I. — La logique de Leibniz et la démonstration des axiomes

L'idéal i'ormulé par Pascal d'un ordre déductif complètement achevé, où toutes les notions seraient définies, où toutes les propositions seraient démontrées, loin d apparaître à Leibniz soit comme excédant notre infirmité naturelle, soit comme impliquant une condition contradictoire, lui semble un programme loiiable et parfaitement réalisable. « C'est une de mes grandes maximes qu'il est bon de rechercher les démonstrations des axiomes mêmes *. »

Que les principes des sciences soient susceptibles d être démontrés ; qu'il est bon, opportun et désirable de le faire, Leibniz n'a de cesse de le répéter : « Cette recherche est fort utile et même importante. Mais il ne faut pas vous figurer, Monsieur, déclare Théophile à Philalèthe, qu'elle ait été complètement négligée... Proclus attribue déjà à Thaïes de Milet, un des plus anciens géomètres connus, d'avoir voulu démontrer des propositions qu'Euclide a supposées depuis comme évidentes. On rapporte qu'Apollonius a démontré d'autres axiomes, et Proclus le fait aussi. Feu M. Roberval, déjà octogénaire ou environ, avait dessein de publier de nouveaux éléments de géométrie, dont je crois vous avoir déjà parlé... Au reste, il y a longtemps que j'ai dit publiquement et en particulier qu'il serait important de démontrer tous nos axiomes secondaires, dont on se sert ordinairement, en les réduisant aux axiomes primitifs ou immédiats et indémontrables, qui sont ce que j'appelais dernièrement etailleurs les identiques". »

' Nouv. Essais, I, 3.

2 Ibid., IV. 7, 1.

Cette opinion, Leibniz l'avait longuement publiée dans sa correspondance avec Gonring-, dont nous avons déjà rapporté certains passages. A Gonring qui lui objecte l'existence de propositions indémontrables, à savoir les axiomes, ils soutient que ces derniers ne laissent pas que d'être démontrables. Sinon, d'où viendrait leur certitude ? Elle ne peut provenir de 1 expérience : les "exemples étant toujours particuliers et contingents, l'induction ne saurait fonder aucune proposition universelle et nécessaire. Il faut donc qu'elle repose sur le principe d'identité, le seul principe a priori qui emporte une certitude apodictique.

Gomment peut-on démontrer les principes ? Sur ce point, la réponse de Leibniz ne varie pas : les principes sont démontrables a priori, au moyen des définitions et du principe d'identité.

Pour comprendre la doctrine leibnizienne, il faut rappeler

les principes de son panlogisme qui sont au nombre de cinq :

1** Toute notion est réductible à un petit nombre de notions

premières bien déterminées, qui forment le Catalogue des idées

simples.

2° Les notions complexes dérivent des notions premières par voie de multiplication logique.

3° Le système des notions premières, ou idées primitives, est exempt de contradiction.

4" Toute proposition est prédicative, c'est-à-dire toute proposition énonce l'appartenance d'un individu à une classe, ou l'inclusion d'une espèce dans un genre.

5" Toute proposition affirmative vraie est analytique, c'està-dire que le prédicat affirmé du sujet est formellement ou virtuellement, contenu dans la notion du sujet.

Démontrer une proposition, c'est la ramener à une proposition identique, en montrant, par l'analyse de ses termes, que le prédicat est contenu dans le sujet ; affirmer que toute proposition trouve sa justification dans l'analyse de ses termes, c'est poser le principe de raison suffisante qui. joint au principe d'identité, .suffît à démontrer a priort toutes les vérités, de quelque nature qu'elles soient.

Analyser les termes dune proposition, c'est, suivant la règle de Descartes, substituer la définition au défini L'analyse d'une notion peut être infinie, c'est-à-dire qu'on peut ne jamais aboutir, si loin qu'on la pousse, aux idées simples qui

l;i composent. Les propositions, où de semblables notions inlerviennent, sont dites défait. Sont-elles susceptibles d'être d-montrées ? Oui, si l'on considère que, le plus souvent, il n'est pas nécessaire de pousser bien loin l'analyse des notions pour s'apercevoir que le prédicat est contenu dans le sujet. Encore faut-il être en demeure de reconnaître les notions dont il s'agit et d'énumérer les caractères qui les distinguent, autrement dit d'en donner des « déiinitions nominales ». Lanahse des notions peut être finie au contraire, comme il arrive dans les sciences des vérités nécessaires. Dans ce cas, elle aboutit à des idées simples, que l'esprit saisit par une intuition directe et qui sont les attributs de la Divinité. Les définitions que l'on donne de ces notions sont adéquates, puisqu'il y a identité logique entre l'idée complexe définie et le complexe d'idées simples qui sert à la délinir.

