Distributivité : {a-{-b)Xc = (axc) + (bx c

Le principe de la substitution des équivalents exprime la propriété substitutive de l'égalité logique, que Padoa traduit symboliquement ainsi :

Substitutivité : x a = x b.

X ay = X b y.

ay = by.

Soit maintenant la proposition 2 -4- 2 = 4 à démontrer. En vertu de l'associativité de l'addition, on a :

et, en remplaçant les variables logiques par les nombres entiers :

Mais, en vertu des définitions précédentes, on a :

3+1=4 Donc :

Le jugement : 2-1-2 = 4 n'est qu'une vérité relative douée d'une nécessité hypothétique. Si nous avions défini autrement les premiers nombres ordinaux ; si nous avions caractérisé le signe -f- à laide d'autres propriétés, nous aurions abouti à un tout autre résultat. Mais les définitions nominales des symboles 2, 3, 4 et 4- sont purement conventionnelles. Rien ne nous eût empêché de poser 3 -(- i = 5, ou de priver le signe 4- de l'associativité : c'est ainsi que l'addition

70 LES 1'ARA.LOGISMES DU KATIONALISMC

loo-ique jouit d'une propriété dont est privée l'addition arithmétique, la tautologie : a-f-a = a;et que la multiplication, commutative lorsqu'il s'agit de nombres arithmétiques, cesse de l'être, appliquée aux quaternions.

Dira-t-onque les propriétés du symbole + ne sont pas arbitraires, parce que ce signe désigne l'addition -des nombres naturels qui, en fait, est associative ? Mais qu'est-ce que cela veut dire? Je définis les nombres positifs entiers à l'aide d'un système de postulats, tel que celui de M. Padoa. J'interprète les svmboles i. 2, 3 comme désignant, cardinalement, les classes formées par les collections de certains objets empiriques, ou, ordinalement, les rangs occupés par des objets dont l'ensemble est ordonné en série. Je constate alors que, en fait, on peut soumettre ces objets à une certaine opération, leur réunion, qui est associative; j'appelle addition cette opération et je lui fais correspondre le signe +. Mais, d'une part, j'aurais pu caractériser les mêmes symboles à l'aide d'un système de postulats non équivalents à celui de Padoa. et j'aurais dû chercher d'autres interprétations intuitives de ces svmboles. D'autre part, toute interprétation contient un jugement empirique qui est. par suite, a /?os/eriori et contingent ; c'est le jugement suivant : tels objets empiriques et telles opérations eifectuables sur ces objets jouissent des mêmes propriétés formelles que les symboles caractérisés par le s^'stème de postulats de M. Padoa. Si donc on rapporte le jugement « 2 -|- 2 = 4 >' sux nombres naturels, on ne pourra plus le considérer comme vrai a priori. Lorsque saint Augustin déclare qu'un monde et six mondes formeront toujours sept mondes, il énonce une vérité empirique qui est susceptible d'être infirmée dans l'avenir, car il \ a des cas où les mondes disparaissent. Quand il dit que 6 et I font 7, il énonce un théorème arithmétique, dont la vérité ne peut être que conditionnelle et relative, et qui, dépendant de conventions initiales posées par notre esprit, n'a plus de sens lorsqu'il n'y a plus d'esprits susceptibles de formuler pareilles conventions. 11 n'y a pas plus de raison de considérer les propositions arithmétiques comme des vérités éternelles que les règles du jeu déchoc : les unes et les autres dépendent de conventions et par .suite de libres décrets de notre volonté.

Telle est la conclusion à laquelle aboutit Henri Poincaré, dans son célèbre rapport sur les nouvelles géométries de

