avec elle-même. Mais cette nécessité n'est que conditionnelle ou hypotliétique : les théorèmes ne sont démontrables qu'à la condition d'admettre les principes communs de la logique, qui sont les règles de la déduction, et les principes propres de la science considérée, dont ils sont les conséquences plus ou moins lointaines. Le jugement : deux et deux font quatre., ne s'impose nécessairement à l'esprit qu'à la condition d'admettre préalablement la définition des premiers nombres positifs entiers, la propriété associative de l'addition et le principe logique de la substitution des équivalents.

On peut encore dire que la vérité des théorèmes est relative et non absolue. Le théorème si souvent cité : La somme des angles d'un triangle est égale à deux droits, n est vrai que des triangles rectilignes et dépend, par suite, de ce que Ton entend par ligne droite. Cette notion est généralement traitée comme indéfinissable, c'est-à-dire comme

irréductible à des notions plus simples; mais les principes ont précisément pour mission de caractériser les notions premières d'une théorie. Le théorème en question dépend alors des principes choisis pour caractériser la notion indéfinissable de droite. Si, au nombre de ces principes, fîg-ure le postulat d'Euclide. le théorème sera vrai; si, parmi eux, figure le postulat correspondant de Lobatchefski, le théorème sera faux. Sa vérité est relative à un certain système de notions et de propositions premières.

De la nécessité hypothétique et de la vérité relative des théorèmes, on ne peut pas conclure à la nécessité inconditionnelle et à la vérité absolue des principes propres dont on les déduit. En elTet, la nécessité et la vérité dont il s'agit sont purement formelles : elles concernent uniquement l'accord de la pensée avec elle-même, non l'accord de la pensée avec son objet. Or, de prémisses fausses on peut déduire des conséquences formellement vraies, si l'on ne commet aucun paralogisme au cours des raisonnements qui les procurent. De la nécessité et de la vérité formelles des théorèmes, on ne peut rien conclure touchant la valeur de vérité des principes dont on les dérive. Les principes peuvent être des propositions vraies ou fausses, des fonctions propositionnelles susceptibles de devenir vraies moyennant une interprétation convenable des variables qui y figurent, ou de simples conventions qui ne sont ni vraies ni fausses, mais simplement commodes. Si, du reste, ce sont des propositions vraies, celles-là peuvent être vraies à divers titres, comportant différents degrés de certitude. Ce peuvent être des vérités empiriques, obtenues immédiatement par induction ; ou, sans être directement contrôlables par l'expérience, vérifiées dans leurs conséquences éloignées : leur certitude est alors dite assertorique. Ce peuvent être des vérités absolues, inconditionnellement nécessaires : leur certitude est alors dite apodictique. Les Rationalistes soutiennent que les principes des sciences déductives sont des vérités absolues, d'une nécessité inconditionnelle et d'une certitude apodictique. Leurs adversaires prétendent qu'il n en est rien et que ces principes sont ou des généralisations empiriques ou de simples conventions.

Réciproquement, si une proposition est un théorème relativement k un certain système de notions et de propositions premières, le fait de choisir un autre système, où elle figure à

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titre (le principe, ne transforme pas sa vérité, de relative qu'elle était, en absolue, ni sa nécessité, d'hypothétique en inconditionnelle. Tout au contraire, nous verrons dans le chapitre suivant qu'en promouvant une proposition du rang de théorème en ran<^' de principe, on diminue sa modalité : on lui fait perdre le bénéfice de la nécessité formelle dont elle jouissait comme théorème.

La vérité des théorèmes, étant conditionnelle et relative, ne peut être considérée comme indépendante de notre esprit et subsistante en soi. Elle serait inconcevable sans un esprit qui raisonne suivant les règles de la logique et qui admet certaines propositions initiales sans démonstration. Il y a plus. Au point de vue logique, les propositions premières d'une théorie déductive sont toujours considérées comme de simples conventions : ou encore, disent les Logisticiens, comme des fonctions propositionnelles, qui ne sont ni vraies ni fausses, mais peuvent seulement le devenir moyennant certaines interprétations des notions non définies qui y figurent en qualité de simples variables'. La vérité des théorèmes dépend alors de notre volonté, au moins autant que de notre entendement. D'abord, toute convention est le fruit dun libre décret de notre esprit. De plus, étant donné un corps de propositions que l'on veut classer déductivement, on peut" choisir entre un nombre indéfini de systèmes de notions et de propositions premières, tous équivalents. Une même proposition se présentera, tantôt comme indémontrable si elle figure au nombre des propositions choisies comme principes, tantôt comme démontrable si elle en est exclue. Mais le choix d'un système, parmi une multitude d'autres possibles, ne peut être que le résultat d'une décision plus ou moins justifiée par des raisons de pure commodité.