VI. — Deuxième exemple : le principe du parallélogramme

des forces.

En est-il autrement, lorsqu'il s'agit de la Statique dont les lois sont indépendantes de tout système de référence ? Le principe fondamental sur lequel cette science repose, le principe du parallélogramme des forces, qui semble participer de l'évidence des symétries géométriques, ne pourrait-il pas être démçntré, en partant du principe de raison suffisante, comme une anticipation de l'expérience ? C'est ce qu'ont pensé, avec bien d'autres, Bernouilli et Poisson.

La règle de la composition des forces était connue de

< Einstein, Die formalen Grandlagen des allgemeinen Relalivilàtstheorie, ap. Ber. lierl. Altad , t. XLI, p loUo. - Comp. L. Ruugicr, la Matérialisation de i énergie. 1919, p. Sg-yâ.

1 auteur des Problèmes mécaniques que l'on croit être Aristote. Pour le Stag^yrite, cette règle découlait immédiatement de celle de la composition cinématique des vitesses et du principe de la Dynamique péripatéticienne : une force constante engendre un mouvement uniforme, et la vitesse de ce mouvement est proportionnelle à la force qui le produit^. A la Renaissance, alors que la Dynamique péripatéticienne paraissait condamnée, alors que la^Dynamique nouvelle, celle de Newton et de Lagrange, n'était pas encore constituée, Galilée, Stévin, Descartes s'efforcèrent de traiter la Statique en science autonome, en établissant la règle du parallélogramme sur des preuves purement statiques, tirées du levier ou du plan incliné. A la fin du xvu*' siècle, avec la Dynamique constituée, une réaction s'accuse : on ne ciierche plus à affermir la Statique sur des preuves purement autonomes, mais sur des bases dynamiques. On s'efforce à dériver la loi de la composition des forces de celle des mouvements qu'elles produisent. Ainsi fait Newton dans le corollaire I des trois principes de sa Dynamique; ainsi procèdent la même année, en i68y, Varignon- et le P. Lamy -'.

Mais le principe de la composition des mouvements est une af/îrmation physique, qui n'est nullement nécessaire a priori. Le théorème du parallélogramme des forces qu'on en déduit serait donc, pour employer la langue du xviu® siècle, une vérité contingente. Si Varignon et, après lui, d'Alembert, s'y sont mépris, c'est qu'ils ont cru pouvoir démontrer le principe des mouvements composés, en passant de la composition cinématique des vitesses à la composition dynamique des mouvements, sans s'apercevoir que ce passage implique un postulat tacite : le principe de l'indépendance des effets des forces. Cette erreur, manifeste dans la Nouvelle Mécanique ou Statique de Varignon, parue après sa mort en 1725, et dans le Traité de Dynamique de d'Alembert, qui porte le millésime de 1749» tiit signalée aux géomètres par Daniel Bernouilli, dès 172G, dans le Mémoire intitulé : Examen principiorum

' Cf. Duhem, les Origines de la Statique, t. II, p. 245.

- Varignon, Projet de nouvelle Mécanique, Paris, 1687.

•' Lamy, Lettre à M. J. Dieulamant, ingénieur du Roy à Grenoble, intitulée : Nouvelle manière de démontrer les principaux théorèmes des éléments de la Mécani([ne,aimd Traité deMecanique.de l'équilibre des solides et des liqueurs, nouvelle cdit., 1687.

LA DÉMO>(STRATION WS PRINCIPES 239

niechaniae et denionstrationes geometricœ de composilione et resolutione viriuni, paru, deux ans après sa rédaction, dans le tome 1 des Commentaires de V Académie des Sciences de Saint- P etersbourg .

Daniel Bernouilli dénonce le paralog'isnie de ses contemporains en ces termes : « La démonstration habituelle (de la règle àx\ parallélogramme des forces), fondée sur la composition des mouvements, prouve seulement qu'elle est de vérité contin<;ente. Elle repose, en etl'et, sur le fait que les vitesses produites par diverses forces sont proportionnelles à ces forces, affirmation expérimentale et ïion rationelle : pourquoi, par exemple, ne serait-ce pas les forces-vives qui seraient proportionnelles aux forces? Il faut d'ailleurs (ju'il v ait une seconde hypothèse conting-ente dans la démonstration, car une vérité nécessaire ne peut sortir d'une seule hypothèse contingente (sic). Cette seconde hypothèse est la suivante : on admet qu'une force aji^issant sur un corps lui imprime, quand il est déjà mû par une autre force, la même vitesse ([ue s'il était au repos. ->

La faute qu'il sig-nale ainsi, Bernouilli prétend ^é^'iter. Il se flatte d'être à même de donner une démonstration purement géométrique de la règle de la composition des forces.