La démonstration d'une proposition, s'opérant par la décomposition de ses termes, se ramène à la définition de ceux-là. Elle consiste à remplacer les termes définis par leurs définitions, et à constater que la proposition ainsi obtenue est une proposition identique. Les axiomes des sciences des vérités nécessaires doivent se ramener, grâce à cette procédure, aux définitions adéquates et aux propositions identiques : « Principia Scientia- veritatum necessariarum et ab expérimenta non dependentium (mea sententia) sunt duo : définitiones et axiomata identica *. » Ce que Leibniz appelle axiomes identiques., ce sont les propositions identiques qui seules sont indémontrables par nature et méritent proprement pour cela le nom d'axiomes ; c'est à elles que doivent être ramenés les axiomes ordinaires par l'analyse de leurs termes : « Ex ideis porro istis sive definitionibus omnes veritates demonstrari possunt, exceptis propositionibus identicis, quas patet sua natura indemontrabiles esse, et vera axiomata dici posse; vulgaria autem axiomata resolutione vel subjecti praedicati vel utriusque ad identica revocantur sive demonstrantur '^.)) Le seul critérium de vérité des propositions, ^diViB les sciences rationnelles ou abstraites, dites sciences des vérités nécessaires, c'est d'être identiques ou réductibles à des propositions identiques : « Itaque cujuscumque veritatis reddi potest ratio, connexio enim

' Phil.. IV, 252.

» Phil., VII, 295-6.

prsedicati cum subjecto aut per se patet, ut in idehticis, aut explicanda est, quod fît resolutione terminorum. Atque hoc unicuni summumque est veritatis critérium, in abstractis scilicet neque ab expérimenta pendentibus, ut sit vel identica vel ad identicas revocabilis. Et hinc duci possunt Elementa veritatis œterna'*. »

Ainsi, démontrer les axiomes, c'est les ramener, par 1 analyse de leurs termes, à des propositions identiques.

Si Leibniz insiste pour que l'on démontre les axiomes, c est qu'il rejette le critérium de vérité des Cartésiens, celui des idées claires et distinctes. En effet, à quelle marque reconnaîtra-t-on une idée claire et distincte? L'idée du mouvement le plus rapide est claire, et cependant absurde. Telle chose paraît distincte à l'un, qui semble confuse à l'autre. Le faux est souvent tenu poiir évident, sans quoi on ne le prendrait jamais pour le vrai. Au critérium de l'évidence, qui est subjectif et psychologique, il convient de substituer celui de l'identité, qui est objectif et logique ; à la méthode cartésienne pour bien se servir de sa raison, qui a conduit son auteur à de mémorables erreurs, il faut substituer une logique de l'invention, qui soit un art d'infaillibilité.

Cette logique rappelle le Grand Art de Raymond Lulle. Elle a pour but, un sujet étant donné, de trouver tous ses prédicats possibles et, étant donné un prédicat, de trouver tous ses sujets possibles ; en un mot, de trouver toutes les propositions vraies où un concept figure soit comme sujet, soit comme attribut. Les problèmes de combinaison, qu'abordent les mathématiciens, montrent la possibilité d'une telle science : elle constitue la Comhinaioire. Pour faire servir la Combinatoire à l'Art de rinvention, il faut analyser toutes les notions pour dresser le Catalogue des idées simples. Il suffît, ensuite, de leur assigner une notation particulière pour obtenir /'.4/phabet des pensées humaines. La Combinatoire permettra de découvrir toutes leurs combinaisons possibles; la Spécieuse universelle traduira les concepts composés par des combinaisons de signes, et les propositions qui les unissent, par des relations entre ces signes. Le raisonnement sera remplacé par un Calcul logique qui fournira une méthode universelle et infaillible pour la démonstration et la découverte de

• Loc. cit.

LA DÉMONSTRATION l^S PRINCIPES 187

toutes les vérités. Mais, pour édifier FAlphabet des pensées humaines, il faut analyser toutes les notions ; et, comme la démonstration des propositions se fait par 1 analyse de leurs termes, il faut démontrer toutes les propositions. C'est pour cela que Leibniz veut démontrer les axiomes, en sorte que, à la limite, il ne reste plus que des propositions identiques et des définitions adéquates, c'est-à-dire des notions entièrement définies en fonction de quelques idées simples.

Aussi fa ut- il louer les géomètres anciens et modernes, tels qu'Apollonius, Proclus, Roberval, qui ont cru devoir démontrer les axiomes admis comme évidents et indubitables par Euclide. Si celui-ci s'est arrêté à des axiomes ou postulats, qui lui paraissaient intuitivement évidents, c'est parce qu'il n'était pas en possession de bonnes définitions des notions premières : « Euclide, faute d'une idée distinctement exprimée, c'est-à-dire d'une définition de la lig-ne droite (car celle qu'il donne en attendant est obscure et ne lui sert point dans les démonstrations), a été obligé de revenir à deux axiomes qui lui ont tenu lieu de définitions et qu'il emploie dans ses démonstrations : l'un, que deux droites n'ont point de partie commune; l'autre, qu'elles ne comprennent point d'espace'. »