II. — Exemples de démonstration d'axiomes

Leibniz ne nous a pas dit quelle définition de la ligne droite il fallait adopter pour démontrer les deux axiomes admis par Euclide. En réalité, il s'est montré peu prodigue d'exemples^ propres à illustrer sa méthode de démonstration des axiomes. On n'en trouve pas de nature géométrique, à moins de considérer comme tel ce qu'il dit, dans la Théodicée, pour établir que l'axiome des trois dimensions est une vérité nécessaire. Kant, dans son premier ouvrage Gedanken von der ivahren Schiitzunj der lebendigen Kràfte (1747), a parfaitement relevé le caractère circulaire de cette prétendue démonstration, qui déduit le nombre ternaire des dimensions de l'espace de ce que, par un point, on ne peut mener que trois droites perpendiculaires entre elles. Il reste alors que les démonstrations d'axiomes mathématiques se réduisent à trois dans les œuvres de

' yonv. Essais. IV, 12, 6.

Leibniz. Un de ces exemples doit être éliminé préjudiciellement, comme étant la démonstration d'un théorème arithmétique : « deux et deux égalent quatre », considéré par la plupart des contemporains de Leibniz comme un axiome ^ 11 reste alors la démonstration de deux axiomes communs d'Aristote.

Le premier est celui-là même que saint Thomas cite le plus volontiers comme exemple de Dignitas : Le tout est plus grand que la partie.

Pour le démontrer, il suffit, selon Leibniz, de définir les termes />/us grand et plus petit àe la façon suivante : « A est plus grand que B et B plus petit que A, si B est égal à une partie de A ». Le principe d'identité, appliqué aux grandeurs, donne lieu à l'axiome identique : « Toute quantité est égale à elle-même. » L'axiome en question se démontre alors par un syllogisme de la première figure :

Ce qui est égal à une partie du tout est plus petit que ce tout (d'après la définition du plus petit) ;

Or, une partie du tout est égale à une partie du tout (d'après Vaxiome identique) ;

Donc, une partie du tout est plus petite que le tout. G. Q. F. D.2.

A cette démonstration, Bernouilli objecte qu'on invoque le principe du syllogisme, le Dictuni de onini et nullo, qui n'est pas plus évident que l'axiome à démontrer^. Leibniz répond qu'il sait démontrer le principe du syllogisme, indépendamment de l'axiome en question, si bien qu'il n'y a pas de cercle vicieux*.

Le défaut de la démonstration de Leibniz provient de ce qu'il n'a pas défini au préalable ce qu'il faut entendre par partie de et égal à, si bien que renonciation dont il part est vide de sens. Etant donnés deux ensembles A et B, on peut dire que B est une partie de A, si le nombre des éléments de B est plus petit que celui des éléments de A; mais une telle définition est interdite à Leibniz, sous le risque de rendre sa démonstration manifestement circulaire. Il lui faut définir ces termes .• partie de, égal à, sans faire intervenir les exprès -

' Vide supra : première partie, p. i5.

* Lettre à Bernouilli, 23 août 1696; Matli., III, 322.

3 Lettre de Bernouilli, 12 sept. 1696; Math., III, Ziq-Zo.

* Lettre à Bernouilli, 6 oct. 1696: Mnth., III, 33i.

sions : plus grand que, plus petit que, ce que l'on ne peut faire de la façon suivante. Etant donnés deux ensembles A et B, on conviendra de dire que B est une partie de A, si tous les éléments de B appartiennent à A, et non réciproquement; on conviendra de dire que deux ensembles A et B sont égaux l'un à l'autre, si on peut poser une correspondance biunivoque entre leurs éléments. En vertu de ces définitions, étant donnés l'ensemble des nombres entiers et celui de leurs carrés, le second ensemble est tout à la fois une partie du premier et égal au premier. Si Ton admet alors la définition du terme plus peut donnée par Leibniz, il en résultera que le second ensemble est, à l'égard du second, tout à la fois égal et plus petit, ce qui est contradictoire. En d'autres termes, Leibniz part d'une définition tacite des termes /ja/7/e de et égal à, qui est celle universellement admise ; il définit ensuite à sa guise les termes plus grand que et plus petit que, sans se préoccuper de savoir si les définitions explicitement introduites ne sont pas en contradiction avec celles tacitement admises, ce qui est justement le cas.

Un autre exemple de démonstration est celle d'un autre axiome commun d'Aristote : .Si à des quantités égales on ajoute des quantités égales, on obtient des sommes égales. Leibniz s'aj^puie sur l'axiome identique déjà cité : « une quantité est égale a elle-même », et sur la définition de l'égalité : « Les quantités égales sont celles que 1 on peut substituer sans changement de grandeur. »

On a, en vertu de V axiome identique :

et par hypothèse

On peut, dans le second membre de la première égalité, substituer c k a et d k h, en vertu de la définition de l'égalité; il vient alors :

' Lellre :i Burnelt, 1699; PhiL, III, 208-9.

L'axiome démontré par Leibniz correspond à un théorème de log-istique :

a = h .0. ac =^ Le.

Ce théorème se démontre au moyen des principes logiques de simplification, du syllogisme et de composition.

Soit à établir que (a .o. h) .o. [ac .0. bc). La démonstration procédera ainsi :

i" Principe de simplification ac .o. c

2° Principe de syllogisme {ac .0. a) (a .o. h) .o. {ac .0. b) 3° Principe de composition {ac .o. b) [a .0. c) .o. (ac .o. bc) On démontrerait de même que (b .o. a) .o. [bc .o. ac).

Mais alors, en vertu de la définition de l'égalité, on a :

(ac .3. bc), {bc .0. ac) .0. [ac = bc).

Simple théorème de Logistique, il n'est pas étonnant que la proposition choisie par Leibniz puisse se démontrer à l'aide des seuls principes de la Logique formelle.