Sa démonstration repose sur deux définitions et sur trois hypothèses-, que Bernouilli déduit du principe de raison suffisante :

« Définition. — Par puissance x\B j'entends la puissance représentée par A B. Je dis que deux puissances sont équivalentes, quand elles tirent le point avec la même force dans la même direction.

« Hypothèse I. — Deux puissances quelconques peuvent être remplacées par des puissances équivalentes.

« Hypothèse H. — Deux puissances de même direction équivalent à une puissance unique égale à leur somme et deux puissances directement opposées équivalent à une puissance unique ég-ale à leur différence.

« Ces deux dernières hypothèses n'apportent aucune autre affirmation que celle-ci : un tout est égal à l'ensemble de ses parties et deux puissances égales et opposées sont en équilibre, parce qu'iZ n'y a aucune raison pour que l'une l'emporte sur l'autre, axiome métaphysique qu'il faut considérer comme de vérité nécessaire.

« Hypothèse III. — La puissance unique, équivalente à deux puissances égales, est également inclinée sur l'une et sur l'autre, c'est-à-dire est dirigée suivant la bissectrice intérieure des tleux puissances. Gela résulle du même axiome métaphysique. »

Que devons-nous penser de ces définitions et de ces hypothèses introduites au nom du principe de raison suffisante ?

Bernouilli considère les forces et leur équivalence comme définies statiquement. Il convient alors de représenter une force (potentia) par un vecteur. L'opération de la composition des forces, qu'il y a en vue d'étudier, a pour objet de trouver une force unique équivalente à plusieurs forces données. Désignons cette opération jjar le signe + : la résultante de la composition de deux forces, représentées respectivement par les vecteurs A et B, sera désignée par A -1- B.

Une première hypothèse que Bernouilli n'explicite pas, mais qu'il a indubitablement dans l'esprit, est la suivante : la résultante de la composition de deux forces ne dépend pas de Tordre dans lequel on considère ces forces, de sorte que la résultante A + B est équivalente à la résultante B 4- A. Admettre ceci, c'est poser en principe que l'addition des forces est commutative.

L'hypothèse I de Bernouilli, si l'on veut se donner la peine d'être rigoureux, doit se formuler de la façon suivante : Supposons que nous ayons trois forces à composer A, B, C, ce que nous écrirons A + B -f-G, Tordre étant indifférent d après l'hypothèse de la commutativité de Taddition des forces. On peut alors remplacer B -f- G par la résultante 'B -1- G) de leur composition, si ])ien que :

De même, si G est la résultante de la composition de D et de F, on peut remplacer l'opération A -f- B + G par l'opération A -f B-t-D -h F. Admettre ceci, c'est postuler que l'addition des forces est associative.

L'hypothèse II de Bernouilli implique que, quand les forces ont même direction, Topération -f- se réduit à Taddition algébrique des vecteurs qui désignent les forces.

L'hypothèse III peut se déduire des deux suivantes : i°on suppose la commutativité de Topération -f- ; u° on admet que la résultante de deux forces est indépendante de l'orientation

absolue des forces, (qu'elle ne dépend que de la forijie de la figure formée par ces deux forces. L'hypothèse III résulte alors du principe de symétrie.

Ayant ainsi posé ses définitions et ses hypothèses, dont nous venons de voir tout ce qu'elles comportent, Bernouilli établit le lemme suivant : « Si trois puissances DA, DB et DC sont en équilibre, il en sera de même de trois puissances Dm, D/i, Dp, doubles ou équimultiples quelconques des premières. » Pour le prouver, il applique l'hypothèse I et recourt à une- construction géométrique, dont l'évidence intuitive manifeste la vérité de son lemme. Mais il ne peut étendre la proposition au cas où les forces sont incommensurables, sans admettre un nouveau postulat, à savoir que l'opération -|- est continue.

En définitive, la démonstration de Bernouilli repose sur les hypothèses suivantes :

Convenons de désigner les forces par des vecteurs, et 1 opération de leur composition par le symbole +. Les hypothèses qu'il faut formuler, pour démontrer la règle du parallélogramme, exprimeront les propriétés de cette opération :