V. — L insuffisance du critère de 1 évidence intuitive

Les exemples précédents: de cercles vicieux suffisent à justifier la défiance des mathématiciens actuels à l'égard de

l'intuition. Admirable instrument de recherche et de découverte, à tel point qu'on a pu comparer les travaux d'Abel à « des poèmes lyriques d'une beauté sublime», ils savent qu'elle ne peut leur donner ni la rigueur, ni la certitude. Elle doit s'éliminer de l'exposé définitif de la science, comme s'abattent les échafaudages qui ont servi à l'édification d'un monument. Auèsi Weierstrass, qui déclare que « quiconque n'est pas un peu poète ne saurait être véritable mathématicien », a été le premier à inaugurer cette période de reconstruction logique de l'algèbre, basée sur la seule notion du nombre entier, qui porte, dans l'histoire, le nom de Yère de la rigueui' de Weierstrass. Pour s'affranchir de l'intuition, les Mathématiques se sont arithme'tisées.

Ce qui est vrai de l'analyse l'est encore de la géométrie, et, d'une façon générale, de toute théorie déductive. Pour arriver à la pureté des concepts et à la rigueur des raisonnements, il faut traiter les notions premières d'une science déductive comme des symboles non définis, vides de toute signification matérielle, et les propositions premières, qui caractérisent équivoquement ces symboles en explicitent leurs relations, comme des fonctions propositionnelles, qui sont de simples moules à propositions, et qui ne deviennent vraies que moyennant une interprétation concrète convenable des symboles qui y figurent à titre de variables. La mathématique se présente comme une science purement formelle, « où l'on ne sait de quoi l'on parle, ni si ce que l'on dit est vrai » ; mais d'où se trouve définitivement écarté tout dansfer d'introduire des postulats implicites, enveloppés sous des appels à lintuition.

Cette défiance à l'égard de l'intuition ne se légitime pas seulement par le risque perpétuel de nous induire en cercle vicieux. Elle se justifie aussi par ce fait que l'évidence intuitive ne r«nd pas compte de la nécessité intelligible du résultat constaté. Elle dispense à notre esprit une certitude assertorique, non une certitude apodictique. Toute la distance qui sépare la géométrie empirique des Harpédonaptes égyptiens de la géométrie rationnelle des Pythagoriciens consiste dans cet effort : remplacer ce qui est évident aux sens, dont les données sont toujours approximatives et sujettes à caution, par ce qui est nécessaire au pur regard de l'entendement. Comment les Grecs sont-ils parvenus à opérer cette trans-

LA DÉMO.VSTRATION DKS PUINCIPF.S 213

formation ? C'est eu ne se tenant pas pour satisfaits de l'évidence intuitive des constructions géométriques, mais en recherchant la raison d'être des propriétés qu'elles manifestent dans les rapports abstraits qui lient leurs éléments intuitifs ; en réduisant ces éléments à un petit nombre de notions irréductibles telles que le point, la droite, la distance, la continuité, le mouvement, etc., et en s'appuyant sur elles pour donner de toutes les figures géométriques des délinitions génétiques. Mais souffrir ce reste d'intuition n'est-ce pas encore trop supporter? Descartes trouve que la science des Grecs (( demeure si astreinte à la considération des figures, qu'elle ne peut exercer l'entendement sans fatiguer beaucoup l'imagination ». Avec la géométrie analytique, la notion qualitative de forme est remplacée par la notion quantitative de distance : un point n'est plus qu un couple de valeurs attribuées à deux lettres x et y. Ou peut objecter encore que les coordonnées sont des lignes auxiliaires qui font appel à l'intuition. Cela n'est plus vrai avec les calculs géométriques qui se sont développés depuis Grassmann et qui donnent des ligures des définitions intrinsèques. Ainsi, l'évolution de la géométrie s'est accomplie, d'une manière continue, dans un sens toujours le même, à l'encontre de l'idéal préconisé par Schopenhauer, de façon à évincer progressivement toute intuition. Ce n'est point « parce qu'elle seule peut, en construisant un concept, lier a priori et immédiatement ses prédicats, dans l'intuition de son objet ' », que la mathématique est devenue une science apodictique ; c'est, au contraire, en substituant à l'intuition spatiale de ses objets particuliers des symboles dénués de toute signification intuitive, et en raisonnant aveuglément et syniboliquement sur eux, sans s'inquiéter de ce qu'elle dit. Ce n'est pas parce qu' « apodictique, en tant qu'intuitive, qu'une preuve peut s'appeler démonstration- » ; mais, précisément, c'est dans la mesure où elle n'est pas intuitive, qu'une démonstration peut être dite apodictique^.

' Kant, Critique de lu Raison pure, B, 7G0.

- Ihid , p. 762.

•^ Non seulcmcnl l'intuition nous induit en cercles vicieux; non seulement clic ne nous procure pas l'inteUigibilité des faits qu'elle constate, mais elle est encore une source systématique d'erreurs et d'antinomies : voir L. Rougier, les Erreurs sysléinatiques de riiitiiition, ap. liev. Met. et Mor., sept.oct. 1919, p. 5g5-Gi6.