LliS PARALOGISMES CLASSIULtlS 71

David Hilbert. A côté des nombres entiers, négatifs, fractionnaires, incommensurables, imaginaires, qui respectent les règles de l'addition et de la multiplication arithmétiques, celles de l'ordre et le principe d'Arcliiniède, on est conduit, en rejetant ces règles progressivement, à créer de nouvelles arithmétiques non-arguésienne, non-pascalienne, non-archimédienne. A ce sujet, le philosophe géomètre déclare : « Qu'est-ce que les nombres? Avant tout, ce sont des éléments que nous savons distinguer les uns des autres, nous savons définir la somme ou le produit de deux de ces éléments, et enfin nous avons des règles pour reconnaître entre deux nombres quel est le plus grand et le plus petit. Voilà ce que nous devons considérer comme l'essentiel ; mais il est clair que si nous regardons ces règles comme des conventions, nous pouvons appliquer ces conventions à d^autres éléments que les nombres ordinaires, et que nous pouvons même changer ces conventions dans une mesure plus ou moins grande. C'est ainsi que la notion de nombre peut s'élargir indéfiniment... Après ce que nous venons de dire sur la façon de former les nombres non-aichimédiens, on doit comprendre que notre caprice ne peut plus, pour ainsi dire, rencontrer d'obstacle. Nous pouvons changer à notre gré les conventions fondamentales et nous devons seulement rechercher si un changement apporté dans l'une d'elles ne nous oblige pas à modifier les autres *. » C'est dire que la seule restriction qui s'impose à notre fantaisie, c'est de ne jamais formuler que des conventions compatibles entre elles.

Le théorème : La somme des angles d'un triangle est égale û deux droits, donne lieu aux mêmes réflexions. Ce n est pas une vérité absolue et inconditionnelle, puisqu'il suffit de remarquer que le théorème est faux dès qu'il s'agit de triangles curvilignes. Il faut donc sous-entendre, pour que ce théorème soit vrai, cette condition restrictive : il s'agit uniquement de triangles rectilignes. Cette condition n'est toutefois pas encore suffisante. Il existe des géométries non-euclidiennes, dans lesquelles la somme des angles des triangles rectilignes est différente de deux droits. Ces géométries diffèrent de celle d'Euclide en ce que les lignes qu'elles dési-

' H. Poincarc, Fondements de la géométrie, ap. Journal des Savants, mai 1902, p. 260-2^1.

g-nent sous le nom de droites ne jouissent pas des mêmes propriétés géométriques que les droites euclidiennes : par exemple, par un point pris hors d'une droite, dans la géométrie de Lobatchefski, on peut mener une infinité de droites non sécantes à cette droite. La notion de droite étant généralement choisie comme notion première, c'est-à-dire étant considérée comme nominalement indéfinissable, on la caractérise par un système de postulats. La validité du théorème en question dépend donc du système de postulats choisi pour caractériser cette notion : vrai en partant des postulats de la métrique euclidienne, il sera faux en partant des postulats de la métrique lobatchefskienne. La vérité de notre théorème est donc bien conditionnelle et relative.

Il y a plus. Notre théorème est si loin d'être une vérité éternelle et absolue, qu'il ne nous semble évident que par suite de certaines contingences empiriques du milieu naturel où nous sommes placés ; transportés dans un autre milieu, il nous paraîtrait extravagant au point d être rejeté comme absurde. Il existe dans la nature des lignes qui correspondent aux droites euclidiennes, d'autres qui correspondent aux droites lobatchefskiennes : les premières constituent les côtés des triangles euclidiens rectilignes, les secondes constituent les côtés de certains triangles euclidiens curvilignes. Pourquoi donnons-nous le nom de droites aux premières lignes plutôt qu'aux secondes, et pourquoi, par suite, choisissons-nous la métrique d'Euclide plutôt que celle de Lobatchefski? Uniquement parce que les premières lignes sont plus remarquables que les secondes, en vertu des fonctions physiques qu'elles assument dans notre Univers. Elles sont le chemin le plus court d'un point à un autre, l'axe de rotation des corps solides, la trajectoire des rayons lumineux dans un milieu homogène ; elles servent eniin à mesurer la distance de deux corps. Mais Poincaré, en un mythe célèbre, a montré qu'on peut imaginer un monde tel que les lignes qui rempliraient les mêmes fonctions physiques ne seraient pas des droites euclidiennes mais des droites lobatchefskiennes. Les habitants de ce monde éliraient spontanément comme métrique celle du géomètre russe, et leurs métaphysiciens citeraient le théorème : La somme des angles d'un triangle est inférieure à deux droits, comme exemple d'une vérité absolue et inconditionnellement nécessaire. Nous développerons ce mythe à

propos du réalisme mathématique; mais est-il exemple plus topique pour dénoncer l'illusion des Rationalistes qui citent comme exemples de vérités éternelles des propositions dont l'évidence dépend uniquement de certaines contingences empiriques du milieu pliysique qui nous sert d habitat*?